黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题

哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 复数(34)i i +的虚部为（ ） A. 4i B. 3i C.4 D. 32. 命题“若a b <，则22ac bc < ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ ） A.0个 B. 2个C.3个D. 4个3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从,,A B C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知,,A B C 三所学校分别有180,270,90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为 （ ）A.10B.12C.18D. 244. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为（ ） A .2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,85. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及2K 公式算得：8.846k ≈，参照附表得到的正确结论是 （ ）.84100 B. 在犯错的概率不超过000.1的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” C. 在犯错的概率不超过001的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D. 在犯错的概率不超过 001的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6. 已知集合1262A x Rx ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，{}11B x R x m =∈-<<+，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2m ≥B. 2m ≤C. 2m >D. 22m -<<7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输 入的 ，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于 （ ）A. B. C. D.8. 如图所示的程序框图中，若输出的S 是，则①处应填（ ）A. 5n ≤B. 6n ≤C.7n ≥D. 8n ≤ 9. 命题“，”的否定是 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，10.已知椭圆22221(0)+=>>x y a b a b过点32（，），当22+a b 取得最小值时，椭圆的离心率为 （ ）A.1211.用数学归纳法证明()*1111++++,12321⋅⋅⋅<∈>-n n n N n 的第二步从=n k 到1=+n k 成立时，左边增加的项数是（ ）A .2k B.21-k C.12-k D.21+k12.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线C 上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB ，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 4B. 2C.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布2(90,)N σ，若分数在(]70,110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为 ．14. 给出下列等式：231111222；⨯=-⨯ 2231411+112223232；⨯⨯=-⨯⨯⨯ 2333141511++112223234242；⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯由以上等式推出一个一般结论：对于2314121,++122232(1)2*+∈⨯+⨯⨯=⨯⨯+n n n N n n ．15.已知命题:∃∈p x R ，使tan 1=x ；命题2:320-+<q x x 的解集是{}12<<x x ．下列结论： ①命题“∧p q ”是假命题； ②命题“（）⌝∧p q ”是假命题； ③命题“p q ⌝∨（）”是真命题；④命题“（）（）⌝⌝∧p q ”是真命题．其中正确的是 ．（填所有正确命题的序号） 16.已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(+1)1N x y +=，直线12,l l 分别过圆心,M N ，且1l 与圆M 相交于,A B ,2l 与圆N 相交于,C D ,P 是椭圆22134x y +=上的任意一动点，则PA PB PC PD +的最小值为 .三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为5cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），点P 的坐标为()．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 过点P 且与曲线C 交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为45，求⋅PA PB 的值．18. （本小题12分）设()14=+--f x x x ．（1）若2()6≤-+f x m m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设（1）中m 最大值为0m ，,,a b c 均为正实数，当03+4+5=a b c m 时，求证：22212a b c ++≥． 19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（x （吨）为买进蔬菜的数量，y （天）为销售天数）：（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=+y bx a ；（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？ （参考数据和公式：88882111148,32,244,364ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，1122211()()()====---==--∑∑∑∑nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx，=-a y bx ．）20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下 频率分布直方图．（1）求a 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．21.（本小题12分）已知椭圆22:1(02)2+=<<x y C n n（1）若椭圆C 的离心率为12，求n 的值； （2）若过点()-2,0N 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180∠+∠=NMA NMB ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知抛物线22(0)=>y px p 的准线经过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 的左焦点1F ,点(4,0)A -为椭圆的左顶点，且椭圆短轴的一个端点与其两焦点构成一个直角三角形.（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M , 直线2MF (2F 为椭圆的右焦点)交抛物线于,C D 两点，过2F 作2MF 的垂线，交y 轴于点N , 直线AN 交椭圆于另一点Q ，直线2NF 交抛物线于,G H 两点，(ⅰ)求证：11CD GH+为定值.(ⅱ)求APQ ∆的面积的最大值.哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试（答案）数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 复数的虚部为（ D ）A. B.C.4D.32. 命题“若，则”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ B ）A.0个B. 2个C.3个D. 4个3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 （ A ）A.10B.12C.18D. 244. 如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为（ C ）A.2,5B.5,5C.5,8D.8,85.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由公式算得：，参照附表得到的正确结论是 （ C ）A. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B.在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” C. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（ A ）A.B.C.D.7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于（ C ）A. B. C. D.8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的是，则①处应填（ B ）A. B. C. D.9. 命题“，”的否定是（ B ）A. ，B. ，C. ，D. ，10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为（ D ）A. B. C. D.11. 用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是（ A ）A . B. C. D.12. 已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ B ）A. 4B. 2C.D.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 150 ．14.给出下列等式：由以上等式推出一个一般结论：对于．15.已知命题，使，命题的解集是．下列结论：①命题“”是假命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是②③．（填所有正确命题的序号）16.已知圆，圆，直线圆分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为6 .三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线过点且与曲线交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．解：(1) 由消去，得，则曲线为椭圆．(2) 由直线的倾斜角为，可设直线的方程为（其中为参数），代入，得，所以，从而．18. （本小题12分）设．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）设的最大值为，均为正实数，当时，求证：．．【答案】解（1）﹣5≤|x+1|﹣|x﹣4|≤5．，由于f（x）≤﹣m2+6m的解集为R，∴﹣m2+6m≥5，即1≤m≤5．（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故a2+b2+c2≥．（当且仅当a=，b=c=时取等号）19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：参考公式：，．（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天．解：（1）散点图如图所示：（2）依题意，，，，，，所以，所以回归直线方程为．（3）由（Ⅱ）知，当时，．即若一次性买进蔬菜吨，则预计需要销售天．20. （本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．（1）根据题意得：．解得．（2）设样本中男生身高的平均值为，则所以估计该市中学全体男生的平均身高为．（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为，，，．所以；；；．随机变量的分布列为因为，所以．21. （本小题12分）已知椭圆（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）因为，，所以．又，所以有，得．（2）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，，且满足．依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为．由得．因为直线与椭圆有两个交点，所以．即，解得．设，，则，，，．令，即，即，当时，，所以，化简得，，所以．当时，检验也成立．所以存在点，使得．22.（本小题12分）已知抛物线的准线经过椭圆的左焦点,且椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，为椭圆的左顶点.(1)求抛物线和椭圆的标准方程；(2)设为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点,直线(为椭圆的右焦点)交抛物线于两点，过作的垂线，交轴于点,直线交椭圆于另一点，直线交抛物线于两点，(ⅰ)求证：为定值.(ⅱ)求的面积的最大值.解：（1）依题意所以抛物线方程为，椭圆方程为………………………………….4分（2）(ⅰ)由已知直线斜率存在且为正数，设直线方程为，则点，又，故直线的斜率分别为直线的方程为直线直线的方程为直线设由得，，同理为定值……………………………………………………………………8分(ⅱ)由得同理，可知点关于原点对称，即直线过原点当且仅当即时取等号，此时的最大值为...............12分。

