2-2-2_方程组解法综合题库学生版

3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．题型1：二元一次方程【例1-1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)．举一反三：下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．=y+5x B ．3x+2y=2x+2y C ．x=y 2+1 D ．题型2：二元一次方程的解【例2-1】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例2-2】已知二元一次方程． ⎩⎨⎧=-=+52013y x x x ay b =⎧⎨=⎩2526x y x y +=⎧⎨+=⎩1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩102x +=251x y+=132x y +=280x y -=462x y +=3142x y +=(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ； (3)用适当的数填空，使是方程的解．举一反三：1、若方程的一个解是，则a= .2、已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．题型3：二元一次方程组及方程组的解【例3-1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例3-2】判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1） （2）举一反三：2_______x y =-⎧⎨=⎩24ax y -=21x y =⎧⎨=⎩4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②35x y =⎧⎨=-⎩21x y =-⎧⎨=⎩1、写出解为的二元一次方程组．知识点二：代入消元法1、消元法消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.消元的基本思路：未知数由多变少.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．题型1：用代入法解二元一次方程组 【例1-1】用代入法解方程组：的解为 ．12x y =⎧⎨=-⎩【例1-2】用代入法解二元一次方程组：举一反三：1、若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.2、与方程组有完全相同的解的是（ ）A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．3、若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .题型2：由解确定方程组中的相关量 【例2-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【例2-1】若方程组的解为，试求的值.举一反三：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩22(2)0x y x y +-++=ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩14x y =⎧⎨=⎩a b 、1、已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．知识点三：加减消元法1、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．2、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．题型1：加减法解二元一次方程组【例1-1】直接加减：已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则3m n+的值为．【例1-2】先变系数后加减：2521 4323x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②【例1-3】建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【例1-4】先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②举一反三：1、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．题型2：用适当方法解二元一次方程组【例2-1】（1）323112x yx y-=⎧⎨=-⎩（2）5(1)2(3)2(1)3(3)m nm n-=+⎧⎨+=-⎩举一反三：1、用两种方法解方程组29(1) 321(2) x yx y+=⎧⎨-=-⎩三、课堂练习一、选择题1．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53x yz x+=⎧⎨+=⎩B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩2. 是方程ax﹣y=3的解，则a的取值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．13. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩ B ．21x y =⎧⎨=⎩ C ．11x y =⎧⎨=⎩ D ．23x y =⎧⎨=⎩4.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解5．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ） A ．4和6 B ．6和4C ．2和8D ．8和﹣26．对于方程3x-2y-1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）. A ．1(31)2y x =- B ．312x y += C ．1(21)3x y =- D ．213y x += 7．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a-b 的值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．38．已知2|21|(27)0x y x y --++-=，则3x y -的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣6 D ．8 9．用加减消元法解二元一次方程组231543x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，下列步骤可以消去未知数x 的是（ ）A ．①×4+②×3B ．①×2-②×5C ．①×5+②×2D ．①×5-②×2 10．解方程组①3759y x x y =-⎧⎨+=-⎩，②3512,215 6.x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是（ ）A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法 二、填空题11．已知方程2x+y ﹣5=0用含y 的代数式表示x 为：x= ．12.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==13.若（a ﹣3）x+y |a|﹣2=1是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值是 ．14．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．15.若方程3x-13y ＝12的解也是x-3y ＝2的解，则x ＝________，y ＝_______． 16.方程组的解是 ．17．用加减法解方程组3634x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________． 18．若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝_______，n ＝_______． 19．已知关于x ，y 的方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩满足3x y +=，则k = ．三、解答题20.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组． （1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．21．用代入法解下列方程组：一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的是（）A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=12. 关于,m n的两个方程23321m n m n-=+=与的公共解是（）A.3mn=⎧⎨=-⎩B.11mn=⎧⎨=-⎩C.12mn=⎧⎪⎨=⎪⎩D.122mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩3．利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．由①得x= B．由①得y=C．由②得y= D．由②得y=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13- C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（）A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等7．方程组231498x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解是（）A．13xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．1223xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1223xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）A．﹣B．C．D．﹣二、填空题9.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.10.已知，且，则___________.11.若方程ax-2y＝4的一个解是21xy=⎧⎨=⎩，则a的值是 .12．二元一次方程组的解是．13．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．14.已知二元一次方程组2728x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x-y＝________，x+y＝________．三、解答题15．若方程组是二元一次方程组，求a的值．16．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．。

