九年级数学几何图形圆的精选练习题

九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（一）1．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．2．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．4．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．6．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．7．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝DK，求证：AK•AO＝KB•AE；（3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想P A，PB，PF的数量关系，并证明．8．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．10．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．参考答案1．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．2．解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．4．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．5．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．6．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．7．解：（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，又∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，∴∠ACE＝∠B，∵AD＝DK，CD⊥AB，∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，∴∠CAE＝∠BKC，∴△CAE∽△BKC，∴＝，∴AC•KC＝AE•KB，又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，∴△OCA∽△CAK，∴＝，∴AC•KC＝AK•AO，∴AK•AO＝KB•AE；（3）P A2+PF2＝PB2．理由如下：如图，连接AF、BF，∵＝，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，∴∠ECK＝∠EKC，∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴＝＝，∴BC＝2AC，∵点G是BC的中点，∴BC＝2CG＝2GB，∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，∴CP⊥AG，AP＝PG，设AC＝CG＝GB＝x，则AG＝＝x，∴＝＝，又∠PGB＝∠BGA，∴△PGB∽△BGA，∴∠GBP＝∠GAB，∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，∴BP＝BF＝AF，∵在Rt△APF中，P A2+PF2＝AF2，∴P A2+PF2＝PB2．8．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝＝，r2＝AC＝＝2，∴r1＜r2，故答案为：＜．（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，则直线OM的解析式为：y＝﹣x，设M（x，﹣x），∵OM＝OB，∴OM＝＝，∴x2+＝8，解得：x＝﹣或x＝（舍），∴﹣x＝，∴M（﹣，），将M（﹣，）代入y＝x+b得：＝×（﹣）+b，解得：b＝4．当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣x+n，将B（2，2）代入得：2＝﹣×2+n，∴n＝2+，∴直线BN的解析式为：y＝﹣x+2+，设N（m，﹣m+2+），∵BN＝OB，∴＝，∴4﹣4m+m2+﹣+＝8∴m2﹣4m+2＝0，∴m＝2﹣（舍）或m＝2+，∴﹣m+2+＝﹣（2+）+2+＝2﹣，∴N（2+，2﹣），∴将N（2+，2﹣）代入y＝x+b得：2﹣＝（2+）+b，解得：b＝，∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：＜b＜．9．（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，∵＝，∴BE＝CE＝3，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．10．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．。

初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法正确的是（）。

A. 圆的直径是半径的2倍B. 圆的周长是直径的π倍C. 圆的面积是半径的平方乘以πD. 圆的周长是半径的2π倍答案：D2. 圆的面积公式为（）。

A. S = πrB. S = πr²C. S = πdD. S = πd²答案：B3. 圆的周长公式为（）。

A. C = 2πrB. C = 2πdC. C = πrD. C = πd答案：A4. 圆心角为60°的扇形面积是（）。

A. πr²/6B. πr²/3C. πr²/2D. πr²答案：A5. 一个圆的半径为3cm，其面积为（）。

A. 9π cm²B. 18π cm²C. 27π cm²D. 36π cm²答案：C6. 圆的直径增加1倍，其面积增加（）。

A. 1倍B. 2倍C. 4倍D. 8倍答案：C7. 圆的半径增加1倍，其周长增加（）。

A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍答案：B8. 一个圆的周长为12.56cm，其直径为（）。

A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm答案：B9. 圆的半径为4cm，其直径为（）。

A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm答案：C10. 圆的半径为2cm，其周长为（）。

A. 4π cmB. 8π cmC. 12π cmD. 16π cm答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 圆的周长公式为______。

答案：C = 2πr2. 圆的面积公式为______。

答案：S = πr²3. 圆的直径是半径的______倍。

答案：24. 圆的周长是直径的______倍。

答案：π5. 圆的面积是半径的平方乘以______。

答案：π6. 圆心角为90°的扇形面积是圆面积的______。

答案：1/47. 圆心角为180°的扇形面积是圆面积的______。

初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知圆的半径为2，圆心在原点，下列哪个点在圆上？A. (3, 0)B. (2, 2)C. (2, 0)D. (0, 2)2. 圆的标准方程是 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中a和b是圆心的坐标，r是半径。

