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高考高三数学一轮热点、难点一网打尽第55讲 熟记概念方可巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．基础知识回顾:一、复数的有关概念1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．3共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．4．复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋b i ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)←−−−→一一对应平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(2)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．应用举例:类型一复数的概念例1.复数i -+251（i 是虚数单位）的模等于（ ）． （A ）10（B ）10（C ）5（D ）5 例2.复数1+1i i -（i 是虚数单位）的虚部为( ) A. i B. 2i C. 1D. 2例3．设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝－3”是“复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)·i －y ＝1＋i ，则(1＋i)x ＋y ＝________.点评：解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，以确定实部和虚部．类型二复数的几何意义例5.复数i i 21+的共轭复数是a +bi （a ，b ∈R ），i 是虛数单位，则点（a ，b ）为（ ） A ．（2，1）B ．（2，﹣i ）C ．（1，2）D ．（1，﹣2） 例6.i 为虚数单位，复数i-310在复平面内表示的点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限例7．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________ 点评：对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ .(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．（3）判断复数所在平面内的点的位置的方法：首先将复数化成a ＋bi(a ，b ∈R)的形式，其次根据实部a 和虚数b 的符号来确定点所在的象限．类型三复数的运算例8．(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋i D ．－1－i 例9．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__. 例10．复数z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限点评：复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 方法、规律归纳:在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.实战演练:1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( ) A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于（ ）A.34B.43C.43-D.34- 3.复数z 满足2)1()1(i z i +=+-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位（）A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ． 第四象限 4.若复数12i z i-=的共轭复数是(,)z a bi a b R =+∈，其中i 为虚数单位，则点（a ，b ）为（ ） A.（一1. 2） B.（－2，1) C.（1，－2） D.（2，一1）5.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z =A.1-B.1C.2D.2 6.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝(A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i 7.若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i8.若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 9.在复平面内复数11ai z i+=-对应的点在第一象限，则实数a 的取值可以为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.2 10. 已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a b 的值为_______.。

等差数列的历史：从数学大师到现代应用等差数列是一种最基本的数学序列，其定义是指序列中相邻两项之间差相等的数列。

例如，1，3，5，7，9就是一个常数项为2的等差数列。

虽然它看起来十分简单，但在数学研究中，等差数列是一个重要的研究对象。

在这篇文章中，我们将探讨等差数列的历史、最重要的发现和后来的应用。

文艺复兴时期的进展尽管等差数列的概念可以追溯到古代数学家如毕达哥拉斯和欧几里得，但人们对其性质和应用的充分理解直到文艺复兴时期才开始。

这个时期的许多数学家都致力于定义和分类等差数列，其中最重要的发现之一是斐波那契数列。

斐波那契数列由意大利数学家列奥纳多·斐波那契首次引入，它是由0和1开始的一系列数字，每个后续数字都是前两个数字的和。

即，0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144......斐波那契数列在近现代数学中高度重要，因为它出现在许多不同的自然现象中，如植物的分枝模式和螺旋壳的形状，这就引起了科学家对其更深入的研究。

