命题及充要条件小练习

命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )2. 设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠14. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( )A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0B.若数列{a n}为常数列，则{a n}既是等差数列也是等比数列C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件D.命题“若an＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的________条件.考点三充分、必要条件的应用【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.【迁移2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【训练3】若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)一、选择题1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b25.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”二、填空题9. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.11.若不等式m－1<x<m＋1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数m的取值范围是________.12.“a＝1”是“函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数”的__________条件.13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14. 已知a，b∈R，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件15.已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.16. 设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.17. 能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.答案(1)×(2)√(3)√(4)√2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>1b ”，若“a>1b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>1b”的既不充分也不必要条件.答案 D3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C4. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，则a＋b＝－6<c.答案－2，－4，－5(答案不唯一)5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.答案 (－∞，2]6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.答案－1<k<3考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；对于B 项，若“am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，B 错；对于C 项，由指数函数的图象知，∀x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，C 错； 对于D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).答案 (1)D (2)f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎨⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2) 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.解析 (1)A 错，f (x )＝1x为奇函数，但f (0)无意义；B 错，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.D错，若{a n}递减，则a n＋1<a n⇒an＋a n＋12<a n，n∈N*，所以逆命题为真命题，D不正确.(2)逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定.故逆否命题在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.答案(1)C (2)在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a ＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p q，所以綈p⇒綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.答案(1)A (2)A规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的________条件.解析 (1)由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”，故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.(2)显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件.答案 (1)B (2)充要考点三 充分、必要条件的应用【例3】 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且qp ，即P S .∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.答案 D一、选择题1.命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A.“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ” B.“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.答案 D2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.答案 B3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立.反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数.充分性成立.∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.答案 C4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b2解析对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则ab<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2<b2，故D错.答案 C5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个解析原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.答案 C6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.答案 A8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题.答案 C 二、填空题9. 设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件.解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线.故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件.答案 充分不必要 10.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确. 答案 ②③11.若不等式m －1<x <m ＋1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，借助数轴得⎩⎪⎨⎪⎧13≥m －1，12≤m ＋1，解得－12≤m ≤43，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4312.“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －aex 是奇函数”的__________条件.解析 当a ＝1时，f (－x )＝－f (x )(x ∈R)，则f (x )是奇函数，充分性成立. 若f (x )为奇函数，恒有f (－x )＝－f (x )，得(1－a 2)(e 2x ＋1)＝0，则a ＝±1，必要性不成立.故“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －ae x 是奇函数”的充分不必要条件.答案 充分不必要13.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ，所以S 4＋S 6>2S 5⇔d >0，所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件. 答案 C14. 已知a ，b ∈R，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 2a >2b ⇔a >ba 2>b 2； a 2>b 2a >b ，即a 2>b 22a >2b ，∴“2a>2b”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件. 答案 D15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________. 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎨⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3816. 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 17. 能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________.解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －aab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题.答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)。

数学充要条件练习题高二数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，假如A是B的充分但不必要条件，那么A是B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：A B B A,B A等价于 A B.2.(2021浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性明显，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.3.(2021北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.∵A B，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a6.(2021全国大联考，2)不等式1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是_______ _______.答案：0解析：其充要条件为09.已知p:|x+1|2和q: 0,则p是q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)答案：充分不必要解析：∵p:x-3或x1,q:x-4或x1,p:-31, q:-41.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：假如xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.因此|x+y|=|x| +|y|.假如xy0,即x0或x0.当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+ y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.方程有两负根的充要条件是：即26.方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?假如存在，求出p的取值范畴;(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?假如存在，求出p 的取值范畴.解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0得x- ,故- -1时,- -1 x2-x-2.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

充分条件与必要条件练习1． 用符号“⇒”与“⇒”填空。

1、x=0____xy=02、xy=0____x=03、两个角相等_____两个角是对顶角。

4、两个角是对顶角____两个角相等。

2. 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：1、p:a ∈Q ，q:a ∈R2、p:a ∈R ，q:a ∈Q3、p:内错角相等，q:两直线平行4、p:两直线平行，q:内错角相等3. 判断下列命题的真假：1、“a>b ”是“22b a >”的充分条件2、“a>b ”是“c b c a +>+”的必要条件3、“a>b ”是“22bc ac >”的必要条件；4、“a>b ”是“22b a >”的必要条件；是有理数 是实数 、 是奇数 是偶数 是4的倍数 是6的倍数1. 从“⇒”、“⇒”与“⇔”中选出适当的符号填空：1、x>-1_____x>1；2、432+=x x ____43+=x x3、a+b ___ a+c=b+c4、0222=+-b ab a ____a=b2.举例说明：1、p 是q 的充分而不必要条件；2、p 是q 的必要而不充分的条件；3、p 是q 的充要条件；4、p 是q 的既不充分羽绒不必要的条件。