如果圆心在(1, 1)，半径为3，那么圆的方程是什么？A. (x-1)^2 + (y-1)^2 = 9B. (x+1)^2 + (y+1)^2 = 9C. (x-1)^2 + (y+1)^2 = 9D. (x+1)^2 + (y-1)^2 = 93. 已知圆的直径为6，那么圆的半径是多少？A. 3B. 6C. 9D. 124. 如果一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 圆的切线垂直于经过切点的半径，那么切线与半径的夹角是多少？A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 如果两个圆的半径分别为3和5，且它们外切，那么两圆心之间的距离是多少？A. 2B. 8C. 10D. 127. 圆的周长公式是C = 2πr，如果一个圆的周长为12π，那么它的半径是多少？A. 3B. 4C. 6D. 128. 已知圆的半径为4，圆心在点(2, 3)，那么圆上一点(5, 7)到圆心的距离是多少？A. 3B. 4C. 5D. 69. 圆的面积公式是A = πr^2，如果一个圆的面积为16π，那么它的半径是多少？A. 2B. 3C. 4D. 510. 如果一个圆的半径为2，那么它的直径是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知圆的半径为r，那么它的直径是________。

2. 圆的周长公式为C = 2πr，如果一个圆的半径为4，那么它的周长是________。

3. 圆的面积公式为A = πr^2，如果一个圆的半径为5，那么它的面积是________。

初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。

二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。

三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。

1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。

（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。

2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。

如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。

（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。

人教版九年级上册第3课时几何图形问题(2912)A 知识要点分类练夯实基础1.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A.(30−2x)(40−x)=600B.(30−x)(40−x)=600C.(30−x)(40−2x)=600D.(30−2x)(40−2x)=6002.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为．3.一条长为12cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于5cm2，则这两个正方形的边长分别为.4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m).试设计一种砌法，使所砌三面墙的总长度为50m，且矩形花园的面积为300m2.5.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图所示)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为（）A.(x+1)(x+2)=18B.x2−3x+16=0C.(x−1)(x−2)=18D.x2+3x+16=06.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长(AB)35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，若设小道的宽为x米，则种植面积(单位：平方米)为（）A.35×20−35x−20x+2x2B.35×20−35x−2×20xC.(35−2x)(20−x)D.(35−x)(20−2x)7.如图，小明家有一块长1.5m、宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为m.8.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．B 规律方法综合练训练思维9.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，则矩形ABCD的面积是（）A.24cm2B.21cm2C.16cm2D.9cm210.如图，有一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面.积的1780(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价.C 拓广探究创新练提升素养11.已知：如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为xs(x>0).(1) s后，△PBQ的面积为4cm2；(2)几秒后，PQ的长度为5cm？(3)△PBQ的面积能否为7cm2？请说明理由参考答案1.【答案】:D【解析】:设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据题意得：(40−2x)(30−2x)=600．故选：D．2.【答案】:x(x+40)=12005.【答案】:C3.【答案】:1cm，2cm4.【答案】:解：设AB的长为xm，则BC的长为(50−2x)m.根据题意，得x(50−2x)=300，2x2−50x+300=0，解得x1=10，x2=15.当x=10时，50−2x=30>25(不合题意，舍去)；当x=15时，50−2x=20<25(符合题意).答：当AB的长为15m，BC的长为20m时，可使矩形花园的面积为300m2.6.【答案】:C【解析】:依题意，得：(35−2x)(20−x)，故选：C．7.【答案】:0.25【解析】:设花色地毯的宽为xm，那么地毯的面积=(1.5+2x)(1+2x)m2.因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，所以(1.5+2x)(1+2x)=2×1.5×1，即8x2+10x−3=0.解得x1=0.25，x2=−1.5(不合题意，舍去).故花色地毯的宽为0.25m.8.【答案】:设花边的宽度为xm．依题意，得 (2−2x)(1.4−2x)=1.6，解得x 1=1.5(舍去)，x 2=0.2.答：花边的宽度为0.2m【解析】:设花边的宽度为xm ．表示出剩下部分的长与宽，以“剩下部分的面积为1.6m 2”为等量关系列方程求解9.【答案】:C【解析】:设正方形ABEF 的边长为xcm ，正方形ADGH 的边长为ycm ， 依题意得x 2+y 2=68,①又2x +2y =20,②因为x 2+y 2=(x +y)2−2xy ，将①②代入得xy =16，即矩形ABCD 的面积是16cm 210(1)【答案】解：设配色条纹的宽度为x 米. 依题意，得2x ×5+2x ×4−4x 2=1780×5×4， 解得x 1=174(不符合题意，舍去），x 2=14. 答：配色条纹的宽度为14米.(2)【答案】配色条纹部分的造价为1780×5×4×200=850(元)， 其余部分的造价为(1−1780)×5×4×100=1575(元)， 所以总造价为850+1575=2425(元).答：地毯的总造价是2425元11(1)【答案】1【解析】:由S △PBQ =12BP ·BQ ，得12(5−x)·2x =4， 整理，得x 2−5x +4=0，解得x 1=1，x 2=4.当x =4时，2x =8>7,说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去.所以1s后△PBQ的面积为4cm2.故答案为1.(2)【答案】解：由BP2+BQ2=PQ2，得(5−x)2+(2x)2=52，整理,得x2−2x=0，解得x1=0(不合题意，舍去），x2=2.答：2s后，PQ的长度为5cm.(3)【答案】不能.理由：假设△PBQ的面积为7cm2,则(5−x)·2x=7，由题意，得12整理，得x2−5x+7=0.因为Δ=b2−4ac=(−5)2−4×1×7=25−28=−3<0,所以此方程无实数根,所以△PBQ的面积不能为7cm2.。

