八年级数学__难题、易错题与精品试题汇编1

八年级下易错题集（一）一．选择题（共16小题）1．代数式中，分式的个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知对任意实数x，式子都有意义，则实数m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4 3．（龙岩模拟）当式子的值为零时，x等于（）A．4B．﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 4．若分式的值为正，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＞﹣C．x≠﹣D．x＞﹣且x≠05．分式中的x，y同时扩大3倍，则分式的值（）A．不变B．是原来的3倍C．是原来的4倍D．是原来的6．下面各分式：，其中最简分式有（）个．A．4B．3C．2D．17．（眉山）某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟8．计算的结果为（）A．a2B．C．D．9．计算的结果是（）A．1B．﹣1 C．D．10．（鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．﹣1.5 B．1C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5 11．（扬州）若方程=1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1 D．1和﹣1 12．如图可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．13．（金华）小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．14．下列函数：①y=﹣8x、②、③y=8、④y=﹣8x2+6、⑤y=﹣0.5x﹣1中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（辽宁）下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．16．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较二．填空题（共9小题）17．约分：=_________；=_________．18．（清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________．19．等腰三角形的周长是16，写出底边长y与一腰长x的函数关系式____，自变量x的取值范围是________．20．（贵州模拟）在函数y=中，自变量的取值范围是_________．21．已知函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k_________时，它是一次函数，当k=_______时，它是正比例函数．22．（包头）若一次函数y=ax+1﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交于正半轴，则|a﹣1|+=_________．23．（襄阳）若一次函数y=2（1﹣k）x+k﹣1的图象不过第一象限，则k的取值范围是_________．24．将直线y=2x沿x轴的正方向平移1个长度单位，得到直线_________．25．直角坐标系中，直线y=2x+3关于原点对称的解析式为_________．三．解答题（共5小题）26．通分：，．27．计算：（1）；（2）÷（a2﹣4）•．28．（六合区一模）化简，求值：），其中m=．29．（苏州）解分式方程：+=3．30．（沈阳）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．代数式中，分式的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：分式的定义．分析：找到分母中含有字母的式子的个数即可．解答：解：分式共有2个，故选B．点评：本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．2．已知对任意实数x，式子都有意义，则实数m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4考点：分式有意义的条件．专题：常规题型．分析：先把分母配方，然后根据分母不等于0结合平方数非负数解答即可．解答：解：∵x2﹣4x+m=（x﹣2）2+m﹣4，∵（x﹣2）2≥0，对任意实数式子都有意义，∴m﹣4＞0，解得m＞4．故选A．点评：本题考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义⇔分母不为零，并利用配方法对分母进行整理是解题的关键．3．（龙岩模拟）当式子的值为零时，x等于（）A．4B．﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，|x|﹣3=0，解得x=3或﹣3，又x2﹣2x﹣3≠0，解得x1≠﹣1，x2≠3，所以，x=﹣3．故选B．点评：本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．若分式的值为正，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＞﹣C．x≠﹣D．x＞﹣且x≠0考点：分式的值．专题：计算题．分析：根据分式的性质列出不等式组解此不等式组即可．解答：解：由分式的性质可得，解得x＞﹣且x≠0，故选D．点评：本题考查不等式的解法和分式的取值，注意分式的分母不能为0，比较简单．5．分式中的x，y同时扩大3倍，则分式的值（）A．不变B．是原来的3倍C．是原来的4倍D．是原来的考点：分式的基本性质．分析：x，y都扩大3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y，用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．解答：解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，则分式是原来的3倍．故选B．点评：解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．6．下面各分式：，其中最简分式有（）个．A．4B．3C．2D．1考点：最简分式．分析：最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．解答：解：；=；；分子分母没有公因式，是最简分式．故选D．点评：判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子分母是不是有公因式．7．（眉山）某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟考点：列代数式（分式）．专题：应用题．分析：由题意可知收费为=a+（打长途电话的时间﹣1）b．解答：解：设此人打长途电话的时间是x分钟，则有a+b（x﹣1）=8，解得：x=．故选C．点评：注意此题的分类收费方式．找到相应的量的等量关系是解决问题的关键．8．计算的结果为（）A．a2B．C．D．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：先把除法转化成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．解答：解：=a2××=．故选B．点评：本题考查了分式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．9．计算的结果是（）A．1B．﹣1 C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算，如果分式分母互为相反数，则先将其变为同分母分数，然后再直接相加减即可．解答：解：，故选B．点评：在进行分式的加减运算时，应注意分式符号的改变．10．（鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．﹣1.5 B．1C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5考点：分式方程的解．专题：计算题；压轴题．分析：去分母得出方程①（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．解答：解：方程两边都乘以x（x﹣3）得：（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），即（2m+1）x=﹣6，分两种情况考虑：①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=﹣0.5，②∵关于x 的分式方程无解，∴x=0或x﹣3=0，即x=0，x=3，当x=0时，代入①得：（2m+0）×0﹣0×（0﹣3）=2（0﹣3），解得：此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+3）×3﹣3（3﹣3）=2（3﹣3），解得：m=﹣1.5，∴m的值是﹣0.5或﹣1.5，故选D．点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，难度也适中．11．（扬州）若方程=1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1 D．1和﹣1考点：分式方程的增根．专题：压轴题．分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根可能是x=1或﹣1．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．当x=1时，m=3，当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，所以增根只能是x=1．故选B．点评：求增根只需将最简公分母等于0即可，但有两个或两个以上的增根时需进行检验．12．如图可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．考点：函数的概念．分析：由函数的概念，对每一个x有唯一的y和x对应．反映在图象上，取平行于y轴的直线x=a与图象始终只有一个交点．解答：解：由函数的定义．A、B、C中都存在x有两个y与x对应，不能构成函数．故选D点评：此题主要考查了对函数的概念、函数图象的理解，属基本概念的考查．13．（金华）小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：随着时间的增大，路程也越来越远．经过起步，加速，匀速以及减速后停车，结合选项可得出答案．解答：解：随着时间的增多，路程越来越远．过程为起步、加速、匀速、减速之后停车．函数图象的形态为：缓，陡，缓，停．故选D．点评：应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．14．下列函数：①y=﹣8x、②、③y=8、④y=﹣8x2+6、⑤y=﹣0.5x﹣1中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：一次函数的定义．分析：根据一次函数的定义进行逐一分析即可．解答：解：①是一次函数；②自变量次数不为1，故不是一次函数；③是常数函数；④自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤是一次函数．∴一次函数有2个．故选B．点评：解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．15．（辽宁）下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．专题：压轴题．分析：分别根据四个答案中函数的图象求出m的取值范围即可．解答：解：A 、由函数图象可知，，解得，0＜m＜3；B 、由函数图象可知，，解得，m=3；C 、由函数图象可知，，解得，m＜0，m＞3，无解；D、由函数图象可知，解得，m＜0．故选C．点评：此题比较复杂，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出无解的一组．16．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．解答：解：∵k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小．∵﹣4＜2，∴y1＞y2．故选：A．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．二．填空题（共9小题）17．约分：=；=．考点：约分．分析：先把分子和分母因式分解，再约去分母与分子的公因式，即可得出答案．解答：解：=；==；故答案为：，．点评：此题考查了约分，用到的知识点是分式的基本性质、平方差公式和完全平方公式，注意把结果化到最简．18．（清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=．考点：负整数指数幂；零指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂两个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=（π﹣3）0+2﹣1=1+=．故答案为1.5．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．19．等腰三角形的周长是16，写出底边长y与一腰长x的函数关系式y=﹣2x+16，自变量x的取值范围是4＜x＜8．考点：函数关系式．分析：根据等腰三角形的周长、底边和腰长的关系可得函数关系式，根据三角形的两边之和大于第三边，可得自变量x的取值范围．解答：解：由等腰三角形的周长是16，底边长y与一腰长x，可得函数关系式：y=﹣2x+16，∵2x＞﹣2x+16，∴自变量x的取值范围是4＜x＜8，故答案为：y=﹣2x+16，4＜x＜8．点评：本题考查了函数关系式，三角形的周长减两腰长等于底边长的解析式，三角形两边之和大于第三边得自变量的取值范围．20．（贵州模拟）在函数y=中，自变量的取值范围是x＞1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣1≥0且x2﹣1≠0，解得x≥1且x≠±1，所以x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．21．已知函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k≠1时，它是一次函数，当k=﹣1时，它是正比例函数．考点：一次函数的定义；正比例函数的定义．专题：待定系数法．分析：根据正比例函数的定义可得出k的值及取值范围．解答：解：∵函数y=（k﹣1）x+k2﹣1是一次函数，∴k﹣1≠0，即k≠1；函数y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k﹣1≠0，k2﹣1=0，∴k=﹣1．点评：本题考查对正比例函数和一次函数的概念理解．形如y=kx，（k≠0）为正比例函数；y=kx+b，（k≠0）为一次函数．22．（包头）若一次函数y=ax+1﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交于正半轴，则|a﹣1|+=1．考点：一次函数的性质．专题：计算题．分析：由一次函数y=ax+1﹣a中y随x的增大而增大，可以推出a＞0，又由于它的图象与y轴交于正半轴可以得到a＜1，最后即可确定a的取值范围，于是可以求出题目代数式的结果．解答：解：∵一次函数y=ax+1﹣a中，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵它的图象与y轴交于正半轴，∴1﹣a＞0，即a＜1，故0＜a＜1；∴原式=1﹣a+a=1．故填空答案：1．点评：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．23．（襄阳）若一次函数y=2（1﹣k）x+k﹣1的图象不过第一象限，则k的取值范围是1＜k≤2．考点：一次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：若函数y=2（1﹣k）x+k﹣1的图象不过第一象限，则此函数的x的系数小于0，b≤0．解答：解：∵函数y=2（1﹣k）x+k﹣1的图象不过第一象限，∴2（1﹣k）＜0，k﹣1≤0，∴1＜k≤2．点评：一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0．24．将直线y=2x沿x轴的正方向平移1个长度单位，得到直线y=2x﹣2．考点：一次函数图象与几何变换．分析：沿x轴正方向平移即是向右平移，根据解析式“左加右减”的平移规律，即可得到平移后的直线解析式．解答：解：将直线y=2x沿x轴的正方向平移1个长度单位，得到直线y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．故答案为y=2x﹣2．点评：本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．25．直角坐标系中，直线y=2x+3关于原点对称的解析式为y=2x﹣3．考点：中心对称；一次函数图象与几何变换．分析：若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数．解答：解：直线y=2x+3关于原点对称的解析式为y=2x﹣3．点评：能够数形结合来分析此类型的题，根据图形，发现k和b值之间的关系．三．解答题（共5小题）26．通分：，．考点：通分．专题：计算题．分析：将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂．解答：解：=，=．点评：本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂．27．计算：（1）；（2）÷（a2﹣4）•．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（1）原式=1﹣•=1﹣==﹣；（2）原式=••=．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（六合区一模）化简，求值：），其中m=．考点：分式的化简求值．分析：这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．解答：解：原式======．当m=时，原式==．点评：考查了分式的化简求值，本题的关键是化简，然后把给定的m值代入求值．29．（苏州）解分式方程：+=3．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．30．（沈阳）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？考点：分式方程的应用．专题：压轴题．分析：根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间就可以了．解答：解：设乙每小时加工机器零件x个，则甲每小时加工机器零件（x+10）个，根据题意得：=，解得x=40，经检验，x=40是原方程的解，x+10=40+10=50．答：甲每小时加工50个零件，乙每小时加工40个零件．点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。

