2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)教师版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，zxxk x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设z＝+i，则|z|＝（）A．B．C．D．24．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为2，则实数a＝（）A．2B．C．D．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos（2x+），④y ＝tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，则x0＝（）A．1B．2C．4D．811．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l 与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则MN 中元素的格式为( )A. 2B. 3C. 5D. 7(2)已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( ) A.45 B. 35 C. －35 D. －45(3)不等式组(2)01x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A. {21}x x -<<-B. {10}x x -<<C. {01}x x <<D. {1}x x >（4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16 B. 36 C. 13 D. 33(5)函数y =ln (31x +)(x >-1)的反函数是( )A. 3(1)(1)x y e x =->-B. 3(1)(1)x y e x =->-C. 3(1)()x y e x R =-∈D. 3(1)()x y e x R =-∈.（6）已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =( )A. －1B. 0C. 1D.2(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种选法，根据分步计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有15×5=75种不同选法.【考点】计数原理和排列组合.（8）设等不数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则S6=( )A. 31B. 32C. 63D. 64(9)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点为F1,F2离心率为33，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )A.22132x y+= B.2213xy+= C.221128x y+= D.221124x y+=（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( )A. 814πB. 16πC. 9πD.274π(11)双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A. 2B. 22C.4D.42(12)奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )A. －2B.－1C. 0D. 1二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014大纲全国,文1)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M ∩N 中元素的个数为( ). A .2 B .3 C .5 D .7答案:B解析:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M ∩N={1,2,6},∴M ∩N 中元素的个数为3,故选B .2.(2014大纲全国,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ). A .4 B .3C .-3D .-4答案:D解析:设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,则r= (-4)2+32=5, ∴由余弦函数的定义,得cos α=xr =-45,故选D .3.(2014大纲全国,文3)不等式组 x (x +2)>0,|x |<1的解集为( ).A .{x|-2<x<-1}B .{x|-1<x<0}C .{x|0<x<1}D .{x|x>1} 答案:C解析: x (x +2)>0,①|x |<1,②由①得,x<-2或x>0,由②得,-1<x<1,因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C .4.(2014大纲全国,文4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ). A .16B . 36C .13D . 33答案:B解析:如图所示,取AD 的中点F ,连EF ,CF ,则EF ∥BD ,∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF.由题知,△ABC ,△ADC 为正三角形,设AB=2,则CE=CF= ,EF=1BD=1. ∴在△CEF 中,由余弦定理,得cos ∠CEF=CE 2+E F 2-C F 2=(3)2+12-(3)22×3×1=3,故选B .5.(2014大纲全国,文5)函数y=ln( x 3+1)(x>-1)的反函数是( ). A .y=(1-e x )3(x>-1) B .y=(e x -1)3(x>-1) C .y=(1-e x )3(x ∈R ) D .y=(e x -1)3(x ∈R ) 答案:D解析:由y=ln( x 3+1),得e y = x 3+1,∴ x 3=e y -1,x=(e y -1)3,∴f-1(x)=(e x-1)3.∵x>-1,∴y∈R,即反函数的定义域为R.∴反函数为y=(e x-1)3(x∈R),故选D.6.(2014大纲全国,文6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=().A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.7.(2014大纲全国,文7)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有().A.60种B.70种C.75种D.150种答案:C解析:从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62·C51=6×5×5=75种选法,选C.8.(2014大纲全国,文8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64答案:C解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.9.(2014大纲全国,文9)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为().A.x 23+y22=1B.x23+y2=1C.x 2+y2=1D.x2+y2=1答案:A解析:∵x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,∴c a =33,∴a∶b∶c=3∶6∶3.又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点, △AF1B的周长为43,∴4a=4∴a=.∴b=2,∴椭圆方程为x 2+y2=1,选A.10.(2014大纲全国,文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为().A.81πB.16πC.9πD.27π答案:A解析:由图知,R2=(4-R)2+2,∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=9,∴S 表=4πR 2=4π×81=81π,选A .11.(2014大纲全国,文11)双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 3,则C 的焦距等于( ). A .2 B .2 2 C .4 D .4 2答案:C解析:∵e=2,∴c a=2.