九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题《圆的提高题》（二）1．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于E，＝．（1）求证：∠BDC＝2∠ADB；（2）若直径BM交AC于点N，AD﹣BN＝2，BC＝8，求⊙O的半径．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．5．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，AC，BE为⊙O上位于AB异侧的两条弦，连接BC，CE，延长AB到点D，使得∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当AC＝CE时，①求证：BC2＝BEBD；②若BD＝3BE，AC＝2，求⊙O的半径r．8．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．10．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案1．解：∵∠A＝600，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1．②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．2．（1）证明：如图1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，∵＝．∴DG⊥BC，BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠DEF＝90°，∵∠CPF＝90°，∴∠DEF＝∠CPF，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠EDF＝∠ACB＝∠ADB＝∠CDG，∴∠BDC＝2∠ADB；（2）解：如图2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，BG，由（1）知：∠ADB＝∠BDG＝∠CDG，∴＝，∴∠CBG＝∠BCA，∴BG∥AC，∴∠ONF＝∠OBG，∠OFN＝∠OGB，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴∠ONF＝∠OFN，∴OF＝ON，∵AC⊥BD，∠ADB＝∠FDB，∴∠DAE＝∠AFD，∴AB＝DF，同理得：CF＝CG，∴AD﹣BN，＝DF﹣BN＝OD+OF﹣（OB﹣ON）＝OF+ON＝2，∴OF＝ON＝1，∵CF＝CG，CP⊥FG，∴FP＝PG，设FP＝a，则OB＝OG＝2a+1，FP＝a+1，∵DG⊥BC，且BC＝8，∴BP＝BC＝4，Rt△OBP中，OB2＝OP2+BP2，∴（2a+1）2＝（a+1）2+42，3a2+2a﹣16＝0，（a﹣2）（3a+8）＝0，∴a1＝2，a2＝﹣（舍），∴⊙O的半径OG＝2a+1＝5．3．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为：P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣b，0），∴OB＝b，OA＝b，AB＝＝b，∵OK＝2，ABOK＝OAOB，∴b×2＝bb，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的取值范围为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．4．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．5．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，又∵点M是弧AC的中点，∴＝，∴+＝+，即：＝，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．6．证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，ACBC＝ABCP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．7．①∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝∠CAB+∠BCE，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BCD+∠BCE＝∠DCE，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠DCE，∴CD∥AE，∴∠BAE＝∠D，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠D，∵∠CAB和∠CEB是所对的圆周角，∴∠CEB＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CEB＝∠BCD，∵∠BAE＝∠D，∴△BCE∽△BDC，∴，∴BC2＝BEBD；②如图2，连接OC，AE，设BE＝x（x＞0），∵BD＝3BE，∴BD＝3x，由①知，BC2＝BEB，∴BC＝x，由①知，△BCE∽△BDC，∴，∵CE＝AC＝2，∴，∴CD＝2，在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝r+3x，根据勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，∴r2+（2）2＝（r+3x）2，∴3x2+2rx﹣4＝0（Ⅰ），在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴22+（x）2＝（2r）2，∴3x2﹣4r2+4＝0（Ⅱ），（Ⅰ）+（Ⅱ）得，6x2+2rx﹣4r2＝0，∴3x2+rx﹣2r2＝0，∴（3x﹣2r）（x+r）＝0，∵r＞0，x＞0，∴x+r＞0，∴3x﹣2r＝0，∴x＝r，将x＝r代入（Ⅱ）得，3×（r）2﹣4r2+4＝0，∴r＝（舍去负值），即⊙O的半径r为．8．证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴OB＝＝＝，∴DE＝．9．证明：（1）如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝45°，∴∠BOC＝2∠DAC＝90°，∴OC⊥BD，又∵CG∥BD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝×＝，∵CG是⊙O的切线；∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC，又∵∠CDG＝∠ABC，∴△ABC∽△CDG，∴＝，即＝，∴DG＝，由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG，∴＝，即＝，解得，AC＝4．10．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。