3．从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”、与“充要条件”中选出适合的一种填空：1、“a=b ”是“ac=bc ”的_______________；2、“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的______________；3、“a+5是无理数”是“a 是无理数”的_____________；4、“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的_____________；5、“a ∈N ”是“a ∈Z ”的____________；6、“012=-x ”是“x-1=0”的_____________；7、“x<5”是”x<3”的_____________； 8、“a ≠0”是“ab ≠0”的___________；9、“同旁内角互补”是“两直线平行”的______________；10、“四边相等”是“四边形是正方形”的______________.11、 p:a 、b 是整数， q: 02=++b ax x 有且仅有整数解；p 是q 的___________；12、p:a+b=1, q: 02233=--++b a ab b a ；p 是q 的_______________.13、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么，1、s 是q 的什么条件； 2、r 是q 的什么条件；。

高二命题及其关系､充分条件与必要条件练习题一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思[来源:Z|xx|][ ]解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由|x-1|<2得-1<x<3.由x(x-3)<0得0<x<3.因为“-1<x<3成立”⇒“0<x<3成立”,但“0<x<3成立”⇒“-1<x<3成立”.故选B.答案:B评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件.3.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=1时,直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直;当直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直时,有a=1.故选C.答案:C评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4.x2<4的必要不充分条件是( )A.-2≤x≤2B.-2<x<0C.0<x≤2D.1<x<3解析:x2<4即为-2<x<2,因为-2<x<2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2<x<2,所以x2<4的必要不充分条件是-2≤x≤2.选A.答案:A5.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.”答案:B6.设p:x<-2011或x>2011;q:x<-2011或x>2011,则¬p是¬q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件[ ZXXK]C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵p:x<-2011或x>2011;q:x<-2011或x>2011,∴¬p:-2011≤x≤2011,¬q:-2011≤x≤2011.∵∀x∈[-2011,2011],都有x∈[-2011,2011],∴¬p ⇒¬q,而∃x 0∈[-2011,2011],且x 0 ∉ [-2011,2011],[ ]如x 0=-2011.5,∴¬p 是¬q 的充分不必要条件.故选A.答案:A二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2011·江苏金陵中学三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是____________________________.解析:x ∉[2,5]且x ∉{x|x<1或x>4}是真命题.由x 5,1x 42,x >⎧⎨⎩<或≤≤得1≤x<2,故x∈[1,2). 答案:[1,2)8.设p ､r 都是q 的充分条件,s 是q 的充要条件,t 是s 的必要条件,t 是r 的充分条件,那么p 是t 的________条件,r 是t 的________条件.(用充分､必要､充要填空)解析:由题意可画出图形:由图形可看出p 是t 的充分条件,r 是t 的充要条件.答案:充分 充要9.令P(x):ax 2+3x+2>0,若对任意x∈R,P(x)是真命题,则实数a 的取值范围是__________.解析:对任意x∈R,P(x)是真命题,就是不等式ax 2+3x+2>0对一切x∈R 恒成立.(1)若a=0,不等式仅为3x+2>0不能恒成立.[ ZXXK](2)若0980a a >-∆⎧⎨=<⎩,解得a>98. (3)若a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数a>98. 答案:a>9810.已知p:log (|x|-3)>0,q:x 2- x+16>0,则p 是q 的________条件.[来源:Z*xx*]解析:由log (|x|-3)>0可得0<|x|-3<1,解得3<x<4或-4<x<-3.所以p:3<x<4或-4<x<-3.由x 2- x+16>0可得x<13或x> , 所以q:x<13或x> . 故p 是q 的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.主人邀请张三､李四､王五三个人吃饭聊天,时间到了,只有张三､李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能来了.”主人听了随口说了句:“你看看,该来的没有来.”张三听了,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎哟,不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人的离去原因.解:张三走的原因是:“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因:“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”,李四觉得自己是应该走的.评析:利用原命题与逆否命题同真同假解题非常方便,要注意用心体会!12.已知p:113x --≤2,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0).若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.解:由113x--≤2,得-2≤x≤10.“¬p”:A={x|x>10或x<-2}.由x 2-2x+1-m 2≤0,得1-m≤x≤1+m(m>0).∴“¬q”:B={x|x>1+m 或x<1-m,m>0}.∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件,∴A B.结合数轴有0,110,12,m m m >⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≥解得0<m≤3.评析:将充要条件问题用集合的关系来进行转化是解此类题目的关键.13.(2011·潍坊质检)设p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--⎪⎨+->⎪⎩≤(1)若a=1,且p∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解:先解不等式,把命题p,q 具体化,第(1)问利用真值表求x;第(2)问由互为逆否命题等价确定p 、q 之间的关系,确定关于a 的不等式,问题可解.(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p 为真时,实数x 的取值范围是1<x<3.由2260280x x x x --+->⎧⎪⎨⎪⎩≤.得2<x≤3,当q 为真时,实数x 的取值范围是2<x≤3.若p∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3.(2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p ⇒¬q,且¬q⇒¬p, 设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B,又A={x|¬p}={x|x≤a 或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≤2或x>3},则0<a≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a≤2.评析:本题中,¬p 是¬q 的充分不必要条件,从而推出集合A 与B 的关系,确定关于a 的不等式组,使问题获得解决.2222214.p:x 10:4x 4(2)10p p x 10m 40 2.m 2.044(2)1016m-2)160.03:13p q m 2p .1mx q m x q q mx m p m x m x m q m p q p q p q q m ++=+-+=∨∧++=⎧->∴∴>>⎨-<⎩+-+=∴-<∴<<∴<<∨∧∴>∴∧⌝⌝∧≤2有两个不等的负根。

