汇文中学初三数学试卷

2024届江苏省南京市二十九中学、汇文学校九年级数学第一学期期末学业水平测试试题 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin E 的值为（ ）A ．32B ．12C ．33D ．3 2．函数1y ax =+与抛物线()210y ax bx b =++≠的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．3π+C ．32π- D ．232π+4．一元二次方程220x x a -+=有实数解的条件( )A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a >D ．1a <5．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个A ．10B ．15C ．20D ．25 6．计算()23-的结果是 A ．﹣3 B ．3 C ．﹣9 D ．97．在下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与CD 的延长线交于点F ，085DCE ∠=，028F ∠=，则E ∠的度数为（ ）A ．38°B ．48°C ．58°D ．68°9．如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B ，②AE DE AB BC=，③AD AE AC AB =，使△ADE 与△ACB 一定相似（ ）A ．①②B ．②C ．①③D ．①②③10．三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（ ）A ．12B ．1：2C ．1：4D ．1：1.611．已知甲、乙两地相距100（km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（t ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°. 其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则AC 长为_____．14．已知点A （a ，1）与点A′（5，b ）是关于原点对称，则a+b =________．15．如图，一次函数1(5)?y k x b =-+的图象在第一象限与反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，当12y y >时，x 的取值范围是14x <<，则k =_____．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．17．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．18．已知函数22(0)(0)x x x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示，若直线y x m =+与该图象恰有两个不同的交点，则m 的取值范围为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）．（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标；（2）求点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率．20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值．21．（8分）已知关于x 的方程250x kx k ++-=.（1）求证：不论k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；x=，求该方程的另一个根.（2）若该方程的一个根为322．（10分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．23．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．25．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．26．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．()1每轮传染中平均一个人传染了几个人？()2按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】首先连接OC ，由CE 是O 切线，可得OC CE ⊥，由圆周角定理，可得60BOC ∠=︒，继而求得E ∠的度数，则可求得sin E ∠的值．【题目详解】解：连接OC ， CE 是O 切线，OC CE ∴⊥，即90OCE ∠=︒，30CDB ∠=︒，COB ∠、CDB ∠分别是BC 所对的圆心角、圆周角,260COB CDB ∴∠=∠=︒，9030E COB ∴∠=︒-∠=︒，1sin 2E ∴∠=． 故选：B.【题目点拨】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键．2、C【分析】一次函数和二次函数与y 轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a 分a>0和a<0讨论即可．【题目详解】解：由题意知：1y ax =+与抛物线()210y ax bx b =++≠与y 轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A ； 当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数()210y ax bx b =++≠开口向上， 故其图像有可能为选项C 所示，但不可能为选项B 所示；当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数()210y ax bx b =++≠开口向下，不可能为为选项D 所示； 故选：C ．【题目点拨】本题考查了一次函数与二次函数的图像关系，熟练掌握函数的图像与系数之间的关系是解决本类题的关键．3、A【题目详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ，∴BG ⊥AD ，∵∠A=60°，BG ⊥AD ，∴∠ABG=30°，在直角△ABG 中，BG=32AB=32×2=3，AG=1， ∴圆B 的半径为3，∴S △ABG =1132⨯⨯=32， 在菱形ABCD 中，∵∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S 阴影=2（S △ABG ﹣S 扇形ABG ）+S 扇形FBE =23303120(3)2()2360360ππ⨯⨯-+=32π+． 故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．4、B【分析】根据一元二次方程的根的判别式240b ac ∆=-≥即可得．【题目详解】一元二次方程220x x a -+=有实数解则2(2)410a ∆=--⨯⋅≥，即440a -≥解得1a ≤故选：B ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；（3）当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根．5、C【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【题目详解】设白球个数为x 个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴50.25x=+， 解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，故白球的个数为20个．故选C ．【题目点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．6、B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.﹣3|=3.故选B.7、A【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】A 、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选A ．【题目点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、A【分析】根据三角形的外角性质求出B ，然后根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可.【题目详解】解：B =57DCE F ∠-∠=︒057EDC B ∠=∠=18038E EDC ECD ∠=︒-∠-∠=︒故选A【题目点拨】本题考查了圆周角定理及其推论.9、C【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【题目详解】解：∵∠A=∠A ，∠AED=∠B ，∴△AED ∽△ABC ，故①正确，∵∠A=∠A ，AD AE AC AB= ， ∴△AED ∽△ABC ，故③正确，由②无法判定△ADE 与△ACB 相似，故选C ．