等差数列在近代数学中的重要性近代数学发展使我们能够更好地理解等差数列的性质和应用。

随着数学和理论物理的不断发展，在许多领域中，我们发现等差数列是创新的和有用的。

在物理学中，等差数列的应用可以追溯到电子周期表中。

这是因为在周期表中，每种元素的化学性质都是由其原子中电子的数量决定的。

这些数字之间的间隔是固定的，这样就形成了一个等差数列。

在经济和投资领域中，等差数列也有许多应用。

例如，金融分析人员可以使用初始投资金额、每年利润率和投资时间来计算等差数列。

这可以帮助他们预测未来的回报和指导投资决策。

等差数列还在其他领域中得到应用，如天文学、生物学和计算机科学中的数据处理。

从这个角度来看，等差数列可以被认为是一个普适的数学概念。

结论等差数列是所有数学家和数学爱好者所学习的最早的序列之一，它具有普遍的意义和应用。

在尽可能早的时间内学习和掌握等差数列的基本原理，这将有助于更深入的理解其应用和重要性。

一、抽样方法抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．简单随机抽样有抽签法、随机数表法．1．抽签法的步骤(1)编号：给总体中所有的个体编号(号码可以从1到N)；(2)制签：将1～N这N个号码写在形状、大小都相同的号签上；(3)搅拌：将号签放在一个容器中，搅拌均匀；(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出．2．系统抽样的步骤从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本的步骤如下：(1)编号：先将总体的N个个体编号；(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段；(3)确定初始编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； (4)抽取样本：按照一定的规则抽取样本． 3．分层抽样的步骤(1)分层，求抽样比：确定抽样比k ＝n N；(2)求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数n i ＝N i ×k ； (3)各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样法抽取个体； (4)组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本． 二、总体分布的估计 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求全距．(2)决定组距与组数，注意样本容量越大，所分组数越多． (3)将数据分组．(4)计算各小组的频率，作频率分布表，各小组的频率＝各小组频数样本容量.(5)画频率分布直方图． 2．茎叶图刻画数据的优缺点 (1)所有信息都可以从图中得到； (2)便于记录和表示； (3)数据较多时不方便．3．用样本的频率分布估计总体的分布时的注意事项(1)对于同一组样本数据，确定的组距不同，得到的组数及分组也不同，绘制的频率分布直方图就会有差异，但都是对总体的近似估计．(2)应用频率分布直方图时，需明确纵轴表示的是频率/组距，进而进行相关计算． (3)绘制茎叶图时需注意同一组数据中的相同数据要一一列出． 4．样本的数字特征(1)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意：①任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．②标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致．③用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和标准差只是总体的平均数和标准差的近似值．三、线性回归方程(1)两个随机变量x 和y 之间相关关系的确定方法有：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (2)用公式求线性回归方程的一般步骤是： ①列表x i ，y i ，x i y i .②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .③代入公式计算b 、a 的值. ④写出线性回归方程． (3)学习变量的相关性时：①注意通过实例辨析确定性关系(函数关系)与相关关系．根据散点图分析两个变量间的相关关系是正相关还是负相关．②学会用最小平方法求已知样本数据的线性回归方程．用回归方程对数据进行估计时，得到的结果不是准确值．(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是________．解析：由散点图知(1)为函数关系，(4)不具有相关关系，故(2)(3)正确． 答案：(2)(3)2．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．解析：应抽取的亩数分别为210×17510＝7(亩)，120×17510＝4(亩)，180×17510＝6(亩)．答案：7,4,63．设有一个直线回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y ^减少________个单位．解析：由y ^＝2－1.5x 知当x 增加一个单位时，y ^减少1.5个单位． 答案：1.54．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本．已知从女生中抽取80人，则n ＝________.解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n ∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n ＝192. 答案：1925．在样本频率分布直方图中共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的14，样本容量是160，则中间一组的频数是________．解析：因为所有小矩形的面积和为1，所以中间这个小矩形的面积是14＝0.25，即这一组样本数据的频率是0.25，所以这组的频数是160×0.25＝40.答案：406．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是________．解析：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1,3x 2，…，3x n 的平均数为x ′＝1n(3x 1＋3x 2＋…＋3x n )＝3x ，∴s ′2＝1n [(3x 1－3x )2＋(3x 2－3x )2＋…＋(3x n －3x )2]＝9×1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2.答案：9s 27．已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝________. 解析：由数据得x ＝2，y ＝4.5，而回归直线必过(x ，y )，将(2,4.5)代入线性回归方程，得4.5＝0.95×2＋a ，故a ＝2.6. 答案：2.68．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的株数大约是________．解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的株数大约是10 000×0.7＝7 000.答案：7 0009．某校为了了解学生做家务情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自做家务所用时间的数据，结果如图所示，则可得到这50名学生在这一天平均每人做家务的时间为________h.