圆中相似问题练习题在数学中，圆是一种特殊的几何图形，具有许多有趣且重要的性质。

其中之一就是圆的相似性质。

圆的相似性质指的是如果两个或更多的圆有相似的形状，那么它们的周长、面积、半径和直径等也会成比例。

在这篇文章中，我们将探讨几个圆相似问题的练习题。

问题一：两个相似圆的半径比为2:5，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为2x和5x，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为4πx²，第二个圆的面积为25πx²。

因此，它们的面积比为4πx²:25πx²，即为4:25。

问题二：两个相似圆的面积比为25:36，那么它们的半径比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和5r，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为πr²，第二个圆的面积为25πr²。

因此，它们的面积比为πr²:25πr²，即为1:25。

根据面积比的性质可得，半径比为根号下面积比，即为1:5。

问题三：两个相似圆的周长比为3:4，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和4r，根据圆的周长公式周长=2πr，可得第一个圆的周长为2πr，第二个圆的周长为8πr。

因此，它们的周长比为2πr:8πr，即为1:4。

由于周长与半径成正比，所以面积比也与半径比相同，即为1:4。

以上是几个典型的圆相似问题的解析。

通过解题可以看出，圆的相似性质可以帮助我们在确定某一性质的情况下，推导出其他性质的比例关系。

这在许多实际问题中非常有用。

例如，在地理学中，我们可以利用相似圆及其性质来计算不同地球上的区域之间的比例关系和相对大小。

除了解题之外，我们还可以进一步扩展圆的相似性质的应用。

例如，在几何构造中，我们可以利用圆的相似性质来设计制作不同大小或形状的圆。

在工程建设中，我们可以利用圆的相似性质来设计物体的结构和比例。

在数学建模中，我们可以利用圆的相似性质来分析和解决实际问题。

2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂径定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

3.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

4.圆周角定理：5.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

6.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

7.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。

圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

8.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。

9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。

3.1 圆的对称性【知识要点】圆的轴对称性和中心对称性以及相关性质.【能力要求】理解圆的对称性及相关性质，体会和理解研究几何图形的各种方法. 【基础练习】 一、填空题：1. P 是⊙O 半径上一点，OP = 5, 经过点P 的最短的弦长为24, 则⊙O 的半径为 ；2.如图3-1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB , 垂足为P ，若AP ∶PB = 1∶4, CD = 8, 则AB 的长为= ；3.如图3-2，⊙O 的半径为25cm ，弦AB = 48cm, OD ⊥AB 于C 交⊙O 于D , 则AD = .二、选择题：1. 下列命题中，假命题是（ ）A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-3，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD 长为（ ）A. 252寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸三、解答题：1. 已知：如图3-4，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O 的半径.2. 已知：如图3-5，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB⌒的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.3.1 圆的对称性一、填空题1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；2. 如图3-6，在⊙O中，如果AB⌒ = CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，若OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE OF；3. 已知：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 若OC = 43cm，则⊙O直径长为 cm.二、选择题1. 已知：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒ = 2CD⌒，则弦AB与CD之间的关系为（）A. AB = 2CDB. AB < 2CDC. AB > 2CDD. 不能确定2. 下列说法中，正确的是（）A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 相等的圆心角所对的弦相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的弧相等三、解答题1. 已知：如图3-7，⊙O中，AB⌒ = BC⌒ = CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE 的大小，并证明你的结论.2. 如图3-8，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？3. 如图 3-9，已知：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB= CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？3.1 圆的对称性一. 选择题1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）A B.1 C. D.2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）A.2B.3C. 4D. 53. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A. B. C. D.4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（）A. B. C. 1 D.5. 下列命题中正确的是（）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（）A. AB＞CDB. AB＝CDC. AB＜CDD. 不能确定二. 填空题7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。