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.10、C【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而求得面积比．【题目详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2，则其面积比为：1：4，故选C ．【题目点拨】本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方．11、C【分析】根据题意写出t 与v 的关系式判断即可.【题目详解】根据题意写出t 与v 的关系式为100t=v v（＞0），故选C. 【题目点拨】本题是对反比例函数解析式和图像的考查，准确写出解析式并判断其图像是解决本题的关键.12、C【题目详解】解：①正确．理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF=DE=13CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=1．∴BG=1=6﹣1=GC；③正确．理由：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④正确．理由：∵S△GCE=12GC•CE=12×1×4=6，∵S△AFE=12AF•EF=12×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE；⑤错误．∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF=45°，∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=115°．故选C．【题目点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理．二、填空题（每题4分，共24分）13、1.【解题分析】试题解析：抛物线的对称轴x=-42aa-=2，点B坐标（0，3），∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，∴点D坐标（1，3）∴AC=BD=1．考点：1.正方形的性质；2.二次函数的性质．14、-1【解题分析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－1，故答案为－1．15、1．【解题分析】由已知得A、B的横坐标分别为1，1，代入两解析式即可求解.【题目详解】由已知得A、B的横坐标分别为1，1，所以有54(5)4k b kkk b-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得4k=，故答案为1．【题目点拨】此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知函数图像交点的性质.16、3【解题分析】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．17【解题分析】解：如图，连接OA、OB，OG．∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×2∴半径为2【题目点拨】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．18、104m << 【解题分析】直线与y x =有一个交点，与22y x x =-+有两个交点，则有0m >，22x m x x +=-+时，140m ∆=->，即可求解．【题目详解】解：直线y x m =+与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y x =有一个交点，∴0m >，∵与22y x x =-+有两个交点，∴22x m x x +=-+， 140m ∆=->，∴14m <， ∴104m <<； 故答案为104m <<． 【题目点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m 的范围．三、解答题（共78分）19、（1）树状图见解析，则点M 所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）画出树状图，可求得所有等可能的结果；（2）由点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），直接利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）树状图如下图：则点M 所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）∵点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），∴点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率为：．考点：列表法或树状图法求概率.20、（1）顶点D （m ，1-m ）；（1）向左平移了1个单位，向上平移了1个单位；（3）m=－1或m=－1．【解题分析】试题分析：()1把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标.()2把点()1,2-代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解.()3分两种情况进行讨论.试题解析：（1）∵()222211y x mx m m x m m =-+--+=---+，∴顶点D （m ，1-m ）．（1）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-1），∴22121m m m -=-+--+．即220m m --=，∴2m =或1m =-（舍去），∴抛物线的顶点是（1，-1）．∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了1个单位．（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <．情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，∴AG AO DG HO =．∴()22111m m m m m m m ---+=-----+． 整理得：20m m +=．∴1m =-或0m =（舍）．情况1，点A 在y 轴的负半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，∴AG AO DG HO =．∴()22111m m m m m m m -+-=-----+． 整理得：220m m +-=．∴2m =-或1m =（舍），1m ∴=－或2m =－．21、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；（2）将3x =代入方程得到k 的值，再根据根与系数的关系求出另一根．【题目详解】（1）∵1a =，b k =，5c k =-，∴24b ac =-⊿()245k k =--2420k k =-+()22160k =-+>∴不论k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将3x =代入方程250x kx k ++-=得，9350k k ++-=，解得：1k =-；∴原方程为：260x x --=，设另一根为1x ，则有131x +=，解得：12x =-，所以方程的另一个根为2-.【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与24b ac =-⊿有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．22、该段运河的河宽为．【分析】过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果．【题目详解】解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，40HE CD m ∴==，设CH DE xm ==，在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，AH ∴=，由160AH HE EB AB m ++==40160x +=，解得：x =CH =，则该段运河的河宽为．【题目点拨】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23、（1）26；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出结果；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，则∠FBG＝∠CKG，由点G是CF的中点，得出FG＝CG，由AAS证得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB ＝CD＝CK，AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易证∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS证得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，则∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS证得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出结论．