第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：(1)转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.(2)代入：把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.(3)求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.(4)回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.(5)检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想(一般思路)是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【即学即练】m取什么数值时，方程组的解(1)是正数；(2)当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：能力拓展解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组：．【即学即练】解方程组(1)2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩(2)45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①② 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【典例4】已知2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b +的值．【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组的解为，求关于x 、y 的方程组的解．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ． 考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【即学即练】【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求(k+1)2的值．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是( ) A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y2．用加减消元法解二元一次方程组3421x y x y +=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是( ) A ．①×2﹣② B ．②×(﹣3)﹣① C ．①×(﹣2)+② D ．①﹣②×33．解方程组231367x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y ，需要( ) 分层提分A ．①×2﹣②B ．①×3﹣②×2C ．①×2+②D ．①×3+②×24．用加减法将方程组2311255x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后，得到的方程是( )．A ．26y = B ．816y = C ．26y -= D ．816y -=5．利用加减消元法解方程组2510{536x y x y +=-=，①②，下列做法正确的是( ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3D ．要消去x ，可以将①×(-5)＋②×26．用代入消元法解方程组3+4=225x y x y ⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是( ) A ．由①得243y x -=B ．由①得234x y -=C ．由②得52y x +=D ．由②得y ＝2x －57．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a+b 的值为( ) A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．2 8．已知=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，则2m n -的算术平方根为( )A ．±2BC ．2D ．49．若|321|0x y --=，则x ，y 的值为( )A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．若方程组31331x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为( ) A ．﹣1 B ．1 C ．0 D ．无法确定12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为( )A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___． 15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______． 16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____． 17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________． 18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为 ． 19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m-7n 的算术平方根是_________.20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 21．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3{ 1.2,a b ==则方程组的解为________题组C 培优拔尖练22．解下列方程组(1)257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ (2)33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩23．(1)用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩(2)用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ 24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx y x ny +=-=时，甲解题时看错了m ，解得7{22x y ==- ；乙解题时看错了n ，解得3{7x y ==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解． 25．阅读探索解方程组(1)2(2)62(1)(2)6a b a b -++=⎧⎨-++=⎩解：设a &#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x ，b &#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y ，原方程组可变为2626x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得22x y =⎧⎨=⎩，即1222a b -=⎧⎨+=⎩，所以30a b =⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ (2)能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．。

2.方程与不等式：202404各区一模试题分类整理（学生版）一、解不等式（组）1.（2024东城一模T18）解不等式组：26516132x x x +⎧⎪+-⎨⎪⎩＜-≥ 2.（2024西城一模T18）3.（2024朝阳一模T18）解不等式组：2431432（）x x x x -<-⎧⎪⎨--<⎪⎩ 4.（2024海淀一模T18）解不等式组：4352123x x x -<⎧⎪+⎨>-⎪⎩5.（2024丰台一模T18）解不等式组：23352623，．x x x x ->-⎧⎪+⎨<-⎪⎩6.（2024石景山一模T18）解不等式组：4178523x x x x -<+->⎧⎪⎨⎪⎩，.7.（2024延庆一模T18）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+.22312x x x x ，8.（2024门头沟一模T18）解不等式组：()2131242x x x x +-⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜，并求出该不等式组的非负整．．．数解．．。

．9.（2024房山一模T18）解不等式组：47135.2x x x x ->-⎧⎪⎨-<⎪⎩，10.（2024燕山一模T18）解不等式组：3421 532x xxx-<+⎧⎪⎨+>⎪⎩，.11.（2024平谷一模T18）解不等式组：3216 2x xx x-⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜12.（2024大兴一模T18）解不等式组：4125 213x xxx⎧⎪⎨⎪⎩-≥+,-＜.13.（2024顺义一模T18）解不等式组：371, 111 22xx->-⎧⎪⎨+>⎪⎩．14.（2024通州一模T18）二、解方程（组）1.（2024东城一模T11）方程323x x=-的解为。