第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。

中考数学复习 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．扇形的半径为30 cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A ) A ．20π cm B ．10π c m C ．10 cm D ．20 cm【解析】弧长＝120π×30180＝20π(cm)，故选A.2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长等于( A ) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3【解析】如图，连结OB ，OC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，又OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝2，∴劣弧BC 的长为60π×2180＝2π3.,第2题图) ,第3题图)3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )A ．60π cm 2B ．65π cm 2C ．120π cm 2D ．130π cm 2【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，∴由勾股定理得AB＝13 cm ，∴圆锥的底面周长＝10π cm ，∴几何体的侧面积＝12×10π ×13＝65π (cm 2) .故选B.4．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连结OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( C )A ．π B.32π C ．2π D ．3π【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD ＋∠A ＝180°，由圆周角定理可得∠BOD ＝2∠A ，再由∠BOD ＝∠BCD 可得2∠A ＋∠A ＝180°，所以∠A ＝60°，即可得∠BOD ＝120°，所以BD ︵的长＝120π×3180＝2π；故选C.,第4题图) ,第5题图)5．用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为( A )A ．π－332B ．π－3 3 C.332 D ．π－334【解析】如图，设AB 的中点P ，连结OA ，OP ，AP ，△OAP 的面积是：34×12＝34，扇形OAP 的面积是：S 扇形＝π6，AP 直线和AP 弧面积：S 弓形＝π6－34，阴影面积：3×2S 弓形＝π－332. 二、填空题6．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，求则BC ︵的长为__20π_cm __.(结果保留π)【解析】根据弧长公式l ＝n πr 180可得：弧BC 的长＝n πr 180＝120×π×30180＝20π (cm)．7．120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是__9__．【解析】根据弧长的公式l ＝n πr 180，得到6π＝120πr180，解得r ＝9.8．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__25__．【解析】扇形ABD 的弧长DB ︵＝BC ＋DC ＝10，扇形ABD 的半径为正方形的边长5，∴S扇形ABD ＝12×10×5＝25.9．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．【解析】如图连结OE ，OF ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CD ，∴∠OED ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C ＝60°，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠D ＝120°，∵OA ＝OF ，∴∠A ＝∠OF A ＝60°，∴∠DFO ＝120°，∴∠EOF ＝360°－∠D －∠DFO －∠DEO ＝30°，FE ︵的长＝30π×6180＝π.故答案为π.三、解答题10．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA .求劣弧BC 的长．(结果保留π)解：连结OC ，OB ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO ＝90°，在Rt △ABO 中，OA ＝2，∠OAB ＝30°，∴OB ＝1，∠AOB ＝60°，∵BC ∥OA ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°，又OB＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴劣弧BC 长为60π×1180＝π311．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，3)，(－4，1)，(－2，1)，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是(1，2)，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2.(1)画出△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2；(2)求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所作(2)OA 1＝42＋42＝42，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长＝52＋12＋90π×42180＝26＋22π12．如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB.∵CD ︵＝CE ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.在△AOC 和△BOC 中， ⎩⎨⎧∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∠OCA ＝∠OCB ＝90°，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴OA ＝OB(2)由(1)可得AC ＝BC ＝12AB ＝23，∴在Rt △AOC 中，OC ＝2，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴S △BOC ＝12BC· OC ＝12×23×2＝23，S 扇形EOC ＝60°×π×22360°＝23π，∴S 阴影＝S △BOC －S 扇形EOC ＝23－23π13．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .(1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的，与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°，∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG ，∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG(2)∵AD ＝2，E 是AB 的中点，∴FB ＝BE ＝12AB ＝12×2＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形BAC＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90·π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4。