【题目详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵FBG CKGBGF KGC FG CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，在△AEB和△KBC中，∵BAE CKBAEB KBC AB CK∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，∴∠KEC＝∠DEC，在△KEC和△DEC中，∵KEC DECEKC DCK CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△KEC≌△DEC（AAS），∴KE＝ED，∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．【题目点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理和平行四边形的性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.24、详见解析．【分析】△DEH 与△ABC 均为直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一组锐角对应相等即可．【题目详解】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠D +∠DHE ＝∠B +∠BHF ＝90°而∠BHF ＝∠DHE ，∴∠D ＝∠B ，又∵∠DEH ＝∠C ＝90°，∴△DEH ∽△BCA ．【题目点拨】此题考查的是相似三角形的判定和互余的性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和等角的余角相等是解决此题的关键．25、y ＝x 2﹣2x ．【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b ，即可求得其解析式．【题目详解】∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过原点，∴c ＝0，又∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b ＝1， 解得b ＝﹣2∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ．【题目点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．26、（1）8人；（2）648人.【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.【题目详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有x+1+（x+1）x=81，解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．（2）8×81=648（人）．答：第三轮将又有648人被传染人．【题目点拨】本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键.。

2023-2024学年北京汇文中学初三上学期开学考数学一、选择题（共16分，每题2分）1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（ ）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝53．将抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）A．y＝﹣x2+3B．y＝﹣（x﹣2）2+1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣（x+2）2+14．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．5．若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）A．36B．﹣36C．9D．﹣96．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45°C．AD＝AC D．AE＝AB+CD7．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．B．1C．D．78．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，则a＝ ，b ＝ ．10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc 0．11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝30°，，则AB的长为 ．12．点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y1＜y2，写出一个符合条件的a的值 ．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于点A．（1）观察图象，直接写出方程组的解 ．（2）若直线l2：y＝k2x+b2与y轴的交点为（0，﹣4），则一次函数y＝k2x+b2的表达式 ．14．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为 ．15．在平面直角坐标系xOy中，点A（x，y）在第二象限，且，点B（8，0），若△OAB的面积为20，则点A的坐标为 ．16．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上（不与点C 重合），H是DF的中点，连接GH．若AD＝4，则GH的最小值为 ．三、解答题（本题共68分）17．解方程：（1）4x2＝9；（2）x2﹣6x+7＝0；（3）2x2﹣9x+10＝0．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点A与点D对应，点B 与点E对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB与直线DE的位置关系为 ．19．已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，求代数式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．20．已知二次函数几组x与y的对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1134…y…1250﹣405…（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出当x取何值时，y≤0．21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣6m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤（x﹣1）2﹣1的解集．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．24．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．（1）函数的自变量x的取值范围是 ；（2）如表是y与x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣10123…y…1m3…写出表中m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；①对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）；②当x＞0时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数y＝kx（k≠0）的值，则k的取值范围是 ．25．一位运动员在距篮圈中心（点C）水平距离5m处竖直跳起投篮（A为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点（点B），此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点C）到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？26．在平面直角坐标系xOy中，点（2，m），（5，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上．（1）当a＝1时，比较m，n值的大小；（2）点（x0，p）在此抛物线上，若对任意0≤x0≤1，均有m＜p＜n，求a的取值范围．27．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．①用等式表示线段DM，DE之间的数量关系，并证明．