2.（2024西城一模T11）3.（2024朝阳一模T11）方程21345x x=-的解法为______。

4.（2024海淀一模T11）方程1231x x=-的解为______。

八年级数学下册 2.2.２一元二次方程的解法同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学下册2．2.2 一元二次方程的解法同步练习(新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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一元二次方程班级：___＿___＿_＿_姓名:＿＿＿_____＿_＿得分：＿_＿_______一． 选择题(每小题５分，２0分)１、将方程03-22=+x x 化为()n m -x 2=的形式,m 和ｎ分别是（ ）A 、 1,3B 、—１，３C 、 1,4 Ｄ、—１，4２、用配方法解方程01-22=+x x 时，原方程应变形为( )Ａ。

()612=+x B.()61-2=xC 。

()922=+xD 。

()92-2=x3、将一元二次方程05-2-2=x x 化为()b a x 2=+的形式，则b=( ) A 、3 B 、４ C 、７ D 、１34、关于x 的一元二次方程0k 2=+x 有实数根，则（ ) A 。

k<0 Ｂ. k 〉0 Ｃ． ｋ≥0 D 。

ｋ≤0二、计算题(每小题10分，40分)1、5x 2+2x －1=0 ２、x 2+6ｘ+9＝73、()()333-x 2-=x x4、05-1)-x 22=（三、解答题(每小题10分,４0分）1.已知关于x 的一元二次方程x 2-２kx+12k 2—2=0. 求证:不论ｋ为何值,方程总有两不相等实数根.2、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解,且a b ≠,求2222a b a b --的值.３． 我们知道：对于任何实数x ,①∵2x ≥0，∴2x +1>0; ②∵2)31(-x ≥0,∴2)31(-x +21＞0.模仿上述方法解答：求证:（１）对于任何实数x ，均有:3422++x x ＞0；（2)不论x 为何实数,多项式1532--x x 的值总大于2422--x x 的值．4.关于x 的一元二次方程（ａ+c )ｘ2+２bx +（a ﹣c )＝０,其中a 、ｂ、ｃ分别为△ＡBC 三边的长．（1)如果x =﹣１是方程的根,试判断△A ＢC 的形状,并说明理由;（2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由;（3）如果△A ＢC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．ﻬ参考答案一． 选择题、1.Ｃ【解析】()41-x 2=配方得２． A【解析】()61151222=++=++x x x ，即３. D ．【解析】 配方0139322=-+⨯-x x13,313)3(,013)3(22=-=∴=-=--b a x x 即则４. D【解析】-k 2=xk -x ±=，若有实数根,则—k ≥0，k ≤0二、计算题1. 解:a =5,b =2，c ＝-1∴Δ=ｂ2-４ac =4+4×5×１=24>０∴x 1·2＝56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x２．解:整理,得:x 2＋6x +２=0∴a ＝1，b ＝6,c =2∴Δ＝b 2-4ac =３6－4×1×2＝２8>0∴x １·2=2286±-=－3±7 ∴x 1＝-3+7，x ２=-3-73、3,320)3)(23(06113936-x 22122===--=+--=x x x x x x xx4、()2102,2210251212-=+==-x x x三、解答题1、(1）Δ=2k 2＋８〉0， ∴不论k 为何值，方程总有两不相等实数根。

二元一次方程组计算50题二元一次方程组计算50题1．解方程组：．2．解方程组：．3．解方程组：．4．解方程组：．5．解方程组：．6．解方程组：．7．解方程组：8．解方程组：．9．解方程组：．10．解方程组：．11．解方程组：．12．解方程组：．13．解方程组：．14．解方程组：．15．解方程组：．二元一次方程组计算50题16．解方程组：．17．解方程组：．18．解方程组：19．解方程组：．20．解方程组：．21．解方程组：22．解方程组：．23．解方程组：．24．解方程组：．25．解方程组：．26．解方程组：．27．解方程组：．28．解方程组：．29．解方程组：．30．解方程组：31．解方程组：．32．解方程组：．二元一次方程组计算50题33．解方程组：．34．解方程组：35．解方程组：．36．解方程组：．37．解方程组：．38．解方程组：．39．解方程组：．40．解方程组：．41．解方程组：．42．解方程组：．43．解方程组：．44．解方程组：．45．解方程组：．46.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--3y x 22y x 31214y x 3y x 2）（）（）（47.解方程组：⎪⎪⎪⎨⎧=---=+--11y 3x 042y 31x二元一次方程组计算50题48．解方程组：．49．解方程组：．50．解方程组：4yx 610y 2x 32y x ++=-=+。