哈师大附中高二下学期期末考试理科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求定义域得集合A，再根据交集定义求结果.详解：因为，所以所以选B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 对于任意实数以下四个命题正确的是（）A. 若则B.C. 若则D. 若则【答案】A【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立.详解：因为同向不等式可相加，所以若则，因为c=0时，所以B错；因为，所以C错；因为，所以D错；选A.点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.3. 已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（）A. 甲命中个数的极差是29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲命中个数的中位数是25【答案】D【解析】分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数，再作出判断.详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29，乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高，甲命中个数的中位数是23，所以选D.点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数，考查基本求解能力.4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.5. 为了研究某班学生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.该班某学生的脚长为24cm，据此估计其身高为（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】C【解析】由已知 ,选C.【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．6. 下列四个命题:①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题,使得.则,均有.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，命题“若，则”的逆否命题是“，则”正确；对于②，的解为或，是的充分不必要条件，正确；对于③，原命题为真命题，则原命题的否命题不一定为假命题，错误；对于④，对于命题，则，故正确，正确命题的个数是，故选B.7. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B【解析】试题分析：频率为，人数为人.考点：频率分布直方图.8. 若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先根据中点与圆心连线垂直PQ得斜率，再根据点斜式得方程.详解：因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以,所以直线的方程是,选B.点睛：本题考查圆中弦中点性质，考查基本求解能力.9. 执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为为奇函数，恒大于零，恒非负，满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.10. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.11. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话.甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”.已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确.根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丁和戊D. 甲和丁【答案】D【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．详解：设，则，∴是偶函数．当.，∴在上是增函数，∵，∴即，∴，即．故选：A．点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 计算__________.【答案】8【解析】分析：根据微积分基本定理求定积分.详解：点睛：本题考查利用微积分基本定理求定积分，考查基本求解能力.14. 已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为__________.【答案】【解析】分析：先根据复数乘除法则求z，再根据共轭复数概念得结果.详解：因为(i−1)(z−)=2i，所以因此z的共轭复数为点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为15. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________.【答案】14【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为即答案为14.点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.16. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．.....................详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时；则解得，则命题为假命题时，或，若命题双曲线的离心率为真命题时；则即即则命题为假命题时，，或，∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题，当真假时，0，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：，或．故答案为：.点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求不等式的解集；（2）设，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；（2）利用柯西不等式可求的最大值.详解：（1）①当时，，得，∴；②当时，成立，∴；③当时，，得，∴；综上，不等式的解集为．（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号∴当，x＋y＋z的最大值为5．点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.18. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1的极坐标方程．（2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．详解：（1）圆普通方程所以的极坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:学科合格人数学科不合格人数学科合格人数学科不合格人数（1）据此表格资料，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关；（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为，求的数学期望.附公式与表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据卡方公式求，再对照参考数据确定可靠率，(2)先确定随机变量服从超几何分布，再根据超几何分布概率公式得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1）故能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关.（2）服从超几何分布，，，随机变量的分布列为：点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.20. 已知是函数的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．21. 已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:求出点的坐标，根据点在椭圆上满足椭圆方程，列出一个的等式就可以求出离心率，根据离心率进行减元，把椭圆方程写出来，写出的垂直平分线的方程，直线与轴交点恰好为外接圆的圆心，得出外接圆的方程，点（）既在直线上又在的外接圆上，联立方程组求出.试题解析：（Ⅰ），且，点是点和点的中点.，，点的坐标为.代入得：，离心率.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以椭圆的方程可设为.若，则.线段的垂直平分线的方程为.直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得.故.【点睛】列出一个的等式就可以求出离心率，根据点在椭圆上满足椭圆方程，就可以列出等式；三角形的外接圆为三边的垂直平分线的交点，由于的中垂线为轴，所以只需求出另一边的垂直平分线与轴的交点即为外心，点即在直线上又在圆上，满足方程求出结果.22. 已知函数图象的一条切线为.（1）设函数，讨论的单调性；（2）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切点坐标，代入函数解析式得，再求的导数，根据b讨论导函数零点，进而得单调性，(2)先求导数，转化为+>2，再构造函数，x∈(1，2)，利用导数易得(x)在(1，2)上单调递增，即得()>(1)=0，即()>(2−)，最后根据()=()，证得结论成立.详解：（1），设切点，则切线斜率∴，即切点，故，∴∴①当时，，∴增区间，无减区间；②当时，令，得；令，得∴增区间，减区间（2）依题意及（1）得函数，则，∴当0<x<1时，；当x>1时，，∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，∴∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，且当x趋近于0时，趋近于−∞，当x趋近于+∞时，趋近于−∞，∴−1−m>0，m<−1，且≠，故不妨设<，则0<<1<．要证()<0，需证>1，即+>2，当≥2时，显然成立．当1<<2时，令，x∈(1，2)，∵，∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2，=+−2=>0，x∈(1，2)，∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2−)，又由题意知()=()，∴()>(2−)．∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2−∈(0，1)，∴>2−，即+>2．综上可得，+>2，即证．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

