第27课时 图形变式

第二十七章“图形的相似”教材分析在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。

研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。

结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。

“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。

当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。

在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。

因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。

另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。

因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。

在这套教科书中，“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：首先，在课程标准中，相似是作为图形的一种变换提出来的，而它又是在全等变换基础上的拓展，所以教科书是先安排的的平移、轴对称、旋转等变换，后安排相似变换，而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。

第二十七章相似27.1图形的相似（一）一、教学目标1．理解并掌握两个图形相似的概念．2．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．二、重点、难点1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．2．难点：成比例线段概念．3．难点的突破方法（1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形形说成是．．．一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形．（2）对于成比例线段：①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；⑤若四条线段满足dc b a =，则有ad=bc （为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc ，则有dc b a =，或其它七种表达形式）． 三、例题的意图本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的ba 的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的比的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=实距图距实际距离图上距离=，而求图上距离与实际距离的比就是求两条线段的比． 四、课堂引入1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形。

第27课时 图形的平移与旋转百色中考考题感知与试做平面直角坐标系中的平移1. （2017·百色中考）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点C 在y 轴正半轴上,点A 的坐标为（2,0）,将正方形OABC 沿着OB 方向平移12OB 个单位,则点C 的对应点坐标为 （1,3） Ｗ.网格中的平移与旋转2.（2015·百色中考）如图,AB ∥DE,AB ＝DE,BF ＝EC.（1）求证：AC ∥DF ；（2）若CF ＝1个单位长度,能由△ABC 经过图形变换得到△DEF 吗？若能,请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能,说明原因.（1）证明：∵AB ∥DE ,∴∠B ＝∠E.∵BF ＝EC ,∴BF －FC ＝EC －FC ,即BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中,∴△ABC ≌△DEF （SAS ）.∴∠ACB ＝∠DFE ,∴∠ACF ＝∠DFC ,∴AC ∥DF ；（2）解：能,△ABC 先向右平移1个单位长度,再绕点C 旋转180°即可得到△DEF.核心考点解读图形的平移1.平移：在平面内,一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做平移.2.确定平移的要素：（1）方向；（2）距离.3.平移的性质（1）平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,所以平移前后的图形全等,由此可得对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等；（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.4.平移作图的步骤（1）根据题意,确定平移方向和平移距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离,平移各个关键点,得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点,得到平移后的图形.图形的旋转5.旋转：在平面内,一个图形绕一个定点,转动一定的角度,得到另一个图形的变换,叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,转动的这个角叫做旋转角.旋转→旋转对称图形→中心对称图形6.旋转是旋转中心,旋转方向和旋转角度所确定.7.旋转的性质（1）旋转只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,所以旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角,都等于旋转角.8.旋转作图的步骤（1）根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点,得到旋转后的图形.平面直角坐标系中的平移与旋转9.图形的平移与坐标变化【方法点拨】平移时,原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离.因此,在平面直角坐标系中,对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出这个图形进行了怎样的平移.尤其对于平行四边形及特殊平行四边形,我们可以把它们的对边看作是可以相互平移得到的两条线段,这样利用平移与点的坐标变化规律求点的坐标会很方便.10.图形的旋转与坐标变化把一个图形以原点O为旋转中心作旋转,原图形上任一点的坐标为（x,y）,以按逆时针方向旋转为例,旋转90°后对应点的坐标为（－y,x）,旋转180°（中心对称）后对应点的坐标为（－x,－y）,旋转270°（顺时针旋转90°）后对应点的坐标为（y,－x）,旋转360°后回到原位,对应点的坐标为（x,y）.1.（2018·温州中考）如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为（－1,0）,（0,3）.现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到△OCB′,则点B的对应点B′的坐标是（C）A.（1,0）B.（3,3）C.（1,3）D.（－1,3）（第1题图）（第2题图）2.如图,将△ABE向右平移2 cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16 cm,那么四边形ABFD的周长是（C）A.16 cmB.18 cmC.20 cmD.21 cm3.（2018·贺州中考）如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB′,若∠A′B′B＝20°,则∠A的度数是65°.4.（2016·梧州中考）点P（2,－3）先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点P′的坐标是（－2,－2）Ｗ.5.（2018·北部湾中考）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A （1,1）,B（4,1）,C（3,3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2；（3）判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）解：（1）如图,△A1B1C1即为所求；（2）如图,△A2B2C2即为所求；（3）以O,A,B为顶点的三角形为等腰直角三角形.[∵OB＝OA1＝16＋1＝17,A1B＝25＋934,即A1B＝2OB＝2OA1,OB2＋OA21＝A1B2,∴此三角形为等腰直角三角形.]典题精讲精练平面直角坐标系中的平移例1如图,将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P′的坐标是（C）A.（－1,6）B.（－9,6）C.（－1,2）D.（－9,2）【解析】根据平移的坐标变化规律“横坐标右移加、左移减,纵坐标上移加、下移减”即可解决问题.由题意,得点P（－5,4）向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P′的坐标是（－1,2）.平移与旋转的性质例2如图,△ABC中,AB＝AC,BC＝12 cm,点D在AC上,DC＝4 cm.将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为13cm.【解析】直接利用平移的性质得出EF＝DC＝4 cm,从而得出BE＝EF＝4 cm,进而求出答案.∵将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF,∴EF＝DC＝4 cm,FC＝7 cm.∵AB＝AC,BC＝12 cm,∴∠B＝∠C,BF＝5 cm,∴∠B＝∠BFE,∴BE＝EF＝4 cm,∴△EBF的周长为4＋4＋5＝13（cm）.【点评】此题主要考查了平移的性质,根据题意得出BE的长是解题的关键.例3如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB＝20°,则∠ADC的度数是（C）A.55°B.60°C.65°D.70°【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,∴∠DCE＝∠ACB＝20°,∠BCD＝∠ACE＝90°,AC＝CE,∴∠ACD＝90°－20°＝70°.∵点A,D,E在同一条直线上,∠ACE＝90°,AC＝CE,∴∠DAC＋∠E＝90°,∠E＝∠DAC＝45°.在△ADC中,∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°,即45°＋70°＋∠ADC＝180°,解得∠ADC＝65°.【点评】此题考查旋转的性质,关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答.网格中的平移与旋转例4如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A（2,3）,B（1,1）,C（5,1）.（1）把△ABC平移后,其中点 A移到点A1（4,5）,画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的△A1B2C2.【解析】（1）根据图形平移的坐标变化规律画出平移后的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质在网格中画出旋转后的△A1B2C2即可.【解答】解：（1）如图,△A1B1C1即为所求；（2）如图,△A1B2C2即为所求.1.（2016·贵港中考）在平面直角坐标系中,将点A（1,－2）向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′,则点A′的坐标是（A）A.（－1,1）B.（－1,－2）C.（－1,2）D.（1,2）2.（2018·梧州中考）如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是（－1,2）,（－1,0）,（－3,0）,将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是（B）A.（－6,2）B.（0,2）C.（2,0）D.（2,2）3.（2018·南京中考）在平面直角坐标系中,点A的坐标是（－1,2）,作点A关于y轴的对称点,得到点A′,再将点A′向下平移4个单位,得到点A″,则点A″的坐标是（1,－2）.4.如图,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C 平移的距离CC′＝ 5 .5.（2018·桂林中考）如图,在正方形ABCD 中,AB ＝3,点M 在CD 的边上,且DM ＝1,△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称,将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF 的长为（ C ）A .3B .23C .13D .156.（2017·贵港中考）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ,M 是BC 的中点,P 是A′B′的中点,连接PM.若BC ＝2,∠BAC ＝30°,则线段PM 的最大值是（ B ）A .4B .3C .2D .17.（2018·黑龙江中考）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1,4）,B （1,1）,C （3,1）.（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下,求线段BC 扫过的面积（结果保留π）.解：（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）线段BC 扫过的面积为S 扇形OCC 2－S 扇形OBB 2＝90×π×（10）2360－90×π×（2）2360＝2π. 请完成精练本第49～50页作业。

