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青科大信号与系统第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

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信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II

信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4

取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )

第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1

傅里叶变换及系统的频域分析

傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。


| F ( j) | R 2 () X 2 ()

()

arctan

X () R()

R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1

F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1

F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt

0
t2 t1
i2
(t
)dt

Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
2019/7/26
9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt

cos
nt
d
t

T

2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数

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t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z

第四章傅立叶变换和系统的频域分析

第四章傅立叶变换和系统的频域分析

T
f t
1
T
图 4-1 周期信号
t
0
T
t
4.2.1 周期信号的傅里叶级数
三角函数集
{1, cos 0 t , cos 2 0 t , , cos n 0 t , , sin 0 t , sin 2 0t , , sin n 0t , }
在区间 (t 0 , t 0 T ) (式中 复指数函数集 {e 集。
n 1

(4-2)
式(4-2)中各正、余弦项的系数
a n , bn 称为傅里叶系数。
t T 1 0 a f (t )dt 0 T t0 t0 T 2 f (t ) cos n 0 tdt a n T t0 t0 T b 2 f (t ) sin n tdt 0 n T t0
式中
A1 -j 1 A2 j 2 A1 j 1 A2 - j2 F0 A0 ； F1 2 e ； F1 2 e ； F2 2 e ； F2 2 e 。
则该信号的幅度谱和相位谱分别如图 4-3 所示。
An A0
A1
Fn
幅度谱
幅度谱
A2
0
20
F1
F2
F0
F1
F2
n 1,2,3, n 1,2,3,
表 4-1 综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。 图 4-2 更直观 地表示了两种傅里叶级数系数之间的关系。 表 4-1 周期信号展开为傅里叶级数
傅里叶 傅里叶系数之间关 级数形 式

展开式
傅里叶系数 系
f (t) a0 an cosn0t

f (t ) a0 (

第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.8

第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.8


Y ( j ) F ( j ) e
j [
y
( )
f
( )]
H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；θ ()称为相 频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，θ () 是的奇函数。
对周期信号还可用傅里叶级数法。

周期信号
f T (t )


n
Fn e

1 jω 1
U S(jω )
1 jω C
U C (jω )
h(t)=
e-t ε(t)
三、无失真传输
系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的 传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤 波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输定义： 信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号 相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没 有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(t–td) 其频谱关系为 Y(j)=Ke – jtdF(j)
解：微分方程两边取傅里叶变换 jY(j) + 2Y(j) = F(j)
H ( j ) Y ( j ) F ( j ) 1 j 2
f(t) =
e-tε(t)←→
1
F ( j )
1 j 1 1 1 j 2
R u S (t ) C u C (t )
Y(j) = H(j)F(j)
上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带 宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。
四、理想低通滤波器
具有如图所示幅频、相频特性 的系统称为理想低通滤波器。 c称为截止角频率。 理想低通滤波器的频率响应 可写为： j t

第4章 傅里叶变换和系统的频域分析


定义二 :
如果在正交函数集g1(t), g2 (t),..., gn (t)之外,
不存在有限能量函数x(t),即0 t2 x2 (t)dt t1
满足任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
[t2
t1
f
(t)
n r 1
cr gr
(t)]2 dt
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
现在研究一个线性时不变系统其输入为输出或响应为描述该系统的微分方程为对上式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质可得于是系统响应或输出的傅里叶变换为例如图所示的系统已知乘法器的输入系统的频率响应求输出解由图可知乘法器的输出依频域卷积定理可知其频谱函数式中令根据对称性可得故得的频谱函数为的频谱函数为因此可得系统的频率响应函数可写为所以系统响应的频谱函数为取上式的傅里叶反变换得
T 2
2Et
cosntdt
T0 T
( 2 )
T
8E [
t
T
sin nt 2
T 2
1
sin tdt]
T 2 n
0 0 n
2E [(1)n 1]
(n )2
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
E 4E 1 2n
f (t ) 2 2 n1,3,5 n2 cos T t

