【数学】安徽省铜陵市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

铜陵市一中2016—2017学年度第二学期高二年级期中（学段）考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“x R ∃∈，使得210x -="的否定为( ）A 。

x R ∀∈，都有210x -= B 。

x R ∃∈,都有210x-=C 。

x R∃∈,都有210x-≠ D. x R∀∈，都有210x-≠2。

设x R ∈，则“12x >”是“2210xx +->”的（ ）A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件3。

已知椭圆的长轴长是8，焦距为6,则此椭圆的标准方程是（ ） A.221169x y += B 。

22167x y +或221716x y +=C 。

2211625x y += D 。

2211625x y +=或2212516x y +=4。

抛物线22x y=的准线方程是（ )A.12x =-B 。

1x =- C.12y =-D 。

1y =-5。

下列四个命题：①“等边三角形的三个内角和为60︒”的逆命题 ②“全等三角形的面积相等"的否命题 ③“若0k >,则方程220xx k +-=有实根”的逆否命题④“若0ab ≠,则0a ≠”的否命题 其中真命题的个数是（ ）A 。

0个 B.1个 C 。

2个 D 。

3个 6.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =( )A.14B 。

4-C 。

4 D.14-7.双曲线22221x y a b -=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率为( ）A.3 BC D.5 8。

椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a =（ ）A 。

1- B.1 C.1± D.2 9。

椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且点P 的横坐标为3，则1PF 是2PF 的（ )A.7倍 B 。

2017-2018 学年高二年级九月月考数学试卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的.1.有以下：（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥极点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的．此中正确的选项是（）A．（ 1）（ 2） B ．（ 2）（ 3） C ．（ 1）（ 3） D ．（ 2）（4）2.以下四个说法：① a / /,b，则a / /b ；②a P,b，则a 与b不平行；③ a，则a / /；④a / /, b / /，则a / /b ；此中错误的说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个 D ．4个3.以以下图是正方体的平面睁开图，在这个正方体中：①BM 与 ED 平行；② CN 与 BE 是异面直线；③ CN 与 BM 成60°角；④ DM 与 BN 垂直；以上四此中，正确的序号是（）A．①②③B．③④ C ．②④D．②③④4. 如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A BC D 中，O是底面ABCD的中心，E、F分别1 1 1 1是 CC1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD1所成的角的余弦值等于（A．10B．15C ．4D ．255535. 某几何体的三视图以以下图，则该几何体的体积为（）A．13B ．5C ．53D ．132 33236. 已知等差数列a n的前 n 项和为 S n , a4a7a109, S14S3 77 ，则使n 的值为（）A．4B．5C．6D．77. 已知等差数列a n的前 n 项和为 S n且满足 S170, S180，则S1,S2,a1 a2）S n获得最小值时,S17中最大的项a17为（）A．S6B．S7C．S8D．S9 a6a7a8a98.某几何体的三视图以以下图，在该几何体的各个图中，面积最小的面与底面面积之比为（）A．1B ．2C ．3D ．2 33459. 某四周体的三视图以以下图，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四周体的外接球的体积是（）A．12B．43C．53D．6310. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）A．323B．2C．223D．52 311. 已知x, y, z为正实数，则xy yzz2的最大值为（）x2y2A．1B．2 C．2D ．2 212. 在ABC 中， a,b,c 分别是 A, B,C 所对边的边长，若cos A sin A 2，则a b的值是（cosB sin B ）cA．1B．2C．3D．2二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）x213. 已知x, y满足x y4，若目标函数 z3x y 的最大值为10，则z的最小值为2 x y m0____________ ．14. 已知某几何体的正视图和侧视图均以以下图，给出以下 5 个图形：此中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是____________ ．15.已知等比数列a n为递加数列，且 a52a10 ,2 a n an 25a n 1，则数列 a n的通项公式 a n__________．16.设正数 a,b,c 满足149a36，则2bb3c___________．a b c b c a c三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 此中 17 题 10 分，其他题目每题12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.（本小题满分10 分）如图，在四边形ABCD 中，DAB900 ,ADC1350 , AB5,CD 22, AD 2 ，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．18.（本小题满分12 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC CC12, AC BC ，点D是 AB的中点．（1）求证：AC1/ /平面CDB1；（2）求三棱锥的体积V B B1CD；19.（本小题满分 12 分）ABC 中，角A, B,C的对边分别为a,b, c，且2b cosC c2a ．（ 1）求角B的大小；（ 2）若BD 为AC边上的中线，cos A 1 ,BD129，求ABC 的面积．7220. （本小题满分12 分）设数列a n的前n 项和为S n，已知2S n3n 3 ．（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）若数列b n满足 a n b log3 a n，求b n的前n 项和T n．21. （本小题满分12 分）2 2 2cos A C 在锐角三角形 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且ba c．acsin A cos A（ 1）求角 A ；（ 2）若 a 2 ，求 bc 的取值范围．22. （本小题满分 12 分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体溃漏到一池塘中，为了治污，依据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂， 已知每投放 a 1 a 4,a R个单位的药剂，它在水中开释的浓度y （克 / 升）跟着时间 x （天）变化的函数关系式近似为161 0x 48y a f x ，此中 f xx．若多次投放，则某一时辰水中的药剂浓度1x 45x102为各次投放的药剂在相应时辰所开释的浓度之和．依据经验，当水中药剂的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（ 1）若一次投放 4 个单位的药剂，则有效治污时间可达几日？（ 2）若第一次投放 2 个单位的药剂， 6 天后再投放 a 个单位的药剂，要使接下来的4 天中能够连续有效治污，试求a 的最小值．参照答案1----5： DABBD 6---10:BDDBC 11---12：CB13. 614. 4 15.2n16.13617.如图，（数据都标在图中）252 2 2 5 5 22 2 222 25354260 4 2【2】体积 =圆台体积 - 圆锥体积1/ 325254441/ 3222 1/33941/ 38428 / 3118/ 318.解答：∵在直三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AC BC CC 1 2 ， AC BC ，∴ AC 、BC 、CC 1 两两垂直，如图，以 C 为原点，直线CA, CB, CC 1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则C 0,0,0 , A 2,0,0 ,B 0,2,0 ,C 1 0,0,2, D 1,1,0 ．（ 1）证明：设 BC 1 与 B 1C 的交点为 E ，则 E 0,1,1 ． ∵ DE1,0,1 , AC 12,0,2 ，∴ DE1 AC 1 ，∴ DE / /AC 1 ．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分2∵ DE平面 CDB 1 , AC 1平面CDB 1 ，∴ AC 1 / / 平面 CDB 1 ．．．．．．．．．．．．． 4 分（ 2）设点 B 到平面 CDB 1 的距离为 h ，在三棱锥 B 1 BCD 中，∵V B BCD V B B CD ，且 B 1B平面 BCD ，11∴ S BCDB B S B CD h ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分11易求得S BCD1, S B 1CD 1 CD B 1D3 ，∴ hS BCD B 1B2 3 ．2SB 1CD3即点 B 到平面 CDB 1 的距离是 23．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 分319. 解：（ 1）∵ cosC a 2b 2c 22ab ，∴代入已知等式得：2b a 2b 2c 2 2a c ，2ab整理得： a 2 c 2 b 2ac ，∴ cos B a 2 c 2 b 2 1,2ac2∵ B0,， ∴ B；3（2）由 B3 得，sin B 3， Sa * c *sin B3ac3 3224．420. 解：（ 1）由于2S n 3n 3 ，因此， 2a 1 33 ，故 a 1 3 ，当 n1 时，2S n 13n 13 ，此时， 2a n 2S n 2S n 1 3n 3n 1 ，即 a n 3n 1 ，因此， a3,n 1n3n 1, n．1（ 2）由于 a blog1a ，因此b 1，n n3 n 3当 n1 时， b n31 n log 3 3n 1n 1 31 n ，因此 T 1 b 1 1,31当 n1 时， T nb 1 b 2 b 3b n1 3 12 3 2n 1 31 n ．3因此 3T n 11 302 3 1n 1 32 n ，两式相减，得2T n2 303 132 nn 1 31 n2 1 31 n n 1 31 n13 6n 3 ， 33 1 3 16 2 3n因此 T n13 6n 3 ，经检验， n 1 时也合适，12 4 3n综上可得： T n13 6n 3 ．12 4 3n21．解：（ 1） A 450；（ 2） 264 4 0 x 422. 解：（ 1）由于 a4，因此 y8 x，20 2 x 4 x 10①当 0 x4 时，由64 44 ，解得 x 0 ，因此此时 0x 4．8 x②当 0 x 10 时，由 20 2x 4 ，解得 x 8 ，因此此时 4 x 8 ．综合得， 0 x 8 ，即，若一次投放 4 个单位的制剂，则有效治污时间可达8 天．（2）当 6x 10 时，y 2 5x1611016aa1416aa 4 ，由题意a8x6x x214 x14x知， y 4 对于x6,10 恒建立．由于 14x4,8，而 1x4，因此4 a 4,8，故当且仅当 14 x 4 a 时，y有最小值为 8a a 4 ，令 8a a 4 4 ，解得 2416 2a 4 ，因此 a 的最小值为24 162．又 24162 1.6 ，因此 a 的最小值约为．。