黑龙江省哈尔滨市高二数学下册期末检测题考试时间：7: 40~9:40 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.）1.设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．的个数是（ ） A ．3 B ．7C ．8D ．152.复数311i z +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.i -1B.i +1C.i 2121+ D.i 2121- 3.在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ． 90° 4.以下有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则” B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题01,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得5. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且m b ⊥，则""βα⊥是""b a ⊥的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 设函数xxe x f =)(，则（ ） A.x=1为)(x f 的极大值点B. x=-1为)(x f 的极大值点C.x=1为)(x f 的极小值点D. x=-1为)(x f 的极小值点7.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的41，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ） A.28 B.32 C.64 D.1288. 下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )ABC D1A 1B 1C 1D MNA ．7≥k ?B ．k≤7?C ．k<7?D ．k>7?9. 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为（ ） A.12π B.10πC.6π D.24π 10. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ②若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ③若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；④若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ； 其中正确命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 212.定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（ ） A.(1，2) B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.在平面直角坐标系xoy 中，若直线⎩⎨⎧-==a t y t x l :（t 为参数）过椭圆C:⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 3y x （ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为______.14. 已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得c b a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________ 15.已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点（-1,2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若)(x f 在区间[]1,+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是_____________16. 已知球的直径SC=4，A.,B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为_________三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17. （本题满分10分）.已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.18. （本小题满分12分） 如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.19. （本小题满分12分）某学校准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175以下（不包括175cm）定义为“不合格”（1）求甲队队员跳高成绩的中位数（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？（3）从甲队178cm以上（包括178cm）选取2人，至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为多少？20. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM 平面PCD;(2)求三棱锥M-ABD的体积.21. （本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（I ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量X 的平均数和众数； （II ）将Y 表示为X 的函数；（III ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．22.（本小题满分12分）已知函数1ln )(-=xxx f (Ⅰ)试判断函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值；(Ⅲ)试证明：对*∈∀N n ，不等式nnn n e +<+1)1ln(.数学（文）答案一、选择题：二、填空题：18.（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．…………………………3分所以四边形为平行四边形．所以∥．…………………………4分又因为平面，且平面，所以∥平面．………………………4分）知，所以 为平面又= (2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数共有12人，不合格人数为18人， 所以，抽取五人，合格人数为212305=⨯人 不合格人数为318305=⨯人 …………………………6分 （3）53=P …………………………12分 20.（1）ABCD AB ABCD PA 面面⊂⊥, AB PA ⊥∴又A AD PA AD AB =⋂⊥, PAD AB 面⊥∴ PD AB ⊥∴ 由题意得︒=∠90BMD ,BM PD ⊥∴ABM PD B BM AB 面又⊥∴=⋂,又PCD ABM PCD PD 面面面⊥∴⊂, …………………………6分 （2)设平面ABM 与PC 交于N∵PD ⊥平面ABM∴MN 是PN 在平面ABM 上的射影∴∠PNM 是PC 与平面ABM 所成的角， …………………………8分 且∠PNM=∠PCD …………………………9分 tan ∠PNM=tan ∠PCD=PD/DC=2√2 …………………………12分（Ⅲ）∵利润不少于4800元， ∴80x-4800≥4800，解得x ≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．……………………12分 22．解：（I ）函数)(x f 的定义域是：),0(+∞ 由已知2'ln 1)(xxx f -=………………………………1分 令0)('=x f 得，0ln 1=-x ，e x =∴ 当e x <<0时，0ln 1)(2'>-=x x x f ，当e x >时，0ln 1)(2'<-=x x x f∴函数)(x f 在],0(e 上单调递增，在),[+∞e 上单调递减…………………3分（III ）由（I ）知，当),0(+∞∈x 时，11)()(max -==e e f x f ………………10分∴ 在),0(+∞上恒有111ln )(-≤-=exx x f ，即exx 1ln ≤且当e x =时“=”成立∴ 对),0(+∞∈∀x 恒有x ex 1ln ≤e nnn n ≠+>+1,01n n n n n n e n n e +<+⇒+⋅<+∴1)1ln(111ln 即对*∈∀N n ，不等式nn n n e +<+1)1ln(恒成立；………………………………12分。

黑龙江省实验中学2018年下学期高二年级数学学科期末考试满分：150分；完成时间：120分钟；注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60.0分）1.已知复数为虚数单位，那么z的共轭复数为A. B. C. D.2.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A. B. C. D.3.计算A. B. i C. D. 14.五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有A. 48种B. 24种C. 20种D. 12种5.连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是A. B. C. D.6.的展开式中的系数是A. B. C. 5 D. 207.随机变量，，则( )A. B. C. D.8.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率等于A. B. C. D.9.若x，且，则和的值满足A. 和中至少有一个小于2B. 和都等于2C. 和都大于2D. 不确定10.已知直线与曲线相切，则a的值为A. 1B. 2C.D.11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩12.已知函数的定义域为，且满足是的导函数，则不等式的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）13.如果复数z满足且，其中a，，则的最大值是______ ．14.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种15.口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为，摸出的球是红球或白球的概率为，那么摸出的球是黄球或白球的概率______ ．16.已知函数，则三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题满分10分）已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆C的方程为．Ⅰ求圆C的直角坐标方程；Ⅱ设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求．19.（本小题满分12分）已知都是正数，且，求证：；已知都是正数，求证：．20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，πα<0，曲线C的参数方程为为参数，以坐≤标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；设C与l交于M，N两点异于原点，求的最大值．21.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．Ⅰ求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；Ⅱ用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差．22.（本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数Ⅰ当时，试求的单调区间；Ⅱ若函数在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．黑龙江省实验中学2018年下学期高二年级数学学科期末考试【答案】1. B2. D3. B4. B5. B6. A7. A8. C9. A10. B11. D12. B13.14. 3015.16.17. 解：Ⅰ不等式，即，可化为或或，解得，解得，解得，综合得：，即原不等式的解集为Ⅱ因为，当且仅当时，等号成立，即，又不等式有解，则，解得：或．18. 解：由的方程可得：，化为．把直线l的参数方程为参数代入的方程得，化为．．根据参数的意义可得．19. 证明：，，，，而a，b均为正数，，，成立；，b，c都是正数，，，，三式相加可得，，．20. 解：曲线C的参数方程为为参数，消去参数，得曲线C的普通方程为，化简得，则，所以曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，，由直线l的参数方程可知，直线l必过点，也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，取得最大值为．21. 解：Ⅰ设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此，，，Ⅱ可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量X的分布列为因为，所以期望，方差．22. 解：Ⅰ易知，函数的定义域为，，当时，对于，恒成立，所以若，，若，，所以单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ由条件可知在上有三个不同的根，即在有两个不同的根，令，，时单调递增，时单调递减，，，，，．【解析】1. 解：复数，那么z的共轭复数为．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得．的展开式中奇数项的二项式系数和为：．故选：D．直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．3. 解：．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．4. 解：根据题意，先将A、B看成一个“元素”，有2种不同的排法，将C、D单独排列，也有2种不同的排法，进而分2种情况讨论：若A、B与第5个元素只有一个在C、D之间，则有种情况，若A、B与第5个元素都在C、D之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有种情况；故选：B．根据题意，首先分析A、B与C、D的安排情况：A，B两种必须连排，将A、B看成一个“元素”，而C，D两种不能连排，将C、D单独排列；进而根据题意分2种情况讨论A、B与第5个元素与C、D的关系，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类讨论，注意要优先满足受到限制的元素．5. 【分析】本题主要考查古典概型下求概率的问题，属于基础题．这个题目的基本事件空间是学生很熟悉的那36个基本事件，所以只需要从中找出符合要求的基本事件即可．