解析：由题图可知，在调查的50名学生中有5人做家务时间为0 h ，有5人做家务时间为2.0 h ，有10人做家务时间为1.0 h ，有10人做家务时间为1.5 h ，有20人做家务时间为0.5 h ，所以一天中平均每人做家务的时间为(5×0＋5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)÷50＝45÷50＝0.9(h)．答案：0.910．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的频率之和为0.79，而剩下三组的频数满足：第一组频数是第二组频数的14，而第三组频数则是第二组频数的4倍．那么剩下三组中频数最高的一组的频数是________．解析：由题意知后三组的频率之和为1－0.79＝0.21， 故后三组的频数之和为0.21×100＝21.设后三组中第二组的频数为a ，则14a ＋a ＋4a ＝21，∴a ＝4.即后三组的频数依次为1,4,16. 故后三组中频数最高的一组的频数是16. 答案：1611．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积分别为S 、2S 、3S 、4S ，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：∵S ＋2S ＋3S ＋4S ＝1，∴S ＝0.1.∴4S＝0.4.∴0.4×400＝160.答案：16012．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 67 9 95 3 2 0 3 0 2 37 1 04根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，某同学得到下列四个结论：①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差；②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值；④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．则其中所有错误结论的序号是________．解析：①甲得分的极差为47－18＝29，乙得分的极差为33－17＝16，故①正确；②甲得分的中位数为30，乙得分的中位数为26，②正确；③x甲>x乙正确，s2甲<s2乙；④错误．答案：④13．某班50名学生期末考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：(1)成绩在49.5～59.5分段的人数与89.5～99.5分段的人数相等；(2)从左到右数，第四小组的频率是0.03；(3)成绩在79.5分以上的学生有20人；(4)本次考试，成绩的中位数在第三小组．其中正确的判断有________．解析：(1)49.5～59.5与89.5～99.5两段所在矩形的高相等，所以人数相等．(2)从左到右数，第四小组的频率/组距的值为0.03，频率为0.03×10＝0.3.(3)79.5分以上的学生共有：50×(0.03＋0.01)×10＝20人．(4)49.5～59.5与89.5～99.5段的人数相等，69.5～79.5段的人数比79.5～89.5的人数多，所以中位数在69.5～79.5段，即在第三小组．答案：(1)(3)(4)14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．解析：因为总体中位数是10.5，所以a ＋b2＝10.5，即a ＋b ＝21，b ＝21－a ，所以总体平均数是x ＝110(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)＝79＋a ＋b10＝79＋2110＝10； 总体方差是s 2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a －10)2＋(b －10)2＋…＋(20－10)2]＝a 2＋b 210＋13.758＝a 2＋21－a210＋13.758＝15a 2－215a ＋57.858 ＝15(a －212)2＋35.808.因为7≤a ≤b ≤12，所以当a ＝10.5时，s 2取得最小值35.808，b ＝10.5. 答案：10.5,10.5二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)如图是甲、乙两人在射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．解：(1)环数 678 9 10 甲命中次数22 2 乙命中次数132(2)x 甲＝9环，x 乙＝9环，s 2甲＝23，s 2乙＝1，因为x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．16．(本小题满分12分)已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72x (血球体积，mm)，y (血红球数，百万)(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线并且画出图形；(3)回归直线必经过的一点是哪一点？ 解：(1)散点图如图(2)x ＝110(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.50，y ＝110(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋7.72)＝7.27，∑i ＝1nx i y i＝3 283.9，n x － y －＝3 235.15，∑i ＝1nx 2i ＝20 183，n x 2＝19 802.5，设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则a ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2≈0.13，b ＝y －a x ≈1.49所以所求回归直线的方程为y ^＝0.13x ＋1.49，图形如下：(3)回归直线必经过(x ，y )即(44.50,7.27)．17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50,60)40.08[60,70)0.16[70,80)10[80,90)160.32[90,100]合计50(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在[75,85)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？解：(1)分组频数频率[50,60)40.08[60,70)80.16[70,80)100.20[80,90)160.32[90,100]120.24合计50 1.00(2)(3)成绩在[75,80)分的学生占70～80分的学生的510，因为成绩在[70,80)分的学生频率为0.2，所以成绩在[75,80)分的学生频率为0.1； 成绩在[80,85)分的学生占80～90分的学生的510，因为成绩在[80,90)分的学生频率为0.32， 所以成绩在[80,85)分的学生频率为0.16， 所以成绩在[75,85)分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．18．(本小题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)如图．(2)∑i ＝1nx i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.x ＝3＋4＋5＋64＝4.5. y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5.∑i ＝1nx 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7.- 11 - a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．。