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

t0
cos
mt

cos
nt
d
t

T

2
,
mn0
T , m n 0
t 0T
t0
sin mt sin nt d t

0 T 2
, ,
mn mn
0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
集中!
2019/11/21
11
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
2
a nT
T
4
2 T
2
f (t) cos nt d t
T
T
2 f (t) cos nt d t
0
b 2 nT
T
2 T
f (t) sin nt d t
2
0
An
a2 n
bn2
an
n

arctan

bn an

m
，m为整数
偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流 项与余弦项。
2019/11/21
22
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
a n
t0 T f (t) cos nt d t
t0
t0 T cos2 ntdt

2 T
t0
t0 T f (t) cos nt d t
t0
b n
t0 T f (t) sin nt d t
t0
t0 T sin2 nt d t

2 T
t0
t0 T f (t) sin nt d t

信号与系统——傅里叶变换和系统的频域分析

宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
2019/9/27
11
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
2019/9/27
V1 Ve

V2
c12V2
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
f(t)c1g1(t)c2g2(t)cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci

t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t

第4章傅里叶变换和系统的频域分析

第4章傅里叶变换与系统的频域分析4.0 引言4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理4.10 序列的傅里叶分析4.11 离散傅里叶变换及其性质引定义、定理应用4.0 引言任意连续信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数和虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于周期信号）。

j te4.1 信号分解为正交函数矢量的分解oVc2V2c1V1V1V2θ2θ1平面矢量的分解2211VcVcV+=三维空间矢量的分解332211VcVcVcV++=oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2一. 正交函数集1221()()0tf t f t dtt=⎰称和在区间内正交。

1()f t2()f t),(21tt定义1：设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列正交特性：)()()(jidttgtgtt ji≠=⎰021⎰=212tt iiKdttg)(则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。

()ig t)(),(),(21tgtgtgn),(21tt定义2：定义3：如果在正交函数集之外，不存在函数 ( ),)(),(),(tgtgtg n21∞<<⎰212ttdttx)(满足等式21()()0itx t g t dtt=⎰i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。

()x t这有两层意思：1、如果x（t）在区间内与正交，则x（t）必属于这个正交集。

)(tg i2、若x（t）与正交，但中不包含x（t），则此集不完备。

)(tg i)(tg i例1:(1)三角函数集为完备正交函数集。

{}1111111,cos,cos2,cos,,sin,sin2,sin,t t n tt t n tωωωωωω(2)复指数函数集{}1(0,1,2,)jn te nω=±±是一个复变函数集，也是完备正交函数集。

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信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
例 题 周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数形 式傅里叶级数。 f(t)
1
T 2
0 -1
T 2
T
t
解： f(t) 在一个周期内的表达式为：
2 f (t ) t , T T T t 2 2
其指数形式傅里叶系数为：
1 Fn T
第1-15页
周期信号幅度谱特点（以周期方 波为例）
第1-21页
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信号与系统 电子教案
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
4.4
非周期信号的频谱—傅里叶变换
一、傅里叶变换
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数 的概念，简称频谱函数，即 Fn F ( j ) lim lim FnT T 1 / T T (单位频率上的频谱） 根据傅里叶级数指数形式的公式：
一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小； T→∞（非周期信号），谱线间隔将趋近于零，周期
信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。
第1-20页
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信号与系统 电子教案
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

复 习
傅里叶级数三角、指数形式 周期信号的幅度谱、相位谱概念
f(t) = f(t+mT)
f(t) 周 期
1/T
频 率
-T
第1-4页
0
T
2T
t
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4.2
傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式 a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 傅里叶系数
n 2,4,6, 0, 2 1 cos( n ) 4 n n , n 1,3,5, 则方波信号的傅里叶级数展开式为： n 1, 3, 5,
4 1 1 1 f (t ) sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) sin(nt ) 3 5 n