②若AB＝5，AC＝3，直接写出AM的长．28．在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．（1）当点P1的坐标为（0，2）时，①如果点P1的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是 ；如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是 ；②如果点M（x，y）是点P1的k倍关联点，且满足y＝﹣2，﹣1≤x≤3，求k的最大值；（2）已知在矩形ABCD中A（t，0），B（t+1，0），∠ACB＝30°．如果点P2的坐标为（﹣1，0），若在矩形ABCD边上存在P2的k倍关联点，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1．【答案】B【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．故选：B．2．【答案】B【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：B．3．【答案】B【分析】根据左加右减自变量，上加下减常数项，进行抛物线的平移即可．【解答】解：根据左加右减自变量可知：将抛物线y＝﹣x2+1的图象向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y＝﹣（x﹣2）2+1．故选：B．4．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．5．【答案】C【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故选：C．6．【答案】D【分析】由旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DEC，AD＝AC，∴AE＝AD+DE＝CD+AB，故选项A，B，C正确，D错误，故选：D．7．【答案】A【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【解答】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝4，AC＝3，∴BG＝1，∵AE是△ABC中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF＝BG＝，故选：A．8．【答案】A【分析】分m＞0和m＜0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．【解答】解：当m＞0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＞d﹣c；当m＜0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．故选：A．二、填空题（共16分，每题2分）9．【答案】见试题解答内容【分析】利用关于原点对称的点的特点建立方程组即可．【解答】解：∵点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，∴2a﹣b＝2，a+3b＝8，∴a＝2，b＝2，故答案为2，2．10．【答案】见试题解答内容【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＞0，c＞0，则abc的正负即可判定．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0．11．【答案】2．【分析】由菱形的性质，得到AC⊥BD，OB＝BD＝，由直角三角形的性质得到OA＝AB，由勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，∵BD＝2，∴OB＝，∵∠ABD＝30°，∴OA＝AB，∵AB2﹣OA2＝OB2，∴AB2﹣（﹣AB）2＝（）2，∴AB＝2．故答案为：2．12．【答案】3（答案不唯一）．【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出a＞2或a＜0．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（2，y1）关于直线x＝1的对称点为（0，y1），∵点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．且y1＜y2，∴a＞2或a＜0，故a的值可以是3，故答案为：3（答案不唯一）．13．【答案】（1）；（2）y＝x﹣4．【分析】（1）根据函数的图象得到A（2，﹣1），代入函数解析式，解方程组即可得到结论；（2）把A（2，﹣1），（0，﹣4）代入y＝k2x+b2，解方程组求解即可．【解答】解：（1）根据图象得，方程组的解为；故答案为：；（2）由题意得：，解得，∴一次函数y＝k2x+b2的表达式为y＝x﹣4．14．【答案】（18﹣x）（30﹣x）＝288．【分析】停车位总占地长为（30﹣x）米，宽为（18﹣x）米，根据矩形的面积＝长×宽＝288平方米列出方程，此题得解．【解答】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为（30﹣x）米，宽为（18﹣x）米，根据题意，得（18﹣x）（30﹣x）＝288．故答案为：（18﹣x）（30﹣x）＝288．15．【答案】（﹣2，5）．【分析】由题意可知A（x，﹣），OB＝8，由△OAB的面积为20，得到，解得x＝﹣2，即可求得点A的坐标为（﹣2，5）．【解答】解：∵点A（x，y）在第二象限，且，点B（8，0），∴A（x，﹣），OB＝8，∵△OAB的面积为20，∴，解得x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．16．【答案】．【分析】如图，延长GH交DE于M，证明△GHF≌△MHD（ASA），可得FG＝DM，GH＝MH，设正方形CEFG 的边长为x，则DM＝x，CM＝4﹣x，根据勾股定理列方程，可得GM2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，最后根据完全平方的非负性可得答案．【解答】解：如图，延长GH交DE于M，∵四边形CEFG是正方形，∴FG∥DE，FG＝CE，∴∠GFH＝∠CDH，∵H是DF的中点，∴DH＝FH，∵∠GHF＝∠DHM，∴△GHF≌△MHD（ASA），∴FG＝DM，GH＝MH，设正方形CEFG的边长为x，则DM＝x，CM＝4﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴CG2+CM2＝GM2，∴x2+（4﹣x）2＝GM2，∴GM2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴GM的最小值是＝2，∴GH的最小值是．故答案为：．三、解答题（本题共68分）17．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝3+，x2＝3﹣；（3）x1＝2，x2＝2.5．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）4x2＝9，x2＝，x1＝，x2＝﹣；（2）x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，x﹣3＝±，x﹣3＝或x﹣3＝﹣，x1＝3+，x2＝3﹣；（3）2x2﹣9x+10＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，x﹣2＝0或2x﹣5＝0，x1＝2，x2＝2.5．18．【答案】（1）见解答．（2）AB⊥DE．【分析】（1）以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点E，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点D，连接DE即可．（2）延长DE，交AB于点F，由旋转可得，∠CED＝∠B，进而可得∠AEF＝∠B，则∠A+∠B＝∠A+∠AEF＝90°，可得∠AFE＝90°，即AB⊥DE．【解答】解：（1）如图，△DEC即为所求．（2）延长DE，交AB于点F，由旋转可得，∠CED＝∠B，∵∠CED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，即AB⊥DE．故答案为：AB⊥DE．19．【答案】3．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，根据一元二次方程根的概念得到m2+2m＝4，代入计算即可．【解答】解：原式＝m2+4m+4+m2﹣9＝2m2+4m﹣5，∵m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，∴m2+2m﹣4＝0，∴m2+2m＝4，则原式＝2（m2+2m）﹣5＝2×4﹣5＝3．20．【答案】（1）该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）当﹣1≤x≤3时，y≤0．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）由表中数据可得抛物线与x轴的个交点，根据函数的图象和性质得出结论．