第2节等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; 3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系， 并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.I 基础摻断丨回归教材，夯实基础知识梳理1. 等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差^公差通常用字母 d表示.数学语言表达式：a n +1 — a n — d(n € N ， d 为常数)，或a n — a n -1 — d(n 》2， d 为常 数).一 a + b ⑵若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A —=丁.2. 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n — a 1 + (n - 1)d .通项公式的推* a n — a m + (n — m)d(m ，n € N ). (2)等差数列的前n 项和公式 项).3. 等差数列的有关性质已知数列｛a n ｝是等差数列，S 是｛a n ｝的前n 项和.*(1)若 m + n — p + q(m ，n ，p ，q € N )，则有 a m + a n — a p + a q .S n —n (a 1 + a n )2 n (n — 1) 2d(其中n € N *，a 1为首项, d 为公差，a n 为第n(2)等差数列｛a n｝的单调性：当d>0时，｛a n｝是递增数列；当d v0时，｛a n｝是递减数列；当d —0时，｛a n｝是常数列.⑶若｛a n｝是等差数列，公差为d,则a k, a k+ m, a k+2m,…（k, m€ N ）是公差为md 的等差数列.（4）数列S m, S2m- S m, S3m- Mm ,…也是等差数列.4 •等差数列的前n项和公式与函数的关系数列｛a n｝是等差数列？ S n= An2+ Bn （A, B为常数）.5 •等差数列的前n项和的最值在等差数列｛a n｝中，a i> 0, d v 0,贝U S n存在最大值；若a iv 0, d> 0,贝U S n存在最小值.［常用结论与微点提醒］1 .用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n+1-a n= d（n》2）时，应注意验证a2-a i是否等于d,若a2-a i^d,则数列｛a n｝不为等差数列.2. 利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.诊断自测1. 思考辨析（在括号内打“V”或“X”）（1）数列｛a n｝为等差数列的充要条件是对任意n€ N*，都有2a n+i二a n+ a n+2.（）（2）等差数列｛a n｝的单调性是由公差d决定的.（）⑶已知数列｛a n｝的通项公式是a n= pn+ q（其中p, q为常数），则数列｛a n｝一定是等差数列.（）（4）数列｛a n｝为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（）⑸等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（）解析（4）若公差d = 0,则通项公式不是n的一次函数.（5）若公差d = 0,则前n项和不是二次函数.答案（1）2⑵V ⑶V （4）X ⑸X2. 在等差数列｛a n｝中，若a2= 4, a4 = 2,则a6等于（）A. - 1B. 0C. 1D. 6解析由等差数列的性质，得a6 = 2a4-a2= 2X2-4 = 0,选B.答案B3. （2017全国I卷）记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若a4 + a5 = 24, S6 = 48, 则｛a n｝的公差为（）A. 1 B . 2 C. 4 D . 8a4 + a5 = 24,解析设｛a n｝的公差为d,由SISs= 48,2a i + 7d = 24,得丫解得d = 4.6a i + 15d= 48,答案C4. （2018宁波十校适应性考试）等差数列｛a n｝的公差d v0,且aja^,则数列｛a n｝的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A. 8 或9 B . 9 或10C. 10或11 D . 11 或12解析由题意知，a〔=i a17，又因为d v 0,所以a1 = —a17,故a1 = —8d, a9= 0, a n= a1 + （n—1）d= （n —9）d,当a n> 0 时，n W 9,所以当n = 8 或9 时，S n 取最大值. 答案A5. （必修5P68A8 改编）在等差数列｛a n｝中，若a3 + a4 + a5 + a6+ a7= 450,则a2+ a8= ________ .解析由等差数列的性质，得a3 + a4 + a5 + a6 + a7= 5a5= 450, •••a5= 90,二a2 + a8 = 2a5= 180.答案1806. （2018湖州调研）设等差数列｛a n ｝的公差是d ,前n 项和是S n .若 ◎ = 1, a 5= 9, 贝U 公差 d = ___ , S n= _____ .、 a 5 — a 1 n （n — 1） 2 解析 公差 d = = 2,前 n 项和 S n = n a 1+ 2 d = n +n （n —1） = n.5— 1 2答案2 n 2 I 考点突破丨分类讲练■、以俺求沱考点一等差数列基本量的运算【例11 (1)(2016全国I 卷)已知等差数列｛a n ｝前9项的和为27, a 10= 8,则ae o =() A . 100B . 99C . 98D . 97⑵(2017全国川卷)等差数列｛a n ｝的首项为1,公差不为0若a 2, a s , a 6成等比数 列，则｛a n ｝前6项的和为( )A . — 24B . — 3C . 3D . 8〔9a 1+ 36d = 27,解析 (1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由已知，得, a 1 + 9d = 8,所以血=一 1,¥ 所以 a 100= a 1 + 99d =— 1 + 99= 98.l d = 1,X. 1(2)等差数列中a1 = 1,根据题意得即(a i + 2d)2= (a i + d)(a i + 5d),解得d = — 2, d = 0(舍去).6X 5 6 X 5所以数列｛a n ｝的前6项和为6a i + —d = 1X 6 + 〒 X (— 2)= — 24. 