设焦点F 2(c ,0)到渐近线y=b x 的距离为 渐近线方程为bx-ay=0, ∴b +a 2= 3.∵c 2=a 2+b 2,∴b= 3. 由c a=2,得c -b =2,∴c 2c 2-3=4, 解得c=2.∴焦距2c=4,故选C .12.(2014大纲全国,文12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x+2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( ). A .-2 B .-1 C .0 D .1答案:D解析:∵奇函数f (x )的定义域为R ,∴f (-x )=-f (x ),且f (0)=0.∵f (x+2)为偶函数,∴f (-x+2)=f (x+2). ∴f [(x+2)+2]=f (-x-2+2)=f (-x )=-f (x ), 即f (x+4)=-f (x ).∴f (x+8)=f [(x+4)+4]=-f (x+4) =-(-f (x ))=f (x ).∴f (x )是以8为周期的周期函数, ∴f (8)=f (0)=0,f (9)=f (8+1)=f (1)=1. ∴f (8)+f (9)=0+1=1.故选D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014大纲全国,文13)(x-2)6的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) 答案:-160解析:由通项公式得T 4=C 63x 6-3(-2)3=-8C 63x 3,故展开式中x 3的系数为-8C 63=-8×6×5×4=-160. 14.(2014大纲全国,文14)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 . 答案:32解析:∵y=cos 2x+2sin x=1-2sin 2x+2sin x=-2 sin x -1 2+3,∴当sin x=12时,y max =32.15.(2014大纲全国,文15)设x ,y 满足约束条件 x -y ≥0,x +2y ≤3,x -2y ≤1,则z=x+4y 的最大值为 .答案:5解析:画出x ,y 的可行域如图阴影区域.由z=x+4y ,得y=-14x+z4.先画出直线y=-1x ,再平移直线y=-1x ,当经过点B (1,1)时, z=x+4y 取得最大值为5.16.(2014大纲全国,文16)直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于 . 答案:43解析:如图所示,设l 1与圆O :x 2+y 2=2相切于点B ,l 2与圆O :x 2+y 2=2相切于点C ,则OB= 2,OA= 10,AB=2 2.∴tan α=OBAB= 22 212. ∴tan ∠BAC=tan 2α=2tan α1-tan α=2×121-14=4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014大纲全国,文17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明b n+1-b n =2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出{b n }的通项公式及a n+1-a n 的表达式,再用累加法可求数列{a n }的通项公式. (1)证明:由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2-a n+1=a n+1-a n +2, 即b n+1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.于是∑k =1n (a k+1-a k )=∑k =1n(2k-1),所以a n+1-a 1=n 2,即a n+1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n+2.18.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a cos C=2c cos A,tan A=13,求B.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B,即可求角B.解:由题设和正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A.故3tan A cos C=2sin C,因为tan A=13,所以cos C=2sin C,tan C=12.所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=tan A+tan C=-1,即B=135°.19.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(1)证明:AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1-AB-C的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面AA1C1C⊥平面ABC,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂线定理,确定二面角A1-AB-C的平面角为∠A1FD.最后通过解直角三角形求出∠A1FD的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解.(1)设出A1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直.(2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=3.因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=3.作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB,故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.由AD=AA12-A1D2=1得D为AC中点,DF=12×AC×BCAB=55,tan∠A1FD=A1DDF=15.所以二面角A1-AB-C的大小为arctan15.解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.(1)证明:设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1,0),AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c).由|AA1|=2得(a-2)2+c2=2,即a2-4a+c2=0.①于是AC1·BA1=a2-4a+c2=0,所以AC1⊥A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则m⊥CB,m⊥BB1,即m·CB=0,m·BB1=0.因CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为|CA|·|cos<m,CA>|=|CA·m||m|=2cc+(2-a)=c.又依题设,A到平面BCC1B1的距离为3,所以c=3.代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是AA1=(-1,0,.设平面ABA1的法向量n=(p,q,r),则n⊥AA1,n⊥AB,即n·AA1=0,n·AB=0,-p+3r=0,且-2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,n=(3,23,1).又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故cos<n,p>=n·p|n||p|=14.所以二面角A1-AB-C的大小为arccos14.20.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k的可能取值情况,比较即得结果.解:记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,E表示事件:同一工作日4人需使用设备,F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=C2i×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3,则P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.21.