【解答】解：（1）由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（1，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），将（﹣1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）由表格中数据知，当x＝﹣1和3时，y＝0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵抛物线开口向上，∴当﹣1≤x≤3时，y≤0．21．【答案】（1）证明过程见解答；（2）m＞﹣2．【分析】（1）先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论；（2）利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】（1）证明：由题意得：Δ＝（m﹣6）2﹣4×（﹣6m）＝m2+12m+36＝（m+6）2≥0，故该方程总有两个实数根；（2）解：x2+（m﹣6）x﹣6m＝0，解得：x1＝﹣m，x2＝6，∵方程有一个实数根小于2，∴﹣m＜2．∴m＞﹣2．22．【答案】（1）（2，0）；作图见解答过程；（2）x≤1或x≥2时，kx+b≤（x﹣1）2﹣1．【分析】（1）将y＝0代入函数解析式求解．（2）根据点A，B坐标及图象求解．【解答】（1）解：令y＝0，则（x﹣1）2﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴B点坐标为（2，0），列表得：x﹣10123y30﹣103画图得：；（2）如图，由图形可得：x≤1或x≥2时，kx+b≤（x﹣1）2﹣1．23．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先证明四边形BDCE为平行四边形，由直角三角形的性质可得BD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可得DO＝OE，BC⊥DE，OC＝2，由直角三角形的性质可求DO的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四边形BDCE为平行四边形，∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形BDCE为菱形；（2）解：连接DE交BC于O点，如图，∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，∴，∴∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2，∴．24．【答案】（1）任意实数；（2）m＝0；（3）见解答；（4）＜；k＞．【分析】（1）由图表可知可以是任意实数；（2）把x＝0代入即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）函数中自变量x可以是任意实数；故答案为：任意实数；（2）当x＝0时，＝0，∴m＝0．（3）函数图象如图所示；①对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1＜y2；②当x＞0时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数y＝kx（k≠0）的值，则k的取值范围是k＞．故答案为：＜；k＞．25．【答案】球出手时，他跳离地面的高度是0.15m．【分析】建立如图所示坐标系，设抛物线的表达式为y＝ax2+3.85，依题意可知图象经过C的坐标，由此可得a的值；设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，解出•h即可．【解答】解：以地面为x轴，过B点垂直于地面的直线为x轴，与地面的交点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：由题意得，B（0，3.85），C（2，3.05），∴设抛物线解析式为y＝ax2+3.85，把点C坐标代入解析式得：4a+3.85＝3.05，解得a＝﹣0.2，∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+3.85，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，根据题意可知，h+1.75+0.15＝﹣0.2×9+3.85解得h＝0.15．答：球出手时，他跳离地面的高度是0.15m．26．【答案】（1）m＜n；（2）．【分析】（1）把点（2，m），（4，n）分别代入解析式即可求得m、n的值再进行比较即可；（2）由题意求得a＞，由对称轴为直线，求得，当时，当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝a﹣2＜0，即可得出4a﹣4＜0且16a﹣8＞a﹣2，解得；当时，总有p ≤m＜n，不符合题意，从而求得a的取值范围是．【解答】解：（1）当a＝1时，函数表达式为y＝x2﹣2x，∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝x2﹣2x上．∴m＝0，n＝8；∴m＜n．（2）∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上，∴m＝4a﹣4，n＝16a﹣8，∵m＜n，∴4a﹣4＜16a﹣8，∴，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，∵a＞0，∴．当时，当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝a﹣2．∵0≤x0≤1，y随x的增大而减小，∴a﹣2＜0．∵m＜p＜n，∴4a﹣4＜0且16a﹣8＞a﹣2．∴．当时，总有p≤m＜n，不符合题意．综上，a的取值范围是．27．【答案】（1）∠B＝∠ACD，理由见解析；（2）①DM＝EM，理由见解析；②．【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可证明∠B＝∠ACD；（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN （ASA），即可求解；②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝AB＝，即可求出AM＝AC﹣CM＝．【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，∵∠A＝α，∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，∴∠B＝∠ACD；（2）①DM＝EM，理由如下：在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，∴△CDM≌△BCN（ASA），∴CN＝DM，∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，又∵∠ECM＝∠A＝α，∴∠E＝∠ACN，∴△ECM≌△CAN（ASA），∴CN＝EM，∴DM＝EM；②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，∴CM＝AN＝BN＝AB＝，∴AM＝AC﹣CM＝3﹣＝．28．【答案】（1）①（0，6）或（0，﹣2）；（2，0）或（﹣2，0）；②k的最大值为2；（2）﹣3≤t≤0．【分析】（1）①由题意得：MP＝2OP1＝4，即可求解；②当x＝3时，点M（3，﹣2），此时，k值最大，即可求解；（2）当k＝1时，得到﹣3≤t≤0；当k＝2时，得到﹣4≤t≤1，进而求解．【解答】解：（1）①由题意得：MP＝2OP1＝4，当点M在y轴上时，则点M的坐标为（0，6）或（0，﹣2）；当点M在x轴上时，设点M（x，0），则MP＝4，即x2+4＝42，解得：x＝±2，即点M的坐标为：（2，0）或（﹣2，0）；故答案为：（0，6）或（0，﹣2）；（2，0）或（﹣2，0）；②当x＝3时，点M（3，﹣2），此时，k值最大，则MP＝k•OP1＝2k，则（2k）2＝32+42，解得：k＝2.5，∵k为正整数，则k＝2，即k的最大值为2；（2）∵P2（﹣1，0），当k＝1时，∴x轴上的点P2的2倍关联点为（﹣2，0），（0，0），∵在△ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q，A（t，0），B（t+1，0），∴t+1≥﹣2，t≤0，∴﹣3≤t≤0．当k＝2时，∴x轴上的点P2的2倍关联点为（﹣3，0），（1，0），∵在△ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q，A（t，0），B（t+1，0），∴t+1≥﹣3，t≤1，∴﹣4≤t≤1．故当k＝1或2时，﹣3≤t≤0，同理当k为大于3的正整数时，t的取值范围都在包含了﹣3≤t≤0，综上，﹣3≤t≤0．。