1 / 5新人教版八年级数学上册期末难题(学生易错题)1. 如图1,己知BD 、CE 是△ABC 的高,点P 在BD 的延长线上,BP=AC,点Q 在CE 上,CQ=AB,试猜想AP 与AQ 有怎样的位置和大小关系,并证明你的结论。

2. 如图2,下面四个结论中,请你以其中两个为己知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题（只需写出一种情况） ①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C己知： 求证： 证明：3．如图3,己知△ABC 的外角∠DBC 、∠BCE 的平分线交于点F,且∠A=80°,求∠F 的度数。

4．如图4. 己知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F,求证：点F 在∠DAE 的平分线上。

5．如图5,D 是△ABC 的边BC 上一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:AC=2AE.6．如图6,己知Rt △ABC 中,∠ACD 是直角,D 是AB 上一点,BD=BC,过D 作AB 的垂线交AC 于E,求证:CD ⊥BE.期末复习（学生易错题）二1．等腰三角形底边长为5,一腰上的中线分其周长的两部分的差为3,求等腰三角形腰长。

2. 如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的高,AE 平分∠CAB,交CD 于点F,过E 作EG ⊥AB,垂足G 。

(1)求证：CE=CF=FG ： (2) 连接CG,判断CG 与EF 有何特殊关系,并加以说明。

┐E DF C BA图OAEBC图2C图1ECDBAF图4 图5图6A图12 / 53.如图3,己知在等边三角形△ABC 中,AE=CD,AD 、BE 交于点P,BQ ⊥AD 于Q.求证BP=2PQ4. 如图2,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于D,且AB+BD=DC,求∠C 的度数。

5. 如图1,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于E 点,AB=36,BC=24△ABC 的面积为144,求DE的长6. 如图4,在Rt △ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,O 为BC 的中点,如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论,期末复习（学生易错题）三1.如图1,己知在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,CD ⊥AB 于D,CE 平分∠BCD 交AB 于E,AF 平分∠CAD,交CD 于F,求证:EF ∥BC 。