【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：，，，，，，，，共有8个，向上的点数之差的绝对值为2的概率：．故选B．6. 解：由二项式定理可知：，要求解的展开式中的系数，所以，所求系数为：．故选：A．利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查．7. 【分析】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．【解答】解：，，．故选A．8. 【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论属中档题．【解答】解：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为，所以甲独自去一个景点的可能性为，因为三个人去的景点不同的可能性为，所以．故选C．9.解：取，可得，故选：A．取，计算可得，即可得出结论．本题考查反证法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10. 解：设切点，则，，又，．故选项为B切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线11. 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩乙看到了丙的成绩，知自己的成绩甲、丁也为一优一良，丁看到甲的成绩，即知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说，丙不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．12. 解：设，则，0'/>，，即在上为增函数，则不等式等价为，即，即，在上为增函数，，即，解得，故不等式的解集为，故选：B．根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13. 解：，，由，得，，故当时，的最大值是．故答案为：．由，得，结合，得，然后利用基本不等式求得的最大值．本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．14. 解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有种．故答案为30．甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．15. 解：假设一共有个球则红球和黄球一共有个，红球和白球一共有个．则白球有个，红球有个，黄球有个．所以摸出的球是黄球或白球的概率为：．故答案为：．假设一共有个球则红球和黄球一共有个，红球和白球一共有个则白球有个，红球有个，黄球有个由此能求出摸出的球是黄球或白球的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．16. 【分析】本题考查定积分的求法，利用微积分基本定理以及定积分的几何意义求解．【解答】解：因为，表示以原点为圆心，2为半径的半圆的面积，所以，所以，故答案为．17. Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出的最小值，解关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．18. 由的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式，即可得出把直线l的参数方程为参数代入的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．19. 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．由条件推出：，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；利用基本不等式，再相加，即可证明结论．20. 曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．由直线l的参数方程可知，直线l必过圆C的圆心，则，设，则，当，取得最大值为．本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．21. Ⅰ由频率分布直方图求出事件，的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；Ⅱ写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望及方差．在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．22. Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ做题转化为在有两个不同的根，且，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

哈师大青冈实验中学2017—2018学年度第二学期开学初考试高二数学(理)试题一、选择题：（每题5分，共60分） 1．命题“2,210x x R x ∀∈+-<”的否定是A ．2,210x x R x ∀∈+-≥B ．2,210x x R x ∃∈+-<C ．2,210x x R x ∃∈+-≥D ．2,210x x R x ∃∈+-> 2.抛物线x y 32=的准线方程是 A ．43-=y B.34x =- C ．112y =- D ．112x =-3．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是A. 324cmB.3643cm C. (36cm + D. (324cm + 4．曲线2211625x y +=与曲线()221161625x y k k k+=<--的 A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5.下列各数中最大的数为A ．101111（2）B ．1210（3）C ．112（8）D ．69（12） 6．已知变量和之间的几组数据如下表：若根据上表数据所得线性回归方程为0.65ˆyx m =+，则m = A. -1.6 B. -1.7 C. -1.8 D. -1.9 7．如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分数，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为 A. 83，84 B. 83，85 C. 84，83 D. 84，848．执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出的 A. 2 B. 3 C. 4 D. 59．随机调查某校个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：这个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是A. ，0.56B. ， D. 10.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36种B.42种C.48种D.54种11．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为A ．B ．C ．D ．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，122F F c =，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点是双曲线右支上的动点，且1123|2PF PQF F +恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭ C. 76⎛ ⎝⎭ D. ⎛ ⎝⎭ 二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取_________名学生.14．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作个社团中随机选择个，则数学建模社团被选中的概率为_________.15.261(1)()x x x x ++-的展开式中的常数项为_______.16.下列命题中①已知点()()3,0,3,0A B -，动点满足2PA PB =，则点的轨迹是一个圆； ②已知()()2,0,2,0,3M N PM PN --=，则动点的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于；④在平面直角坐标系内，到点()1,1和直线23x y +=的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点()()120,2,0,2F F -，动点满足条件124(0)PF PF a a a+=+>，则点的轨迹是椭圆. 正确的命题是__________． 三、解答题：（共70分）17．(本小题满分10分)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，求△AOB 的面积18.（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示. （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率.19．（本小题满分12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70）， [70,80），[80,90），[90,100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应 分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数．20．（本小题满分12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-）21．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -，四边形ABCD 是正方形，2,2ABS BA AS SD S ∆====．（1）证明：平面ABCD ⊥平面SAD ；（2）若为的中点，求二面角B CM S --的余弦值．22.(本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点)332,1(-E ，且焦距为2，过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）当121k k +=，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.2017—2018年度高二下学期开学考试数学试题（理）答案C B BD D C A B A BA B25 -5 ①②③17.解析：由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由消去x 得y 2－4ty －4＝0. ∴y 1y 2＝－4，∴y 2＝－，∴S △AOB ＝×1×|y 1－y 2|＝.18.解析：（1）甲运动员得分的中位数为22，乙运动员得分的中位数为23.（2），，，，∴，从而甲运动员的成绩更稳定.（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为，其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲15分有3场，甲得17分有3场，甲得22。

2017-2018学年黑龙江省高二下学期数学（理）期末考试卷一、单项选择(每题5分，共60分)1、设全集{}1,2,3,4,5U =,{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()U C A B =（ ）A ．{}3,4B ．{}3,4,5C ．{}2,3,4,5D ．{}1,2,3,42、已知复数231i z i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3、“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．f （x ）=B ．f （x ）=C ．f （x ）=2﹣x ﹣2xD ．f （x ）=﹣tanx 5、函数的大致图象为( )A. B.C. D.6、已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时， ()2lo g f x x =，则()722f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 27、观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A. 192B. 202C. 212D. 222 8、直线（为参数）被曲线所截的弦长为( )A. 4B.C.D. 89、设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D. 不能确定10、已知实数满足，，则函数的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 11、已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.12、已知函数是定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，都有，则（ ）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，共20分） 13、函数()()ln 2f x x =++的定义域为__________；14、曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是__________． 