充要条件练习题1.以下哪个命题是正确的充要条件（）A. 如果一个数是偶数，那么它能被2整除。

B. 如果一个数是质数，那么它只有两个正因数。

C. 如果一个数是整数，那么它一定是正数。

D. 如果一个数是负数，那么它的平方是正数。

2.在三角形ABC中，以下哪个命题是“三角形ABC是等边三角形”的充要条件（）A. 三角形ABC的三个角都相等。

B. 三角形ABC的两条边相等。

C. 三角形ABC的周长是定值。

D. 三角形ABC的面积是定值。

3.对于函数f(x) = x2，以下哪个命题是“f(x)的值大于0”的充要条件（）A. x > 0B. x < 0C.x≠0D. x2 > 04.在集合论中，集合A是集合B的子集的充要条件是什么（）A. 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素。

B. 集合B中的每一个元素都是集合A中的元素。

C. 集合A和集合B有相同的元素个数。

D. 集合A和集合B的并集等于集合B。

5.在实数范围内，以下哪个命题是“方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实数根”的充要条件（）A. a≠0B. b2 - 4ac > 0C.a,b,c都是实数D. a + b + c = 06.设a,b∈R，则“a > b”是“a2 > b2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x) = log2(x2 - 3x + 2)，则“f(x)的定义域为R”是“x2 - 3x + 2 > 0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.若a,b∈R，则“a ≠=0或b≠0”是“ab ≠0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知p：x2 - 2x - 3≤0，q：1 - m ≤x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. m ≥2B. m > 2C. m≤2D. 0 < m ≤210.设A和B是两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么下列哪个选项是正确的（）A. A的真值必然导致B的真值，但B的真值不一定导致A的真值B. A的真值不一定导致B的真值，但B的真值必然导致A的真值C. A和B的真值总是相同的D. A和B的真值总是相反的。

充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件，并说明理由。

(1) 若a > 0，则a² > 0。

(2) 若a² > 0，则a > 0。

2. 已知命题p："若x > 2，则x² > 4"，命题q："若x² > 4，则x > 2"，判断p和q是否互为充要条件。

3. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 4x + 4 = 0，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x² - 4x + 4 = 0。

4. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² + y² = 0，则x = 0且y = 0。

(2) 若x = 0且y = 0，则x² + y² = 0。

5. 已知命题p："若x > 0，则x² > 0"，命题q："若x² > 0，则x > 0"，判断p和q是否互为充要条件。

6. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 2x + 1 = 0，则x = 1。

(2) 若x = 1，则x² - 2x + 1 = 0。

7. 已知命题p："若x > 1，则x² > 1"，命题q："若x² > 1，则x > 1"，判断p和q是否互为充要条件。

8. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x³ = 8，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x³ = 8。

9. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 6x + 9 = 0，则x = 3。

(2) 若x = 3，则x² - 6x + 9 = 0。

命题及其关系、充分条件与必要条件高考突破2训练（限时45分钟）1．以下命题中：①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②向量,a b 不共线，则关于x 的方程20ax bx +=有唯一实根；③函数y =的图像关于y 轴对称. 真命题是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．②③2．设,a b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是（ ）A ．若a b ≠-，则||||a b ≠B ．若a b =-，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-3．以下四个命题中，真命题的个数是（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“1x ≠，则2320x x -+≠”； ②若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，都有210x x ++≥； ④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件.A ．1B ．2C ．3D ．44．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合{}1|28,|112x A x R B x R x m ⎧⎫=∈<<=∈-<<+⎨⎬⎩⎭，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．(2,2)-6．已知a b <，函数()sin ,()cos f x x g x x ==.命题:()()0p f a f b <，命题:()q g x 在(,)a b 内有最值，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．给定下列命题:①若0k >，则方程220x x k +-=有实数根；②“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若0xy =，则,x y 中至少有一个为0"的否命题.其中真命题的序号是 .8．已知对数函数21()log a f x x +=，命题21:()log a p f x x +=是增函数.则p ⌝为真时，a 的取值范围是 .9．已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是 .10．已知集合{}1|0,|||1x A x B x x b a x -⎧⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 .11．设命题2:(43)1p x -≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 12．已知全集U R =，非空集合2|0(31)x A x x a ⎧⎫-=<⎨⎬-+⎩⎭，22|0x a B x x a ⎧⎫--=<⎨⎬-⎩⎭. （1）当12a =时，求()U B A ⋂； （2）集合:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.最有效训练21.D解析对于命题①：错误!未找到引用源。

充要条件练习题一、选择题1. 已知命题P：x²-4=0，命题Q：x=2或x=-2。

以下哪个选项正确描述了P和Q的关系？A. P是Q的充分条件B. P是Q的必要条件C. P是Q的充要条件D. P和Q是互不相关的2. 如果“x>0”是“x²>0”的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列哪个命题的逆命题是真命题？A. 如果两个角是对顶角，则这两个角相等。

B. 如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

C. 两个直角三角形是相似的。

D. 两个相似的三角形是直角三角形。

二、填空题4. 如果命题P：x>0，命题Q：x²>0，那么P是Q的_________条件。

5. 命题P：x>1，命题Q：x>0，Q是P的_________条件。

6. 命题P：x²-1=0，命题Q：x=1或x=-1，P是Q的_________条件。

三、判断题7. 如果命题P是命题Q的充分条件，那么P成立时Q一定成立。

（）8. 如果命题P是命题Q的必要条件，那么Q成立时P一定成立。

（）9. 如果命题P是命题Q的充要条件，那么P和Q是等价的。

（）四、解答题10. 已知命题P：x>3，命题Q：x>2，证明P是Q的充分条件，但不是必要条件。

11. 给定命题P：x²-4x+4=0，命题Q：x=2，证明P是Q的充要条件。

12. 已知命题P：x²+y²=1，命题Q：x和y的绝对值都小于1。

证明P是Q的必要条件，但不是充分条件。

五、证明题13. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。

14. 证明：如果一个数的平方根是正数，那么这个数本身是正数。

15. 证明：如果两个角的和是180度，那么这两个角是互补的，并且互补角是互为充要条件。

六、逻辑推理题16. 在一个班级中，如果一个学生是班长，那么他一定是班级的积极分子。

第3课 充要条件◇考纲解读掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．◇知识梳理判断充要条件关系的三种方法：①定义法：若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇔，则A 是B 的_______条件．②利用原命题和逆否命题的_______来确定．③利用集合的包含关系：若,B A ⊆则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若A=B ，则A 是B 的_______条件．◇基础训练1．（2006安徽卷）“3x >”是24x >“的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2“x 是2的倍数或是3的倍数”是“x 是6的倍数”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件3．（2008中山一模）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2008佛山）“2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）. A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 ◇典型例题例1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈ ∈那么或""x M P ∈ 是的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 例2．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.◇能力提升1．如果y x ,是实数，那么“0>xy ”是“y x y x +=+”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件2．已知命题A,B ，如果⌝A 是⌝B 的充分而不必要条件，那么B 是A 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件3．若p ：⎩⎨⎧>>+44αββα ，q ：⎩⎨⎧>>22βα ，则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件4．(2008惠州一模) “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知真命题“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第3课 充要条件◇知识梳理1.①充分,必要, 必要,充分,充要.② 逆否命题.③ 充分,必要,充要.◇基础训练1. B2. C3. B4. A◇典型例题例1.解："}3{}2{"""R x x x x M P x N x M x =<>=∈∈∈ 即或M P x M P x x x x M P x ∈⇐∈<<∈∈显然即},32{""，所以选B例2.解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件p ：－2≤x ≤10q ： x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式－2≤x ≤10的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， 实数m 的取值范围是［9，+∞)◇能力提升1.A2. C3. B4.A5. A6.A。

1.2充要条件练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章第2课时一、选择题1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x－y＋m＝0距离d＝|3＋m|2＝3得，m＝3或－33，故选A.3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为A∪B＝C，故“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．4．“lg x>lg y”是“x<y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y；而x＝2，y＝0时，x>y⇒/ lg x>lg y，故“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件．5．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒/ 0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a 与b夹角不是钝角．8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.三、解答题9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0，∴m >1或m <0， 即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p p －1p ＋q＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.二、填空题5．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．6．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎨⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0. 若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况． 8．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧ 1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。