答案(1)C (2)A规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a i , a n , d , n ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.•76a aa(2) 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a i和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练11 (1)(—题多解)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, 83= 6, &= 12,贝U S6= .⑵(2015浙•江卷)已知｛a n｝是等差数列，公差d不为零.若a2, a s, a?成等比数列,且 2a i + a 2= 1,贝U a i = _________ , d = ________ . 解析(1)法一 设数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d ,由S 3= 6,53= 3a i + 3d = 6,a i = 0,S 4= 12,可得解得54= 4a i + 6d = 12, d = 2,即 S 6= 6a 1+ 15d = 30.法二 由｛a n ｝为等差数列，故可设前n 项和S n = An 2 + Bn ,= 9A + 3B = 6,由 S 3= 6, S 4= 12,可得I S 4= 16A + 4B = 12,即 S n = n 2— n ,贝U S 6 = 36 — 6 = 30.2 2⑵因为 a 2, a 3, a 7 成等比数列，所以a 3= a 2a 7, 即 (a 〔 + 2d) = (a 〔+ d)(a 1 + 6d), 2=3, d =— 1.考点二 等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】(经典母题)若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足a n + 2S n Sn -1= 0(n 》2), 1a 1 = 2*(1) 求证：1成等差数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.(1) 证明 当 n 》2 时，由 a n + 2S h S n -1 = 0, 1 1得 S n — S n -1 = — 2S n S n -1,所以&—= 2 ,S n S n —1又S =1 = 2,故1是首项为2,公差为2的等差数列. 1 1(2) 解 由(1)可得 S n = 2n , • S n = 当n 》2时,解得21B =—2由于 d M 0,二 a 1 = — 3d , 2a 1 +a = 1, ••• 2a 1 + a 1+ d = 1, 即卩 3a 1 + d = 1,二 a 1 2一3an —®-1 — 2n -2 (n -1) 2n (n -1) 2n (n -1)-n — 1,n — 1 — n当n = 1时, 1a 1—不适合上式. a n 1 2n (n - 1)，nA 2.1【变式迁移1】 将本例条件“ a n + 2SS -1 — 0(n 》2), a 1—㊁”改为“ S n (S n - a n ) + 2a n — 0(n >2), a 〔 — 2”，冋题不变，试求解. (1)证明 当--S n [S n — (S n — S n -1)] + 2(S n — S n -1)= 即 S n S n -1 + 2(Sn — S n -1)— 0. 1 1 1「1 1 1 即 Sn S n -1 2.又 S 1 a 1 2.S 是以首项为2，公差为1的等差数列. 1 n 2故数列(2)解 由(1)知S ； — 2，- S n — n ，当 n A 2 时， 2n (n -1)当n — 1时，a 1 — 2不适合上式，a n — S h -S n -1 —n — 1,故an — i一 、小-3 , n 》2・ 【变式迁移2】 已知数列｛a n ｝满足2a n -1 — a n a n -1 — 1(n 》2), a 1 = 2,证明数列 1a n -1 是等差数列，并求数列｛a n ｝的通项公式.1解当 n A 2 时，a n — 2 — ,a n -11 1 — 1 1 — 1 1 — a n -1 1 a n — 1 a n -1 — 11a n -1 — 1 彳 1a n -1 — 1 a n -1 — 1 a n -1 — 1 a n -1a n -1—卅—K 常数). a n —1 — 11 -- ~ — 1 + （n 一 1） x 1 = n , a n — 1 n + 1 /. a n =n •规律方法 等差数列的四种判断方法:(1) 定义法：对于n 》2的任意自然数，验证a n — a n —1为同一常数. (2) 等差中项法：验证2a n — 1 — a n + a n — 2(n 》3, n € N )都成立. (3) 通项公式法：验证a n — pn + q.(4) 前n 项和公式法：验证S n =An 2+ Bn •后两种方法只能用来判断是否为等差数 列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.【训练2】(2017江苏卷)对于给定的正整数 k ,若数列｛a n ｝满足：a n -k + a n — k +1 + •••+ a n -1+ a n +1 +…+ a n + k -1+ a n +k — 2ka n ,对任意正整数 n(n>k)总成立，则称 数列｛a n ｝是“ P(k)数列”.(1) 证明：等差数列｛a n ｝是“P(3)数列”；(2) 若数列｛a n ｝既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明：｛a n ｝是等差数列. 证明(1)因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ， 则 a n = a 〔+ (n — 1)d ， 从而，当n 》4时，a n — k + a n +k = a 1 + (n — k — 1)d + a 1 + (n + k — 1)d —2a 1 + 2(n — 1)d = 2a n ， k = 1， 2， 3，所以 a n —3+ a n —2 + a n — 1 + a n +1 + a n + 2+ a n +3 — 6a n ， 因此等差数列｛a n ｝是“P(3)数列”.