高考数学冲刺课件核心考点命题揭密：概率、统计与统计案例

(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1, 2,3, 4, [90,100]之间的2个分数编号为5, 6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为 : (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (3, 4),(3,5),(3, 6),(4,5), (4, 6), (5, 6)共15个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5), (1, 6), (2,5), (2, 6), (3,5), (3, 6), (4,5), (4, 6), (5, 6)共9个, 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 9 0.6.
3.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效, 随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在 服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠的时间(单位:h).试 验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(2)求分数在[80,90)之间的人数;并计算频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高;
(2)分数在[80,90)之间的频数为25 2 7 10 2 4; 即分数在[80, 90)之间的人数为4人. 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 4 10 0.016.

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1
二、用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布表与频率分布直方图
频率分布表和频率分布直方图,是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数
据分布的规律.它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.
绘制频率分布直方图的步骤:
求极差;决定组距与组数;将数据分组;列频率分布表;画频率分布直方图.
个数,则中间两数的平均数是中位数.
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2
x1 x2 xn
(3)平均数: x =
n
,反映了一组数据的平均水平.
(4)标准差:
s=
1 n
[( x1Leabharlann x)2( x2

x)2

( xn

x)2
]
,反映了样本数据的离散程度.
1 x
x
x
(5)方差:s2= n [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2] ,反映了样本数据的离散程度.
进行抽取
抽样或系统抽样
成
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2.用样本估计总体 用样本估计总体,包括用“形”与“数”两个方面.用“形”就是利用样本数据列出频率分布 表、画出频率分布直方图和频率折线图.用“数”就是用样本的数字特征来反映总体的某个方 面的特征,最常用的是借助平均数、众数、中位数、标准差和方差等数字特征来估计数据的平 均水平和离散、波动的程度.它们是同一组数据的频率分布的不同表现形式. 3.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要解决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系,如果有,就找出它们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势; (3)求出回归直线方程.

热点一 热点一 事件与概率、古典概型的计算
∵A∩B＝B，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．当
B＝∅时，Δ＝a2－4b<0，满足条件的 a，b 有 a＝1，b＝1，2，3；a＝2，
b＝2，3；a＝3，b＝3.当 B＝{1}时，满足条件的 a，b 有 a＝2，b＝1.当 B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的 a，b.当 B＝{1，2}时，满足条件的 a，b 有 a＝3，b＝2.当 B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的 a，b. ∴概率为3×8 3＝89. 8 9
热点三 热点三 抽样方法、用样本估计总体
【例 6】 (文科)对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率 分布直方图如图所示．
热点三 热点三 抽样方法、用样本估计总体
(1)求 y0，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取 20 个元件，元件寿 命落在 100～300 之间的应抽取几个？ (1)根据题意：0.001×100＋2y0×100＋0.002×100＋0.004×100＝1，解得 y0＝0.001 5. 设元件寿命落在 100～300 之间的应抽取 x 个，根据分层抽样有：2x0＝ (0.001＋0.001 5)×100，解得 x＝5. ∴元件寿命落在 100～300 之间的应抽取 5 个．
热点一 热点一 事件与概率、古典概型的计算
【例 2】 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本 车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120
热点一 热点一 事件与概率、古典概型的计算
10
合计
70

A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 解析：A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确；B 选项，仅 90 后从事技术岗位的人数 占总人数比为 0.56×0.396＝0.22176 超过 20%，故正确；C 选项，可知 90 后明显比 80 前多，故正确；D 选项，因为技术所占比例 90 后和 80 后不清楚，所以不一定多，故 错误．故选 D.
5
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－19.2， (xi－ x )2＝1 000，
i＝1
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
得^b＝
＝－0.019 2，
5
xi－ x 2
i＝1
^a＝ y －^b x ＝0.976， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y＝－0.019 2x＋0.976.
(2)能把保费 x 定为 5 元． 理由如下：若保费 x 定为 5 元，则估计 y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88， 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为 2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.2%×2 000－1 000×1 000 ＝0.76×106(元)＝76(万元)>70(万元)， 所以能把保费 x 定为 5 元．
运员工中有一个编号为 025，那么以下编号中不是幸运员工编号的是( )
A．007
B．106
C．356
D．448
解析：由题意，根据系统抽样，可得抽样间距为45500＝9，又由 25＋9n＝356 无正整数

������=1
i=1
(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
^ ^ ^ 7
������
=
������=∑1(������������-������)(������������-������)
7
∑
(������������-������)2
=
1248=0.5,������
2016年的数据建立的线性模型
^
������
=99+17.5t可以较好地描述2010年
以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预
测值更可靠.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
-12-
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,
由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型② 得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可
基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
-9-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间 变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t
的值依次为1,2,…,17)建立模型①: ^������=-30.4+13.5t;根据2010年至
值为
���^���=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y^ =99+17.5×9=256.5(亿元).
-11-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六

第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为 pn－1， 第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1， 则 pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×12＝－12pn－1＋12， 即 pn－13＝－12pn－1－31，
又 p1－13＝23， 所以pn－13是以23为首项，－12为公比的等比数列.
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
(5分)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
② 处 写 出 P(Ai ＋ 1) 的 概率计算公式
即 pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
③ 处 写 出 pi ＋ 1 与 pi 的关系
构造等比数列{pi＋λ}，设 pi＋1＋λ＝25(pi＋λ)，解得 λ＝－13，
则 pi＋1－13＝25pi－13， (7分)
④处构造出等比数列
又 p1＝12，p1－13＝16， 所以pi－13是首项为16，公比为25的等比数列， 即 pi－13＝16×25i－1， pi＝61×25i－1＋13. (9分) (3)因为 pi＝16×25i－1＋13，i＝1,2，…，n， 所以当n∈N+时，
0,1,2,3， 易知 X～B3，19， 所以 P(X＝k)＝Ck3·19k·893－k，k＝0,1,2,3，
故X的分布列为
X0
1
2
3
P
512 729
64 243
8 243
1 729
所以 X 的期望 EX＝3×19＝13.
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名 前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可 能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能 地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传 出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 易知p1＝1，p2＝0. ①证明：pn－13为等比数列；