铜陵市一中2018—2019学年度第二学期高二年级学段（期中）考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知抛物线,则焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标．【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，因此焦点坐标为．故选D．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．2.已知复数，满足（为虚数单位），在复平面内复数所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数的代数形式后得到其对应点的坐标，进而可得结论．【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，考查数形结合的应用，属于基础题．3.已知命题，则是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定求解即可得到答案． 【详解】∵命题，∴是：．故选D ．【点睛】(1)全称命题“”的否定为“”；特称命题“”的否定为“”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定时需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．4.下列命题不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B. 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C. 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D. 演绎推理是由一般到特殊的推理 【答案】C 【解析】 【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A ，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A 正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．【点睛】本题考查对基本知识的理解和掌握程度，解答类似问题的关键是熟知相关知识，然后再对每个命题的真假作出判断，属于基础题．5.已知，则下列选项中正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，判断出函数的单调性，然后对函数值的大小作出判断即可得到答案．【详解】∵，∴，∴当时，单调递减．又，∴，即．故选A．【点睛】本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解题时关键是判断出函数在给定区间上的单调性，体现了导数在研究函数中的作用，属于基础题．6.已知双曲线过点，渐近线方程为，则曲线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2=λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有3﹣22=λ，解可得λ=﹣1，则其方程为：﹣x2=﹣1．即x2﹣=1，故选：C．点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再代入一个已知点即可求得方程.7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，利用“点差法”求出直线的斜率，进而可得直线的方程．【详解】设两点的坐标分别为，则有，两式相减得，∴．又，∴，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即．故选B ．【点睛】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解． 8.若函数在处取得极小值，则的值为（ ）A.B.C.D. 或【答案】B 【解析】 【分析】 先求出，然后根据可求得的值．【详解】由，得． ∵函数在处取得极小值，∴，解得或．①当时，， 则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极小值． 所以符合题意． ②当时，， 则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极大值，不合题意．综上可得选B．【点睛】由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，所以在根据求得参数的值后需要进行验证，排除掉不和题意的参数，这点在解题中容易忽视．9.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值．【详解】由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为．过点作于，根据抛物线的定义可得．又的周长为，且，结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为，所以的最小值为，即的周长最小值为．故选D．【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后得到在上恒成立，分离参数后求出函数的最值可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．11.已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．【详解】由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取，∵渐近线与圆有公共点，∴，整理得，∴，又，∴，∴双曲线的离心率范围为．故选C．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12.若在区间内任取实数，均使得不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不妨设，则由得，于是可得函数在区间上为增函数，然后求出函数的单调增区间，再根据是增区间的子集可得的取值范围，进而得到的最大值．【详解】由题意不妨设，∵，∴，∴，设，则可得函数在区间上为增函数．又，∴函数的单调增区间为，∴，∴，∴实数的最大值是．故选A．【点睛】若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围，本题考查转化能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．【详解】由题意得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，属于基础题．14.已知曲线在点处的切线平行于直线,则此切线方程为____________. 【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出的值，进而得到切点的坐标，然后可求出切线的方程．【详解】∵，∴．∵曲线在点处的切线平行于直线，∴，∴，∴，∴点A的坐标为，∴切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，解题的关键是明确时曲线在点的切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．15.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意得方程在上有两个实数根，令，然后利用导数判断出函数的单调性，进而得到函数的大体图象，结合图象可得所求范围．【详解】由题意得方程在上有两个实数根，∴方程上有两个实数根．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，又当时，；，画出函数的大体图象如图所示．结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的整体展现，考查数形结合及转化思想方法的运用．16.已知抛物线的焦点为,点是直线与轴的交点，若直线与抛物线在第四象限的交点为，与抛物线的准线交于点,若，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】过点作于点，则，由可得，于是得到，所以可得，求出参数后可得抛物线的方程，然后由直线的方程和抛物线方程可得点的坐标．【详解】由题意得，点．过点作于点，则．∵，∴，∴，∴，解得，∴抛物线的方程为，直线的方程为，由，解得或，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的应用，根据定义可将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为题目的解决创造了条件，考查转化能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题：对恒成立，命题：，.(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．【详解】若命题为真命题，则有，解得．若命题为真命题，则，解得或．（1）∵为真命题，∴命题均为真命题．由，解得，∴实数的取值范围为．（2）∵为真，为假，∴命题一真一假，①当命题为真命题、命题为假命题时，则有，解得；②当命题为假命题、命题为真命题时，则有，解得．综上可得或．∴实数的取值范围为．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．18.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上一点，且,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）在中，由余弦定理得，又由椭圆的定义得，∴，∴，∴．【点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．19.已知函数.(1)若函数在和处取得极值，求的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得所求范围．【详解】（1）∵，∴．又函数在和处取得极值，∴和是方程的两根，∴，解得．经检验得符合题意，∴．（2）由（1）得， ∴当或时，单调递增；当时，单调递减．又， ∴ ．∵当时，恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为． 【点睛】求函数在区间上的最值的方法：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．20.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式．根据他们完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的人数填入下面的列联表：超过不超过(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．【详解】（1）由茎叶图知，即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．由题意可得列联表如下：不超过（2）由列联表中的数据可得，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．21.已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线的方程； (2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值. 【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，∴过焦点与对称轴垂直的直线为，∴直线与抛物线的两个交点为，由题意得，∴抛物线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，由消去y 整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或．设，则．∴．∴为定值，且定值为．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数.(1)设函数,讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设，结合导数可得，然后再证明即可得到结论成立．【详解】（1）由题意得，所以，令，得或．①当时，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．②当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．③当时，恒成立，函数在上单调递增．④当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得即证不等式成立．设，则，又，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．又，∴在上单调递减，∴，∴，即．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．（2）利用导数证明不等式时，可根据题意构造函数，然后根据函数的单调性求出函数的最值，然后借助最值证明不等式成立．。