八年级数学全册全套试卷易错题（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．【详解】（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．又 BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE （SAS）∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．故答案为垂直，相等；②都成立，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB与△EAC中，AD AEBAD CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△DAB≌△EAC，∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAE中，AC AGDAG EACAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．3．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作A E⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH＝∠HAB＝45°∵BM⊥AE∴∠ABH＝∠OAE在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.4．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．【详解】解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE 是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM 与△DEN 中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴点E在∠ACB的平分线上，即CE是ACB∠的平分线（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=22()2CN AC CD=+，当AC=3，CD=CO=1时，CE=2(31)22+=当AC=3，CD=CB=7时，CE=2(37)52+=∴点E的运动路程为：522232-=，【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．5．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线，∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）．∴CAD G ∠=∠，BG AC =．又BE AC =，∴BE BG =．∴BED G ∠=∠．∵BED AEF ∠=∠∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠∴AF EF =．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.8．已知等边△ABC 的边长为4cm ，点P ，Q 分别是直线AB ，BC 上的动点．（1）如图1，当点P 从顶点A 沿AB 向B 点运动，点Q 同时从顶点B 沿BC 向C 点运动，它们的速度都为lcm /s ，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接AQ ，PQ ． ①当t ＝2时，求∠AQP 的度数．②当t 为何值时△PBQ 是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由见解析.【解析】【分析】（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．【详解】解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，∴AQ⊥BC，∠B＝60°，∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝43；当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝83；∴当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由如下：如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，则△BQF是等边三角形，∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，∴∠QFP＝∠PAC＝120°，∵PQ＝PC，∴∠QCP＝∠PQC，∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∴∠BPQ＝∠ACP，在△PQF和△CPA中，∵BPQ ACPQFP PAC PQ PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PQF≌△CPA（AAS），∴AP＝QF，∴AP＝BQ，∴BQ+CQ＝BC＝AC，∴AP+CQ＝AC．【点睛】考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.9．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602α︒+，BC=DC，∴∠DBC=∠BDC()1806021806022BCDαα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.10．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.12．（1）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．考点：1．平方差公式；2．规律型．13．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]＝(1＋x)n (1＋x)＝(1＋x)n ＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.14．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．15．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-． 【解析】【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意，∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.17．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是a b （a 、b 均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得a m b m++，则两个分数的大小关系是a mb m ++_____a b . （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.【答案】(1) 12；14；16；18；19；23；25；27；29；15；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.【解析】【分析】（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答. 【详解】 解：（1）12、14、16、18、19，23、25、27、29、15；（2）a m a b m b+>+； （3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数； （4）思路1：如图2所示，由a b <，得12s s s s +>+，即ab bm ab am +>+，()().a b m b a m +=+，可推出a m a b m b+>+； 思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：1a b a b b --=，1a m b a b m b m+--=++，因为a 、b 、0m >，且a b <，故1a b - 1a m b m +>-+，即a m a b m b+>+ （5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；（6）数学问题举例：①若a b是假分数，会有怎样的结论？ ②a 、b 不是正数，或不全是正数，情况如何？【点睛】本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.18．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．19．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润-售价-进价）？【答案】（1）120元（2）至少打7折．【解析】【分析】（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：。

（易错题精选）初中数学代数式难题汇编及答案解析(1)一、选择题1．下列运算中正确的是（ ）A ．2235a a a +=B ．222(2)4a b a b +=+C ．236236a a a ⋅=D ．()()22224a b a b a b -+=- 【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案．【详解】A 、2a+3a=5a ，故本选项错误；B 、（2a+b ）2=4a 2+4ab+b 2，故本选项错误；C 、2a 2•3a 3=6a 5，故本选项错误；D 、（2a-b ）（2a+b ）=4a 2-b 2，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．2．下列运算正确的是（ ）A ．21ab ab -=B 3=±C ．222()a b a b -=-D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解：A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误；B 3=，故B 项错误；C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误；D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查：（1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.3．下列运算正确的是（ ）A．3a3+a3＝4a6B．（a+b）2＝a2+b2C．5a﹣3a＝2a D．（﹣a）2•a3＝﹣a6【答案】C【解析】【分析】依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可．【详解】A.3a3+a3＝4a3，故A错误；B．（a+b）2＝a2+b2+2ab，故B错误；C.5a﹣3a＝2a，故C正确；D．（﹣a）2•a3＝a5，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解题的关键．4．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是()A．点F B．点E C．点A D．点C【答案】A【解析】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A共爬行了8cm（称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm，所以它停的位置是F点．详解：一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A共爬行了8cm，而2014÷8=251……6，所以当电子甲虫爬行2014cm时停下，它停的位置是F点．故选A．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．5．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.【详解】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；……∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，故选C.【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.6．计算的值等于（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】原式＝＝＝.【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．7．已知a +b +c =1，22223+-+=a b c c ，则ab 的值为（ ）．A ．1B ．－1C ．2D ．－2 【答案】B【解析】【分析】将a +b +c =1变形为a +b =1- c ，将22223+-+=a b c c 变形为222221+=+--a b c c ，然后利用完全平方公式将两个式子联立即可求解．【详解】∵22223+-+=a b c c∴()222221=12+=--+-a b c c c∵a +b +c =1∴1+=-a b c∴()()221+=-a b c∴()2222+=+-a b a b展开得222222++=+-a b ab a b∴1ab =-故选B ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，根据等式特点构造完全平方式是解题的关键．8．一家健身俱乐部收费标准为180元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A 类会员年卡，一年内健身20次，消费1500100203500+⨯=元，若一年内在该健身俱乐部健身的次数介于50-60次之间，则最省钱的方式为（ ）A ．购买A 类会员年卡B ．购买B 类会员年卡C ．购买C 类会员年卡D ．不购买会员年卡【解析】【分析】设一年内在该健身俱乐部健身x次，分别用含x的代数式表示出购买各类卡所需消费，然后将x=50和x=60分别代入各个代数式中比较大小即可得出结论．【详解】解：设一年内在该健身俱乐部健身x次，由题意可知：50≤x≤60则购买A类会员年卡，需要消费（1500＋100x）元；购买B类会员年卡，需要消费（3000＋60x）元；购买C类会员年卡，需要消费（4000＋40x）元；不购买会员卡年卡，需要消费180x元；当x=50时，购买A类会员年卡，需要消费1500＋100×50=6500元；购买B类会员年卡，需要消费3000＋60×50=6000元；购买C类会员年卡，需要消费4000＋40×50=6000；不购买会员卡年卡，需要消费180×50=9000元；6000＜6500＜9000当x=60时，购买A类会员年卡，需要消费1500＋100×60=7500元；购买B类会员年卡，需要消费3000＋60×60=6600元；购买C类会员年卡，需要消费4000＋40×60=6400；不购买会员卡年卡，需要消费180×60=10800元；6400＜6600＜7500＜10800综上所述：最省钱的方式为购买C类会员年卡故选C．【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键．9．如果多项式4x4+ 4x2+A是一个完全平方式，那么A不可能是（）．A．1 B．4 C．x6D．8x3【答案】B【解析】【分析】根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】∵4x4+ 4x2+1=（2x+1）2，∴A=1，不符合题意，∵4x4+ 4x2+ 4不是完全平方式，∴A=4，符合题意，∵4x4+ 4x2+x6=（2x+x3）2，∴A= x6，不符合题意，∵4x4+ 4x2+8x3=（2x2+2x）2，∴A=8x3，不符合题意．故选B．本题主要考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．10．若多项式x 2+mx +4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ） A ．4B ．﹣4C ．±2D ．±4【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式因式分解2222=()a ab b a b ±+±计算即可．【详解】解：∵x 2+mx +4＝（x ±2）2，即x 2+mx +4＝x 2±4x +4，∴m ＝±4．故选：D ．【点睛】本题要熟记完全平方公式，尤其是两种情况的分类讨论．11．如图1，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2D ．a （a ﹣b ）＝a 2﹣ab【答案】A【解析】【分析】 分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【详解】图1阴影部分面积：a 2﹣b 2，图2阴影部分面积：（a +b ）（a ﹣b ），由此验证了等式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，故选：A ．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．12．下列计算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．23a a a +=C ．()325a a =D ．23(1)1a a a +=+【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．【详解】A 、a•a 2=a 3，故A 选项正确；B 、a 和2a 不是同类项不能合并，故B 选项错误；C 、（a 2）3=a 6，故C 选项错误；D 、a 2（a+1）=a 3+a 2，故D 选项错误．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则．13．已知多项式x -a 与x 2+2x -1的乘积中不含x 2项，则常数a 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-2【答案】C【解析】分析：先计算（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1），然后将含x 2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a 的值．详解：（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1）=x 3+2x 2﹣x ﹣ax 2﹣2ax +a=x 3+2x 2﹣ax 2﹣x ﹣2ax +a=x 3+（2﹣a ）x 2﹣x ﹣2ax +a令2﹣a =0，∴a =2．故选C ．点睛：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．14．按如图所示的运算程序，能使输出y 的值为1的是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣3，b ＝﹣1C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝4，b ＝2【答案】A【解析】【分析】 根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A 、当a ＝3，b ＝2时，y ＝12a -＝132-＝1，符合题意； B 、当a ＝﹣3，b ＝﹣1时，y ＝b 2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C 、当a ＝1，b ＝3时，y ＝b 2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D 、当a ＝4，b ＝2时，y ＝12a -＝142-＝12，不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知x=2y+3，则代数式9-8y+4x 的值是（ ）A ．3B ．21C ．5D ．-15【答案】B【解析】【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案.【详解】解:∵x=2y+3∴x-2y=3∴98494(2y x y x -+=--⨯)=9-4(-3)=21故选：B【点睛】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.16．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=3．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．17．计算（－2）2009+（－2）2010的结果是（）A．22019 B．22009 C．－2 D．－22010【答案】B【解析】（－2）2009+（－2）2010=（－2）2009+（－2）2009+1=（－2）2009+（－2）2009×（－2）=（－2）2009×[1+（－2）]=－22009×（－1）=22009，故选B．18．若x+y＝，x﹣y＝3﹣的值为（）A．B．1 C．6 D．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝，x﹣y＝3﹣，==1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．19．若x2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m的值（）A．4 或-6 B．4 C．6 或4 D．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x 2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b 2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m 2+2m-24=0，解得m 1=4，m 2=-6，所以m 的值为4或-6．故选A.20．已知单项式2m 13a b -与n 7a b -互为同类项，则m n +为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据同类项的概念求解．【详解】解：Q 单项式2m 13a b -与7a b n -互为同类项， n 2∴=，m 11-=，n 2∴=，m 2=．则m n 4+=．故选D ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．。