15、关于x 不等式233x x ++≥的解集是 ． 16、在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . ①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ②对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；③若实数,x y 满足221,x y +=则2y x +的最大3；④若A B C ∆为钝角三角形，则sin co s .A B <三、解答题17、（本题10分）已知a 、b 、m 是正实数，且a b <，求证：a a m bb m+<+．18、（本题12分）设命题p ：实数x 满足（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足．（1）若a=1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19、（本题12分）在直角坐标系x O y 中，已知曲线12:{s in x c o s C y αα==（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:c o s 42C πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线3:2s in C ρθ=. （1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（2）设点A ，B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求A B 的最小值.20、（本题12分）已知()12f x x x =-++. （1）解不等式()5f x ≥；（2）若关于x 的不等式()22f x a a >-对任意的x R ∈恒成立，求a 的取值范围.21、（本题12分）已知函数2()22f x x a x a b =-+-+，且(1)0f =． （1）若()f x 在区间(2,3)上有零点，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 在[0,3]上的最大值是2，求实数a 的的值．22、（本题12分）已知函数()()22ln f x a x a x x =-++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求曲线()y f x =的点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围.参考答案一、单项选择 1、C【解析】由题意可得{}5,4,3=A C ,则()U C A B ={}5,4,3,2.2、C 【解析】因()()()()231151511222i i i z i i i ----===--+-，故复数1522z i =--对应的点在第三象限，应选答案C 。

2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则＜D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd3．（5分）已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（A．甲命中个数的极差是29B．乙命中个数的众数是21C．甲的命中率比乙高D．甲命中个数的中位数是254．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x+，已知x i＝225，y i＝1600，＝4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．1706．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；其中正确命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．608．（5分）若PQ是圆x2+y2＝9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．x+2y﹣5＝0C．2x﹣y+4＝0D．2x﹣y＝09．（5分）执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e xC．f（x）＝lnx+x+2D．f（x）＝x210．（5分）函数y＝1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丁和戊D．甲和丁12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）＝f（﹣x）+2x，当x＞0时，f'（x）＞2x+1．若f（a+1）≥f（﹣a）+4a+2，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）计算2xdx＝．14．（5分）已知复数z满足（i﹣1）（z﹣i3）＝2i（i为虚数单位），则z的共轭复数为．15．（5分）已知实数x，y满足，则z＝4x+y的最大值为．16．（5分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）求不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜2的解集；（Ⅱ）设x，y，z∈R，且++＝1，求x+y+z的最大值．18．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设C1|与C2的交点为P，Q，求△C1PQ的面积．19．（12分）某校为了解高二学生A，B两个学科学习成绩的合格情况是否有关，随机抽取了该年级一次期末考试A，B两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下2×2列联表：（1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“A学科合格”与“B学科合格”有关；（2）从“A学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“B学科合格”的人数为X，求X的数学期望．附公式与表：K2＝20．（12分）已知x＝1是函数f（x）＝2x++lnx的一个极值点．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）﹣，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的两个顶点分别为A（0，b）和C（0，﹣b），两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点E（3c，0）的直线AE与椭圆相交于另一点B，且F1A∥F2B．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）（a＞0）图象的一条切线为x﹣ey＝0．（Ⅰ）设函数g（x）＝b（x+1）2+f（x﹣1），讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣m的图象恒与x轴有两个不同的交点M（x1，0），N（x2，0），求证：h′（）＜0．2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：集合A＝{x|y＝}＝{x|lg（1﹣x）≥0}＝{x|1﹣x≥1}＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∩B＝{x|﹣1≤x≤0}＝[﹣1，0]．故选：B．2．【解答】解：利用排除法：对于B：当c＝0时，满足ac2＝bc2，故错误．对于C：当b＝0时，的形式不存在，故错误．对于D：0＞a＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故错误．故选：A．3．【解答】解：根据茎叶图知，甲命中个数的极差是37﹣8＝29，A正确；乙命中个数的众数是21，B正确；甲命中的数据主要集中在20～30之间，乙命中的数据主要集中在10～20之间，∴甲的命中率比乙高，C正确；甲命中的中位数是＝23，∴D错误．故选：D．4．【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调递增函数．故选：D．5．【解答】解：由线性回归方程为＝4x+，则＝x i＝22.5，＝y i＝160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则＝﹣4x＝160﹣4×22.5＝70，∴回归直线方程为＝4x+70，当x＝24时，＝4×24+70＝166，则估计其身高为166，故选：C．6．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；②若x＝1，则x2﹣3x+2＝1﹣3+2＝0成立，即充分性成立；若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2，此时x＝1不一定成立，即必要性不成立，故“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件，正确；③原命题为真时，它的否命题不一定为假命题，如a≥0时，|a|＝a，它的否命题是a＜0时，|a|≠a，都是真命题，不正确；④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．∴正确命题的个数是：3个．故选：B．7．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是＝50．故选：B．8．【解答】解：由题意知，直线PQ过点A（1，2），且和直线OA垂直，故其方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），整理得x+2y﹣5＝0．故选：B．9．【解答】解：考查所给的函数：A．f（x）＝sin x是奇函数，则输入该函数时输出的结果为：“是奇函数”；B．f（x）＝e x＞0，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；C．f（x）＝1nx+x+2不是奇函数，且f（e﹣20）＜0，此时输出函数；D．f（x）＝x2≥0，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；故选：C．10．【解答】解：函数y＝1+x+，可知：f（x）＝x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．11．【解答】解：假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，由甲、乙、丁、戊四个人说的都正确，丙说的不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是乙和丙，由甲、丁、戊三个人说的都正确，乙和丙说的不正确，但参加“演讲”的2人说得都不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是丁和戊，由甲、丁、戊三个人说的都错误，乙和丙说的都正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是甲和丁，由甲、丙、戊三个人说的都正确，乙和醒丙说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确，符合题意．综上，确定参加“演讲”比赛的学生是甲和丁．故选：D．12．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x﹣x2，则g（x）﹣g（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣x）﹣2x ＝0，∴g（x）是偶函数．当x＞0时，g′（x）＝f′（x）﹣1﹣2x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数．∵f（a+1）≥f（﹣a）+4a+2，∴f（a+1）﹣（a+1）﹣（a+1）2≥f（﹣a）﹣（﹣a）﹣（﹣a）2，∴g（a+1）≥g（﹣a）＝g（a），∴|a+1|≥|a|，解得a≥﹣．故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：814．【解答】解：由（i﹣1）（z﹣i3）＝2i，得（i﹣1）（z+i）＝2i，即z+i＝，则z＝1﹣2i，∴．故答案为：1+2i．15．【解答】解：满足实数x，y满足的可行域如下图所示：由，解得A（3，2）当x＝3，y＝3时，z＝4x+y的最大值为：14．故答案为：14⊗16．【解答】解：若命题p：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜5三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）①当x≤3时，7﹣2x＜2，得，∴；②当3＜x≤4时，1＜2成立，∴3＜x≤4；③当x＞4时，2x﹣7＜2，得，∴；综上，不等式的解集为．……（5分）（Ⅱ）由柯西不等式，得[42+（）2+22]•[（）2+（）2+（）2]≥（x+y+z）2，即25≥（x+y+z）2．∴﹣5≤x+y+z≤5．当且仅当时上式取等号∴当，x+y+z的最大值为5．……（10分）18．【解答】解：（1）∵直线C2的极坐标方程为．∴直线C2的直角坐标方程为x+y＝0，∵圆C1的普通方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0．（2）将代入ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0，得，解得，，故ρ1﹣ρ2＝2，即|PQ|＝2．由于圆C1的半径为2，∴△C1PQ的面积为2．