2017浙教版数学九年级上册3.4圆心角同步练习1

初中数学浙教版九年级上册3.4圆心角同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B的度数是（）A. 60°B. 40°C. 50°D. 70°2.如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（）A. 36°B. 48°C. 72°D. 96°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A. AB=ADB. BC=CDC.D. ∠BCA=∠DCA4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A. 45º－αB. αC. 45º＋αD. 25º＋α5.如果两条弦相等，那么( )A. 这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦所对的弦心距相等D. 以上说法都不对6.如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数是（）A. 70°B. 80°C. 82°D. 85°7.如下图，已知AB是⊙O的直径，= = ，∠BOC=40°，那么∠AOE等于（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 120°8.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5D. 59.已知，如图，，下列结论不一定成立的是（）A. B. C. D. 、都是等边三角形10.如图，，，是的三等分点，分别交，于点，，则下列结论正确的个数有( )① ; ② ;③ ; ④ .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共4题；共4分）11.如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝________．12.如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角等于________度.13.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________度。

九年级上册第三章圆的根本性质〔第4节〕一、单项选择题〔共10题；共20分〕1.如图表示一个时钟的钟面垂直固定于程度桌面上，且当钟面显示3点时，分针垂直于桌面，分针针尖距桌面的高度为24cm；假设此钟面显示3点30分时，分针针尖距桌面的高度为6cm，那么钟面显示3点40分时，分针针尖距桌面的高度为〔〕A. 7.5cmB. 10.5cmC. 6cmD. 12cm2.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，假设BC=CD=DA=4cm，那么⊙O的周长为〔〕A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm3.一条弦将圆分成1：3两局部，那么劣弧所对的圆心角为〔〕A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.以下命题中，正确的分别是〔〕A. 相等的圆心角，所对的弧也相等B. 两条弦相等，它们所对的弧也相等C. 在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等D. 顶点在圆周的角是圆周角5.如图，==，AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=〔〕A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°6.如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，以下结论中不正确的选项是〔〕A. =B. =C. =D. EF=GH7.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，那么∠AEO的度数是〔〕A. 52°B. 57°C. 66°D. 78°8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，那么弧BD的度数为〔〕A. 26°B. 64°C. 52°D. 128°9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，那么∠AOC的度数为〔〕A. 122°B. 120°C. 61°D. 58°10.以下语句中正确的选项是〔〕A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 平分弦的直径垂直于弦C. 长度相等的两条弧是等弧D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴二、填空题〔共6题；共6分〕11.如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，那么图中阴影局部的面积是________ ．12.如图，假设∠1=∠2，那么与 ________相等．〔填一定、一定不、不一定〕13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，那么∠ACD=________．14.在半径为3的⊙O中，弦AB的长为3，那么弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是________ ．15.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，那么∠OCG=________．16.如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，那么PA+PB的最小值为________．三、解答题〔共4题；共20分〕17.如图，AB是⊙O的直径，且AD∥OC，假设弧AD的度数为80°，求弧CD的度数．18.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．19.如下图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．20.O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：〔1〕∠AOE=∠BOD；〔2〕=．四、综合题〔共4题；共45分〕21.直径CD⊥弦BF于E，AB为ʘO的直径．〔1〕求证：= ；〔2〕假设∠DAB=∠B，求∠B的度数．22.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，=．〔1〕求证：BE=DE．〔2〕假如⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．23.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．〔1〕求证：AB=CD；〔2〕假设∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．24.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．〔1〕求证：点E是的中点；〔2〕求证：CD是⊙O的切线；〔3〕假设AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．答案一、单项选择题1.B2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.C9.A 10.D二、填空题11.72π 12.一定13.125°14.60°15.30°16.4三、解答题17.解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵弧AD的度数为80°，∴∠DBA=40°，∴∠DAB=50°，∵AD∥OC，∴∠COB=50°，∴弧CD的度数为：180°﹣50°﹣80°=50°．18.【解答】证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，19.解：AOBC是菱形．证明：连OC，如图：∵C是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO〔⊙O的半径〕，∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．20.解：〔1〕∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD；〔2〕∵∠AOD=∠BOE，四、综合题21.〔1〕证明：∵直径CD⊥弦BF，∴= ，∵∠AOC=∠BOD，∴= ，∴=〔2〕解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB，∵∠DAB=∠B，∴∠BOD=2∠B，∵CD⊥BF，∴∠B=30°22.〔1〕证明：∵=∴AB=CD，在△ABE与△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴BE=DE．〔2〕解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，∵AD=BC，∴AF=OG，在Rt△AOF与Rt△OCG中，∴Rt△AOF≌Rt△OCG，∴OF=OG，∵AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF，设OF=EF=x，那么AF=FD=x+1，∴OF2+AF2=OA2，即：x2+〔x+1〕2=52，解得：x=3，x=﹣4〔舍去〕，∴AF=4，∴AE=7．23.〔1〕证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD〔2〕解：如图2所示，由〔1〕知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM〔HL〕，∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，∴DE﹣AE=2NE=224.〔1〕证明：连接OD，如图，∵AD∥OC，∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2，∴= ，即点E是的中点〔2〕证明：在△OCD和△OCB中，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线〔3〕解：连接BD，∵DF⊥AB，∴DG=FG，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，BD= = =16，∵•DG•AB= •AD•BD，∴DG= = ，∴DF=2DG= ．。