人教版，八年级数学易错题(上)，精品系列一 、容易漏解的题目例１ 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角度数为 ？例２ 若()22316x m x --+是完全平方式，则m 的值应为 ？二、容易多解的题目例 已知分式1.523x x -+的值为0,则x=三、容易误判的题目例 下列说法中正确的是（ ）A.有两条边相等的两个等腰三角形全等B.两腰对应相等的两个等腰三角形全等C.两角对应相等的两个等腰三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等 四、例 分解因式4322x -=五、分式运算中的符号、代值易错例 先化简，再求值：13222a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ a 值代入求值。

跟踪练习１、等腰三角形的周长为19cm,其中一边长5cm,则该等腰三角形的底边长为（ ） A.9cm B.5cm C.9cm 或5cm D.10cm ２、若分式11x x -+的值为0,则x= ３、分解因式39m m -=４、若()211a a +-=，则a=５、若()0232x x -=+，则x= ６、若要使21464x mx ++成为一个两数的完全平方式，则m 的值应为（ ） A.12± B.12- C.14± D.14- ７、无论x 为何值，下列各分式总有意义的是（ ） A.123x + B.23x x - C.2212x x + D.2211x x ++８、若对于任何的有理数m ，分式214x x m-+总有意义，则m 的值应满足 ９、若将n 边形的边数增加1倍，则它的内角和增加，外角和增加１０、有公路L1异侧、L2同侧的两个村庄A 、B ，如图，高速公路管理处要建一处服务区C ，按照设计要求，服务区到两个村庄A 、B 的距离相等，到两条公路L1、L2的距离也必须相等，则符合条件的服务区C 有（ ）处。

A.1B.2C.3D.4１１、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线把三角形的周长分为24 cm 和30 cm 的两部分，求△ABC 各边的长。