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文21)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.分析:(1)由于导函数的判别式含参数a,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a进行二重讨论.(2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论.解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a).①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1.故此时f(x)在R上是增函数.②由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:x1=-1+1-aa,x2=-1-1-aa.若0<a<1,则当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时f'(x)>0,故f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;当x∈(x2,x1)时f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数;若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时f'(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数;当x∈(x1,x2)时f'(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-5≤a<0.综上,a 的取值范围是 -5,0 ∪(0,+∞).22.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文22)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ|.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.分析:(1)设出Q 点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p 的方程,借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直.因直线l 过F (1,0),可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 直线l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y 1+y 2,y 1y 2关于m 的表达式,借助弦长公式得|AB|= m 2+1|y 1-y 2|(其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)),同理可得|MN|= 1+12|y 3-y 4|(其中M (x 3,y 3),N (x 4,y 4)).由题目中的A ,M ,B ,N 四点在同一圆上得到关于m 的方程,进而求出m ,得到直线l 的方程.解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8.所以|PQ|=8p,|QF|=p 2+x 0=p 2+8p . 由题设得p 2+8p =54×8p, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x.(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB|=2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l'的斜率为-m ,所以l'的方程为x=-1my+2m 2+3. 将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4y-4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m,y 3y 4=-4(2m 2+3).故MN 的中点为E22+2m 2+3,-2,|MN|= 1+12|y 3-y 4|=4(m 2+1) 2m 2+12. 由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m 2+1)2+ 2m +2 2+ 22+2 2=4(m2+1)2(2m 2+1)4,化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设z＝+i，则|z|＝（）A．B．C．D．24．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为2，则实数a＝（）A．2B．C．D．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos（2x+），④y ＝tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，则x0＝（）A．1B．2C．4D．811．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l 与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5 分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 3．（5 分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5 分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π 的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k 分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5 分）已知抛物线C：y2=x 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5 分）设x，y 满足约束条件且z=x+ay 的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5 或3 D．5 或﹣3 12．（5 分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13．（5 分）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数学书相邻的概率为．14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5 分）设函数f（x）= ，则使得f（x）≤2 成立的x 的取值范围是．16．（5 分）如图，为测量山高MN，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12 分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4 是方程x2﹣5x+6=0 的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{ }的前n 项和．18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85） [85，95） [95，105）[105，115）[115，125）频数 6 26 38 22 8 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1 的高．20．（12 分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．21．（12 分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a 的取值范围．请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年全国高考数学真题试卷（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={1，2，4，6，8}，N={2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．