-2π
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4.3
周期信号的频谱
二、周期矩形脉冲的频谱
举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示，求频谱。 复傅里叶系数：
1 T 1 jnt Fn 2T f (t ) e jnt d t 2 e dt T 2 T 2 n n sin sin( ) 1 e jnt 2 2 2 2 T n T jn 2 T n
1 j cos( n ) n
e
T 2 T 2
jnt
dt T 2
所以
f (t )
第1-16页
n
F e
n

jnt

n


1 j cos(n )e jnt n
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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
信号与系统 电子教案
第四章 傅里叶变换和系统的 频域分析
第1-1页
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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章主要内容：
傅里叶级数
周期信号的频谱
非周期信号的频谱
傅里叶变换的性质
周期信号的傅里叶变换
LTI系统的频域分析
第1-2页
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上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
第1-6页
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4.2
傅里叶级数
例 题 将图中所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 f(t)
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式 推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
n的偶函数
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2 n的奇函数 A0 1 1 An e j e jnt An e j e jnt 2 2 n1 2 n1 令n = -n A– n=An，– n= – n
2 .f(t)为奇函数——对称原点，f(-t) = -f(t)
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
函数f(t)的前半周期波形移动T/2后，与后半周期波形相 对于横轴对称，称为奇谐函数。
该部分内容 自学
第1-11页
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4.2
傅里叶级数
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1.5
1
0.5
0
-0.5
基波+三、五、 七、九次谐波
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-1.5
第1-10页
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4.2
傅里叶级数
二、奇偶函数的傅里叶级数
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标轴，f(-t) = f(t)
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
4.1
正交函数集
信号分解为正交函数
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足

t2
t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
(Ki为常数)
T 2 T 2
f (t )e jnt dt
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1 T 2 jnt Fn 2T te dt T 2 T 2 2 T
4.2
傅里叶级数

T 2 T 2
1 tde jnt jn
T 2 T 2
2 1 jnt 2 te T jn
第1-8页
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4.2
傅里叶级数
方波信号的傅里叶级数展开式：
4 1 1 1 f (t ) sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) sin(nt ) 3 5 n
特
点
n 1, 3, 5,
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t ) C j j (t )
j 1

该部分内容 自学
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第1-3页
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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
4.2
傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
在（-∞，∞）区间，每隔一定时间T，按相同规律重 复变化的信号称为周期信号，表示为：
频率较低的谐波，振幅较大，是组成方波的主体； 合成波形所包含的谐波分量越多，越接近于原方波 信号； 即使n→∞，间断点处仍有误差，称为吉布斯 （Gibbs）现象。
第1-9页
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1.5 1
4.2
傅里叶级数
0.5
0
基波+三次谐波
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1 f(t) 0 … T t -T


2

2
sin x 令： S a ( x) x
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def
n n Fn Sa ( ) Sa ( ) T 2 T T 2 /青岛科技大学信息科学技术学院 T

2
信号与系统 电子教案
4.3
jnt
周期信号的频谱
有：
f (t )
T 2
0
T 2
T
2T
t
解：首先确定傅里叶系数
2 T an 2T f (t ) cos(nt )dt T 2 T 2 0 2 T (1) cos(nt )dt 2 (1) cos(nt )dt T 2 T 0 2 1 2 1 0 [ sin( nt )] T / 2 [sin( nt )] T / 2 0 0 T n T n
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
复傅里叶系数Fn
1 Fn An e j n 2 an bn 1 ( An cos n jAn sin n ) 2 1 ( an jbn ) 2
4.2
傅里叶级数
2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t T 2 T 2 2 bn T f (t ) sin(nt ) d t T 2
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2 青岛科技大学信息科学技术学院 /T
4.2 傅里叶级数 信号与系统 电子教案 2 T bn 2T f (t ) sin(nt )dt T 2 2 0 2 T T (1) sin(nt )dt 2 (1) sin(nt )dt T 2 T 0 2 1 2 1 0 cos( nt ) T / 2 [ cos( nt )] T / 2 0 T n T n