（易错题精选）初中数学有理数难题汇编(1)一、选择题1．已知|m+3|与（n ﹣2）2互为相反数，那么m n 等于（ ）A ．6B ．﹣6C ．9D ．﹣9【答案】C【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】∵|m+3|与（n ﹣2）2互为相反数，∴|m+3|+（n ﹣2）2=0，∴m+3=0，n ﹣2=0，解得m=﹣3，n=2，所以，m n =（﹣3）2=9．故选C ．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．若2(1)210x y -++=，则x +y 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．32D ．32- 【答案】A【解析】解：由题意得：x -1=0，2y +1=0，解得：x =1，y =12-，∴x +y =11122-=．故选A ． 点睛：本题考查了非负数的性质．几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．3．下列说法中，正确的是（ ）A ．在数轴上表示-a 的点一定在原点的左边B ．有理数a 的倒数是1aC ．一个数的相反数一定小于或等于这个数D ．如果a a =-，那么a 是负数或零【答案】D【解析】【分析】根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答.【详解】解：A 、如果a<0，那么在数轴上表示-a 的点在原点的右边，故选项错误；B 、只有当a≠0时，有理数a 才有倒数，故选项错误；C 、负数的相反数大于这个数，故选项错误；D 、如果a a =-，那么a 是负数或零是正确.故选D.【点睛】本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4．已知a b >，下列结论正确的是（ ）A ．22a b -<-B ．a b >C ．22a b -<-D ．22a b >【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案．【详解】A. ∵a>b ，∴a −2>b −2，故此选项错误；B. ∵a>b ，∴|a|与|b|无法确定大小关系，故此选项错误；C.∵a>b ，∴−2a<−2b ，故此选项正确；D. ∵a>b,∴a 2与b 2无法确定大小关系，故此选项错误；故选：C.【点睛】此题考查绝对值，不等式的性质，解题关键在于掌握各性质定义.5．－6的绝对值是（ ）A ．-6B ．6C ．- 16D ．16【答案】B【解析】【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6故选B【点睛】考点：绝对值.6．下列说法错误的是（）A．2a与()2a-相等BC．D．a与a-互为相反数【答案】D【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、()2a-=2a，故A正确；B=B正确；C、C正确；D、a a-=，故D说法错误；故选：D.【点睛】本题考查了乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的定义进行解题.7．﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．-13D．13【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.8．在－3，－1，0，3这四个数中，比－2小的数是()A．－3 B．－1 C．0 D．3【答案】A【分析】根据两个负数比较大小，绝对值较大的数反而小，正数比负数大，逐个判断与-2的大小关系即可．【详解】解：∵-32103<-<-<<∴比－2小的数是-3故选：A【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握负数比较大小的方法是关键．9．如图，a 、b 在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（）A ．ab ＞0B ．a ﹣b ＞0C ．a+b ＞0D ．﹣b ＜a 【答案】B【解析】解：A 、由图可得：a ＞0，b ＜0，且﹣b ＞a ，a ＞b∴ab ＜0，故本选项错误；B 、由图可得：a ＞0，b ＜0，a ﹣b ＞0，且a ＞b∴a+b ＜0，故本选项正确；C 、由图可得：a ＞0，b ＜0，a ﹣b ＞0，且﹣b ＞a∴a+b ＜0；D 、由图可得：﹣b ＞a ，故本选项错误．故选B ．10．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）A ．2－()22-B ．2－38-C ．12-与2 D ．2-2 【答案】A【解析】【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．【详解】A 、-2()22-=2，符合相反数的定义，故选项正确；B 、-238-不互为相反数，故选项错误；C 、12-与2不互为相反数，故选项错误；D 、|-2|=2，2与2不互为相反数，故选项错误．【点睛】此题考查相反数的定义，解题关键在于掌握只有符号不同的两个数互为相反数，在本题中要注意理解求|-2|的相反数就是求2的相反数，不要受绝对值中的符号的影响．11．已知a 、b 、c 都是不等于0的数，求a b c abc a b c abc+++的所有可能的值有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据a b c 、、的符号分情况讨论，再根据绝对值运算进行化简即可得．【详解】由题意，分以下四种情况：①当a b c 、、全为正数时，原式11114=+++=②当a b c 、、中两个正数、一个负数时，原式11110=+--=③当a b c 、、中一个正数、两个负数时，原式11110=--+=④当a b c 、、全为负数时，原式11114=----=-综上所述，所求式子的所有可能的值有3个故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．12．如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．b ＞aB ．ab ＞0C ．a ＞bD ．|a |＞|b |【答案】C【解析】【分析】本题要先观察a ，b 在数轴上的位置，得b ＜-1＜0＜a ＜1，然后对四个选项逐一分析．【详解】A 、∵b ＜﹣1＜0＜a ＜1，∴b ＜a ，故选项A 错误；B 、∵b ＜﹣1＜0＜a ＜1，∴ab ＜0，故选项B 错误；C 、∵b ＜﹣1＜0＜a ＜1，∴a ＞b ，故选项C 正确；D 、∵b ＜﹣1＜0＜a ＜1，∴|b |＞|a |，即|a |＜|b |，故选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数．13．12a=-，则a的取值范围是（）A．12a≥B．12a>C．12a≤D．无解【答案】C【解析】【分析】=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可．【详解】=|2a-1|，∴|2a-1|=1-2a，∴2a-1≤0，∴12a≤．故选：C．【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质.14．方程|2x+1|=7的解是（）A．x=3 B．x=3或x=﹣3 C．x=3或x=﹣4 D．x=﹣4【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的意义，将原方程转化为两个一元一次方程后求解．【详解】解：由绝对值的意义，把方程217x＋＝变形为：2x＋1＝7或2x＋1＝－7，解得x＝3或x＝－4故选C．【点睛】本题考查了绝对值的意义和一元一次方程的解法，对含绝对值的方程，一般是根据绝对值的意义，去除绝对值后再解方程．15．12的相反数与﹣7的绝对值的和是（）A．5 B．19 C．﹣17 D．﹣5【答案】D【解析】【分析】根据绝对值和相反数的定义进行选择即可．【详解】-12+|-7|=-12+7=-5，故选D．【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，掌握绝对值和相反数的求法是解题的关键．16．- 14的绝对值是（）A．-4 B．14C．4 D．0.4【答案】B【解析】【分析】直接用绝对值的意义求解.【详解】−14的绝对值是14．故选B．【点睛】此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．17．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“6cm”分别对应数轴上表示﹣2和实数x的两点，那么x的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根据数轴的定义进行分析即可.【详解】∵由图可知，﹣2到x之间的距离为6，∴x表示的数为：﹣2+6＝4，故选：B．【点睛】本题考查了用数轴表示实数，题目较为简单，解题的关键是根据如何根据一个已知点和两点的距离求另一个点．18．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A ．3与13B ．2与|-2|C ．(-1) 2与1D ．-4与(-2) 2【答案】D【解析】 考点：实数的性质．专题：计算题． 分析：首先化简，然后根据互为相反数的定义即可判定选择项．解答：解：A 、两数数值不同，不能互为相反数，故选项错误；B 、2=|-2|，两数相等，不能互为相反数，故选项错误．C 、（-1）2=1，两数相等；不能互为相反数，故选项错误；D 、（-2）2=4，-4与4互为相反数，故选项正确；故选D ．点评：此题主要考查相反数定义：互为相反数的两个数相加等于0． 19．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a <-5B ．b +d <0C ．||||a c <D ．c d <【答案】D【解析】【分析】根据数轴得到-5<a<b<0<c<d ，且a d b c >>>，再依次判断各选项即可得到答案.【详解】由数轴得-5<a<b<0<c<d ，且a d b c >>>，∴A 错误；∵b+d>0，故B 错误；∵a c >，∴C 错误；∵d c >，c>0，∴c d <D 正确，故选：D.【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，绝对值的性质，有理数的加法法则.20．数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、1，且|a﹣1|+|b﹣1|＝|a﹣b|，则下列选项中，满足A、B、C三点位置关系的数轴为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义，在四个答案中分别去掉绝对值进行化简，等式成立的即为答案；【详解】A中a＜1＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+b﹣1＝b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴A正确；B中a＜b＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴B不正确；C中b＜a＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝a﹣b，∴C不正确；D中1＜a＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝a﹣1+b﹣1＝﹣2+b+a，|a﹣b|＝b﹣a，∴D不正确；故选：A．【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义；熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．。