最大最全最精的教育资源网27．2． 1 相像三角形的判断（第 1 课时）教课任务剖析知识技术1．认识相像三角形和相像比的含义；2．掌握平行线分线段成比率的基本领实．教数学思虑1．经历“实验 -- 研究——发现——猜想”的过程，指引学生领会数学事实产生的全过程；学2．培育学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．解决问题1．经过第一个问题的的自主学习，培育学生阅读、察看、剖析、概括目问题的能力 .2．经过实验研究的过程，猜想感知基本领实及推论，进行初步应用.标感情态度1．指引学生绘图、丈量、察看、发现，激发学生的好奇心和求知欲．2．鼓舞学生踊跃参加数学活动，体验数学活动中的研究与创新．感觉数学的谨慎性．要点平行线分线段成比率的基本领实的初步应用．难点平行线分线段成比率的基本领实的初步应用教课流程安排活动流程图活动内容和安排活动 1 讲话复习引入课题讲话复习引入课题；活动 2研究 -- 发现 --猜想—概括“平行线分经过设置问题串，研究 --发现 -- 猜想，概括线段成比率”的基本领实平行线分线段成比率定理；发展学生的推理能力和语言表达能力，培育学生的实践能力和察看总结能力；自主学习，合作沟通。

培育学生自主学习能活动 3平行线分线段成比率定理推论力及沟通能力。

活动4练习稳固在解题过程中加深对定理的理解，学会定理的运用；最大最全最精的教育资源网活动 5经过小结及课后研究习题梳理所学知识，达讲堂小结到稳固、发展、提升的目的；从理性上认识平行线分线段成比率定理的正活动 6讲堂检测练习确性。

教课过程设计问题情境师生活动设计企图一. 创建情境，发现规律。

活动 1 讲话复习引入课题教师活动 :明确（ 1 ）相像多边形的主要特点是什么？（ 1）在相像多边形中，最简单的就是提出问题．创（ 2）在相像多边形中，最简单的就相像三角形。

设情境。

是相像三角形．（ 2）用符号“∽”表示相像三角形如同时复习巩在△ ABC 与△A ′B′C′中，△ABC ∽ △ABC ;假如∠ A=∠A ′, ∠B=∠B′,固相像多边∠C=∠C′,且（ 3）当△ ABC 与△A B C的相像比形的观点及AB BC CAA B B Ck ．C A我们就说△ABC 与△ A′B′C′相像，记作△ABC ∽△ A ′ B ′C′， k 就是它们的相像比．反之假如△ABC∽△A′B′C′，则有∠ A=∠A ′, ∠B=∠B′,为 k 时，△A B C与△ ABC 的相像其性质，增强比为 1/k．知识间的联系。