2024北京汇文中学初三（下）开学考数 学一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 下面几何体中、左视图是矩形的是（ ）A. B. C. D.2. KN 95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN 95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m 的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ） A. 60.310−⨯B. 70.310−⨯C. 6310−⨯D. 7310−⨯3. 下列计算正确的是（ ） A. ()326aa = B. 236a a a ⋅=C. ()3322a a =D. 1025a a a ÷=4. 实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b =，则下列结论中错误的是（ ）A. 0a b +>B. 0a c +>C. 0b c +>D. 0ac <5. 若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（ ） A. 45︒ B. 60︒C. 72︒D. 90︒6. 如果31a ，那么代数式21(1)11a a a +÷−−的值为（ ）A. 3C.327. 在△ABC 中，AB ≠AC ，线段AD 、AE 、AF 分别是△ABC 的高、中线、角平分线，则点D 、E 、F 的位置关系为（ ）A. 点D 总在点E 、F 之间B. 点E 总在点D 、F 之间C. 点F 总在点D 、E 之间D. 三者的位置关系不确定8. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W 与时间t 的关系如图所示，我们用t W 表示t 时刻某企业的污水排放量，用1212t t W W t t −−−的大小评价在1t 至2t 这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在12t t t ≤≤这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在1t 时刻，乙企业的污水排放量高；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④在10t t ≤≤，12t t t ≤≤，23t t t ≤≤这三段时间中，甲企业在23t t t ≤≤的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. x 的值可以是__________．（写出一个即可） 10. 分解因式：2312x −+=__________． 11. 分式方程213x x=−的解为_____． 12. 在平面直有坐标系xOy 中，若点()13,A y −，()21,B y −在反比例函数2m y x+=的图象上，且12y y >，则m 的取值范围是__________．13. 为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是__________．14. 如图，直线y mx =与双曲线ky x=交于A 、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连结BM ，若2ABMS=，则k 的值是______．15. 2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍.在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为___.16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．三、解答题（本大影共10小题，共60.0分）17. 下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．作法：①在直线AB上取一点M；②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．④连接PQ，交AB于点O．⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，∴四边形PMQN是．∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（）．（填写推理依据）∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝POPC＝（填写数值）∴∠PCB＝30°．213tan302−⎛⎫−+−+︒⎪⎝⎭．19. 解不等式组()342343x xxx⎧−>−⎪⎨+≥⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．20. 如图，在ABC中，AB AC=，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE BC∥，CE AD∥交于点E，连接DE，交AC于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若10AB=，sin COE∠=CE的长为___________．21. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标x 的值大于1.7的概率；（2）设这100名患者中服药者指标y 数据的方差为21s ，未服药者指标y 数据的方差为22s ，则21s22s ；（填“>”、“=”或“<” ）（3）对于指标z 的改善情况，下列推断合理的是 ．①服药4周后，超过一半的患者指标z 没有改善，说明此药对指标z 没有太大作用； ②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z 的改善效果越来越明显．22. 如图，四边形OABC 中90OAB OCB ∠=∠=︒，BA BC =．以O 为圆心，以OA 为半径作O ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）连接BO 形延长交O 于点D ，延长AO 交O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，①补全图形；②若AD AC =，求证：OF OB =． 23. 在平面直角坐标系xOy 中，函数4(0)y x x=>图象G 与直线:41l y kx k =−+，点(1,)B n （4n ≥，n 为整数）在直线l 上．（1）对于任意的k 直线必过一定点，直接写出这个点的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线l 围成的区域（不含边界）为W ． ①当5n =时，求k 的值，并写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内整点个数m 满足25m ≤≤时，结合函数图象，求k 的取值范围．24. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）． （1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；（2）当﹣2＜x ＜0时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；（3）直线AB 上有一点C （m ，5），将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围．25. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB=AC ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD ，连接BD ，交AC 于点P ． （1）当α=90时， ①依题意补全图形； ②求证：PD =2PB ；（2）写出一个α的值，使得PD 成立，并证明．26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(,0)M m 且与x 轴垂直的直线，对某图形上的点(,)P a b 作如下变换：当b m ≥时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为Ⅰ（m ）变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P ，称为Ⅱ（m ）变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ（m ）变换，又有点作了Ⅱ（m ）变换，我们就称该图形为m −双变换图形．例如，已知(1,3)A ，(2,1)B −，如图1所示，当2m =时，点A 应作Ⅰ（2）变换，变换后1A 的坐标是(3,3)；点B 作Ⅱ（2）变换，变换后1B 的坐标是(2,1)．请解决下面的问题：（1）当0m =时：①已知点P 的坐标题(2,2)−，则点P 作相应变换后的点的坐标是__________；②若点(,)P a b 作相应变换后的点的坐标为(2,3)−，求点P 的坐标；（2）已知点(2,6)C −，(5,3)D −，①若线段CD 是m −双变换图形，则m 的取值范围是__________；②已知点(,)E m m 在第一象限，若CDE 及其内部（点E 除外）组成的图形是m −双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．参考答案一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状和画法是解题的关键．根据简单几何体三视图的画法判断它们的左视图即可． 【详解】解：A ．圆锥的左视图是三角形，因此选项A 不符合题意； B ．