（易错题精选）初中数学有理数的运算难题汇编附答案解析(1)一、选择题1．0000084=8.4×10-6故选B.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．下列说法中，正确的是（）A．在数轴上表示-a的点一定在原点的左边B．有理数a的倒数是1 aC．一个数的相反数一定小于或等于这个数D．如果a a=-，那么a是负数或零【答案】D【解析】【分析】根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答.【详解】解：A、如果a<0，那么在数轴上表示-a的点在原点的右边，故选项错误；B、只有当a≠0时，有理数a才有倒数，故选项错误；C、负数的相反数大于这个数，故选项错误；D、如果a a=-，那么a是负数或零是正确.故选D.【点睛】本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3．2019-的倒数是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019-【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值的定义求出2019-，再利用倒数的定义即可得出结果.2019-=2019,2019的倒数为1 2019故选C【点睛】本题考查了绝对值和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键.4．下列运算正确的是（）A．a5⋅a3 = a8B．3690000=3.69×107C．(－2a)3 =－6a3D．02016=0【答案】A【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法，科学记数法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂求出每个式子的值，再判断即可．【详解】A、结果是a8，故本选项符合题意；B、结果是3.69×106，故本选项不符合题意；C、结果是-8a3，故本选项不符合题意；D、结果是1，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，科学记数法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂，能正确求出每个式子的值是解题关键.5．据央视网报道，2019年1～4月份我国社会物流总额为88.9万亿元人民币，“88.9万亿”用科学记数法表示为( )A．138.8910⨯B．128.8910⨯C．1288.910⨯D．118.8910⨯【答案】A【解析】【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可【详解】6．计算﹣6+1的结果为（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加法法则，|﹣6|＞|1|，所以结果为负号，并把它们的绝对值相减即可.解：﹣6+1＝﹣（6﹣1）＝﹣5故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加法，注意区别同号相加与异号相加，把握运算法则是关键．7．计算12+16+112+120+130+……+19900的值为（）A．1100B．99100C．199D．10099【答案】B【解析】分析：直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．详解：原式=11111 1223344599100 ++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯=111111112233499100 -+-+-+⋯+-，=1-1 100=99 100．故选B．点睛：此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．8．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（）A．275×104 B．2.75×104 C．2.75×1012 D．27.5×1011【答案】C．【解析】试题解析：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．9．已知：||2||3||a b b c c amc a b+++=++，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【详解】∵abc＞0，a+b+c=0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b=﹣c，b+c=﹣a，c+a=﹣b，m23c a bc a b---=++，∴分三种情况讨论：当a＜0，b＜0，c＞0时，m=1﹣2﹣3=﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m=﹣1﹣2+3=0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m=﹣1+2﹣3=﹣2，∴x=3，y=0，∴x+y=3．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和绝对值，解答本题的关键是分类讨论．10．为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A．611610⨯B．711.610⨯C．71.1610⨯D．81.1610⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．-2的倒数是（）A．-2 B．12-C．12D．2【答案】B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-1 2故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握12．大量事实证明,治理垃圾污染刻不容缓.据统计,全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海,这个排污量用科学记数法表示为()A．8.5×105 B．8.5×106C．85×105 D．85×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．解答即可.【详解】8500000=8.5×106，故选B.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km．用科学记数法表示1.496亿是（）A．71.49610⨯B．714.9610⨯C．80.149610⨯D．81.49610⨯【答案】D【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108．故选D ．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（ ） A ．8.298×107B ．82.98×105C ．8.298×106D ．0.8298×107【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】数据“829.8万”用科学记数法表示为8.298×106．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．15．6万亿=296000000000000=2.96×1013．故选B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示的关键是要正确确定a 的值以及n 的值．16．若30,a -=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-【答案】B【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．17．预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）A ．94.610⨯B ．74610⨯C ．84.610⨯D ．90.4610⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】460 000 000=4.6×108．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．18．下列用科学记数法表示正确的是（ ）A ．10.000567 5.6710-=-⨯B ．40.0012312.310=⨯C ．20.0808.010-=⨯D ．5696000 6.9610--=⨯【答案】C【解析】分析: 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.详解: A. 40.000567 5.6710--=-⨯,故错误;B. 30.0012312.310,-=⨯故错误;C. 20.0808.010-=⨯,正确;D. 5696000 6.9610-=⨯,故错误.故选：C.点睛: 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.19．计算(-2)100+(-2)99的结果是( )A ．2B ．2-C ．992-D ．992【答案】D【解析】解：原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299．故选D ．20．已知资阳市某天的最高气温为19℃，最低气温为15℃，那么这天的最低气温比最高气温低（ ）A ．4℃B ．﹣4℃C ．4℃或者﹣4℃D ．34℃【解析】【分析】所求的数值就是最高气温与最低气温的差，利用有理数的减法法则即可求解．【详解】19﹣15＝4（℃）答：这天的最低气温比最高气温低4℃．故选A．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．。

人教版,数学八年级上册易错题难题整理含答案,精品系列一、选择题3、正确说法的个数有（C）3个改写：一组数据的中位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；一组数据的众数可能有多个；一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数据的值。

5、下列说法正确的有（B）2个改写：数轴上的点要么表示有理数，要么表示无理数；实数a的倒数是1/a；带根号的数不一定是无理数；两个绝对值不相等的无理数，其和、差、积、商仍是无理数。

6、一个自然数的算术平方根为m，则与这个自然数相邻的下一个自然数是（A）m+1改写：一个自然数的算术平方根为m，则这个自然数的范围是[m^2.(m+1)^2)，与这个自然数相邻的下一个自然数是m+1.二、填空题11、所选取样本的容量是（）；全市大约有（）名初中生视力是正常的。

12、代数式b（10+a）的值等于（1）。

13、-.36-1/2＜0，填-1/2.15、该图形的面积等于（84）。

16、已知x满足（x-1）^3=-8，则x=（-1/2）。

17、若不等式组{x>a。

x≠b}的解集为x>a，则a与b的关系是（a≤b）。

18、设乙管单独开x小时注满全池，则甲管单独开6小时注满全池，两管同时开3小时注满全池，由此得到方程6+6/(x-3)=3x。

三、解答题20、（每小题4分，共16分）计算：1）略2）已知 $\frac{a+b}{2}=9$，$\frac{a-b}{2}=49$，求$a+b$ 和 $ab$ 的值。

解：由 $\frac{a+b}{2}=9$ 得 $a+b=18$，代入 $\frac{a-b}{2}=49$ 中得 $a-b=-98$，解得 $a=-40$，$b=58$。

所以$ab=-2320$。

3）已知 $\frac{xy^2}{2x+3y-2y^2}=-1$，求$\frac{2x+3xy-2y^2}{x-3y}$ 的值。

解：由 $\frac{xy^2}{2x+3y-2y^2}=-1$ 得 $xy^2=2x+3y-2y^2$，代入 $\frac{2x+3xy-2y^2}{x-3y}$ 中得 $\frac{2x+3xy-2y^2}{x-3y}=\frac{2x+3(2x+3y-2y^2)-2y^2}{x-3y}=-3-2y$。