3.4 圆周角 同步练习一、填空题： 1. 如图1，AB 是O 的直径，BC BD =，假设50BOD ∠=，那么A ∠的度数为．图1 图2 图3 2. 如图2，，，C 为O 上三点，假设50OAB ∠=，那么ACB ∠=度．3. 如图3，PA 、PB 是O 圆的切线，点、为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，那么P ∠的大小是 度．4. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．那么BDC ∠的度数为 ．图4 图5 图6 5. 如图5，ABC △内接于O ，30B ∠= ，2cm AC =，那么O 半径的长为6. 如图6，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点〔不含、〕，点Q 为另一半圆上一定点，假设POA ∠为度，PQB ∠为度．那么与的函数关系是 ．7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，那么CAB ∠=PＣyx ＯＡＡＢBＡＣ图7 图8 图98. 如图8，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝ ．二、选择题： 1. 如图9，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点，那么以下结论一定成立的是〔〕Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠ Ｃ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠2. 如图10，四边形ABCD 内接于O ，假设它的一个外角70DCE ∠=，那么BOD ∠=〔〕Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140图10 图11 图12 3. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，假设40AOC ∠=，那么ABC ∠的度数是 〔 〕Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．804. 如图12，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于〔 〕A ．150B ．130C ．120D ．605. 如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点〔不与A ，B 重合〕，点C 在AP 的延长线上，那么∠BPC等于〔 〕A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒三、解答题： 1. 如图，在O 中，60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．Ｅ2. 如图，在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于．求BC ，AD 和BD 的长．3. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．4. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点，假设3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．5. 如图，半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O转动时，ＡＡ三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结AD 、BC 交于点．（１）求证：ACE BDE △∽△； （２）求证：BD DE =恒成立；（３）设BD x =，求AEC △的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．6. O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明．AOBEDC图①图②7. 如图，在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度．参考答案一、填空题： 1. 如图1，AB 是O 的直径，BC BD =，假设50BOD ∠=，那么A ∠的度数为 ．答案：25图1 图2 图3 2. 如图2，，，C 为O 上三点，假设50OAB ∠=，那么ACB ∠=度．答案：40ＯＢＡ30ＡＣ3. 如图3，PA 、PB 是O 圆的切线，点、为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，那么P ∠的大小是 度． 答案：404. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．那么BDC ∠的度数为 ．答案：75图4 图5 图6 5. 如图5，ABC △内接于O ，30B ∠= ，2cm AC =，那么O 半径的长为答案：26. 如图6，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点〔不含、〕，点Q 为另一半圆上一定点，假设POA ∠为度，PQB ∠为度．那么与的函数关系是 ． 答案：1902y x =-+ 7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，那么CAB ∠=答案：65图7 图8 图98. 如图8，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝． 答案：60 二、选择题： 1. 如图9，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点，那么以下结论一定成立的是〔〕Ａ．ABD ACD ∠=∠Ｂ．ABD AOD ∠=∠PＣyx ＯＡＡＢBＣ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 答案：Ａ2. 如图10，四边形ABCD 内接于O ，假设它的一个外角70DCE ∠=，那么BOD ∠=〔〕Ａ．35 Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140答案：Ｄ图10 图11 图12 3. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，假设40AOC ∠=，那么ABC ∠的度数是 〔 〕Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．80答案：B4. 如图12，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于〔 〕A ．150B ．130C ．120D ．60答案：C5. 如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点〔不与A ，B 重合〕，点C 在AP 的延长线上，那么∠BPC等于〔 〕A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒ 答案：B 三、解答题： 1. 如图，在O 中，60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．答案：92. 如图，在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于．求BC ，AD 和BD 的Ｅ长．答案：8BC =cm，AD =cm，BD = 3. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．答案：连接OC ，OD ，那么290COD CBD ∠=∠=，由得4cm OC OD ==，故CD ==．4. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点，假设3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．答案：连结AC ，BCD ∠=，△CPD ∽△APB ．34PC CD PA AB ∴==，由AB 是直径得．设3x =， 那么4PA x =，AC ∴==，sin AC APC PA ∴∠===． 5. 如图，半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结AD 、BC 交于点．（４）求证：ACE BDE △∽△； （５）求证：BD DE =恒成立；（６）设BD x =，求AEC △的面积与的函数关系式，Ａ AOEC并写出自变量的取值范围．答案：．解：〔１〕ACD ∠与ADB ∠都是半圆所对的圆周角，90,ACD ADB AEC DEB ∴∠=∠=∠=∠又〔对顶角相等〕．所以.ACE BDE △∽△ 〔２〕9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=，45BAD ABC ∴∠+∠=45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=． 又90BDE ∠=，BED ∴△是等腰直角三角形， BD DE ∴=． 〔３〕BD x BD DE ==，,DE x AD AE AD DE∴===-=,ACE BDE △∽△AEC ∴△也是等腰直角三角形，)AC AE x ∴==．ACE BDE AC EC ∴=△∽△，．)22111224y AC EC AC x ∴=⨯==144)2x =-<<． 〔此题解答中，假设用1452DBE DOC ∠=∠=来解答〕 6. O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明． 答案：〔１〕如图①，当AD BC =时，四边形ABCD 为矩形．AD BC AD BC =∴∥，，四边形ABCD 为平行四边形．四边形ABCD 内接于.180.O B D ∴∠+∠=90B D ∴∠=∠=．四边形ABCD 为矩形．〔２〕如图②，当AD BC ≠时，四边形ABCD 为等腰梯形，图①.AD BC AB CD AB CD ∴∴=∥，=，AD BC ≠．四边形ABCD 为等腰梯形．7. 如图，在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度．答案：解：AB 为直径，90ACB ∴∠=，13060..2CAB ABC BC AC ∠=∴∠=∴=， 1.2AD DC AD DC AC BC AD =∴==∴=，．BC AD ∴=．在ABC Rt △中30CAB AC ∠==，tan BC AC CAB =∠． tan 302BC ∴==．2AD ∴=．ＯＢＡ30。