⑵数列｛a n ｝既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此， 当 n 》3 时，a n —2 + a n — 1 + a n +1 + a n + 2— 4a n ，① 当 n 》4 时，a n—3 + a n—2+ a n —1 + a n +1 + a n +2 + an+ 3— 6a n .②以首项为1,公差为1的等差数列.•••数a n由①知，a n-3 + a n-2—4a n-1 —(a n+ a n +1)，③a n +2 + a n +3= 4a n +1 — (a n — 1 + a n ) •④ 将③④代入②，得a n -1+ a n +1 = 2a n ,其中n 》4, 所以a 3, a ；, a 5,…是等差数列，设其公差为 d '. 在①中，取 n = 4,贝U a 2 + a 3 + a 5 + a 6= 4a 4, 所以 a 2= a 3 — d',在①中，取 n = 3,贝U a 1 + a 2 + a 4+ a 5= 4a 3, 所以 a 1 = a 3 — 2d ', 所以数列｛a n ｝是等差数列.考点三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1 + a 3+ a 5 = 3,则Ss =( )A . 5B . 7C . 9D . 11S； 1 S 8⑵(2018浙江名校三联)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且&=3,则觅=(3) 已知S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i = — 2 014, ? 0；；- 2 008=6,则S 20仃= ________ .解析 (1) T ｛a n ｝为等差数列，.••a i + a 5= 2a 3，得 3a 3= 3,所以 a 3 = 1, A & =(2) 因为S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，所以S ；, S 8 — S ;, S 12 — S s , Si 6—S 12也成S ； 1 S 8等差数列，而 S ；= 3,所以 S 8= 3S ；,则(S 8— S ；) — S ;= S ；,则得 S 16= 10S ；,所以S 8 3_ = 10.(3) 由等差数列的性质可得|也为等差数列.S^ 014 S 2 008设其公差为 d ,则2 01；— 2 008= 6d = 6, A d = 1. 故 S017= 1 + 2 016d = — 2 014+ 2 016= 2,1- 31- 25 (a i + a 5)2=5a 3= 5,故选 A.A S2 017= 2X 2 017= 4 034.答案(1)A (2)A (3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具.(1) 在等差数列｛a n｝中，数列S m, S2m一S m , S3m一S2m也成等差数列.(2) 在等差数列｛a n｝中，数列詈也成等差数列.【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A. 13B. 12C. 11D. 10⑵在等差数列｛a n｝中，若a3 + a4 + a5 + a6 + a7= 25,则a2 + a8 = _______ .解析(1)因为印+ a2+ a3 34, a n -2 + a n— 1 + a n146, a1+ a2 + a3 + a n—2+ a n— 1 + a n= 34 + 146= 180,又因为a1 + a n= a2 + a n—1 = a3 + a n—2,所以3(a1 + a n) = 180,从而a1 + a n= 60,n (a1 + a n) n x 60所以Sn= 2 = —2—= 390，即n= 13.(2)因为｛a n｝是等差数列，所以a3 + a7= a4 + a s = a2 + a8 = 2a5, a3 + a4 + a5 + a6 + a7=5a5= 25,即卩a5= 5, a2 + a8 = 2a5= 10.答案(1)A (2)10考点四等差数列前n项和及其最值【例4】(1)(一题多解)等差数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a1= 13, S3= S11,当S n最大时，n的值是()A. 5 B . 6 C. 7 D . 8⑵设数列｛a n｝的通项公式为a n = 2n —10(n€ N*),则閔| + |a2| +…+曲5匸解析(1)法一由S3= S11，得a4 + a5+ ^ + an = 0,根据等差数列的性质，可得a7 + a8 = 0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0, a8<0，故n=7时S n最大.法—-由S s= S11,可得3a i + 3d= 11a i + 55d，把a i= 13代入，得d= —2,故Sn2=13n-n(n—1)=—n + 14n.根据二次函数的性质，知当n= 7时S n最大.⑵由a n = 2n—10(n€ N )知｛a n｝是以一8为首项，2为公差的等差数列，又由a n =2n—10> 0 得n> 5,二n< 5 时，a n< 0,当n>5 时，a n>0, •，•田|+ |a2|+…+ |a15| =—(a1 + a2 + a3 + a4)+ (a5+ a6 + …+ a15)= 20+ 110= 130.答案(1)C (2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；⑵利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3) 将等差数列的前n项和S n= An2+ Bn (A, B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练4】(1)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a1>0且a6=9，则当S取最大a5 II 值时，n的值为()A. 9B. 10C. 11D. 12⑵(2018金丽衢十二校二联)已知公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若有确定正整数n。