已知角α的终边经过点（-4，3），则cosα=（）A．4 5B．3 5C．-3 5D．-4 53．不等式组(2)0,||1x xx+>⎧⎨<⎩的解集为（）A．{x|-2<x<-1}B．{x|-1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}4．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．1 6B．C．1 3D．5．函数y=ln 1）（x>-1）的反函数是（ ） A ．y=（1-e x ）3（x>-1） B ．y=（e x -1）3（x>-1） C ．y=（1-e x ）3（x ∈R ） D ．y=（e x -1）3（x ∈R ）6．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则（2a -b ）·b =（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．27．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种8．设等数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1，F 2F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y +=C．221 128x y+=D．221 124x y+=10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（）A．81π4B．16πC．9πD．27π411．双曲线C：2222-1(0)x ya ba b=>>的离心率为2则C的焦距等于（）A．2B．C．4D．12．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，则f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．-2B．-1C．0D．1二、填空题13．（x-2）6的展开式中的系数为_____。

2014高考大纲（文）一、选择题1．设集合M ＝{1，2，4，6，8}，N ＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．已知角α的终边经过点(-4，3)，则cos α＝( ) A.45 B. 35 C. -35 D. -453．不等式组(2)01x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A. {21}x x -<<-B. {10}x x -<<C. {01}x x <<D. {1}x x > 4．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16 B. 6 C. 13 D. 35．函数y 1)(1x >-)的反函数是( )A. 3(1)(1)x y e x =->-B. 3(1)(1)x y e x =->-C. 3(1)()x y e x R =-∈D. 3(1)()x y e x R =-∈. 6．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a -b )·b ＝( )A ．-1B ．0C ．1D ．27．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．649．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.814π B. 16π C. 9π D. 274π11．双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2C 的焦距等于( )A. 2B.12．奇函数()f x 的定义域为R . 若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +＝( )A ．-2B ．-1C ．0D ．1二、填空题．13．6(2)x - 的展开式中3x 的系数为________．(用数字作答) 14．函数 22y cos x sinx ＝＋的最大值为________．15．设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则4z x y ＝＋的最大值为________．16． 直线1l 和2l 是圆222=+y x 的两条切线，若1l 与2l 的交点为)3,1(，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________． 三、解答题．17．数列}{n a 满足11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ． （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求}{n a 的通项公式．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.已知32acosC ccosA ＝，13tanA ＝，求B . 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=︒，1BC =，12AC CC ==．（1）证明：1AC ⊥1A B ；（2）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小．20．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值． 21．函数32()33(0)f x ax x x a =++≠ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （1）求Q 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．参考答案一、选择题 1．B解析: 根据题意知{}1246812356712{}{}6M N ⋂⋂＝，，，，，，，，，＝，，，所以M N ⋂中元素的个数是3.考点: (1)1.1.3集合的基本运算 难度:A备注:高频考点 2．D解析: 由题意可知435x y r =-==，，，所以4cos 5x r α==-.故选D 考点:(1)4.1.2三角函数的定义 难度: A备注:高频考点 3．C解析: 原不等式组可化为2x>011x x <-⎧⎨-<<⎩或，所以{01}x x <<，故选C .考点: (1)7.2.1一元二次不等式的解法(2)12.3.1含绝对值不等式的解法 难度: B备注:高频考点 4．B解析:如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，则EF ∥BD ，故EF 与CE 所成的角即为异面直线CE 与BD 所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE ＝CFEF ＝1.在△CEF 中，cos ∠CEF＝2222EF EC CF EF EC +-=⨯⋅，所以异面直线CE 与BD. 考点: (1)9.3.3异面直线所成的角难度:A备注:高频考点 5．D分析：1)(1y y x e =+>-+=，33(1),(1)yxx e y e =-=-故排除A ，C ，因为1110,x y R >->->∴∈，原函数的值域就是反函数的定义域，故选D 考点: (1)2.5.4反函数及应用 难度:A备注:高频考点 6．B解析: 1(2)22102-⋅=⋅-⋅=⨯-=a b b a b b b 考点: (1)5.1.1平面向量的概念辨析(2)5.3.1平面向量的数量积运算 难度:A备注:高频考点7．C解析: 第一步从6名男医生中选2名26C ；第二步从5名女医生中选1名15C ，则26C 15C =75 考点: (1)10.6.2分步乘法计数原理的应用(2) 组合问题 难度: B备注:高频考点 8．C解析:由题意，2424,,S S S S -成等比数列，则26-=3（153）（S -15）⨯，663S =． 考点: (1)6.3.3等比数列的性质及应用(2)6.2.4等差数列的前n 项和及综合应用 难度:A备注:高频考点 9．A解析: 由题意知，1AF B ∆的周长4a =，a ∴=，又c e a ==，1c ∴=，22b =，故选A.考点: (1)8.5.2椭圆的标准方程 难度:A 备注:典例 10．A解析: 由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，球心为O ，2224（-）R R +=，解得94R =，所以球的表面积为28144S R ππ== 考点: (1)9.2.4棱锥、棱柱的外接球与内切球问题 难度:B 备注:典例 11．