3.(2017成都第二次诊断性检测)在一个容量为5的样本中,数据均为整
数,已求出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位
数字1未被污损,即9,10,11,1■,■,那么这组数据的方差s2可能的最大值
是
.
答案 32.8
解析 设这组数据的最后两个数分别是10+x,y(x为[0,9]中的自然数,y为
A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 由甲组学生成绩的平均数是88,可得 70 80 3 90 3 (8 4 6 8 2 m 5) =88,解得m=3.由乙组学生成绩的
7
中位数是89,可得n=9,所以n-m=6,故选B.
3.(2017山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分 组与频率分布表:
组号 1
2
3
4
5
6
7
8
分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]
频率 0.1
0.15 0.2
0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
元(结果保留5位有效数字).
n
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为:b^
=
xi yi
i1 n
xi2
nx y
2
nx
,
^
a
=
i1
y
-
^
b
x
.
答案 1.818 2
解析
由题意知
^
b
=
1
481 6
79
6

年级号 x 1 2 3 4 5 近视率 y 0.05 0.09 0.16 0.20 0.25
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程，并根据方程
预测六年级学生的近视率．
n
－－
∑xiyi－nxy
附：回归直线 y＝bx＋a 的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为 b＝i＝n1
最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地 24 所小学， 24 所初中和 12 所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随 机抽取 5 所学校对学生进行视力调查． (1)若从所抽取的 5 所学校中再随机抽取 3 所学校进行问卷调查，求抽到的这 3 所学 校中，小学、初中、高中分别有一所的概率； (2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率 y 的数据如下表：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差； (2)从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 2 场 都不超过均值的概率．
解析：(1)甲在比赛中得分的均值x－＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差 s2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. (2)甲得分在 20 分以下的 6 场比赛分别为：7，8，10，15，17，19. 从中随机抽取 2 场，这 2 场比赛的得分如下： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， (10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共 15 种， 其中抽到 2 场都不超过均值的情形是： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共 6 种，所以所求概率 P ＝165＝25.

频率 距的比值，即小长方形面积＝组距×组距＝频率．
(2)各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1. (3)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象， 不利于分析数据分布的总体态势． (4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势， 但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容．
本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用，注重考 查了考生的实际应用能力．
频率分布直方图的考查
考查频率分布直方图的识图与计算．重点考查看图、识图的能 力，对频率分布直方图中各参数的认识，以及在统计学中样本 对总体的估计作用． 延伸 (1)频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频 率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区 间内取值的频率．注意频率分布直方图中的纵轴表示频率与组
高考动向透视
抽样方法
考查抽样方法及抽样中的计算．应抓住各种抽样方法及各自特 点．对于分层抽样，与其有关计算在高考试题中较常见，难度 较低，关键抓住按怎样的比例分层．
【示例1】►(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员 36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容 量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． 解析 本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题，分层抽样是 随机抽样常用的方法之一，其特点是样本中各层人数的比例与 总体中各层人数的比例相等． 抽取的男运动员的人数为482＋136×48＝12. 答案 12
(2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据，对位数多 的数据不太容易操作；而且茎叶图只方便记录两组数据，两组 以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、 清晰； (3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录，、乙两人在10天中每天加工零件的个 数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位 数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人 日加工零件的平均数分别为________和________.

• C．从两图来看，2019年1～4月中的同一个月快递业务量与收入 的同比增长率并不完全一致
• D．从1～4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月 增长
• 【答案】 D
• (2)(2019·株洲二模)某企业对其生产的一批产品进行检测，得出
每件产品中某种物质含量(单位：克)的频率分布直方图如图所示．则
及抽样方法的选取
标准差的大小比较、方差公式的应用；
利用频数分布表计算频率和平均数、 17
独立性检验的应用
年份 2019 2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
5 17 3 18 18
考查角度
分值
样本的数字特征
5
频率分布直方图、均值的应用
12
统计图的识别和分析
5
折线图、线性回归方程模型问题
• 众数、中位数、平均数与直方图的关系 • (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． • (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横
轴交点的横坐标． • (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底
边中点的横坐标之和．
• 5．(2019·绵阳二诊)下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各
【解析】 样本a1、a2、a3的方差是2，设平均数为 x ， 则样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的平均数为2 x ＋3， 方差s2＝13[(2a1－2 x )2＋(2a2－2 x )2＋(2a3－2 x )2]， ＝13×4[(a1－ x )2＋(a2－ x )2＋(a3－ x )2]＝4×2＝8． 故样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的标准差为：2 2.
(2)根据频率分布直方图得出众数落在第三组[80,90)内， 所以众数为80＋2 90＝85； 含量在[60,70)之间的频率为0.1， 含量在[70,80)之间的频率为0.2， 含量在[80,90)之间的频率为0.4， 根据概率和为1，可得含量在[90,100)之间的频率为0.3， 所以频率分布直方图的平均数为 65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.3＝84．故选C．