3.4 圆心角一、选择题1.已知弦AB把圆周分成2:3的两部分，则弧所对圆心角的度数是A. B。

或C。

D。

或2.P是外一点，PA、PB分别交于C、D两点，已知、的度数别为、，则的度数为A。

B.C。

D。

3.如图，在三个等圆上各有一条劣弧:弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么与EF的大小关系是A. B。

C. D。

大小关系不确定4.若圆的一条弦把圆分成度数比为1:3的两条弧，则该弦所对的圆心角度数是A. B。

C. D。

或5.如图,AB是的弦不是直径，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交于点C，连结AC、BC、OB、若，则的度数是A.B.C.D.6.如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点若，则的度数为何?A. 25B. 40C. 50D。

557.如图，在中，若点C是的中点，，则A.B。

C.D.8.如图，在中，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为A.B。

C.D。

9.如图,在中,，则的度数是A。

B.C. D。

10.已知如图:：5，则的度数A。

B。

C。

D。

二、填空题11.已知圆O的半径长为6，若弦，则弦AB所对的圆心角等于______ ．12.中,弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是______ 度13.如图，利用图中的量角器可以测出一个破损扇形零件的圆心角度数若测量时指针OA指向，则这个扇形零件的圆心角是______ 度14.如图，已知AB和CD是的两条直径,,若的度数为，则的度数为______ ．三、计算题15.如图,在中，，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求、的度数．16.如图，在中，,求的度数．17.18.19.20.21.22.如图，分别是半径的中点，CE的延长线交于点F．求证：；若,求半径OA的长．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

《3.4圆心角》同步练习1．下列结论中正确的是( )A ．长度相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．弧是半圆2．如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3,3．如图，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A ＝30°，以点C 为圆心，BC 长为半径画圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么DE ︵的度数是( )A ．30° B．40° C．50° D．60°4．如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为2 3 cm 的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角是( )A ．60° B．90° C．120° D．150°5. 如图，若∠AOB＝100°，则ACB ︵的度数为 ．6．⊙O 的一条弦长与半径之比为 2∶1，这条弦将圆周分成的两部分中，劣弧的度数为__ __．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AB于点N.求证：AC ︵＝CD ︵＝BD ︵.8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，OD 为半径，且OD∥AC.求证：CD ︵＝BD ︵.9．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 310．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.11．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．。