复合等差(比)数列的通项公式及其应用
复合等差(比)数列是在数学上用来表示有某种规律的数的
有序排列形式,它也被称为“复合等比数列”或“增量等比数列”。

复合等差(比)数列的通项公式是等差数列中的渐进公式，其形式为： an = An * Sum(qn). 其中，An是该数列的首项，qn是数列的公比。

复合等差(比)数列的每一项与前面项之间的
关系为： an : an - 1 = qn 。

复合等差(比)数列的通项公式得出的结果可以应用在多种
场景中，在互联网领域中尤其明显。

例如，在搜索引擎背后的
结构中，复合等差(比)数列的通项公式可以帮助开发者在网页
搜索引擎技术中优化搜索结果展示，从而让内容真正面向用户。

此外，复合等差(比)数列的通项公式也可以应用于计算社交媒体、视频网站等比较精准的营销行为，进而影响更多的消费。

同时，在高度发达的电商领域，复合等差(比)数列的通项公式
可以帮助电商网站对价格阶梯进行调整，有助于电商网站准确
把握顾客的购买意向，实现销售的最大化。

总的来说，复合等差(比)数列的通项公式是无处不在的，
在互联网领域也有着重要的影响力。

复合等差(比)数列的通项
公式拿来应用不仅可以提高我们的工作效率，还能有效节约大
量的工作时间。

正是凭借此种强大的数学算法和科学规律，互
联网业务得以无缝地连接，实现节约和高效率前提下的高完成度。