19．【解答】解：（1）K2＝≈7.822＞6.635所以，有90%的把握认为“A学科合格”与“B学科合格”有关．（2）由题意可知：X可以取0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝∴EX＝+2×＝．20．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2x++lnx可得：因为x＝1是函数f（x）＝2x++lnx的一个极值点，所以f'（1）＝0，解得b＝3此时当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0∴f（x）递减区间（0，1），递增区间（1，+∞）……（6分）（Ⅱ）在区间[1，2]上单调递增，则，即a≥﹣2x2﹣x对∀x∈[1，2]恒成立，y＝﹣2x2﹣x在区间[1，2]上递减，当x＝1时，（﹣2x2﹣x）max＝﹣3所以a≥﹣3．……（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）∵|EF2|＝3c﹣c＝2c＝|F1F2|，且F1A∥F2B，∴B是A和E的中点，不妨设A（0，b），由E（3c，0），∴B（），代入得：，∴，即椭圆的离心率e＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，得a2＝3c2，b2＝a2﹣c2＝2c2，∴椭圆的方程可设为2x2+3y2＝6c2．若A（0，），则C（0，﹣），线段AF1的垂直平分线l的方程为y﹣，直线l与x轴的交点（）是△AF1C外接圆的圆心．因此，外接圆的方程为．直线F2B的方程为y＝（x﹣c），于是点H（m，n）的坐标满足方程组：，由m≠0，解得．故．22．【解答】解：（Ⅰ），设切点（x0，ln（ax0）），则切线斜率，∴x0＝e，即切点（e，1），故a＝1，f（x）＝lnx，∴g（x）＝b（x+1）2+ln（x﹣1）（x＞1），∴，①当b≥0时，g'（x）＞0，∴g（x）增区间（1，+∞），无减区间；②当b＜0时，令g'（x）＞0，得；令g'（x）＜0，得∴g（x）增区间，减区间……（6分）（Ⅱ）依题意及（Ⅰ）得函数h（x）＝lnx﹣x﹣m（x＞0），则，∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝﹣1﹣m，∵函数h（x）的图象恒与x轴有两个不同的交点M（x1，0），N（x2，0），且当x趋近于0时，h（x）趋近于﹣∞，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞，∴﹣1﹣m＞0，m＜﹣1，且x1≠x2，故不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2．要证h′（）＜0，需证＞1，即x1+x2＞2，当x2≥2时，显然成立．当1＜x2＜2时，令F（x）＝h（x）﹣h（2﹣x），x∈（1，2），∵h（x）＝lnx﹣x﹣m，∴F（x）＝ln x﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，F'（x）＝+﹣2＝＞0，x∈（1，2），∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴F（x2）＞F（1）＝0，即h（x2）＞h（2﹣x2），又由题意知h（x1）＝h（x2），∴h（x1）＞h（2﹣x2）．∵h（x）在（0，1）上单调递增，x1∈（0，1），2﹣x2∈（0，1），∴x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．综上可得，x1+x2＞2，即证．……（12分）。

2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|y＝lg（1﹣x）}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则＜D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd3．（5分）已知复数z满足（i﹣1）（z﹣i3）＝2i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．i﹣1B．1+2i C．1﹣i D．1﹣2i4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．5．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是（）A．x2﹣＝1B．﹣y2＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝16．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；其中正确命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（5分）若函数f（x）＝（x2+ax+5）e x在[，]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，+∞）B．[﹣4，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣4，2]8．（5分）若PQ是圆x2+y2＝9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．x+2y﹣5＝0C．2x﹣y+4＝0D．2x﹣y＝09．（5分）执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝lnx+x+2D．f（x）＝x2 10．（5分）函数y＝1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丁和戊D．甲和丁12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）＝f（﹣x）+2x，当x＞0时，f'（x）＞2x+1．若f（a+1）≥f（﹣a）+4a+2，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）函数y＝xlnx在其极值点处的切线方程为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝4x+y的最大值为．15．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣2x2+x在R上有极值点，则a的取值范围是．16．（5分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）求不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜2的解集；（Ⅱ）设x，y，z∈R，且++＝1，求x+y+z的最大值．18．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设C1|与C2的交点为P，Q，求△C1PQ的面积．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7＝0．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间．20．（12分）已知x＝1是函数f（x）＝2x++lnx的一个极值点．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）﹣，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．21．（12分）已知动点M（x，y）到直线l：x＝4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m 的率．22．（12分）已知函数f（x）＝a（x+2）2+2e x（x+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若a∈（0，），求函数g（x）＝f（x）﹣6e x在（0，+∞）上的最小值的取值范围．2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A＝{x|y＝lg（1﹣x）}＝（﹣∞，1），B＝{x|x≥﹣1}，∴A∩B＝[﹣1，1）．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查对数函数定义域的求法，是基础题．2．【考点】R3：不等式的基本性质．【解答】解：利用排除法：对于B：当c＝0时，满足ac2＝bc2，故错误．对于C：当b＝0时，的形式不存在，故错误．对于D：0＞a＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故错误．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：不等式性质的应用，排除法的应用．3．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由（i﹣1）（z﹣i3）＝2i，得＝1﹣2i，则z的共轭复数为1+2i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调递增函数．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性知识．5．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：由双曲线方程﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由A可得渐近线方程为y＝±2x，由B可得渐近线方程为y＝±x，由C可得渐近线方程为y＝x，由D可得渐近线方程为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．6．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；②若x＝1，则x2﹣3x+2＝1﹣3+2＝0成立，即充分性成立；若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2，此时x＝1不一定成立，即必要性不成立，故“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件，正确；③原命题为真时，它的否命题不一定为假命题，如a≥0时，|a|＝a，它的否命题是a＜0时，|a|≠a，都是真命题，不正确；④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．∴正确命题的个数是：3个．故选：B．【点评】本题主要考查了充分与必要条件的判断，命题的逆否命题的写法，复合命题的真假关系的应用，属于中档题．7．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax+5）e x，可得f′（x）＝（x2+ax+5+2x+a）e x，若函数f（x）＝（x2+ax+5）e x在[，]上单调递增，可得x2+ax+5+2x+a≥0，在[，]上恒成立，即a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5恒成立，a≥﹣＝﹣（x+1）﹣≤＝﹣2×2＝﹣4，当且仅当x＝1时取等号，所以实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．8．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．【解答】解：由题意知，直线PQ过点A（1，2），且和直线OA垂直，故其方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），整理得x+2y﹣5＝0．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交时，所得弦的中点与圆心的连线与该直线垂直的关系，结合圆的几何性质求直线方程．9．【考点】EF：程序框图．【解答】解：考查所给的函数：A．f（x）＝sin x是奇函数，则输入该函数时输出的结果为：“是奇函数”；B．f（x）＝e x＞0，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；C．f（x）＝1nx+x+2不是奇函数，且f（e﹣20）＜0，此时输出函数；D．f（x）＝x2≥0，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；故选：C．【点评】本题考查了函数的性质，流程图及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．10．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：函数y＝1+x+，可知：f（x）＝x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．11．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，由甲、乙、丁、戊四个人说的都正确，丙说的不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是乙和丙，由甲、丁、戊三个人说的都正确，乙和丙说的不正确，但参加“演讲”的2人说得都不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是丁和戊，由甲、丁、戊三个人说的都错误，乙和丙说的都正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是甲和丁，由甲、丙、戊三个人说的都正确，乙和醒丙说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确，符合题意．综上，确定参加“演讲”比赛的学生是甲和丁．