九年级数学专题复习之《圆》的综合训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．6π﹣C．D．2．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．3．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣14．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD 于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大6．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．87．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（）A．4B．C．D．58．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为．12．已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．14．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．15．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．（1）若AC：BC＝2：3，则的值为；（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为．16．如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D 在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．17．如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+ PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为．18．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH ＝60°，则线段EH长．19．如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．20．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为．三．解答题（共10小题）21．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．22．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．23．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．24．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE （1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．25．已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．26．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．29．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．30．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．。

初三圆的练习题较难初三数学中，几何是重点难点，而圆作为几何图形中的重要一员，也是学生们最容易遇到困难的部分之一。

尤其是涉及到圆的练习题，往往会因为其抽象性和复杂性而令人望而却步。

本文将围绕初三圆的练习题中较为难解的问题展开讨论，并提供解决方法供同学们参考。

一、平行线与切线问题在圆的练习题中，有一个常见的难点是平行线与切线问题。

在解答这类问题的时候，一定要善于运用几何知识和技巧。

举个例子，设有一条直线l与圆C相交于A、B两点，以M为圆心的线段MN和直线l相交于点P。

我们需要证明，当PM的长度等于PN的长度时，MN平行于AB。

解题思路：首先，连接线段MA、MB。

由于直径的特性，MA和MB恰好都是圆C的半径。

接着，连接线段PB，并延长直线PB与圆C的交点处形成线段QC，使得线段PB与线段QC相交于点N。

再者，连接线段MC，并延长线段MC与圆C的交点处形成的线段与线段PB相交于点E。

最后，运用等角定理和等边定理，可以得出MN平行于AB。

二、弧长和扇形面积问题另一个较难的问题是弧长和扇形面积的计算。

在解答这类问题时，必须熟练掌握相关的公式和计算方法。

例题：一个圆的半径是8 cm，它的弧长是16π cm，求扇形面积。

解题思路：根据已知条件，弧长为16π cm，可以利用公式s = rθ计算得到θ的值。

公式中，s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的弧度。

根据已知条件，可以得到16π = 8θ，从而得到θ = 2π。

下一步，利用扇形面积的计算公式A = 1/2 r²θ，将已知条件代入公式中进行计算，得到扇形面积的数值。

三、切线长与点到圆心距离的关系问题切线长与点到圆心距离的关系也是初三圆练习题中的难点之一。

解决这类问题的关键在于善于找到相关的几何关系。

举个例子，已知对于圆C上的一点A，有AM ⊥ AC，并且AM = AC，其中AC为圆心C到点A的距离。

现在我们需要证明，AM平分线段BC。

解题思路：首先，连接线段BC并延长，使线段BC与线段AM相交于点D。

九年级数学圆试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法正确的是（）A. 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离B. 圆的直径是圆心到圆上任意一点的线段C. 圆的周长是圆的直径与π的积D. 圆的面积是圆的半径的平方与π的积答案：A2. 已知圆的半径为5cm，那么圆的周长是（）A. 10π cmB. 15π cmC. 20π cmD. 25π cm答案：C3. 圆的面积公式为（）A. πr²B. 2πrC. πdD. 2πr²答案：A4. 圆心角为60°的弧长是圆的周长的（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：A5. 圆的直径是半径的（）A. 2倍B. 1/2倍C. 1/4倍D. 1/3倍答案：A6. 圆的半径增加1倍，圆的面积增加（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍答案：D7. 圆的周长与直径的比值是（）A. πB. 2πC. 4πD. 6π答案：A8. 一个圆的半径是2cm，那么它的直径是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm答案：A9. 圆的周长公式为（）A. πr²B. 2πrC. πdD. 2πr²答案：B10. 圆的半径为3cm，圆心角为90°的弧长是（）A. 3π cmB. 4.5π cmC. 6π cmD. 9π cm答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆的周长公式为C=____，面积公式为S=____。