C解析: 由已知可知渐近线的斜率b k a ==2c a =解得231c -=，所以2,24c c ==，故选C.考点: (1)8.6.3双曲线的几何性质(2)8.2.3距离公式的应用 难度: B 备注:典例 12．D解析: 因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又因为(2)f x -是偶函数，所以(2)(2)f x f x --=-，所以(8)(6+2)(6+2)(4)(4)f f f f f ==-=-=-，而(4)(22)(22)(0)0f f f f =+=-+==，(8)0f =，同理(9)(72)(72)(5)f f f f =+=-+=，所以(8)(9)1f f +=，故选D ． 考点: (1)2.3.5函数性质的综合应用 难度: B备注:高频考点 二、填空题． 13．－160解析: 8()x y +展开式的通项为616-(0,1,,6)（2）-+==r r rr T C x r ，令6－y =3，得y =3，∴6)2(-x 的展开式中3x 的项为3336-（2）C x ，故系数为-160．考点: (1)10.7.1求二项展开式的指定项或指定项系数 难度:A备注:高频考点 14.32解析: 函数x x y sin 22cos +==221312sin +2sin =2(sin )+22x x x ---，当sin x =21时，y 取得最大值为32，故填32． 考点: (1)4.5.3倍角、半角公式的应用(2)2.2.4求函数的最值 难度:B备注:高频考点 15．5 解析: 作出可行域如图：y x z 4+=，即1z44=-+y x ，当直线过()1,1B 时，max 145=+=z ，y x z 4+=的最大值为5．考点: (1)7.4.1二元一次不等式（组）表示平面区域(2)7.4.2求线性目标函数的最值问题 难度:A备注:高频考点 16.43解析:方法1:由已知条件易知过)3,1(点的切线的斜率是存在的，设切线的斜率为k ，在过)3,1(的的切线方程为3(1)y =k x --，化简得，30kx y k -+-=，则由圆心(0,0)到直线的距离等于半径可得7k =⇒=-或1k =，设两直线的夹角为θ，由两直线的夹角计算公式可得 2112174tan ||||1173k k k k θ-+===+-．方法2:由图可知，ABO 为直角三角形，AO 则AB=则tan 12BAO ∠=，设两直线的夹角为θ，则22tan 4tan 1tan 3θ∠==-∠BAO BAO 考点: (1)8.4.2圆的切线问题(2)4.1.2三角函数的定义 (3)4.5.3倍角、半角公式的应用 难度:C备注:高频考点 三、解答题．17．（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+，2112n n n n a a a a +++-=-+，即12n n b b +=+，又1211b a a =-=．所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得12(1)21n b n n =+-=-，即121n n a a n +-=-，于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑．所以211n a a n +-=，即211n a n a +=+，又11=a 所以}{n a 的通项公式222n a n n =-+． 考点: (1)6.2.1等差数列的判定或证明(2)6.1.2已知数列的递推公式求通项公式 难度:B备注:高频考点 18．0135解析: 由题设和正弦定理得：3sin cos 2sin cos A C C A =，故3tan cos 2sin A C C =，因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =，1tan 2C =，所以tan tan tan tan[180()]tan()1tan tan 1A CB BC B C A C -=︒-+=-+==--即135B =︒．考点: (1)4.6.1利用正弦定理求解三角形(2)4.2.2三角函数的诱导公式的应用(3)4.5.2两角和与差的公式的应用 难度:B备注:高频考点19．(1)详见解析(2) 41arccos解析: 解法1：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面ABC ，⊂D A 1平面C C AA 11，故平面C C AA 11⊥平面ABC ．又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面C C AA 11． 连结C A 1，因为侧面C C AA 11为菱形，故C A AC 11⊥，由三垂线定理得B A AC 11⊥．（Ⅱ）⊥BC 平面C C AA 11，⊂BC 平面11B BCC ，故平面⊥C C AA 11平面11B BCC ．作11CC E A ⊥，E 为垂足，则⊥E A 1平面11B BCC ． 又直线//1AA 平面11B BCC ，因而E A 1为直线1AA 与 平面11B BCC 的距离，31=E A ．因为C A 1为1ACC ∠的平分线，故311==E A D A ．作AB DF ⊥，F 为垂足，连结F A 1，由三垂线定理得AB F A ⊥1． 故FD A 1∠为二面角C AB A --1的平面角． 由1221=-=AD AA AD 得D 为AC 中点，5521=⨯⨯=AB BC AC DF ，15tan 11==∠DF D A FD A ．所以二面角C AB A --1的大小为15arctan ．ABC D FEA 1B 1C 1解法2：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，由题设知D A 1与z 轴平行，x 轴在平面C C AA 11内． （Ⅰ）设()c a A ,0,1，由题设有2≤a ，()0,0,2A ，()0,1,0B ，则()0,1,2-=AB ，()0,0,2-=AC ，()c a AA ,0,21-=． ()c a AA AC ,0,411-=+=，()c a BA ,1,1-=． 由2||1=得()2222=+-c a ，即0422=+-c a a ． ①于是042211=+-=⋅c a a AC ，所以B AAC 11⊥． （Ⅱ）设平面11B BCC 的法向量()z y x m ,,=，则CB m ⊥，1BB m ⊥，即0=⋅CB m ，01=⋅BB m ．因()0,1,0=，()c a AA BB ,0,211-==，故0=y ，且()02=+-cz x a ． 令c x =，则a z -=2，()a c -=2,0,，点A 到平面11B BCC 的距离为()c a c c m =-+==><⋅2222|||,cos |||．又依题设，A 到平面11B BCC 的距离为3，所以3=c ．代入①解得3=a （舍去）或1=a ． 于是()3,0,11-=． 设平面1ABA 的法向量()r q p ,,=，则1AA ⊥，⊥，即01=⋅AA ，0=⋅．03=+-r p ，且02=+-q p ，令3=p ，则32=q ，1=r ，()1,32,3=．又()1,0,0=p 为平面ABC 的法向量，故41||||,cos =>=<p n ． 所以二面角C AB A --1的大小为41arccos． 考点: (1)9.5.3线面、面面垂直的综合应用(2)9.8.3求二面角 难度:C备注:高频考点 20．(1) 0.31 (2) 3解析：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k . （Ⅰ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，()0.6P B =，()0.4P C =，()220.5ii P A C =⨯，0,1,2i =，所以()()122P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ ()()()122P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅()()()()()()()()1220.31P A P B P C P A P B P A P B P C =++=． （II ）由（I ）知，若2k =，则()0.310.1P F =>．又2E B C A =⋅⋅，()()()()()220.06P E P B C A P B P C P A =⋅⋅==． 若3k =，则()0.060.1P F =<．所以k 的最小值为3． 考点: (1)10.9.2相互独立事件的概率(2)10.4.3互斥事件的概率 难度:B备注:高频考点21．