解得,x = 220,y= 260.二元一次方程组精选应用题库二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛，尤其是生活、生产实践中 的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五 步，即：（1） 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数， 并用字母表示其中的两个未知数；（2） 找：找出能够表示题意两个相等关系；（3） 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4） 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5） 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 . 现将中考中常见的几种题型归纳如下：一、市场营销问题例1（ 2005年河南省实验区）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标 价出售.“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八 折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182元，两种服装标价之和为 210元•问这两种服装的进价和标价各是多少元？解：设甲种服装的标价为x 元，则进价为—元；乙种服装的标价为y 元,1.4则进价为書元由题意'得所以，—=50 （元），上=100 （元）.1.41.4故甲种服装的进价和标价分别为 50元、70元，乙种服装的进价和标价分别 为100元、140元.二、生产问题例2（ 2005年长沙市实验区）某工厂第一季度生产两种机器共 480台.改进 生产技术后，计划第二季度生产两种机器共 5544台，其中甲种机器产量要比第 一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%.该厂第一季度生产甲、 乙两种机器各多少台？解：设该厂第一季度生产甲种机器x 台，乙种机器y 台.由题意，得｛：0%：；4X =540 — 480.”y =210,0.8x+0.9y =182.解得,x = 70, =140.故该厂第一季度生产甲种机器 220台，乙种机器260台.、校舍改造问题例3为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一 部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建造新校舍每平方米 需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200平方米，在实施中为扩大 绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%, 结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1） 求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2） 若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资 金用来绿化大约是多少平方米？分析：本题可以设一个未知数列方程来解决，但关系复杂，转化起来比较繁 杂•因此，选用列二元一次方程组来解决•其中有两个很明显的相等关系：一是原 计划拆、建总面积，二是实施当中，拆、建的总面积 .解：（1）设原计划拆除旧校舍x 平方米，新校舍y 平方米.由题意，得‘X + y = 7200,（1+10%）x+80%y =7200.（2）实际比原计划拆除与新建校舍节约资金为:(4800X 80+ 2400X 700)— [4800X( 1 + 10%)x 80 + 2400X 80%]X 700 = 297600.用此资金可绿化面积为 297600- 200 = 1488 （平方米）四、方案选择问题例4 （2005年临沂市实验区）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样 的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 8桶和12桶, 且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱.若只考虑价格因素，通过计算说明到哪 家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x 、y 元.由题意，得；10x +6y =51,J2y -8x=18.解得，厂3,$ =3.5.由于3.5 > 3,所以到甲供水点购买便宜一些.解得,；x = 4800, y = 2400.开动脑筋，做一做：1、（2005年无锡市实验区）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:2、（2005年吉林省实验区）随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每 年按逐渐减少的趋势发展，某区2003年和2004年小学儿童人数之比为8 : 7,且 2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1500人，某人估计2005年 入学儿童数将超过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化 趋势.五、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上 的数，所得两位数比原两位数大 27,求这个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为 x ，个位上的数为y ,则这个两位数及新两位数及其之 间的关系可用下表表示：点评：由于受一元一次方程先入为主的影响， 不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次 方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接 设这个两位数为x ，或只设十位上的数为x ，那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程.一般 地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 元”，然后列多元方程组解之.x = 1‘10x + y= x + y+ 9 解方程组 10y ^10x y y 27，得14.因此，所求的两位数是六、利润问题例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 x 元，进价为y元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折时的 卖出价为0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组C _^20%y ，解得!0.8x-y =10因此，此商品定价为200元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的， 不要误为是相对于定价或卖出价.利润 的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价＞利」润率(盈利百分数)•特 别注意 利润”和利润率”是不同的两个概念.七、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25个或螺母20个，如果一个 螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每 天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套， 根据题 意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数 &=每天生产的螺母数X1.因此, 设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，则每天可生产螺栓 25 x 个，螺母20y 个，依题意，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系， 其中两种最常见的配套问题的等量关系是：(1)二合一 ”问题：如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的b 倍等于(2)三合一 ”问题：如果甲产品a 件，乙产品b 件，丙产品c 件配成一套，那么各种产lx = 200 y =150'x y =120 50x 2=20y 1解之，得x=20 y =100乙产品数的a 倍，即甲产品数a乙产品数b品数应满足的相等关系式是:甲产品数 乙产品数 丙产品数八、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米.分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以 相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一 辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和 犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x 、y 千米/时，则f x — y = 40整理，得f x + y/20，解得f因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：相向而遇”和 同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在 着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.九、货运问题典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲 种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容 积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：充分利用这艘船的载重和容积”的意思是货物的总重量等于船的载重量”且货物 的体积等于船的容积”设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则因此，甲、乙两重货物应各装150吨.点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度•化简时一般是去分母或两边 同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.3 x - y =120 x y =120x = 80y =40，x y 二 3006x 2y =1200整理，得x y = 300 3x y = 600解得x =150 y =150十、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装 厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能 完成订货的4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程， 每天可生产这种工作服200套，这5样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期 限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间U 作效率”以及它们的变式 工作时间=工作量 V 作效率，工作效率=工作量 V 作时间”.其 次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 “ 1表示总工作量.十一【典题精析】（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆.由题意，得‘X + y = 50, 6x +4y = 230.解得，厂1®）=35.故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2 （2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:现在该公司收购了 140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6吨或粗加工蔬菜16吨（两 种加工不能同时进行）.150y 二200( y _1 )= x +25解得尸:;75 卜6元/辆，小型汽车的停 230元，问中、小型（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格:(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应 如何分配加工时间？解：(1)全部直接销售获利为：100X140=14000 (元)；全部粗加工后销售获利为：250X 40=35000 (元);尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450X(6X 8) + 100X( 140-6X 8)=51800(元)(2)设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工.'x + y = 15, Qx +16y =140. 故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.十二【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造 新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍 与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而 拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.(1) 求：原计划拆、建面积各是多少平方米？(2) 若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大 约是多少平方米？答案：(1)原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米;(2)可绿化面积为1488平方米. 由题意，得』解得,x=10, y = 5.。