答案：2πr；πr²2. 圆的直径是半径的____倍。

答案：23. 圆心角为120°的弧长是圆的周长的____。

答案：1/34. 已知圆的半径为4cm，那么圆的周长为____cm。

答案：8π5. 圆的面积是半径的平方与π的____。

答案：积三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知圆的半径为7cm，求圆的周长和面积。

答案：周长为14π cm，面积为49π cm²。

初三圆的测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若圆的半径为r，则圆的周长为：A. 2πrB. πrC. 2rD. πr²答案：A2. 圆的直径是半径的：A. 2倍B. 4倍C. 3倍D. 1/2倍答案：A3. 圆的面积公式为：A. πr²B. 2πrC. r²D. 2r答案：A4. 圆心角为90°的扇形面积是圆面积的：A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1/3答案：A5. 圆内接四边形的对角互补，那么该四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形答案：C6. 圆的切线与半径垂直相交于：A. 圆心B. 圆周C. 切点D. 直径答案：C7. 圆的弦长公式为：A. 2r * sin(θ/2)B. 2r * cos(θ/2)C. r * sin(θ)D. r * cos(θ)答案：A8. 圆的弧长公式为：A. r * θB. r * θ/180C. r * θ * πD. r * θ/π答案：B9. 圆周角定理指出，圆周上任意两点与圆心连线所成的角是：A. 直角B. 锐角C. 钝角D. 任意角答案：A10. 圆的切线与圆心的距离等于：A. 半径B. 直径C. 弦长D. 弧长答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 半径为5cm的圆的周长是______。

答案：10π cm2. 圆的直径是半径的______倍。

答案：23. 半径为4cm的圆的面积是______。

答案：16π cm²4. 圆心角为120°的扇形面积是圆面积的______。

答案：1/35. 圆内接四边形的对角互补，那么该四边形是______。

答案：平行四边形6. 圆的切线与半径垂直相交于______。

答案：切点7. 半径为3cm的圆的弦长为4cm，那么弦所对的圆心角是______。

答案：60°8. 半径为6cm的圆的弧长为2πcm，那么弧所对的圆心角是______。

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．下列说法不正确的是（ ）A ．不在同一直线上的三点确定一个圆B ．90°的圆周角所对的弦是直径C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等3．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（ ）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10π 4．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70° 5．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139° 6．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若32BE EC =，则AC 是O 的切线D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线7．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）A ．103B ．83C ．3D ．48．下列命题中，正确的是（ ）A ．平面上三个点确定一个圆B ．等弧所对的圆周角相等C ．三角形的外心在三角形的外面D ．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线9．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部 10．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒11．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．5312．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°13．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150° 14．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC 且∠BAC=45°，⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，DF 与⊙O 相切，OD 与BE 相交于点H ．下列结论错误的是（ ）A ．BD=CDB ．四边形DHEF 为矩形C ．2AE DE= D ．BC=2CE 二、填空题16．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．17．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是_________________．（用“>”、“<”、“=”连接）18．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．19．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．20．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．21．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则AOB ∠=_____________________度．22．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且CD=OA ，CD 的延长线交⊙O 于点E ，若∠BOE=54°，则∠C=______．23．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________25．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．26．如图，ABC 内接于半径为10的半圆，AB 为直径，点M 是弧AC 的中点，连结BM 交AC 于点E ，AD 平分∠CAB 交BM 于点D ，∠ADB ＝_____°，当点D 恰好为BM 的中点时，BM 的长为____．三、解答题27．如图，已知O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，且E 是OB 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F .（1）求证：CF AD ⊥；（2）若12AB =，求CD 的长．28．如图：在平面直角坐标系中，直线l 与两坐标轴分别相交，相交于C 、D 两点，且()6,0C ，30OCD ∠=︒，长度为2的线段AB （B 点在A 点右侧）在x 轴上移动，设点A的坐标为()0m ,．发现：（1）当以A 为圆心，AB 为半径的圆与直线l 相切时，求m 的值；应用：（2）当以A 为圆心，AB 为半径的A 与直线l 相交于M 、N 两点，且AMN 是等腰直角三角形，求m 的值．拓展：（3）直线l 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是_________（直接写出答案）．29．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．30．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在A 、B 、C 三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．（1）为建一个公共活动场地P 到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点P ，使得点P 落在△ABC 内部．保留作图痕迹，不要求写作法． （2）如果ACB α∠=，那么APB ∠=______．。