3.4__圆心角__第2课时 圆心角定理的逆定理1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等2．如图3－4－14所示，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°图3－4－143. 如图3－4－15，C ，D 为半圆上三等分点，则下列说法正确的有( )①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个3－4－154．如图3－4－23所示，在⊙O 中，已知AB ︵＝2CD ︵，则( ) A ．AB ＝2CD B ．AB <2CD C ．AB >2CDD ．AB 与2CD 的大小不确定图3－4－235．如图3－4－24所示，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上移动时，则点P ( ) A ．到CD 的距离保持不变 B ．位置不变 C ．等分DB ︵D ．随C 点的移动而移动图3－3－24二、选择题6.如图3－4－17所示，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ，ON 是弦AB ，CD 的弦心距，则有： (1)如果AB ＝CD ，那么__ __，__ __，__ _ ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__ __，__ _，__ _； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__ _，__ _，__ ； (4)如果OM ＝ON ，那么__ __，__ _，__ __． 7.如图3－4－16所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°3－4－168．如图3－4－18所示，AB ，CD 为⊙O 的两条弦，AB ＝CD ，OE ⊥AB 于点E ，且OE ＝2 cm ，那么点O 到CD 的距离为__ cm.图3－4－18图3－4－199．如图3－4－19所示，AB 是⊙O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是⊙O 的弦，且AC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FB ，则∠AOC ＝__ __，∠COF ＝__ __．10．如图3－4－20，PO 是直径所在的直线，且PO 平分∠BPD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则：①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵；⑤PB ＝PD ，其中结论正确的是__ _(填写序号)．图3－4－20图3－4－2111．如图3－4－21，等边三角形ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，OC . (1)∠AOB ，∠COB ，∠AOC 分别为多少度？ (2)若等边三角形ABC 的边长为r ，求⊙O 的半径．12．如图3－4－22，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，AC ＝3 cm.(1)求证：AC ︵＝BD ︵；(2)能否求出BD 的长？若能，求出BD 的长；若不能，请说明理由．图3－4－2213．如图3－4－25所示，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，试判断四边形OACB 的形状，并说明理由．图3－4－2514．如图3－4－26所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直且相交于点P ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，AC ︵＝BD ︵.求证：四边形OEPF 是正方形．图3－4－2615．如图3－4－27，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．图3－4－2716．如图3－4－28，点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是AN ︵的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，⊙O 的半径为1.(1)找出当AP ＋BP 取最小值时，点P 的位置； (2)求出AP ＋BP 的最小值．图3－4－283.4第2课时 圆心角定理的逆定理1． B 2． C 3. A 4． B 5． B第5题答图【解析】 连结OP ，如答图所示． ∵OC ＝OP ，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴CD ∥OP .∵AB ⊥CD ，∴OP ⊥AB ，且OP 是圆的半径，故点P 的位置不变，故选B. 6. (1) __∠AOB ＝∠COD __，__AB ︵＝CD ︵__，__OM ＝ON __； (2) _AB ＝CD __，__∠AOB ＝∠COD __，__OM ＝ON __； (3) _OM ＝ON __，__AB ＝CD __，__AB ︵＝CD ︵__； (4) __∠AOB ＝∠COD __，__AB ＝CD __，__AB ︵＝CD ︵__． 7. ∠B ＝75°. 8． __2 cm.9．∠AOC ＝__36°__，∠COF ＝__108°__． 10． __①②④⑤_11．解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝13×360°＝120°.(2)过点O 作OH ⊥BC ，则∠HOC ＝12∠BOC ＝60°，∠OCH ＝30°.又∵HC ＝12BC ＝12r ，OH ＝12OC ，根据勾股定理得OH 2＋HC 2＝OC 2，∴OC ＝33r .12．解：(1)证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠COB ＝∠2＋∠COB ， 即∠DOB ＝∠COA ， ∴AC ︵＝BD ︵. (2)∵AC ︵＝BD ︵， ∴BD ＝AC . ∵AC ＝3 cm ， ∴BD ＝3 cm.13．解：四边形OACB 是菱形． 理由：连结OC .∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝12×120°＝60°.∵CO ＝BO (⊙O 的半径)，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝BC . 同理，△OCA 也是等边三角形， ∴OA ＝AC .又∵OA ＝OB ，∴OA ＝AC ＝BC ＝BO ， ∴四边形OACB 是菱形．14． 证明：∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ︵＋BC ︵＝BD ︵＋CB ︵， 即ACB ︵＝CBD ︵，∴AB ＝CD .又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ， ∴OE ＝OF .∵AB ⊥CD ，∴∠EPF ＝∠PFO ＝∠PEO ＝90°， ∴四边形OEPF 是正方形． 15．解：(1)证明：连结OE ，OF . ∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF . ∵OB ＝OE ，OD ＝OF ，∴∠OEB ＝∠EBA ＝∠CDF ＝∠OFD . 在△OEB 与△OFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠OFD ，∠EBA ＝∠CDF ，OB ＝OD ，∴△OEB ≌△OFD ，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有∶DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝FA ︵＝AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．16．解：(1)如图，过点A 作弦AA ′⊥MN 于点E ，连结BA ′交MN 于点P ，连结AP . ∵MN 是⊙O 的直径，∴AE ＝EA ′，∴AP ＝PA ′，即AP ＋BP ＝PA ′＋BP .根据两点之间线段最短，当A ′，P ，B 三点共线时，PA ′＋BP 此时取得最小值BA ′，即AP ＋BP 此时取得最小值BA ′， ∴点P 位于A ′B 与MN 的交点处． (2)连结OA ′，OB .∵点A 是⊙O 上的一个六等分点， ∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°. ∵点B 是AN ︵的中点， ∴∠BON ＝30°， ∴∠BOA ′＝90°.∵OB ＝OA ′＝1，∴BA ′＝2，即AP ＋BP 的最小值为 2.。

九年级数学上册 第三章第3-4节圆心角；圆周角（一）同步练习 浙江版（答题时间：30分钟）1、已知圆O 的半径OA=1，弦AB 、AC 的长分别为32，，则∠BAC 的度数为_________。

2、圆O 的直径AB=4，C 在圆O 上，∠BAC=30°，则弦AC 的长为_________。

3、圆O 中，弦AB 、CD 互相垂直于点H ，AH=4，BH=6，CH=3，DH=8，求圆O 的半径。

OABH C D4、圆O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，已知AE=1，BE=5，∠DEB=60°，求CD 的长。

BDCA EO5、下列判断正确的是（ ）①平分弦的直径垂直于弦②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧 ③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧 ④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦6、如图，圆O 中弦AB=8，半径OA=5，C 是AB 的中点，求AC 的长。