铜陵市一中2018—2019学年度第二学期高二年级学段（期中）考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知抛物线,则焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标．【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，因此焦点坐标为．故选D．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．2.已知复数，满足（为虚数单位），在复平面内复数所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数的代数形式后得到其对应点的坐标，进而可得结论．【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，考查数形结合的应用，属于基础题．3.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定求解即可得到答案．【详解】∵命题，∴是：．故选D．【点睛】(1)全称命题“”的否定为“”；特称命题“”的否定为“”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定时需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．4.下列命题不正确的是（）A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B. 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C. 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D. 演绎推理是由一般到特殊的推理【答案】C【解析】【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．【点睛】本题考查对基本知识的理解和掌握程度，解答类似问题的关键是熟知相关知识，然后再对每个命题的真假作出判断，属于基础题．5.已知，则下列选项中正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，判断出函数的单调性，然后对函数值的大小作出判断即可得到答案．【详解】∵，∴，∴当时，单调递减．又，∴，即．故选A．【点睛】本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解题时关键是判断出函数在给定区间上的单调性，体现了导数在研究函数中的作用，属于基础题．6.已知双曲线过点，渐近线方程为，则曲线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x 2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x 2=λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有3﹣22=λ，解可得λ=﹣1，则其方程为：﹣x 2=﹣1．即x 2﹣=1，故选：C ．点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再代入一个已知点即可求得方程.7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】设出点的坐标，利用“点差法”求出直线的斜率，进而可得直线的方程．【详解】设两点的坐标分别为，则有，两式相减得，∴．又，∴，即直线的斜率为，∴直线的方程为，即．故选B．【点睛】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．8.若函数在处取得极小值，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先求出，然后根据可求得的值．【详解】由，得．∵函数在处取得极小值，∴，解得或．①当时，，则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极小值．所以符合题意．②当时，，则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极大值，不合题意．综上可得选B．【点睛】由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，所以在根据求得参数的值后需要进行验证，排除掉不和题意的参数，这点在解题中容易忽视．9.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值．【详解】由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为．过点作于，根据抛物线的定义可得．又的周长为，且，结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为，所以的最小值为，即的周长最小值为．故选D．【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后得到在上恒成立，分离参数后求出函数的最值可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．11.已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．【详解】由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取，∵渐近线与圆有公共点，∴，整理得，∴，又，∴，∴双曲线的离心率范围为．故选C．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12.若在区间内任取实数，均使得不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不妨设，则由得，于是可得函数在区间上为增函数，然后求出函数的单调增区间，再根据是增区间的子集可得的取值范围，进而得到的最大值．【详解】由题意不妨设，∵，∴，∴，设，则可得函数在区间上为增函数．又，∴函数的单调增区间为，∴，∴，∴实数的最大值是．故选A．【点睛】若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围，本题考查转化能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．【详解】由题意得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，属于基础题．14.已知曲线在点处的切线平行于直线,则此切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出的值，进而得到切点的坐标，然后可求出切线的方程．【详解】∵，∴．∵曲线在点处的切线平行于直线，∴，∴，∴，∴点A的坐标为，∴切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，解题的关键是明确时曲线在点的切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．15.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意得方程在上有两个实数根，令，然后利用导数判断出函数的单调性，进而得到函数的大体图象，结合图象可得所求范围．【详解】由题意得方程在上有两个实数根，∴方程在上有两个实数根．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，又当时，；，画出函数的大体图象如图所示．结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的整体展现，考查数形结合及转化思想方法的运用．16.已知抛物线的焦点为,点是直线与轴的交点，若直线与抛物线在第四象限的交点为，与抛物线的准线交于点,若，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】过点作于点，则，由可得，于是得到，所以可得，求出参数后可得抛物线的方程，然后由直线的方程和抛物线方程可得点的坐标．【详解】由题意得，点．过点作于点，则．∵，∴，∴，∴，解得，∴抛物线的方程为，直线的方程为，由，解得或，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的应用，根据定义可将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为题目的解决创造了条件，考查转化能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题：对恒成立，命题：，.(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．【详解】若命题为真命题，则有，解得．若命题为真命题，则，解得或．（1）∵为真命题，∴命题均为真命题．由，解得，∴实数的取值范围为．（2）∵为真，为假，∴命题一真一假，①当命题为真命题、命题为假命题时，则有，解得；②当命题为假命题、命题为真命题时，则有，解得．综上可得或．∴实数的取值范围为．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．18.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上一点，且,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）在中，由余弦定理得，又由椭圆的定义得，∴，∴，∴．【点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．19.已知函数.(1)若函数在和处取得极值，求的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得所求范围．【详解】（1）∵，∴．又函数在和处取得极值，∴和是方程的两根，∴，解得．经检验得符合题意，∴．（2）由（1）得，∴当或时，单调递增；当时，单调递减．又，∴．∵当时，恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为．【点睛】求函数在区间上的最值的方法：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．20.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式．根据他们完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的人数填入下面的列联表：超过不超过合计第一种生产方式第二种生产方式合计(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．【详解】（1）由茎叶图知，即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．由题意可得列联表如下：超过不超过合计第一种生产方式15520第二种生产方式51520合计202040（2）由列联表中的数据可得，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．21.已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，∴过焦点与对称轴垂直的直线为，∴直线与抛物线的两个交点为，由题意得，∴抛物线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或．设，则．∴．∴为定值，且定值为．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数.(1)设函数,讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设，结合导数可得，然后再证明即可得到结论成立．【详解】（1）由题意得，所以，令，得或．①当时，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．②当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．③当时，恒成立，函数在上单调递增．④当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得即证不等式成立．设，则，又，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．又，∴在上单调递减，∴，∴，即．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．（2）利用导数证明不等式时，可根据题意构造函数，然后根据函数的单调性求出函数的最值，然后借助最值证明不等式成立．。