(1) 详见解析 (2) 5[,0)(0,).4-+∞ 解析：（1）2()363,f x ax x '=++()0f x '=的判别式36(1)a ∆=-（ⅰ）若1,a ≥则()0,f x '≥且()0f x '=当且仅当1, 1.a x ==-故此时()f x 在R 上是增函数（ⅱ）由于0a ≠，故当1a <时，()0f x '=有两个根：12x x ==若01,a <<则当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时()0,f x '> 故()f x 分别在2(,),x -∞1(,)x +∞是增函数；当21(,)x x x ∈时()0,f x '<故()f x 在21(,)x x 是减函数； 若0,a <则当1(,)x x ∈-∞或2(,)x x ∈+∞时()0,f x '< 故()f x 分别在1(,),x -∞2(,)x +∞是减函数；当12(,)x x x ∈时()0,f x '>故()f x 在12(,)x x 是增函数（Ⅱ）解法1：当0,0a x >>时，2()3630,f x ax x '=++>故当0a >时，()f x 在区间(1,2)是增函数当0a <时，()f x 在区间(1,2)是增函数当且仅当(1)0(2)0≥f f ''≥且，解得504a -≤< 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,).4-+∞ 解法2：由已知得2()3630≥f x ax x '=++即2210≥ax x ++在区间(1,2)恒成立 原题等价于221≥x a x --在区间(1,2)恒成立()≥max a g x ⇔，其中221(),(1,2)x g x x x--=∈ 22211()(1)1g x x x x=--=-++在区间(1,2)是增函数()(2)g x g ∴<即5()4g x <-，从而54≥a - 又0a ≠综上，a 的取值范围是5[,0)(0,).4-+∞考点: (1) 3.2.2导数与函数单调性难度:C备注:高频考点22．(1) 24y x = (2) 10x y --=或10x y +-=解析：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=． 所以8PQ p =，822p p p QF x p=+=+． 由题设得85824p p p+=⨯．解得2p =-或2p =． 所以C 的方程为24y x =． （Ⅱ）解法1：依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠）． 代入24y x =得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-．故AB 的中点为2(21,2)D m m +．214(1)AB y m =-=+． 又'l 的斜率为m -，所以'l 的方程为2123x y m m=-++． 将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+=． 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m+=-，2344(23)y y m =-+．故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-．3MN y =-=． 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==， 从而2221144AB DE MN +=， 即2222222222224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m+++++++=． 化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=． 解法二：由已知有()0,1F ，设直线l ：1+=ky x 设()11,y x A 、()22,y x B ∴111+=ky x ；122+=ky x将直线l 的方程代入C 的方程，整理得0442=--ky y∴k y y 421=+；421-=y y 设AB 的中点为()00,y x D∴1222210+=+=k x x x k y y y 22210=+=设直线'l ：m y kx +-=1∴321200+=⇒+-=k m m y kx设()33,y x M 、()44,y x M ∴m y k x +-=331；m y kx +-=441将直线'l 的方程代入C 的方程，整理得0442=-+m y ky ∴k y y 443-=+；m y y 443-=∵A 、M 、B 、N 四点在同一圆上 ∴NA MA ⊥且NB MB ⊥()()()()()()00,,1413141314141313=-⋅-+-⋅-⇒=--⋅--⇒⊥x x x x y y y y x x y y x x y y NA MA ()()021143432114343=++-+++-⇒x x x x x x y y y y y y0224421122211=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-⇒x x m k m y y k m ()()011224421122211=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-⇒ky ky m k m y y k m()()0146121221212=+--+-++⇒k m m y m k y k ()()08441412412212=--++-+⇒kk y k k y k 同理()()021*********22=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+⇒⊥k k y k k y k NB MB ∴k y y 421=+，224211214kk k y y +⎪⎭⎫⎝⎛--=∴()4242222222142114101201011k k k k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⇒-+-=⇒-++=⇒-=⇒=± ⎪+⎝⎭∴直线l 的方程为：1-=x y 或1+-=x y考点: (1) 8.7.2抛物线的标准方程(2) 8.7.3直线与抛物线的位置关系 难度:C备注:高频考点。

2014 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知会合M={ x| ﹣1＜x＜3} ，N={ x| ﹣2＜x＜1} ，则 M∩N=（）A．（﹣ 2，1）B．（﹣ 1，1）C．（1，3）D．（﹣ 2，3）【剖析】依据会合的基本运算即可获得结论．【解答】解： M={ x| ﹣1＜x＜3} ， N={ x| ﹣2＜x＜1} ，则 M ∩N={ x| ﹣1＜x＜1} ，应选： B．2．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）若 tan α＞0，则（）A．sin α＞ 0B．cos α＞ 0C．sin2 α＞ 0D．cos2 α＞0【剖析】化切为弦，而后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵ tan α＞0，∴＞，则 sin2 α=2sin αcos＞0α．应选： C．3．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设 z=+i，则 | z| =（）A．B．C．D．2【剖析】先求 z，再利用求模的公式求出 | z| ．【解答】解： z=+i=+i=．故 | z| ==．应选： B．4．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知双曲线﹣ =1（a＞0）的离心率为 2，则实数 a=（）A．2B．C．D．1【剖析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．【解答】解：由题意，e= ==2，解得， a=1．应选： D．5．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数， g（x）是偶函数，则以下结论正确的选项是）（A．f（ x） ?g（x）是偶函数B．| f（ x） | ?g（x）是奇函数C．f（ x） ?| g（x） | 是奇函数D．| f（ x） ?g（x）|是奇函数【剖析】依据函数奇偶性的性质即可获得结论．【解答】解：∵ f（x）是奇函数， g（ x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =﹣f（x）， g（﹣ x） =g（x），f（﹣ x）?g（﹣ x）=﹣f（ x）?g（x），故函数是奇函数，故A 错误，| f（﹣ x）| ?g（﹣ x）=| f（x）| ?g（x）为偶函数，故 B 错误，f（﹣ x）?| g（﹣ x） | =﹣f （x） ?