四棱锥的左视图是三角形，因此选项B 不符合题意； C ．圆柱体的左视图是矩形，因此选项C 符合题意； D ．球体的左视图是圆，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．2. 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数． 【详解】解：70.0000003310故选：D【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．3. 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算；根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ()326a a =，故该选项正确，符合题意；B. 235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C. ()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意； D. 1028a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A ．4. 【答案】A 【分析】根据a b =，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答． 【详解】解：∵a b =， ∴原点在a ，b 的中间， 如图，由图可得：a c <，0a b +=，0a c +>，0b c +>，0ac <， 故选项A 错误，故选A ．【点睛】本题考查数轴，绝对值，有理数的乘法、加法，解题的关键是确定原点的位置．5.【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式()2180n −•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6. 【答案】B 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值； 【详解】原式11(1)(1)()11a a a a a a−+−=+−− (1)(1)1a a a a a+−=−1a =+，当31a时，原式11=−+=故选：B ．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 7. 【答案】C 【分析】延长AE 至点H ，使=EH AE ，连接CH ，证明AEB HEC ≅，根据全等三角形的性质得到=AB CH ，=BAE H ∠∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答即可． 【详解】解：假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使=EH AE ，连接CH ，在AEB 和HEC △中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴≅，AB CH BAE H ∴=∠=∠，，AB AC <， CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠， CAH BAE ∴∠<∠，∴点F 总在点D ，E 之间， 故选：C ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8. 【答案】D 【分析】根据图象位置的高低和倾斜程度，逐条判断即可．【详解】解：①在12t t t ≤≤这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确； ②在1t 时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；④在10t t ≤≤，12t t t ≤≤，23t t t ≤≤这三段时间中，甲企业在12t t t ≤≤的图象倾斜角度最大，故④错误．故答案为：D ．【点睛】本题考查了函数图象的信息，解题关键是准确从图象中获得正确信息，仔细判断．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件得出230x −≥，再求出x 的范围即可写出答案．230x −≥， 解得：32x ≥， ∴x 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．10. 【答案】()()322x x −+−【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式3−，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：原式()234x =−−()()322x x =−+−，故答案为：()()322x x −+−．11. 【答案】3x =−【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：23x x =−，解得：3x =−，经检验3x =−是分式方程的解．故答案为3x =−．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．12. 【答案】2m >−【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据条件分析函数性质是解题的关键．根据条件，分析出在每个象限内，y 随x 的增大而减小，得到20m +>，即可得到结果． 【详解】解：点()13,A y −，()21,B y −在反比例函数2m y x+=的图象上，且12y y >， ∴函数的性质是： y 随x 的增大而减小，∴20m +>，2m ∴>−，故答案为：2m >−．13. 【答案】中位数【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，故答案为：中位数．14. 【答案】2【分析】由题意得：S △ABM ＝2S △AOM ，又S △AOM ＝12|k|，则k 的值可求出．【详解】解：设A （x ，y ），∵直线y mx =与双曲线k y x =交于A 、B 两点， ∴B （−x ，−y ），∴S △BOM ＝12|xy|，S △AOM ＝12|xy|，∴S △BOM ＝S △AOM ，∴S △ABM ＝S △AOM ＋S △BOM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM ＝12|k|＝1，则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，∴k ＞0，故k ＝2．故答案为2.【点睛】本题主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．15. 【答案】8872010x x−=【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒列出方程即可．【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据题意，得8872010x x−=．故答案为8872010x x−=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．16. 【答案】EBDC【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E；第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C所以，可确定第四个节目为节目综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）．【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．三、解答题（本大影共10小题，共60.0分）17. 【答案】（1）见解析；（2）菱形，菱形对角线互相垂直平分，12．【分析】（1）根据图中所给的作图步骤，补全图形，保留作图痕迹．（2）根据菱形的判定与性质，即可推得四边形PMQN是菱形．菱形对角线互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函数即可求得所作的叫是30°角．【详解】（1）如图即为补全的图形；（2）完成下面的证明．∵PM ＝PN ＝QM ＝QN ，∴四边形PMQN 是菱形．∴PQ ⊥MN ，PQ ＝2PO （菱形对角线互相垂直平分）．∵在Rt △POC 中，sin ∠PCB ＝12PO PC =， ∴∠PCB ＝30°． 故答案为：菱形，菱形对角线互相垂直平分，12．【点睛】本题考查了复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．本题还考查了菱形的判定与性质，及其正弦函数的应用．18.【答案】4【分析】利用二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．【详解】解：原式＝3+＝4+＝4．【点睛】本题考查了实数的运算，相关知识有二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．19. 【答案】22x −<≤，0，1，2【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，利用数轴求出它们的交集，即可求得整数解．