专题06 二元一次方程组实际应用的五种考法类型一、利润问题例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【变式训练1】某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表(总利润=单价利润×销售量)：(1)该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？、两种品牌篮球共80个，已知购买A品牌篮球的总价比购买B品牌【变式训练2】某商场从厂家购进了A B篮球总价的2倍还多200元，A品牌篮球每个进价100元，B品牌篮球每个进价80元．(1)求购进A B、两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，A品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的A品牌篮球，B品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求A品牌篮球打几折出售？【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对饮品的价格进行了调整．如果将a，销售量仍会上涨25%，如果将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经冰淇淋红茶的售价上涨%过计算，这样调整价格后的总利润比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．类型二、方案问题例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在(2)的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【变式训练2】某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时． (1)当1a b ==时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A ．B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m 和n 有怎样的数量关系？若此时m 与n 的和为6吨，则m 和n 的值分别为多少吨？【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A 型零件和3个B 型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A 型零件或者3个B 型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A 型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A 型零件的加工，且每人每天只能加工4个A 型零件．①设每天安排x 名熟练工人和m 名新工人生产A 型零件，求x 的值(用含m 的代数式表示) ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．类型三、几何图形问题例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为212m的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF(门不需要消耗篱笆)．设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)．(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数(单位：m)，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花．(1)如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的1，求x和y满足的关系式(不含a，b)．2【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，(单位：cm)(1)列出方程(组)，求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张(用m、n的代数式表示)；②当3040≤≤时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．(在m横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程)【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒．．．．. 设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，能做多少个礼盒？(3)若现有B板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，则a的最小值为___________. (请直接写出答案)【变式训练4】(1)如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m=7，n=3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．(2)如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为．(请直接写出答案)(3)如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试求m、n的值．(4)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方形纸片的面积之和为．类型四、行程问题例．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗)卖到B地，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂B→地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/(千米⋅吨)，铁路运费为1元/(千米⋅吨)．(1)求该食品厂到A地，B地的距离分别是多少千米？(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？(利润=总售价-总成本-总运费)【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前15路段小华步行，其余路段小华骑自行车．已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？前15路段小华步行所用时间是多少min？请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第(1)问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．【变式训练2】货车从A地出发将一批防疫物资运往B地．A、B两地相距164千米，货车匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶往B地．已知货车离开A地行驶的路程y(km)与离开A的时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)填表：(分别写出①、②、③处的数据)(2)填空：①货车行驶km时出现的故障；②修车所用的时间为h；③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．(1)本次马拉松比赛共设置______个补给站；(2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？(3)沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：(1)求p，q的值；(2)“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？类型五、工程问题例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n (0＜n ＜5)名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？(可用(1)、(2)问的条件及结论)【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m 人，现招聘n 名新工人(6)m n >>，使得最后能刚好一个月(30天)完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m 的值．【变式训练3】青山化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km 和公路10km 运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km 和公路20km 销售到B 地，已知铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，公路的运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．(1)设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表(表格内填化简的结果)．根据上表列方程组求原料和产品的重量．(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用(1)(2)问的条件及结论)。