| g（x）| 是奇函数，故 C 正确． | f（﹣ x）?g（﹣ x） | =| f（x）?g（ x） | 为偶函数，故 D 错误，应选： C．6．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 的中点，则 +（）=A．B．C．D．【剖析】利用向量加法的三角形法例，将，分解为+ 和 +的形式，从而依据 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB的中点，联合数乘向量及向量加法的平行四边形法例获得答案．【解答】解：∵ D， E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 的中点，∴+ =（+）+（+）=+ =（+）=，应选： A．7．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）在函数① y=cos| 2x| ，② y=| cosx| ，③y=cos（2x+ ），④y=tan（ 2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【剖析】依据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【解答】解：∵函数① y=cos丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为=π，② y=丨 cosx 丨的最小正周期为=π，③ y=cos（2x+ ）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，应选： A．8．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由题意画出几何体的图形即可获得选项．【解答】解：依据格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．应选： B．9．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）履行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（）A．B．C．D．【剖析】依据框图的流程模拟运转程序，直到不知足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ， a=2，b= ，n=2；第二次循环 M=2+ = ， a=，b=，n=3；第三次循环 M=+ =，a=， b=，n=4．不知足条件 n≤3，跳出循环体，输出M=．应选： D．10．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2 =x 的焦点为 F，A（ x0，y0）是 C 上一点， AF=|x0| ，则 x0=（）A．1B．2C．4D．8【剖析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，，∵A（ x0，y0）是 C 上一点， AF=| x0| ， x0＞0．∴=x0+ ，解得 x0=1．应选： A．11．（5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）设 x，y 知足拘束条件值为 7，则 a=（）A．﹣5B．3C．﹣ 5 或 3【剖析】以下图，当 a≥1 时，由，解得经过 A 点时获得最小值为7，同理对 a＜1 得出．【解答】解：以下图，当 a≥1 时，由，解得，y=．∴，．当直线 z=x+ay 经过 A 点时获得最小值为7，∴，化为 a2+2a﹣ 15=0，解得 a=3， a=﹣5 舍去．当 a＜1 时，不切合条件．应选： B．且 z=x+ay 的最小D．5 或﹣ 3，．当直线 z=x+ay12．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣ 3x2+1，若 f（ x）存在独一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（）A．（ 1， +∞）B．（ 2， +∞）C．（﹣∞，﹣ 1）D．（﹣∞，﹣ 2）【剖析】由题意可得 f ′（ x）=3ax2﹣ 6x=3x（ax﹣ 2），f （0）=1；分类议论确立函数的零点的个数及地点即可．【解答】解：∵ f（x）=ax3﹣ 3x2+1，∴f ′（ x）=3ax2﹣ 6x=3x（ax﹣ 2），f （0）=1；①当 a=0 时， f （x） =﹣ 3x2+1 有两个零点，不建立；②当 a＞0 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上有零点，故不建立；③当 a＜0 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（ 0，+∞）上有且只有一个零点；故 f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上没有零点；而当 x= 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上获得最小值；故 f（） = ﹣3? +1＞ 0；故 a＜﹣ 2；综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；应选： D．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分13．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）将 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为．【剖析】第一求出所有的基本领件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数，最后依据概率公式计算即可．【解答】解： 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本领件有共有=6 种结果，此中 2 本数学书相邻的有（数学1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文，数学 1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故本数学书相邻的概率 P=．故答案为：．14．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【剖析】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只好是 A，B 中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只好是去过A，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为： A．．（分）（新课标Ⅰ）设函数（），＜f=，则使得 f（x）≤2 成15 52014?x，立的 x 的取值范围是x≤8．【剖析】利用分段函数，联合f（ x）≤ 2，解不等式，即可求出使得f（ x）≤ 2建立的 x 的取值范围．x﹣1≤2，【解答】解： x＜1 时， e∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1 时，≤2，∴x≤8，∴1≤ x≤8，综上，使得 f （x）≤ 2 建立的 x 的取值范围是 x≤8．故答案为： x≤ 8．16．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）如图，为丈量山高MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为丈量观察点，从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN=60°，C 点的仰角∠ CAB=45°以及∠MAC=75°；从 C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= 150 m．【剖析】△ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△ AMC 中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN 中，依据 MN=AM?sin∠MAN，计算求得结果．【解答】解：△ ABC中，∵∠ BAC=45°，∠ ABC=90°，BC=100，∴ AC==100．△AMC中，∵∠ MAC=75°，∠ MCA=60°，∴∠ AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=100．