参考答案13.20162016 14.1(0,]e 15.60 16.1217. 解：（1）设抛物线的标准方程为y 2=2px （p ＞0）．其准线方程为，所以有，故p =3．因此抛物线的标准方程为 y 2=6x ．（2）设所求双曲线的标准方程为（a ＞0，b ＞0），因为点（2，0），在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得，解得，所求双曲线的方程为．18.（1）f ′（x ）=3x 2+2ax +b ，依题意有f ′（1）=0，f （1）=-4， 即得．所以f ′（x ）=3x 2+4x -7=（3x +7）（x -1），由f ′（x ）＜0，得-＜x ＜1，所以函数f （x ）的单调递减区间（-，1）．（2）由（1）知f （x ）=x 3+2x 2-7x ，f ′（x ）=3x 2+4x +7=（3x +7）（x -1），令f ′（x ）=0，解得x 1=-，x 2=1． f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：由上表知，函数f （x ）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增． 故可得f （x ）min =f （1）=-4，f （x ）max =f （-1）=8．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCAACCBCBBDB19. 解：命题p真：方程=1表示的焦点在y轴上的椭圆，∴m＞3；命题q真：方程=1表示的曲线是双曲线，∴（m+2）（m-4）＞0⇒m＜-2或m＞4；若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，①若p真q假．则⇒3＜m≤4；②若p假q真．则⇒m＜-2综上实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（3，4]20. 解：（1）由题意，，21+x+18+y=45，∴x=4，y=2；（2）列联表男生女生总计A类18 10 28B类和C类 7 10 17总计 25 2045∴K2=≈2.288 2.706，∴有90%的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；（3）在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，有=10种情况，选取三人中男女都有且男生比女生多，有=6种情况，故所求概率为=0.6．21. 解：（Ⅰ）设点，由题意得：……2分化简得，所以点的轨迹方程为…………4分当时，点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A,B两点）；当时，点的轨迹是圆（除去A,B两点）；当时，点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A,B两点）. …………6分（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，……8分因为点P在点M的轨迹上，所以…………9分，∴因此的取值范围是………………12分方法二：当时，设点P的坐标为，∴以下同方法一22. 解：(1)由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增 --------- ---------4分(2)当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解 --- ------------------5分所以的变化情况如下表所示：x 0－0 ＋递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得---------8分(3)因为存在，使得，当时，由(2)知，在上递减，在上递增，所以当时，，而，记，因为(当时取等号)，所以在上单调递增，而，------------9分所以当时，；当时，，也就是当时，；当时，------------11分①当时，由，②当时，由，综上所知，所求的取值范围为--------12分。