知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________.(2000年新加坡数学竞赛题)【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题)【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题)【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下列:则5种数学用品各买一件共需_______元. (北京市竞赛题)5.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。

1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量 2、用代数法来表示各个量：利用“,x y ”表示出所有未知量或变量 3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）一、列方程解应用题的主要步骤⒈ 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；⒉ 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量； ⒊ 找到题目中的等量关系，建立方程； ⒋ 解方程；⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案．二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元法和加减消元法．模块一、列方程组解应用题【例 1】 30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。

每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【巩固】 甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个．问：甲每时加工多少个零件？【例 2】 已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师知识精讲教学目标2-3-2列方程组解应用题所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来0.56元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？【巩固】商店有胶鞋、布鞋共45双，胶鞋每双3.5元，布鞋每双2.4元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多10元．问：两种鞋各多少双？【例3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？【例4】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【例5】有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种盒各有多少盒？【巩固】用62根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15个.其中正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？【例6】有1克、2克、5克三种砝码共16个，总重量为50克；如果把1克的砝码和5克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为34克.那么1克、2克、5克的砝码有多少个？【巩固】某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有人．【例7】有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出20筐，第二辆卡车转移出30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的1.2倍，如果第一辆卡车转移出21筐，第二辆卡车转移出25筐，那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上装有多少筐水果？【巩固】大、小两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水．已知大池容量是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？【例8】某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电0.2千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电0.8千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？【巩固】甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？【巩固】某市现有720万人口，计划一年后城镇人口增涨0.4%，农村人口增长0.7%，这样全市人口增加0.6%，求这个城市现在的城镇人口和农村人口．【例9】某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【巩固】某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？【巩固】下表是某班40名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是2.5分，那么得3分和5分的各有多少人？【例10】在S岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题有30人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？【例11】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【例12】一片青草，每天长草的速度相等，可供10头牛单独吃20天，供60只羊单独吃10天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么，10头牛与60只羊一起吃草，这片草可以吃________天．【例13】甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔19分钟追上丙一次，乙每隔5分钟与丙相遇一次．如果甲4分钟跑的路程与乙5分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？【例14】甲、乙二人从相距60千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，6小时后在途中相遇．如果两人每小时所行走的路程各增加1千米，则相遇地点距前一次地点差1千米.求甲、乙两人的速度．【例15】(华杯赛复赛)从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？【巩固】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营)华医生下午2时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后原路返回，下午6时回到诊所．医生走平路的速度是每小时4千米，上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，华医生这次出诊一共走了千米．【例16】(第十一届迎春杯决赛)小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前13时间乘车，后23时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时．已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?【例17】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从A到B，唐老鸭从B到A，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是65∶，如下图所示．M是A、B的中点，离M点26千米的C点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离M点4千米的D点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么A与B之间的距离是千米．【例18】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点.如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米．如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？【例19】甲、乙二人共存款100元，如果甲取出49，乙取出27，那么两人存款还剩60元.问甲、乙二人各有存款多少元？【巩固】甲、乙两个容器共有溶液2600克,从甲容器取出14的溶液，从乙容器取出15的溶液，结果两个容器共剩下2000克.问：两个容器原来各有多少溶液？【例20】某班有45名同学，其中有6名男生和女生的17参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.问：这个班有多少名男生？【巩固】甲、乙两班人数都是44人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的13，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的14，那么共有多少人未参加数学小组？【例21】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍．问：男孩、女孩各有多少人？【巩固】有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？【巩固】教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。

专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。

本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。