Rt△ AMN 中， MN=AM?sin∠MAN=100× sin60 =150°（ m），故答案为：150．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（ 12 分）（ 2014?新课标Ⅰ）已知 { a n} 是递加的等差数列， a2， a4是方程 x2﹣5x+6=0 的根．（1）求 { a n } 的通项公式；（2）求数列 { } 的前 n 项和．【剖析】（ 1）解出方程的根，依据数列是递加的求出a2，a4的值，从而解出通项；（ 2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法乞降．【解答】解：（1）方程 x2﹣5x+6=0 的根为 2，3．又 { a n } 是递加的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d= ，故 a n=2+（n﹣2）× = n+1，（ 2）设数列{} 的前n 项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得 S n==，解得 S n==2﹣．18．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）从某公司生产的产品中抽取100 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频数散布表：质量指标值[ 75，85）[ 85，95）[ 95，105） [ 105，115） [ 115，125）分组频数62638228（ 1）在表格中作出这些数据的频次散布直方图；（2）预计这类产质量量指标的均匀数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）依据以上抽样检查数据，可否定为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于 95 的产品起码要占所有产品80%”的规定？【剖析】（1）依据频次散布直方图做法画出即可；（ 2）用样本均匀数和方差来预计整体的均匀数和方差，代入公式计算即可．（ 3）求出质量指标值不低于95 的产品所占比率的预计值，再和0.8 比较即可．【解答】解：（1）频次散布直方图以下图：（2）质量指标的样本均匀数为 =80×0.06+90× 0.26+100× 0.38+110× 0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（﹣ 20）2×0.06+（﹣ 10）2× 0.26+0× 0.38+102×0.22+202×0.08=104，这类产质量量指标的均匀数的预计值为100，方差的预计值为104．（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比率的预计值为 0.38+0.22+0.08=0.68，因为该预计值小于 0.8，故不可以以为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于 95 的产品起码要占所有产品 80%”的规定．19．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C．（1）证明： B1 C⊥ AB；（2）若 AC⊥AB1，∠ CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．【剖析】（1）连结 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，证明 B1C⊥平面 ABO，可得B1C⊥AB；（ 2）作 OD⊥BC，垂足为 D，连结 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，证明△ CBB 为1等边三角形，求出 B1到平面 ABC的距离，即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：连结 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，∵侧面 BB1C1C 为菱形，∴BC⊥B C，11∵ AO⊥平面 BB1C1C，∴ AO⊥ B1 C，∵ AO∩ BC=O，1∴B1C⊥平面ABO，∵ AB? 平面 ABO，∴B1C⊥ AB；（ 2）解：作 OD⊥BC，垂足为 D，连结 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴ BC⊥平面 AOD，∴ OH⊥ BC，∵OH⊥ AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面 ABC，∵∠ CBB1=60°，∴△ CBB1为等边三角形，∵ BC=1，∴ OD=，∵ AC⊥AB1，∴ OA= B1C= ，由 OH?AD=OD?OA，可得 AD==，∴ OH=，∵O 为 B1C的中点，∴ B1到平面 ABC的距离为，∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．20．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2﹣ 8y=0，过点P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点．（1）求 M 的轨迹方程；（2）当 | OP| =| OM| 时，求 l 的方程及△ POM 的面积．【剖析】（1）由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由与数量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程；（ 2）设 M 的轨迹的圆心为 N，由 | OP| =| OM| 获得 ON⊥PM．求出 ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式获得 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．2222【解答】解：（1）由圆 C： x +y ﹣ 8y=0，得 x +（y﹣4） =16，设 M （x，y），则，，，．由题意可得：．即 x（2﹣ x） +（ y﹣ 4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2 +（y﹣3）2．=2∴ M 的轨迹方程是（ x﹣1）2 +（ y﹣3）2．=2（ 2）由（ 1）知 M 的轨迹是以点 N（ 1， 3）为圆心，为半径的圆，因为 | OP| =| OM| ，故 O 在线段 PM 的垂直均分线上，又P在圆N上，从而 ON⊥PM．∵ k ON，=3∴直线 l 的斜率为﹣．∴直线 PM 的方程为，即 x+3y﹣ 8=0．则 O 到直线 l 的距离为．又 N 到 l 的距离为，∴|PM|==．∴．21．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数 f（x）=alnx+x2﹣bx（ a≠1），曲线 y=f （x）在点（ 1，f（ 1））处的切线斜率为 0，（1）求 b；（ 2）若存在 x0≥1，使得 f（ x0）＜，求a的取值范围．【剖析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对 a 分类议论：当 a 时，当＜ a＜1 时，当 a＞ 1 时，再利用导数研究函数的单一性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f ′（ x） =（＞），x 0∵曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1））处的切线斜率为0，∴f ′（ 1） =a+（1﹣a）× 1﹣b=0，解得 b=1．（ 2）函数 f（x）的定义域为（ 0，+∞），由（1）可知：f（ x）=alnx+，∴=．①当 a时，则，则当 x＞1 时， f ′（ x）＞ 0，∴函数 f（x）在（ 1， +∞）单一递加，∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是＜，即＜，解得＜＜；②当＜a＜1 时，则＞，则当 x∈，时，（′）＜，函数f （）在，上单一递减；f x0x当 x∈，时， f ′（x）＞ 0，函数 f（x）在，上单一递加．∴存在 x0≥1，使得 f（ x0）＜的充要条件是＜，而=+＞，不切合题意，应舍去．③若a＞1 时， f（ 1）=＜，建立．综上可得：a 的取值范围是，，．请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。