铜陵市第一中学2017-2018学年度第一学期高二年级10月月考测试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过(sin 20,0),(0,cos 20)A B ︒︒，则直线l 的倾斜角为 （ ）A ．20°B ．70°C ．160°D ．110°2.下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（ ）A ．,//a b a b αα⊥⊥⇒B ．//,,///a a b a b αβαβ⊂=⇒C ．,//a a b b αα⊥⇒⊥D ．,,a b a αβααββ⊥⊂=⇒⊥3.已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =( )A ．1±B ．-1C ．1,0D ．-1,04.在正三棱样111ABC A B C -中，12AB BB =，则异面直线1CB 与1AB 所成的角是（ ）A ．60°B ．75° C.90° D ．105°5.过平面α外一点A 作α的两条互相垂直的斜线AB 、AC ，它们与面α所成的角分别为15°和75°，则ABC ∆的内角B=（ ）A ．75°B ．15° C.30° D ．60°6.点P 是直线51280x y -+=上一点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为（ ）A ．13B ．813 C.8 D ．1387.已知点A （1，1），B （3，5）到经过点（2，1）的直线l 的距离相等，则l 的方程为 （ ）A ．230x y --=B ．2x = C.230x y --=或2x = D ．以上都不对8.四面体ABCD 的棱长AB=CD=634 ）A ．65B ．12513．139.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是PC 中点，则平面ABE 分该四棱锥的两部分的体积比是（ ）A ．2:3B ．2:5 C.3:5 D ．3:8 10.在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ）A ．1010B ．355 C.31010 D ．5511.设点M 是棱长为2的正方体的棱AD 的中点，P 是平面11BCC B 内一点，若面1D PM 分别与面ABCD 和面11BCC B 所成的锐二面角相等，则1PC 长度的最小值是（ ）A ．255B ．22 C.63D ．1 12.已知异面直线a,b 成70°角，A 为空间中一点，则过A 且a,b 都成55°的平面个数有（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线l 经过A （-1，2）且原点到直线l 的距离为1，则l 的方程为 ．14.一个几何体的三视图如图，则它的体积为 ．15.已知二面角 l αβ--为60°，P 为二面角内一点，PA α⊥，PB β⊥，垂足分别为A 和B 且PA=PB=3，则P 到棱l 的距离为 ．16.在三棱锥A-BCD 中，45BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒，点P 到三个侧面的距离均等于65PA= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线垂直于直线:3260l x y '+-=，且在两坐标轴上的截距之和为-2，求直线l 的方程.18. 在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，90,//,2,BAD AB CD PA AD AB E ∠=︒==是PC 中点.(1)求证：BE//面PAD ；（2）求证：BE ⊥面PCD.19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PB ⊥AC ，PB 与底面ABC 成30°角，PAC ∆的面积为1.(1)若PC ⊥AB ，求证：P 在底面ABC 的射影H 是ABC ∆的垂心;(2)当二面角P-AC-B 为多少时，ABC ∆的面积最大？20. 已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点.(1)求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求||||PA PB ⋅的最小值及此时直线l 的方程.21. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CC 1的中点.(1)求B 到面1AMB 的距离；(2)求BC 与面1AMB 所成角的正切值；(3)求面1AMB 与面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.22.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB=2，60BAD ∠=︒.（1）求证：面PBD ⊥面PAC ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求二面角D PC B --的余弦值.试卷答案一、选择题1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11、12：AA二、填空题13. 1x =或3450x y +-= 14. 36 15.6 16.3三、解答题17.解：设:230l x y c -+=，令03c x y =⇒=，令02c y x =⇒=- 由题意知：212.326c c c c -==-⇒= 故:23120l x y -+= 18.证明：（1）取PD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF AB ⇒////BE AF AF PAD BE PAD BE PAD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面（2）由题意知：CD PAD CD AF AF PAD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面 AF CD AF PD AF PCD BE PCD CD PD D ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面面19.（1）证明：由题意知：,AC PBAC PH AC PBH BH PBH AC BH PB PH P ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⊂⇒⊥⎬⎪=⎭面面同理：AB ⊥CH ，所以H 为ABC ∆的垂心；（2）过B 作BD ⊥AC 于D ，连接PD ，由（1）知：∠PDB 即为二面角P-AC-B 的平面角，记∠PDB=θ， 在PBD ∆中，30PBD ∠=︒ 1sin 22sin(30)21sin 2ABCPAC AC BD S BD BPD S PD PBDAC PD θ∆∆⨯⨯∠====+︒≤⨯⨯ 当且仅当60θ=︒时等号成立. 20.设:1x y l a b +=，则22:1(2)(2)4l a b a b +=⇒--=（1）211281122AOBS aba b∆⎛⎫⎪=≥⨯=⎪⎪+⎝⎭，当且仅当4a b==时，等号成立，即:40l x y+-=（2）2222 ||||((2)4)((2)4)324[(2)(2)]PA PB a b a b⋅=-+-+=+-+-328(2)(2)8a b≥+--=，当且仅当4a b==时等号成立，即:40l x y+-=21.（1）法111111133B AMB A BMB AMB MBBV V S h S AB--∆∆==⨯=⨯4343h h⇒=⇒=法2 连接A1B交AB1于E，D1C交MN于F，连接EF，过B作BH⊥EF，垂足为H，则BH即为所求. 如图，易知：BH=43.（2）设B1M和AM的延长线相交于G，由（1）知BGH∠即为所求.12sin tan.34BHBGH BGHBG∠==⇒∠=(3)法1 过B 作BE ⊥AN ，垂足为E ，连接B 1E ，则1BEB ∠即为所求. 11152tan cos 23BB BE BEB BEB ==∠⇒=∠法2 取A 1D 1中点F ，连接BF ，则∠FBB 1即为所求.112cos 3B F B B B BF ==∠ 法3 12cos 3ABC AMB S S θ∆∆==.22.(1)证明：BD AC BD PA BD PAC AC PA A ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面又BD PAC PAC PBD BD PBD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面面面 （2）法1：如图6cos 422223PBE ∠==⨯⨯ 法26cos cos30cos 454θ=︒︒=（3）过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF由（1）知：BD⊥PC，所以PC BDPC BF PC BDF PC DFBD BF B⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面，则∠BFD即为所求，BD=DF=7747144cos27772BFD+-⇒∠==-⨯⨯。