故选：D．【点评】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．12．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x﹣x2，则g（x）﹣g（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣x）﹣2x ＝0，∴g（x）是偶函数．当x＞0时，g′（x）＝f′（x）﹣1﹣2x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数．∵f（a+1）≥f（﹣a）+4a+2，∴f（a+1）﹣（a+1）﹣（a+1）2≥f（﹣a）﹣（﹣a）﹣（﹣a）2，∴g（a+1）≥g（﹣a）＝g（a），∴|a+1|≥|a|，解得a≥﹣．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：依题解：依题意得y′＝lnx+1，令y′＝0，可得x＝，∴y＝﹣．切线的斜率为：0，因此函数y＝xlnx在其极值点处的切线方程为y＝﹣．故答案为：．【点评】本小题主要考查函数的极值的求法，切线方程的求法，考查运算求解能力．属于基本知识的考查．14．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：满足实数x，y满足的可行域如下图所示：由，解得A（3，2）当x＝3，y＝3时，z＝4x+y的最大值为：14．故答案为：14⊗【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域是解答的关键．15．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由f（x）＝ax3﹣2x2+x，得f′（x）＝3ax2﹣4x+1．若f（x）在R上有极值，当a≠0时，函数是二次函数，存在极值；则a≠0且方程3ax2﹣4x+1＝0有两不等实数根，∴△＝16﹣12a＞0，解得：a，且a≠0；综上a的取值范围是：．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的导数求函数的极值，考查了函数恒成立问题，是中高档题．16．【考点】2E：复合命题及其真假；2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：若命题p：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜5【点评】本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【考点】RK：柯西不等式在函数极值中的应用．【解答】解：（Ⅰ）①当x≤3时，7﹣2x＜2，得，∴；②当3＜x≤4时，1＜2成立，∴3＜x≤4；③当x＞4时，2x﹣7＜2，得，∴；综上，不等式的解集为．……（5分）（Ⅱ）由柯西不等式，得[42+（）2+22]•[（）2+（）2+（）2]≥（x+y+z）2，即25≥（x+y+z）2．∴﹣5≤x+y+z≤5．当且仅当时上式取等号∴当，x+y+z的最大值为5．……（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，考查计算能力．18．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（1）∵直线C2的极坐标方程为．∴直线C2的直角坐标方程为x+y＝0，∵圆C1的普通方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0．（2）将代入ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0，得，解得，，故ρ1﹣ρ2＝2，即|PQ|＝2．由于圆C1的半径为2，∴△C1PQ的面积为2．【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（Ⅰ）由y＝f（x）的图象经过点P（0，2），知d＝2，∴f（x）＝x3+bx2+cx+2，f'（x）＝3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7＝0，知﹣6﹣f（﹣1）+7＝0，即f（﹣1）＝1，又f'（﹣1）＝6．解得b＝c＝﹣3．故所求的解析式是f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）＝3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道中档题．20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2x++lnx可得：因为x＝1是函数f（x）＝2x++lnx的一个极值点，所以f'（1）＝0，解得b＝3此时当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0∴f（x）递减区间（0，1），递增区间（1，+∞）……（6分）（Ⅱ）在区间[1，2]上单调递增，则，即a≥﹣2x2﹣x对∀x∈[1，2]恒成立，y＝﹣2x2﹣x在区间[1，2]上递减，当x＝1时，（﹣2x2﹣x）max＝﹣3所以a≥﹣3．……（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数恒成立条件的转化，考查发现问题解决问题的能力．21．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：（1）点M（x，y）到直线x＝4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则|x﹣4|＝2，即（x﹣4）2＝4（x﹣1）2+4y2，整理得，所以动点M的轨迹是椭圆，方程为．（2）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1＝x2，椭圆的上下顶点坐标分别是（0，3）和（0，﹣3），经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在，设直线m的方程为y＝kx+3，联立，得整理得：（3+4k2）x2+24kx+24＝0．∴，所以＝，得k＝，【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．22．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2+2e x（x+1），f′（x）＝﹣2（x+2）+2e x+2e x（x+1）＝2（x+2）（e x﹣1）．令f′（x）＝0，解得x＝﹣2，或0．x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由表知f（x）的极大值为：f（﹣2）＝﹣2e﹣2，f（x）的极小值为f（0）＝﹣2．（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣6e x＝a（x+2）2+2（x﹣2）e x ，g′（x）＝2a（x+2）+2e x（x﹣1），∵x＞0，，∴g″（x）＝2（xe x+a）＞0，∴g′（x ）在（0，+∞）上单调递增．∵g′（0）＝2（2a﹣1）＜0，g′（1）＝6a＞0，∴存在x0∈（0，1）使得g′（x0）＝0，在（0，x0）上g′（x）＜0，g（x）单调递减；在（x0，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝+2，∵g′（x0）＝0，∴2a（x0+2）+2（x0﹣1）＝0，∴a＝．∴g（x）min＝g（x0）＝×+2＝（﹣+x0﹣2），记h（x）＝（﹣x2+x﹣2）e x，h′（x）＝（﹣x2﹣x﹣1）e x＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减．∵a＝，记u（x）＝，∴u′（x）＝＜0，u（x）在（0，+∞）上单调递减，∵a∈，∴x0∈（0，1）．∴h（1）＜g（x0）＜h（0），∴﹣2e＜g（x0）＜﹣2．∴g（x）最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

哈师大附中高二下学期期末考试理科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求定义域得集合A，再根据交集定义求结果.详解：因为，所以所以选B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 对于任意实数以下四个命题正确的是（）A. 若则B.C. 若则D. 若则【答案】A【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立.详解：因为同向不等式可相加，所以若则，因为c=0时，所以B错；因为，所以C错；因为，所以D错；选A.点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.3. 已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（）A. 甲命中个数的极差是29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲命中个数的中位数是25【答案】D【解析】分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数，再作出判断.详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29，乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高，甲命中个数的中位数是23，所以选D.点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数，考查基本求解能力.4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.5. 为了研究某班学生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.该班某学生的脚长为24cm，据此估计其身高为（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】C【解析】由已知 ,选C.【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．6. 下列四个命题:①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题,使得.则,均有.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，命题“若，则”的逆否命题是“，则”正确；对于②，的解为或，是的充分不必要条件，正确；对于③，原命题为真命题，则原命题的否命题不一定为假命题，错误；对于④，对于命题，则，故正确，正确命题的个数是，故选B.7. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B【解析】试题分析：频率为，人数为人.考点：频率分布直方图.8. 若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先根据中点与圆心连线垂直PQ得斜率，再根据点斜式得方程.详解：因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以,所以直线的方程是,选B.点睛：本题考查圆中弦中点性质，考查基本求解能力.9. 执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为为奇函数，恒大于零，恒非负，满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.10. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.11. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话.甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”.已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确.根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丁和戊D. 甲和丁【答案】D【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．详解：设，则，∴是偶函数．当.，∴在上是增函数，∵，∴即，∴，即．故选：A．点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 计算__________.【答案】8【解析】分析：根据微积分基本定理求定积分.详解：点睛：本题考查利用微积分基本定理求定积分，考查基本求解能力.14. 已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为__________.【答案】【解析】分析：先根据复数乘除法则求z，再根据共轭复数概念得结果.详解：因为(i−1)(z−)=2i，所以因此z的共轭复数为点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为15. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________.【答案】14【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为即答案为14.点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.16. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时；则解得，则命题为假命题时，或，若命题双曲线的离心率为真命题时；则即即则命题为假命题时，，或，∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题，当真假时，0，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：，或．故答案为：.点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求不等式的解集；（2）设，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；（2）利用柯西不等式可求的最大值.详解：（1）①当时，，得，∴；②当时，成立，∴；③当时，，得，∴；综上，不等式的解集为．（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号∴当，x＋y＋z的最大值为5．点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.18. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1的极坐标方程．（2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．详解：（1）圆普通方程所以的极坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:学科合格人数学科不合格人数学科合格人数学科不合格人数（1）据此表格资料，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关；（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为，求的数学期望.附公式与表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据卡方公式求，再对照参考数据确定可靠率，(2)先确定随机变量服从超几何分布，再根据超几何分布概率公式得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1）故能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关.（2）服从超几何分布，，，随机变量的分布列为：点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.20. 已知是函数的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．21. 已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:求出点的坐标，根据点在椭圆上满足椭圆方程，列出一个的等式就可以求出离心率，根据离心率进行减元，把椭圆方程写出来，写出的垂直平分线的方程，直线与轴交点恰好为外接圆的圆心，得出外接圆的方程，点（）既在直线上又在的外接圆上，联立方程组求出.试题解析：（Ⅰ），且，点是点和点的中点.，，点的坐标为.代入得：，离心率.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以椭圆的方程可设为.若，则.线段的垂直平分线的方程为.直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得.故.【点睛】列出一个的等式就可以求出离心率，根据点在椭圆上满足椭圆方程，就可以列出等式；三角形的外接圆为三边的垂直平分线的交点，由于的中垂线为轴，所以只需求出另一边的垂直平分线与轴的交点即为外心，点即在直线上又在圆上，满足方程求出结果.22. 已知函数图象的一条切线为.（1）设函数，讨论的单调性；（2）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切点坐标，代入函数解析式得，再求的导数，根据b讨论导函数零点，进而得单调性，(2)先求导数，转化为+>2，再构造函数，x∈(1，2)，利用导数易得(x)在(1，2)上单调递增，即得()>(1)=0，即()>(2−)，最后根据()=()，证得结论成立.详解：（1），设切点，则切线斜率∴，即切点，故，∴∴①当时，，∴增区间，无减区间；②当时，令，得；令，得∴增区间，减区间（2）依题意及（1）得函数，则，∴当0<x<1时，；当x>1时，，∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，∴∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，且当x趋近于0时，趋近于−∞，当x趋近于+∞时，趋近于−∞，∴−1−m>0，m<−1，且≠，故不妨设<，则0<<1<．要证()<0，需证>1，即+>2，当≥2时，显然成立．当1<<2时，令，x∈(1，2)，∵，∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2，=+−2=>0，x∈(1，2)，∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2−)，又由题意知()=()，∴()>(2−)．∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2−∈(0，1)，∴>2−，即+>2．综上可得，+>2，即证．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

哈师大青冈实验中学2017—2018学年度第二学期开学初考试高二数学(理)试题一、选择题：（每题5分，共60分）1．命题“ 2,210x x R x ∀∈+-<” 的否定是A ．2,210x x R x ∀∈+-≥B ．2,210x x R x ∃∈+-<C ．2,210x x R x ∃∈+-≥D ．2,210x x R x ∃∈+-> 2.抛物线x y 32=的准线方程是 A ．43-=y B.34x =- C ．112y =- D ．112x =-3．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几何体的体积是A. 324cmB.3643cmC. (36cm + D. (324cm +4．曲线2211625x y +=与曲线()221161625x y k k k+=<--的 A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5.下列各数中最大的数为A ．101111（2）B ．1210（3）C ．112（8）D ．69（12） 6．已知变量x 和y 之间的几组数据如下表：若根据上表数据所得线性回归方程为0.65ˆyx m =+，则m = A. -1.6 B. -1.7 C. -1.8 D. -1.9 7．如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分数，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为 A. 83，84 B. 83，85 C. 84，83 D. 84，848．执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出的k = A. 2 B. 3 C. 4 D. 59．随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是A. 4.2，0.56B. 4.24，0.6 D. 410.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36种B.42种C.48种D.54种11．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为A ．B ．C ．D ．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且1123|2PF PQF F +恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭ C. 76⎛ ⎝⎭ D. ⎛ ⎝⎭ 二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生.14．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.15.261(1)()x x x x ++-的展开式中的常数项为_______.16. 下列命题中①已知点()()3,0,3,0A B -，动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹是一个圆； ②已知()()2,0,2,0,3M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点()1,1和直线23x y +=的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点()()120,2,0,2F F -，动点P 满足条件124(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是椭圆.正确的命题是__________． 三、解答题：（共70分）17．(本小题满分10分)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，求△AOB 的面积18.（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示. （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率.19．（本小题满分12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70）， [70,80），[80,90），[90,100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应 分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数．20．（本小题满分12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x 吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑， ˆˆay bx =-）21．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -，四边形ABCD 是正方形， 2,2ABS BA AS SD S ∆====． （1）证明：平面ABCD ⊥平面SAD ；（2）若M 为SD 的中点，求二面角B CM S --的余弦值．22.(本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在x 轴的椭圆过点)332,1(-E ，且焦距为2，过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）当121k k +=，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.2017—2018年度高二下学期开学考试数学试题（理）答案C B BD D C A B A B A B 25 -5 ①②③17.解析：由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由x －1＝ty ，y2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0. ∴y 1y 2＝－4，∴y 2＝－，∴S △AOB ＝21×1×|y 1－y 2|＝22.18.解析：（1）甲运动员得分的中位数为22，乙运动员得分的中位数为23.（2），，，，∴，从而甲运动员的成绩更稳定.（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为，其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲15分有3场，甲得17分有3场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得24分有4场，甲得32分有7场，共计26场.甲的得分大于乙的得分的概率.19.（1）由频率分布直方图知（2a ＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a ＝0．005 （2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为0．005×10×100＝5,0．04×10×100＝40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25．故数学成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝1020．解析：（1），，，，；，所求的回归方程为．（2）时，（吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨）．21．解析：（1）∵，∴，即，又∵为正方形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）设的中点为，∵，∴，由（1）可知平面平面，且平面平面，∴平面，在平面内，过作直线，则两两垂直．以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量为，则，，即，取，设平面的法向量为，则，，即，取，，由图可知，二面角的余弦值为．22.解：（1）由题意知设右焦点椭圆方程为（2）由题意，设直线，即代入椭圆方程并化简得同理当时，直线的斜率直线的方程为又化简得此时直线过定点（0，）当时，直线即为轴，也过点（0，）综上，直线过定点（0，）。