OACB7、点O 在∠CAE 的平分线上，以O 为圆心的圆分别交∠CAE 的两边于点B 、C 、D 、E 。

求证：AB=AD 。

8、AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，∠ABC 的平分线交圆O 于D ，交CA 于E ，已知BC=6，AC=8，求CD 的长。

O ABCDE9、AB 为圆O 的直径，割线l 交圆O 于M 、N ，AC ⊥l ，且交圆O 于E ，BD ⊥l 于D ，若AB=10，AC=7，BD=1，求OC 的长。

10、圆O 中，AB 是直径，CD 是弦，AF ⊥CD 于F ，BE ⊥CD 于E（1）求证：CE=DF（2）若AF=32，BE=8，求点O 到CD 的距离。

O ACDBE F【试题答案】1、15°或75°提示：分弦AB、AC在OA的同侧或异侧两种情况求解。

22、353、5224、65、③26、57、提示：作OM⊥BC于M，ON⊥AE于N，证明CA=EA，CB=DE28、549、2提示：连EB，且过点O作OP⊥CD于P，连OC在Rt△OPC中，用勾股定理求解即可。

3.4 圆心角一、填空题：1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．答案：圆周角度数等于圆心角度数的一半2. 如图1，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为，130AOC ∠=o ，则»AD 的度数为 ，¼CBD的度数为，CAD ∠的度数为，ACD ∠的度数为．答案：130o100o50o65o图1 图2 3. 如图2，CD 是半圆的直径，O 为圆心，是半圆上一点，且93EOD ∠=o，是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．答案：31o56o 4330'o4. 如图3，¼¼:5:4ACB ADB =，则AOB ∠=，ACB ∠=，ADB ∠=，CAD CBD ∠+∠= ．答案：160o80o 100o180o5. 如图4，△ABC 内接于O e ，AB AC =，点，分别在»AC 和»BC 上，若50ABC ∠=o，则BEC ∠=，BFC ∠=．答案：80o100o图4 图5ＡＢ6. 如图5反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是 ． 答案：180o7. 如图，已知：O e 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=o，47ABC ∠=o ，则AOB ∠=__________度．答案：166o二、选择题：1. 下列说法正确中的是（）Ａ．顶点在圆周上的角称为圆周角 Ｂ．相等的圆周角所对的弧相等Ｃ．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径 Ｄ．圆周角等于圆心角的一半 答案：Ｃ2. 在同圆中，同弦所对的两个圆周角（ ）Ａ．相等 Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．互余答案：Ｃ3. 在O e 中，弦AB 所对的劣弧为圆的16，有以下结论：①»AB 为60o ，②60AOB ∠=o ，③»60AOB AB ∠==o ，④△ABO 为等边三角形，⑤弦AB 的长等于这个圆的半径．其中正确的是（）Ａ．①②③④⑤ Ｂ．①②④⑤Ｃ．①②Ｄ．②④⑤答案：Ｂ4.，，C ，，依次是O e 上的四个点，»»»AB BC CD ==，弦AB ，CD 的延长线交于点，若60ABD ∠=o ，则P ∠等于（ ）Ａ．40oＢ．10oＣ．20oＤ．30o答案：Ｃ5. 如图6，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（ ）Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对 答案：ＤＯ100oＤＢＤＡＯＡＢＯＡＢ图6 图7 图86. 如图7，AC 是O e 的直径，AB ，CD 是O e 的两条弦，且AB CD ∥．如果32BAC ∠=o，则AOD ∠的度数是（ ）Ａ．16oＢ．32oＣ．48oＤ．64o答案：Ｄ7. 如图8，四边形ABCD 内接于O e ，若100BOD ∠=o，则DAB ∠的度数（ ） Ａ．