铜陵市一中2018—2019学年度第二学期高二年级学段（期中）考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知抛物线,则焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标．【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，因此焦点坐标为．故选D．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．2.已知复数，满足（为虚数单位），在复平面内复数所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数的代数形式后得到其对应点的坐标，进而可得结论．【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，考查数形结合的应用，属于基础题．3.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定求解即可得到答案．【详解】∵命题，∴是：．故选D．【点睛】(1)全称命题“”的否定为“”；特称命题“”的否定为“”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定时需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．4.下列命题不正确的是（）A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B. 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C. 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D. 演绎推理是由一般到特殊的推理【答案】C【解析】【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．【点睛】本题考查对基本知识的理解和掌握程度，解答类似问题的关键是熟知相关知识，然后再对每个命题的真假作出判断，属于基础题．5.已知，则下列选项中正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，判断出函数的单调性，然后对函数值的大小作出判断即可得到答案．【详解】∵，∴，∴当时，单调递减．又，∴，即．故选A．【点睛】本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解题时关键是判断出函数在给定区间上的单调性，体现了导数在研究函数中的作用，属于基础题．6.已知双曲线过点，渐近线方程为，则曲线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2=λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有3﹣22=λ，解可得λ=﹣1，则其方程为：﹣x2=﹣1．即x2﹣=1，故选：C．点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再代入一个已知点即可求得方程.7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，利用“点差法”求出直线的斜率，进而可得直线的方程．【详解】设两点的坐标分别为，则有，两式相减得，∴．又，∴，即直线的斜率为，∴直线的方程为，即．故选B．【点睛】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．8.若函数在处取得极小值，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先求出，然后根据可求得的值．【详解】由，得．∵函数在处取得极小值，∴，解得或．①当时，，则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极小值．所以符合题意．②当时，，则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极大值，不合题意．综上可得选B．【点睛】由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，所以在根据求得参数的值后需要进行验证，排除掉不和题意的参数，这点在解题中容易忽视．9.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值．【详解】由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为．过点作于，根据抛物线的定义可得．又的周长为，且，结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为，所以的最小值为，即的周长最小值为．故选D．【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后得到在上恒成立，分离参数后求出函数的最值可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．11.已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．【详解】由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取，∵渐近线与圆有公共点，∴，整理得，∴，又，∴，∴双曲线的离心率范围为．故选C．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12.若在区间内任取实数，均使得不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不妨设，则由得，于是可得函数在区间上为增函数，然后求出函数的单调增区间，再根据是增区间的子集可得的取值范围，进而得到的最大值．【详解】由题意不妨设，∵，∴，∴，设，则可得函数在区间上为增函数．又，∴函数的单调增区间为，∴，∴，∴实数的最大值是．故选A．【点睛】若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围，本题考查转化能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．【详解】由题意得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，属于基础题．14.已知曲线在点处的切线平行于直线,则此切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出的值，进而得到切点的坐标，然后可求出切线的方程．【详解】∵，∴．∵曲线在点处的切线平行于直线，∴，∴，∴，∴点A的坐标为，∴切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，解题的关键是明确时曲线在点的切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．15.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意得方程在上有两个实数根，令，然后利用导数判断出函数的单调性，进而得到函数的大体图象，结合图象可得所求范围．【详解】由题意得方程在上有两个实数根，∴方程在上有两个实数根．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，又当时，；，画出函数的大体图象如图所示．结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的整体展现，考查数形结合及转化思想方法的运用．16.已知抛物线的焦点为,点是直线与轴的交点，若直线与抛物线在第四象限的交点为，与抛物线的准线交于点,若，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】过点作于点，则，由可得，于是得到，所以可得，求出参数后可得抛物线的方程，然后由直线的方程和抛物线方程可得点的坐标．【详解】由题意得，点．过点作于点，则．∵，∴，∴，∴，解得，∴抛物线的方程为，直线的方程为，由，解得或，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的应用，根据定义可将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为题目的解决创造了条件，考查转化能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题：对恒成立，命题：，.(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．【详解】若命题为真命题，则有，解得．若命题为真命题，则，解得或．（1）∵为真命题，∴命题均为真命题．由，解得，∴实数的取值范围为．（2）∵为真，为假，∴命题一真一假，①当命题为真命题、命题为假命题时，则有，解得；②当命题为假命题、命题为真命题时，则有，解得．综上可得或．∴实数的取值范围为．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．18.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上一点，且,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）在中，由余弦定理得，又由椭圆的定义得，∴，∴，∴．【点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．19.已知函数.(1)若函数在和处取得极值，求的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得所求范围．【详解】（1）∵，∴．又函数在和处取得极值，∴和是方程的两根，∴，解得．经检验得符合题意，∴．（2）由（1）得，∴当或时，单调递增；当时，单调递减．又，∴．∵当时，恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为．【点睛】求函数在区间上的最值的方法：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．20.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式．根据他们完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的人数填入下面的列联表：超过不超过合计第一种生产方式第二种生产方式合计(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．【详解】（1）由茎叶图知，即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．