初二数学全全等三角形截长补短 易错题难题测试题(1)一、全等三角形截长补短1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．2．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．3．在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．4．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．5．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．6．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．7．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出:ABC AEF S S △△的值．8．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．9．如图所示，平行四边形ABCD 和平行四边形CDEF 有公共边CD ，边AB 和EF 在同一条直线上，AC ⊥CD 且AC=AF ，过点A 作AH ⊥BC 交CF 于点G ，交BC 于点H ，连接EG ．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF 的面积为 ；△BCF 的周长为 ；（2）求证：BC=AG+EG ．10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．2．（1）6；（2）3 2【分析】（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论；（2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN上截取点H，使CH=CM，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动 根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 3．（1）60︒；（2）见解析【分析】（1）由AB BE =，60ABC ∠=︒，可得ABE △为等边三角形，由AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，AED C ∠=∠，可证60CDE AEB ∠=∠=︒（2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由60BED AED ∠=︒+∠，60BAF C ∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，可证()FBA DBE SAS ≌ 由=DB FB ，可证FBD 为等边三角形，可得BD FD =， 可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC ∠=︒，∴ABE △为等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=︒，∵AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，∵AED C ∠=∠，∴60CDE AEB ∠=∠=︒（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由（1）得ABE △为等边三角形，∴60AEB ABE ∠=∠=︒，∵60BED AEB AED AED ∠=∠+∠=︒+∠，又∵60BAF ABE C C ∠=∠+∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，∴BED BAF ∠=∠，在FBA 与DBE 中，AB BE BAF BED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FBA DBE SAS ≌ ∴=DB FB ，DBE FBA ∠=∠ ∴DBE ABD FBA ABD ∠+∠=∠+∠，∴60ABE FBD ∠=∠=︒又∵=DB FB ，∴FBD 为等边三角形 ∴BD FD =， 又∵FD AF AD =+，且AF DE =，∴FD DE AD BD =+=，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD ．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC ，然后利用AAS 即可证明△AEC ≌△CDB ； （2）在l 上C 点左侧取一点E ，使∠AEC=60°，连接AE ，依次证明△AEC ≌△CDB 和△HGF ≌△FEA 即可得出结论；（3）在l 上位于C 点右侧取一点E ，使∠AED=60°，连接AE ，在l 上取一点M ，使BM=BD ，依次证明△ACE ≌△CBM 和△HGF ≌△FEA 即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC ，在△AEC 和△CDB 中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．5．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，90ACB=︒，得ABC是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−12α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB 上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在ABC中，AC BC=，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在RT△ADC和RT△ADM中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α， 在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CAD ≌△KAD （SAS ），∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，∴∠BKD ＝180°−α，∵BK ＝BD ，∴∠BDK ＝180°−α，∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°， ∴α＝108°，∴∠ACB ＝108°；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，∵AD 是角平分线，∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，由（1）得，△CAD ≌△KAD ，∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，∴DK ＝DH ＝CD ，∵∠CBA ＝40°，∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH ＝BH ，∴BH ＝CD ，∵AB ＝AH ＋BH ，∴AB ＝AD ＋CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC +=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠//AB DC AB AD ⊥，90D ∴∠=EF BC ⊥D CFE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF ∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF ∴=CF BF AB +=AB CD BC ∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD =CE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF ∴= D CFE ∠=∠//AB DC180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB ∴∠=∠ 又BE 是角平分线 ABE FBE ∴∠=∠BE BE =()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB ∴=∴ CF BF AB +=AB CD BC ∴+=7．（1）AE EF =；（2）仍然成立．证明见解析；（3）()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【分析】（1）连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论； （2）在AC 上截取CG CE =，连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论；（3）在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF ，利用ASA 证出AGE EBF △≌△，可得AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a ，则BE nBC na ==，利用勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）AE EF =，连接GE∵AC BC =，点E 是BC 的中点，点G 为AC 的中点∴AG=CG=CE=EB ，因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =（2）仍然成立．在AC 上截取CG CE =，连接GE ．因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．（3）如下图所示，在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠-∠=∠=∠-∠．所以FEB EAG ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒∴∠EBF=180°－∠ABF －∠ABC=45°．所以45AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．∴AEF 为等腰直角三角形设CA=CB=a ，则BE nBC na ==∴CE=a ＋na 由勾股定理可得∴212ABC S a =，222221122AEF S a na n a ==++△ ∴()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．8．（1）见解析；（2）①BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法 证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ， AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．9．（1）3，23234++；（2）见解析 【分析】 （1）根据平行和垂直的特点求出BF ，AF ，再根据勾股定理求出CD ，根据FP 与BA 的比值求出面积，再根据勾股定理求CF ，BC 即可得到周长．（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，证△FAG ≌△CAM ；证△EFG ≌△DCM ．【详解】解：（1）面积为3；周长为23234++∵四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形，∴EF=CD ，AB=CD ，AB ∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3∴BF=5-3=2过F 作FP ⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5，∴::2:5BCF BCA S S FP AH == ,∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∵AC=AF=3,∴CF=223332+= ，BC=223534+= ，∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯= ∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234++（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∵AH⊥BC∴AD⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG≌△CAM∴FG=CM，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，EF=CD，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC，∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM，∴△EFG≌△DCM，∴EG=DM，∵AD=AM+DM，∴AD=AG+EG，∵AD=BC，∴BC=AG+EG．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．10．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6．【答案】1.5或5或9【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ．∵△APE 的面积等于6，∴S △APE =12AP •CE =12AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =12EP •AC =12•EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.3．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒， ∴∠D=12∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，∴n=78.故答案为：78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.4．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．【答案】6【解析】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°，设多边形的边数是n ，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．5． 如果一个n 边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，解得：n=8，故答案为：8．此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．6．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞【解析】【分析】根据三角形的外角的性质判断即可．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A∴∠2＞∠1＞∠A ，故答案为：∠2＞∠1＞∠A ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )A ．20B ．35C ．50D ．70【答案】B【解析】【分析】 依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．如图，C'D'//AC ，，又DAC 20∠=，AGH 70∠∴=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=， 1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．【详解】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选：B【点睛】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．10．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）．A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】A．∵2+3=5，∴不能组成三角形，故本选项错误；B．∵5+6=11＞10，∴能组成三角形，故本选项正确；C．∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形，故本选项错误；D．∵3+4=7＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．11．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．故选C．点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．12．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）∠=，则1244α-A．14B．16C．90α-D．44【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．【答案】5．【解析】 【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE +=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ， ∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE ++=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP是解题的关键．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC ＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD．∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，∴CD＝20×25＝8（cm）．故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM 、ME、CM、DE, DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形；(2)△DEM是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE；(4)AD2+BE2=DE2；(5)四边形CDME的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出:△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD ≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME 得出△DEM 是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE ，再逐个判断222AD +BE =DE CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 即可得出结论.