50oＢ．80oＣ．100oＤ．130o答案：Ｄ8. 如图，，在以AB 为直径的半圆上，，C 在AB 上，CDEF 为正方形，若正方形边长为1，AC a =，BC b =，则下列式子中，不正确的是（）Ａ．1a b -= Ｂ．1ab =Ｃ．5a b +=Ｄ．225a b +=答案：Ｄ 三、解答题：1. 如图，△ABC 为锐角三角形，△ABC 内接于圆O ，60BAC ∠=o ，H 是△ABC 的垂心，BD 是O e 的直径．求证：12AH BD =．答案：连结AD ，CD ，CH ．BD Q 是O e 直径，90BAD BCD ∠=∠=o． 又60BAC ∠=o，30CAD ∴∠=o，30DBC CAD ∠=∠=o． 在Rt △BCD 中，12CD BD =，H 是△ABC 的垂心，AH BC ⊥，CH AB ⊥． 又DC BC ⊥，DA AB ⊥，四边形AHCD 为平行四边形．AH CD =Q ，12AH BD ∴=． 2. 如图，BC 为O e 的直径，AD BC ⊥，垂足为，»»BAAF =，BF 与AD 交于． （1）求证：AE BE =；（2）若，把半圆三等分，12BC =，求AE 的长．ＯＨ ＢＡＤＣＤＢ Ｃ Ｏ Ｆ Ａ ＥＯＣＤＢＡＦＥ答案：（1）连AC ．90ACB ABC ∠+∠=oQ ，90BAD ABD ∠+∠=o ，ACB BAD ∴∠=∠．»»BA AF =Q ，ACB ABF ∴∠=∠，BAE ABE ∴∠=∠，AE BE =． （2）连AO ．»»»BAAF FC ==Q ， 30ABF FBC ∴∠=∠=o ，60ABO ∠=o ．OA OB =Q ，60ABC ∠=o ，△AOB 为正三角形．AD BO Q ⊥，D ∴为BO 中点，162BO BC ==，3BD =． 在Rt △BDE 中，30EBD ∠=o，3BD =，23cos BDBE EBD==∠，23AE BE ∴==．3. 如图，已知是O e 外任意一点，过点作直线PAB ，PCD ，分别交O e 于点，，C ，．求证：12P ∠=（»BD 的度数»AC -的度数）．答案：连结BC ，BCD P ABC ∠=∠+∠，P BCD ABC ∴∠=∠-∠．BCD ∠Q 的度数等于»12BD的度数，ABC ∠的度数等于»12AC 的度数， 12P ∴∠=（»BD 的度数»AC -的度数）．4. 如图，AD 是△ABC 的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于，延长DA 交△ABC 的外接圆于点，连结FB ，FC ． （1）求证：FB FC =； （2）求证：2FB FA FD =g ；（3）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ∠=o，6cm BC =，求AD 的长．ＯＤＣＰＡＢ答案：（1）EAD FAB ∠=∠Q ，FAB FCB ∠=∠，EAD FCB ∴∠=∠．FBC FBA CBA ∠=∠+∠Q ， CAD ACF AFC ∠=∠+∠，FBA ACF ∠=∠，CBA AFC ∠=∠， CAD FBC ∴∠=∠．EAD CAD ∠=∠Q ， FCB FBC ∴∠=∠，FB FC ∴=．（2）FAB FCB ∠=∠Q ，FCB FBC ∠=∠，FAB FBC ∴∠=∠．又AFB BFD ∠=∠，△AFB ∽△BFD ，FA FBFB FD∴=， 即2FB FA FD =g ．（3）AB 是直径，90ACB ∠=o．1602CAD EAC ∠=∠=o Q ，30D ∴∠=o ，18060BAC EAC ∠=-∠=o o ．在Rt △ABC 中，tan AC BAC BC ∠=g ，tan 606AC =o g ，23AC =Rt △ACD 中，243AD AC ==．5. 求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积．答案：已知：O e 是△ABC 的外接圆，AD 是△ABC 中BC 边上的高，AE 是O e 直径．求证：AB AC AD AE =g g ．证明：连BE ．AE 是直径，90ABE ∠=o．AD BC ⊥，90ADC ∠=o，ABE ADC ∠=∠，C E ∠=∠，△ADC ∽△ABE ，AC ADAE AB=，即AB AC AD AE =g g ．ＦＡＥＤＣＢＤ ＡＣＢＯ。

浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．556．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．6212．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+619．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是°，∠B2的度数是°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．38．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．（1）求证：AC＝AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．39．如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？40．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．41．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．42．如图，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE 相交于点G，连接AE，BF．（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．43．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD＝BC，连接AC．（1）求证：△MAC是等腰三角形；（2）若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM•AB．浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或2【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连接OC，∵CE＝＝，∴边CD＝＝；如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，∵CE＝＝＝2，∴边CD＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．55【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A＝65°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝65°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×65°＝50°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣50°﹣60°＝40°，则的度数为40°．故选：B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB＝AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：∵在⊙O中，，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．故选：B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，根据勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．12．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出、的度数，再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数，由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．【解答】解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°﹣60°﹣55°＝65°．故选：C．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出∠ABC及∠ACB的度数是解答此题的关键．13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB 的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3+5＝15+5．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值．14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知，＜．【解答】解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；C、弦AB＜AE+BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF+BE+FC＞EF+BE＝AE+BE＞弦AB，所以＞，故正确；D、由图可看出其不相等，故错误．故选：C．【点评】本题利用了在同圆或等中大弦对大弧求解．15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°﹣50°×2＝80°．故选：D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝120°．故选：B．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+6【分析】四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD 的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．【解答】解：∵△ABD是等边三角形∴AB+AD+CD＝18，得P＞18∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝∴P≤18+6∴p的取值范围是18＜P≤18+6．故选：C．【点评】本题解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．19．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故选：A．【点评】本题利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解．20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6【分析】先根据特殊角的三角函数值1求出α的度数，再根据等边三角形的判定定理及性质解答即可．【解答】解：∵cosα＝，∴α＝60°．又∵圆心角的两边为半径，一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴∠α所对的弦长等于6．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值和掌握等边三角形的判定是解题的关键．二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为30°．【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵AB是直径，＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是5cm．【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．所对的圆心角为：×360°＝120°，所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．故答案为：5．【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【解答】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．【点评】解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝75度．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB ＝∠OBA＝45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC＝∠OCD ＝60°，根据圆周角的性质可证∠CDB＝∠CAB，而∠ODB＝∠OBD，所以∠CAB+∠OBD＝∠CDB+∠ODB＝∠ODC＝60°，再根据三角形的内角和定理可求α．【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40度．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO ＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝70度．【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB＝AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得．【解答】解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．【点评】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是①②④．【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②、④．【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，∵AE＝BE，∴＝，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③错误．∵∠BEC＝90°，∴BC＞BE，又∵AE＝BE，∴BC＞AE故⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE＝2AD，∵，∴，∴AB＝AE，∴AB＝2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．【分析】连接OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS 定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并结合弦的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB+AF＝AD；（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的位置﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．【解答】解：（1）连接OB、OF．∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB+AF＝AD．（2）当P在上时，PB+PF＝PD；当P在上时，PB+PD＝PF；当P在上时，PD+PF＝PB．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要注意题目中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的应用．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．【分析】（1）首先由AC＝CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接着得到∠OCB＝∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC＝OB即可证明四边形OBDC为菱形．【解答】（1）证明：∵AC＝CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半径），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC ＝OC×h，S△DBC＝BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形OBDC为菱形．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．【分析】证CD和CE所在的三角形全等即可．【解答】证明：∵OA＝OB AD＝BE，∴OA﹣AD＝OB﹣BE，即OD＝OE．在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SAS）．∴CD＝CE．【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，连OM，OB，可求出∠BOM的度数，∠C＝∠BOM．（2）根据圆内接四边形一外角等于它的内对角，可证明△CDE∽△CBA，两三角形相似对应线段成比例，同时运用（1）中∠C＝60°可得的值，能计算出DE的长．（3）根据直径所对的圆周角是直角，连接AE，在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系．【解答】解：（1）如图：连接OB、OM．则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝，∴OM＝1．∵OM＝，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝∠AOB＝60°．（2）∵四边形ABED内接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE＝∠CBA，∠ECD＝∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．连接BD，则∠BDC＝∠ADB＝90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°．∴BC＝2DC．。