由题意可得列联表如下：超过不超过合计第一种生产方式15520第二种生产方式51520合计202040（2）由列联表中的数据可得，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．21.已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，∴过焦点与对称轴垂直的直线为，∴直线与抛物线的两个交点为，由题意得，∴抛物线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或．设，则．∴．∴为定值，且定值为．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数.(1)设函数,讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设，结合导数可得，然后再证明即可得到结论成立．【详解】（1）由题意得，所以，令，得或．①当时，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．②当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．③当时，恒成立，函数在上单调递增．④当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得即证不等式成立．设，则，又，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．又，∴在上单调递减，∴，∴，即．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．（2）利用导数证明不等式时，可根据题意构造函数，然后根据函数的单调性求出函数的最值，然后借助最值证明不等式成立．。

铜陵市第一中学2017-2018学年度第一学期高二年级10月月考测试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过(sin 20,0),(0,cos20)A B ︒︒，则直线l 的倾斜角为 （ ）A ．20°B ．70°C ．160°D ．110°2.下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（ ）A ．,//a b a b αα⊥⊥⇒B ．//,,///a a b a b αβαβ⊂=⇒C ．,//a a b b αα⊥⇒⊥D ．,,a b a αβααββ⊥⊂=⇒⊥3.已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =( )A ．1±B ．-1C ．1,0D ．-1,04.在正三棱样111ABC A B C -中，1AB =，则异面直线1CB 与1AB 所成的角是（ ）A ．60°B ．75° C.90° D ．105°5.过平面α外一点A 作α的两条互相垂直的斜线AB 、AC ，它们与面α所成的角分别为15°和75°，则ABC ∆的内角B=（ ）A ．75°B ．15° C.30° D ．60°6.点P 是直线51280x y -+=上一点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为（ ）A ．13B ．813 C.8 D ．1387.已知点A （1，1），B （3，5）到经过点（2，1）的直线l 的距离相等，则l 的方程为 （ ）A ．230x y --=B ．2x = C.230x y --=或2x = D ．以上都不对8.四面体ABCD 的棱长AB=CD=6 ）A ．65B ．125．9.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是PC 中点，则平面ABE 分该四棱锥的两部分的体积比是（ ）A ．2:3B ．2:5 C.3:5 D ．3:810.在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ）A ．10B ．5 C.10 D ．511.设点M 是棱长为2的正方体的棱AD 的中点，P 是平面11BCC B 内一点，若面1D PM 分别与面ABCD 和面11BCC B 所成的锐二面角相等，则1PC 长度的最小值是（ ）A B ．1 12.已知异面直线a,b 成70°角，A 为空间中一点，则过A 且a,b 都成55°的平面个数有（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线l 经过A （-1，2）且原点到直线l 的距离为1，则l 的方程为 ．14.一个几何体的三视图如图，则它的体积为 ．15.已知二面角 l αβ--为60°，P 为二面角内一点，PA α⊥，PB β⊥，垂足分别为A 和B且PA=PB=3，则P 到棱l 的距离为 ．16.在三棱锥A-BCD 中，45BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒，点P 到三个侧面的距离均等于PA= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线垂直于直线:3260l x y '+-=，且在两坐标轴上的截距之和为-2，求直线l 的方程.18. 在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，90,//,2,BAD AB CD PA AD AB E ∠=︒==是PC中点.(1)求证：BE//面PAD ；（2）求证：BE ⊥面PCD.19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PB ⊥AC ，PB 与底面ABC 成30°角，PAC ∆的面积为1.(1)若PC ⊥AB ，求证：P 在底面ABC 的射影H 是ABC ∆的垂心;(2)当二面角P-AC-B 为多少时，ABC ∆的面积最大？20. 已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点.(1)求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求||||PA PB ⋅的最小值及此时直线l 的方程.21. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CC 1的中点.(1)求B 到面1AMB 的距离；(2)求BC 与面1AMB 所成角的正切值；(3)求面1AMB 与面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.22.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB=2，60BAD ∠=︒.（1）求证：面PBD ⊥面PAC ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求二面角D PC B --的余弦值.试卷答案一、选择题1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11、12：AA二、填空题13. 1x =或3450x y +-= 14. 36 15.6 16.3三、解答题17.解：设:230l x y c -+=，令03c x y =⇒=，令02c y x =⇒=- 由题意知：212.326c c c c -==-⇒= 故:23120l x y -+= 18.证明：（1）取PD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF AB ⇒////BE AF AF PAD BE PAD BE PAD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面（2）由题意知：CD PAD CD AF AF PAD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面 AF CD AF PD AF PCD BE PCD CD PD D ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面面19.（1）证明：由题意知：,AC PBAC PH AC PBH BH PBH AC BH PB PH P ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⊂⇒⊥⎬⎪=⎭面面同理：AB ⊥CH ，所以H 为ABC ∆的垂心；（2）过B 作BD ⊥AC 于D ，连接PD ，由（1）知：∠PDB 即为二面角P-AC-B 的平面角，记∠PDB=θ， 在PBD ∆中，30PBD ∠=︒ 1sin 22sin(30)21sin 2ABCPAC AC BD S BD BPD S PD PBDAC PD θ∆∆⨯⨯∠====+︒≤⨯⨯ 当且仅当60θ=︒时等号成立. 20.设:1x y l a b +=，则22:1(2)(2)4l a b a b +=⇒--=（1）211281122AOB S ab a b ∆⎛⎫ ⎪=≥⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭，当且仅当4a b ==时，等号成立，即:40l x y +-= （2）||||PA PB ⋅==8≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，即:40l x y +-=21.（1）法1 11111133B AMB A BMB AMB MBB V V S h S AB --∆∆==⨯=⨯ 4343h h ⇒=⇒= 法2 连接A 1B 交AB 1于E ，D 1C 交MN 于F ，连接EF ，过B 作BH ⊥EF ，垂足为H ，则BH 即为所求. 如图，易知：BH=43.（2）设B 1M 和AM 的延长线相交于G ，由（1）知BGH ∠即为所求.1sin tan 34BH BGH BGH BG ∠==⇒∠=(3)法1 过B 作BE ⊥AN ，垂足为E ，连接B 1E ，则1BEB ∠即为所求.1112tan cos 3BB BE BEB BEB ==∠⇒=∠法2 取A 1D 1中点F ，连接BF ，则∠FBB 1即为所求.112cos 3B F B B B BF ==∠法3 12cos 3ABCAMB S S θ∆∆==.22.(1)证明：BD AC BD PA BD PAC AC PA A ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面又BD PAC PAC PBD BD PBD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面面面（2）法1：如图cos 4PBE ∠==法2cos cos30cos 454θ=︒︒=（3）过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF由（1）知：BD⊥PC，所以PC BDPC BF PC BDF PC DFBD BF B⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面，则∠BFD即为所求，7741 cos7 BFD+-⇒∠==-。