【详解】解：如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 中点，AB=BC∴AM=CM=BM ，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC 和△BMC 中AM=BM MC MC AC BC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△BMC在△AMD 和△CME 中A=MCE AM=CM 1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD ≌△CME在△CDM 和△BEMDCM=B CM=BM2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD ≌△CME共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD ≌△BME∴DM=ME∴△DEM 是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE,故（3）正确在Rt △CED 中，222CE CD DE +=∵CE=AD ，BE=CD∴222AD +BE =DE 故（4）正确（5）∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△ ∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变，故（5）错误 故正确的有3个故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段上，连接EF 、CF ，则下列结论2BCD DCE ①∠=∠；EF CF =②；3DFE AEF ③∠=∠，2BEC CEF SS =④中一定成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)【答案】②③【解析】分析：由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，易得AF=FD=CD ，继而证得①∠DCF=12∠BCD ；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系，进而得出答案．详解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， 即∠BCD=2∠DCF ；故此选项错误；②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴FC=FM ，故②正确；③设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．④∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；综上可知：一定成立的是②③，故答案为②③．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DME 是解题关键．17．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．【答案】53【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定理得222CE CF EF +=，设,DE EF x == 则3CE x =-，则()22231,x x -+=由此即可解决问题．详解：90BAC AB AC ∠==，， ∴45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图,则△ABD ≌△ACF ,,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF =∠=∠∠=∠=∵45DAE ∠=，∴45BAD CAE ∠+∠=，∴45,CAF CAE ∠+∠=即45,EAF ∠=∴∠EAD =∠EAF ，在△ADE 和△AFE 中AE AE EAD EAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△AFE ，∴DE =FE ，∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，∴222CE CF EF +=，Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，∴224BC AB AC =+=，∵1BD =，设,DE EF x == 则3CE x =-，则有()22231,x x -+=解得：5.3x =∴5.3DE = 故答案为5.3点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.18．如图,已知BD ，CD 分别是 ∠ABC 和∠ACE 的平分线，连接AD ，∠DAC=46°, ∠BDC _________【答案】44°【解析】如图，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，过点D 作DG ⊥BA ，交BC 的延长线于点G ，∵BD ，CD 分别是 ∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴DF=DG=DH ，∵DH ⊥AC ，DF ⊥BA ，∴AD 平分∠CAF ，∴∠DAC=∠FAD=46°,∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；∵BD ，CD 分别是 ∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠DCE=12ACE ∠，∠DBC=12ABC ∠， ∵∠DCE=∠BDC+∠DBC ，∠ACE=∴∠BDC+∠DBC=12（∠BAC+∠ABC ）， ∴∠BDC=12∠BAC=00188442⨯= .四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．225°【答案】B【解析】【分析】 根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解.【详解】由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，ABC ∴≌EDC ，BAC DEC ∠∠∴=，12180∠∠+=．故选B ．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.20．在ABC ∆中，已知AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 是BC 边延长线上一点，如图所示，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到AF ，连接CF 交直线AB 于点G ，若53BC CE =，则AG BG=（ ）A ．73B ．83 C ．113 D ．133【答案】D【解析】【分析】过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D, 设BC=5x ，利用AAS 证出△FAD ≌△AEB ，从而用x 表示出AD ，BD ，然后利用AAS 证出△FDG ≌△CBG ，即可用x 表示出BG,AG 从而求出结论．【详解】解：过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D∵53BC CE = 设BC=5x ，则CE=3x∴BE=BC ＋CE=8x∵5AB BC x ==，90ABC ∠=︒，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE ＋∠E=45°由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE ＋∠FAD=∠EAF －∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD 和△AEB 中90FAD E D ABE AF EA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△AEB∴AD=EB=8x ，FD=AB∴BD=AD －AB=3x ，FD=CB在△FDG 和△CBG 中90FDG CBG FGD CGBFD CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDG ≌△CBG∴DG=BG=12BD=32x ∴AG=AB ＋BG=132x ∴13132332xAG x BG == 故选D ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．21．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF(SAS)；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF 是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E 分别为AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形(故(2)错误).由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF== (故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.22．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．23．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF ；②AM ⊥EF ；③AF=DF ；④DF=DN ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，故①正确；∵M 为EF 的中点，∴AM ⊥EF ，故②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，∵BE 平分∠ABC ，且AD ⊥BC ，∴FD=FH ＜FA ，故③错误；∵AM ⊥EF ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，在△FBD 和△NAD 中{FBD DANBD AD BDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD ≌△NAD ，∴DF=DN ，故④正确；故选C．24．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）A．五对B．四对C．三对D．二对【答案】A【解析】如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；∴图中共有5对全等三角形.故选A.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N 分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．26．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中AC AB CAE BADAE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE ≅BAD∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形）∴°120CFD ∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.27．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．28．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角 ∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=． 故答案为：1702n -︒【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ 时，∠BPQ=∠BQP ，即90°-12θ=30°+θ， 解得θ=40°； ③当QP=QB 时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ， 又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意）， 故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP 平分∠A'PC ，解题时注意分类思想的运用．30．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800， ∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）A ．①...B ．①③...C ．② ...D ．①②③【答案】B【解析】【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠≅=得出①，再证BED BCD ≅，得出BED BCD 30∠∠==︒;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.【详解】解：证明：连接DC ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵DB=DA，DC=DC，在△ACD与△BCD中，AB BC DB DA DC DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCD （SSS），由此得出结论①正确；∴∠BCD=∠ACD=130 2ACB∠=︒∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，在△BED与△BCD中，BE BCDBE DBCBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BED≌△BCD （SAS），∴∠DEB=∠BCD=30°．由此得出结论③正确；∵EC∥AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，在△BCE中三角和为180°，∴2∠1+2（60°+∠1）=180°∴∠1=15°，∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.32．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．33．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．34．如图，已知等边△ABC的面积为43， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（）A．3B．3C15D．4【答案】B【解析】如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，设等边△ABC的边长为x，则高为32x，∵等边△ABC的面积为43，∴12x×32x=43，解得x=4，∴等边△ABC的高为32x=23，即PE=23，所以PR+QR的最小值是23，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.35．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.36．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）A ．2B ．2C ．2D 2-1【答案】B【解析】 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22； 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为22，腰长为12，所以周长为112212222++=+. 故答案为B.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61和63B ．63和65C ．65和67D ．64和67【答案】B【解析】【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案38．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．39．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为（ ）A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3)【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x ＋6)(x －1)=x 2+5x-6，所以b=-6；因为(x －2)(x ＋1)=x 2-x-2，所以a=1.所以x 2-ax ＋b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a ，说明b 是正确的，所以将看错了a 的式子展开后，可得到b 的值，同理得到a 的值，再把a ，b 的值代入到x 2＋ax ＋b 中分解因式.40．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.41．若6a b +=，7ab =，则-a b =（ ）A ．±1B ．C ．2±D ．±【答案】D【解析】【分析】 由关系式（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 可求出a-b 的值【详解】∵a+b=6，ab=7， （a-b ）2=（a+b ）2-4ab∴（a-b ）2=8，∴a-b=±．故选：D ．【点睛】考查了完全平方公式，解题关键是能灵活运用完全平方公式进行变形．42．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）A ．21234x y x xy -=B ．11(1)x x x -=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义进行判断即可．【详解】因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式．A ．21234x y x xy -=，结果是单项式乘以单项式，不是因式分解，故选项A 错误；B ．11(1)x x x-=-，结果应为整式因式，故选项B 错误；C ．2221(1)x x x -+=-，正确；D ．22()()a b a b a b +-=-是整式的乘法运算，不是因式分解，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，涉及完全平方公式，本题属于基础题型．八、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）43．已知212()02a b -++=，则20192020a b =__________．。