【人教A版】等比数列PPT课件1

第7章 数列
第1节 数列的概念与简单表示法
目 第2节 等差数列及其前n项和
录 目 第3节 等比数列及其前n项和 录
第4节 数列的综合应用
专题3 求数列通项公式的方法及数列 求和的方法
第3节 等比数列及其前n项和
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第3节 等比数列及其前n项和
真题自测 考向速览
考点1 等比数列的基本运算
1.[课标全国Ⅲ2019·5]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，
则a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【解析】设Sn为等比数列{an}的前n项和，且公比为q(q＞0)，∴S4＝15.又∵{an}各项均为正
数，且a5＝3a3＋4a1，∴a1q4＝3a1q2＋4a1.∵a1≠0，∴q4－3q2－4＝0，解得q2＝4，∴q＝2.
若m＋n＝2p，则有am·an＝____a_p2___. （3）对任意正整数n＞1，有an2＝an－1·an+1.
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第3节 等比数列及其前n项和
（4）如果an＞0，那么{logaan}(a>0且a≠1)是等差数列；如果数列{logaan}是等差数列， 那么{an}是等比数列．
【答案】1
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考点2 等比数列的判定与证明
6．[课标全国Ⅲ2016·17]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝ ，求λ.
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（3）用函数观点理解通项公式：
由等比数列的通项公式an＝a1qn－1可得an＝
.如果设 ＝c，则an＝cqn ．当
q≠1时，点(n，an)在函数y＝cqx的图像上；当q＝1时，点(n，an)在函数y＝a1的图像
上．这样可把指数函数的某些性质用于等比数列中．
三个数成等比数列，则可设这三个数为 ，a，aq； 同号的四个数成等比数列，则可设这四个数为 ， ，aq，aq3.
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第3节 等比数列及其前n项和
3. 等比中项
若a，b，c成等比数列，那么b为a，c的等比中项，即 ___b_2__ =ac(ac>0).
（1）等比中项的常见表示方式：b2＝ac⇔
⇔b＝
（2）a，b，c成等比数列是b2＝ac的充分不必要条件．
方法二：同方法一解得q2＝2， 根据已知条件及等比数列的通项公式和性质，得a3＝a1q2＝6，1＋q2＋q4＝7， ∴a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6×7＝42.故选B.
【答案】B
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8．[课标全国Ⅰ2016·15]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an的最大值为________.
即
＝381，解得a1＝192，a7＝a1×
＝3，即塔的顶层共有3盏灯．
【答案】B
第3节 等比数列及其前n项和
3.[北京2018·4]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成 十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个 单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
2．[广东佛山一中2019月考]设Sn为正项 等比数列{an}的前n项和，若S1＋3S2－ S3＝0，且a1＝1则a4＝( ) A．9 B．18 C．21 D．27
【解析】设正项等比数列{an}的公比为 q(q＞0)，由S1＋3S2－S3＝0，且a1＝1， 得1＋3(1＋q)－(1＋q＋q2)＝0， 即q2－2q－3＝0，解得q＝3(负值舍去)． ∴a4＝a1q3＝27.故选D.
【答案】D
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第3节 等比数列及其前n项和
3．[河北张家口2020届开学摸底]已知数 列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝ 2，设其前n项和为Sn，若a1，a2＋9，a3 成等差数列，则S5＝( ) A.682 B.683 C.684 D.685
①若已知n，an，Sn，首先验证q＝1是否成立，若q≠1，则可以通过列方程组
求出a1和q，使问题迎刃而解．
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第3节 等比数列及其前n项和
②若已知数列{an}中的两项an和am，则可以利用等比数列的通项公式，得到方程组 两式相除可以先求出q，然后再代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.
方法一：∵S4＝
＝15，∴15a1＝15，∴a1＝1.∴a3＝a1q2＝4.故选C.
方法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＝15，∴
＋a3＋a3q＝15，∴
＋a3＋2a3＝15，
即 a3＝15，∴a3＝4.故选C.
【答案】C
第3节 等比数列及其前n项和
2．[课标全国Ⅱ2017·3]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七
④若{an}为等比数列，且a1·a2·…·an＝Tn，则Tn， ， ，…成等比数列．
（6）项数为2n的等比数列中，
；项数为2n＋1的等比数列中，
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第3节 等比数列及其前n项和
考点精析 考法突破
考点1 等比数列的基本运算
等比数列基本运算中的两种常用数学思想 （1）方程思想： 等比数列中有五个基本量a1，q，n，an，Sn，利用通项公式、求和公式建立方程组求 解，即“知三求二”．
2.等比数列的通项公式
通项公式：____a_n_＝__a_1q_n_－_1____. （1）在通项公式中包含了四个量，a1(首项)、q(公比)、n(序号)、an(第n项)，只要知道其 中任意三个量，即可求出第四个量． （2）由通项公式可推出an＝amqn－m.
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第3节 等比数列及其前n项和
5. 等比数列的前n项和公式
na1 前n项和公式：
在运用公式进行计算时，要考虑q是否等于1，若不能确定，要分类讨．
6. 关于等比数列{an}性质的常用结论
（1）对于任意正整数n，均有 （2）对于任意正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝__a_p_·a_q___.特别地，
第3节 等比数列及其前n项和
必备知识 整合提升
1. 等比数列的定义
一般地，如果一个数列___从__第__2_项__起__，__每__一__项__与__它__的__前__一__项__的__比__等__于__同__一__常__数____，那么这 个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公__比__，通常用字母q表示（ q≠0 ）．
＝－22，故选D.
【答案】 （1）D （2）D
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第3节 等比数列及其前n项和
1．[陕西榆林2019四模]设正项等比数列 {an}的前n项和为Sn，若S2＝3，a3＋a4＝ 12，则公比q＝( ) A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】设公比为q，由题可知a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，
则q＝ ，a1＝8，∴an＝8·
＝24－n.
当n＝4时，a4＝1，∴a1>a2>a3>a4＝1>a5>a6>….
∴a1a2…an取最大值时n＝3或4.
∴a1a2…an的最大值为64.
【答案】64
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（3）推广：等比数列{an}中，an是与an前后等距离的两项an－p，an＋p的等比中项， 即an2＝an－p·an＋p(n≥2且n＞p)．
4. 等比数列的单调性
由数列的单调性定义，易得
{an}为递增数列⇔
{an}为递减数列⇔
{an}为常数列⇔a1≠0，q＝1；{an}为摆动数列⇔q＜0.
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另外，还可以利用公式an＝am·qn－m直接求得q，减少运算量． （2）分类讨论思想： 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，公比q＝1和q≠1时的求和公式不同．
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第3节 等比数列及其前n项和
（1）[安徽皖江名校2019第四次联考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝
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考点3 等比数列的性质及其应用
7．[课标全国Ⅱ2015·4]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21
B．42
C．63
D．84
【解析】方法一：设数列{an}的公比为q. ∵{an}为等比数列，∴a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝3(1＋q2＋q4)＝21，∴q4＋q2－6＝0. ∵q2>0，∴q2＝2.∴a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)·q2＝21×2＝42.
（5）构造新数列：
①若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0) ， 仍是等比数列．