绝密★启用前安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题一、单选题1．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若，则”的逆命题B．命题“，则”的否命题C．命题“若，则”的否命题D．命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A2．如图所示，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．当时，取极大值【答案】C【解析】根据原函数与导函数的关系，由导函数的图象可知的单调性如下：在上为减函数，在（0,2）上为增函数，在（2,4）上为减函数，在（4,5）上为增函数，在的左侧为负，右侧为正，故在处取极小值，结合选项，只有选项C正确。

3．函数在上的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先求导，得到函数的单调性，结合端点值和极值，可求出最小值.【详解】解：由，得解，得或所以在和上单调递增，在上单调递减又，所以在上的最小值为故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，利用导数求出单调区间是关键.4．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且则,,,四点共面等价于若，，，则，所以,,,四点共面若,,,四点共面，则，不能得到，，所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件故选：B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题. 5．曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D 。

2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，2x≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，2x＞0B．存在x∈R，2x＞0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③sin x=cos y⇒x+y=．A．0B．1C．2D．33．（5分）抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．B．C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）4．（5分）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜35．（5分）已知直线l：2x+4y+3=0，P为l上的动点，O是坐标原点，若点Q满足：2，则点Q的轨迹方程是（）A．2x+4y+1=0B．2x+4y+3=0C．2x+4y+2=0D．x+2y+1=06．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0 8．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．（5分）设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A．0B．1C．2D．410．（5分）设集合M是R的子集，如果点x0∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x ﹣x0|＜a，称x0为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（）①；②；③Z；④{y|y=2x}．A．①④B．②③C．①②D．①②④11．（5分）如图，已知椭圆C l：+y2=1，双曲线C2：=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．12．（5分）已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（）A．“a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件B．“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件C．“a3+b3=c3”是“△ABC为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D．“+=”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等差数列{a n}，则“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的条件．14．（5分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为．15．（5分）F1，F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的两焦点，E上任一点P满足•≥，则椭圆E的离心率的取值范围是．16．（5分）已知椭圆=1的左顶点为A，右焦点为F2，点P是椭圆上一动点，则当取最小值时，|=．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知p：，q：x2﹣ax≤x﹣a，若¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知动圆M过定点P（1，0），且与直线x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两点，且=0，求证：直线AB过定点．19．（12分）在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．21．（12分）已知椭圆C：=1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C：=1，过点M（2，0）任作一条直线与C交于不同的两点A、B．（1）求△OAB的面积的最大值；（2）若椭圆C的左顶点为N，直线l：x=，直线NA和NB交直线l与PQ两点，设A、B、P、Q的纵坐标分别为y1、y2、y3、y4．求证：+=+．2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，2x≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，2x＞0B．存在x∈R，2x＞0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】2J：命题的否定．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“任意x∈R，2x≤0”的否定是：存在x∈R，2x＞0．故选：B．2．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③sin x=cos y⇒x+y=．A．0B．1C．2D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：①当x=1时，x4=x2；即∀x∈R，x4＞x2为假命题．②若p∧q是假命题，则p，q至少有一个为假命题，则②为假命题；③sin x=cos y，则sin x=sin（﹣y），即x=﹣y+2kπ或π﹣x=﹣y+2kπ，则x+y=错误．故中真命题的个数是0个，故选：A．3．（5分）抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．B．C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线的标准形式是x2=﹣8y，p=4∴焦点坐标为：（0，﹣2）故选：D．4．（5分）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，x＞3是x＞2的充分条件，x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，故选：A．5．（5分）已知直线l：2x+4y+3=0，P为l上的动点，O是坐标原点，若点Q满足：2，则点Q的轨迹方程是（）A．2x+4y+1=0B．2x+4y+3=0C．2x+4y+2=0D．x+2y+1=0【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：设Q（x，y），P（m，n），∵2，∴=3，∴（m，n）=3（x，y），得，代入直线l：2×3x+4×3y+3=0，化为2x+4y+1=0．∴点Q的轨迹方程是2x+4y+1=0．故选：A．6．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：B．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选：D．8．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．9．（5分）设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A．0B．1C．2D．4【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质．【解答】解：由于椭圆方程为，故a=2，b=，故c==1由题意当四边形PF1QF2的面积最大时，点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点，此时PF1=PF2=a=2，由于焦距|F1F2|=2c=2，故△PF1F2为等边三角形，故∠F1PF2=60°，故=2×2×cos60°=2故选：C．10．（5分）设集合M是R的子集，如果点x0∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x ﹣x0|＜a，称x0为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（）①；②；③Z；④{y|y=2x}．A．①④B．②③C．①②D．①②④【考点】33：函数的定义域及其求法；34：函数的值域．【解答】解：①中的元素构成以1为极限的数列，故对∀a＞0，∃x ∈{}，使0＜|x﹣1|＜a成立，故此集合以1为聚点．②集合{}，其中的元素构成以0为极限的数列，故对∀a=0.01，不存在x∈{}，使0＜|x﹣1|＜0.01成立，故1不是此集合的聚点．③集合{Z}中的元素是整数，故对∀a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x﹣1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点．④集合{y|y=2x}=（0，+∞），∀a＞0，一定∃x∈M，使0＜|x﹣1|＜a成立，故此集合以1为聚点．故选：A．11．（5分）如图，已知椭圆C l：+y2=1，双曲线C2：=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线C2：=1的一条渐近线方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，∵C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，∴•2•=•2，整理可得b=2a，∴c==a，∴e==，故选：C．12．（5分）已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（）A．“a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件B．“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件C．“a3+b3=c3”是“△ABC为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D．“+=”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；HR：余弦定理．【解答】解：若a2+b2＞c2，由余弦定理可知cos C=＞0，即角C为锐角，不能推出其他角均为锐角，故A为假命题；若a2+b2＜c2，由余弦定理可知cos C=＜0，则C为钝角，但若三角形为钝角三角形，钝角不一定是C，故“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，故B为假命题．若+=，由余弦定理可知cos C==0，则C为直角，故“+=”是“△ABC为钝角三角形”的即不充分也不必要条件，故D为假命题；a3+b3=c3”三角形即有锐角的可能，也有钝角的可能，故C为真命题．故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等差数列{a n}，则“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的充要条件．【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：则等差数列中由a1＜a3，得a1＜a1+2d，即d＞0，此时等差数列为递增数列，所以a n＜a n+1成立．若a n＜a n+1，则d＞0，数列为递增数列，所以a1＜a3成立．综上，“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的充要条件．故答案为：充要．14．（5分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为8．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由题意可得，解得k=8，故答案为8．15．（5分）F1，F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的两焦点，E上任一点P满足•≥，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由题意可知F1（﹣c，0），F2（c，0），设点P为（x，y），∵=1（a＞b＞0），∴x2=∴=（﹣c﹣x，﹣y），=（c﹣x，﹣y），P满足•≥，即•=x2﹣c2+y2=﹣c2+y2=当y=b时，•取得最小值为a2﹣2c2故为a2﹣2c2a2，解得：e．∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故答案为（0，]．16．（5分）已知椭圆=1的左顶点为A，右焦点为F2，点P是椭圆上一动点，则当取最小值时，|=3．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由椭圆=1的左顶点为A，右焦点为F2，P（x，y）∴左顶点为A（﹣2，0）右焦点为F2（1，0），=（﹣2﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）∴•=（﹣2﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）=（1﹣x）（﹣2﹣x）+y2，∵点P为椭圆上一动点，y2=3﹣x2，代入得：•=（x+2）2，﹣2≤x≤2，∴当x=﹣2时，•最小，y2=3﹣×4=0，∴P（﹣2，0）时=（0，0），=（3，0）丨•丨的值为3，故答案为：3．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知p：，q：x2﹣ax≤x﹣a，若¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由p：解得1≤x＜3，记A=[1，3）．由q：x2﹣ax≤x﹣a，得到（x﹣a）（x﹣1）≤0，记解集为B∴¬p⇒¬q得q⇒p，∴q是p的子集，当a=1时，B={1}．当a＞1时，B=[1，a]；当a＜1时，B=[a，1]，∴a=1，或，或，解得1≤a＜3，故a的取值范围是[1，3）．18．（12分）已知动圆M过定点P（1，0），且与直线x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两点，且=0，求证：直线AB过定点．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），M到直线x=﹣1的距离为|x+1|，又|PM|=，∴|x+1|=，两边平方得x2+2x+1=x2﹣2x+1+y2，∴y2=4x．∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x．（2）设直线AB为：x=ty+m，联立方程组，消元得y2﹣4ty﹣4m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4t，y1y2=﹣4m．∴x1x2=（ty1+m）（ty2+m）=t2y1y2+mt（y1+y2）+m2，∴=x1x2+y1y2=﹣4mt2+4mt2+m2﹣4m=m2﹣4m=0，解得m=4或m=0（舍）．∴直线AB恒过定点（4，0）．19．（12分）在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，∴G，∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．∵|MC|=|MB|，∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，化为2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四边形OPRQ为平行四边形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∴R．∵点R在椭圆上，∴=6，化为2m2=k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范围是∪．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…（5分）联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，．…（9分）所以四边形OACB的面积等于2S△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）21．（12分）已知椭圆C：=1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（1）由题意可得2c=2，e==，可得c=1，a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]=k2（+1﹣）=﹣，则=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2=+m2﹣m•﹣=，欲使得为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=，此时=﹣2=﹣；当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±，由M（，0），可得﹣，符合题意．故在x轴上存在定点M（，0），使得为定值﹣．22．（12分）已知椭圆C：=1，过点M（2，0）任作一条直线与C交于不同的两点A、B．（1）求△OAB的面积的最大值；（2）若椭圆C的左顶点为N，直线l：x=，直线NA和NB交直线l与PQ两点，设A、B、P、Q的纵坐标分别为y1、y2、y3、y4．求证：+=+．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】（1）解：联立方程组由△＞0⇒t2＞1所以所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）证明：由（1）知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）NA：，同理：故﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。