【详解】由()3423x x −>−，得2x >−， 由43x x +≥，得2x ≤， ∴此不等式组的解集是22x −<≤，∴此不等式组所有非负整数解是0，1，2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键．20. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD BC ⊥于点D ，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）过点E 作EF AC ⊥于F ，解直角三角形即可得到结论．【小问1详解】解：证明∶∵AB AC =，点D 是BC 边的中点，∴AD BC ⊥，∵AE BC CE AD ∥，∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AD BC ⊥，∴平行四边形ADCE 是矩形 ；【小问2详解】解：如下图，过点E 作EF AC ⊥于F ，∵10AB =，∴10AC =，∵四边形ADCE 是矩形， ∴11522OE OC DE AC ==== ∵4sin 5EF COE OE ∠==， ∴4EF =，∴3OF ==，∵5OE OC ==，∴2CF =．∴CE ==，故答案为【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、等腰三角形三线合一，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．21. 【答案】（1）6%；（2）>；（3）②【分析】(1)根据图1，可以的打指标x 的值大于1.7的概率；(2)根据图1，可以得到s 12和s 22的大小情况；(3)根据图2，可以判断哪个推断合理．【详解】(1)指标x 的值大于1.7的概率=335050÷==6%； (2)由图1可知，s 12＞s 22，故答案为：＞；(3)由图2可知，推断合理的是②，故答案为：②． 【点睛】本题考查了条形统计图、其他统计图、方差、概率，解题本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 【答案】（1） 见解析（2）①补全图形见解析；②见解析【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．（1）连接BO ，由“HL ”可证Rt Rt ABO CBO ≌，可得AO CO =，由切线的判定可得结论；（2）①依照题意画出图形，如图所示；②由全等三角形的性质可得AOB BOC ∠=∠，由在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得120AOC AOD COD ∠=∠=∠=︒，由外角的性质和直角三角形的性质可得30F OBC ∠=︒=∠，可得OB OF =．【小问1详解】证明：如图，连接BO ，90OAB OCB ∠=∠=︒，BA BC =，BO BO =，∴()Rt Rt HL ABO CBO ≌，∴AO CO =，CO ∴是O 的半径，又∵90BCO ∠=︒，∴BC 是O 的切线；【小问2详解】①解：依照题意画出图形，如图所示，②证明：∵Rt Rt ABO CBO ≌，∴AOB BOC ∠=∠，∴AOD COD ∠=∠，∵ AD AC =，∴AOC AOD ∠=∠，∴120AOC AOD COD ∠=∠=∠=︒，∴60AOB BOC ∠=∠=︒，∵90BCO ∠=︒，∴30OBC ∠=︒，∵60AOB OBC F ∠=∠+∠=︒，∴30F OBC ∠=︒=∠，∴OB OF =．23. 【答案】（1）()4,1（2）①2；②423k −≤≤−【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用数形结合的思想是解题的关键．（1）解析式进行变形即可求得定点的坐标；（2）①当5n =时，()1,5B ，将()1,5B 代入41y kx k =−+，求得k 即可，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线:41l y kx k =−+过()1,6，直线:41l y kx k =−+过()1,7，画图根据区域W 内恰有5个整点，结合①即可确定k 的取值范围．【小问1详解】解：∵直线():4141l y kx k k x =−+=−+，∴直线必过一定点()4,1；【小问2详解】解：①当5n =时，()1,5B ，将()1,5B 代入41y kx k =−+，得：541k k =−+，解得43k =−， 如图所示，区域W 内的整点有()()2,3,3,2，有2个；②直线:41l y kx k =−+过()1,6时，53k =−，区域W 内恰有4个整点， 直线:41l y kx k =−+过()1,7时，2k =−，区域W 内恰有5个整点，当8n ≥时，区域内的整点的个数大于5，∴区域W 内整点个数m 满足25m ≤≤时，k 的取值范围是423k −≤≤−．24. 【答案】（1）b ＝2a ﹣3；（2）3−≤a ＜0或0＜a ≤32；（3）0＜a ＜4或3=−a ．【分析】（1）把点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）分别代入y ＝ax 2+bx +c ，即可求解； （2）当a ＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a −−≤﹣2；当a ＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a−−≥0，即可求解； （3）①当a ＞0时，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a ﹣7）在D 点的下方，即可求解；②当a ＜0时，若抛物线的顶点在线段CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）把点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）分别代入y ＝ax 2+bx +c 中，得c ＝﹣4，4a ﹣2b +c ＝2．∴b ＝2a ﹣3；（2）当a ＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a −−≤﹣2， 解得32−≤a ＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa−−≥0，解得 0＜a≤32．∴a的取值范围是32−≤a＜0或0＜a≤32；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则422nm n=−⎧⎨=−+⎩，解得：34mn=−⎧⎨=−⎩，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∴a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∴0＜a＜4；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴2454ac b a−=． 即24(4)(23)54a a a⨯−−−=．解得3a =−+3=−a ．综上，a 的取值范围是0＜a ＜4或3=−a ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解．25.【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）当α=60°(或120°)时，PD PB ，证明见解析【分析】（1）当α=90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB ；（2）当α的值为60（或120）度时，根据相似三角形的性质即可证明成立．【详解】（1）①如图②∵AC ＝AD ，AB ＝AC∴AB ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB又∵∠BAC ＝30°，∠BAD ＝90°∴∠ABD ＝∠ADB ＝30°∴AP ＝BP在Rt △APD 中，∠ADB ＝30°∴PD ＝2AP∴PD ＝2PB（2）当α=60°(或120°)时，PD情况Ⅰ：当α=60°时，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，∴DF∥BE∴△DFP∽△BEP∴DF PD BE PB＝在Rt△ABE中，∠BAC＝30°∴AC＝2BE在Rt△ADF中，∠CAD＝60°∴AD＝3DF又∵AD＝AC＝AB∴2BE＝3DE＝DF＝PD情况Ⅱ：当α=120°时，过点D作DF⊥AC，交CA的延长线于点F，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，∴DF ∥BE∴△DFP ∽△BEP ∴DF PD BE PB＝ 在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°∴AC ＝2BE在Rt △ADF 中，∠F AD ＝60°∴AD 又∵AD ＝AC ＝AB∴2BE ＝3DE ＝DF＝PD【点睛】本题考查了作图-旋转变换、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．26. 【答案】（1）①()2,2；②2,3P （）或()2,3P −−（2） ①63m −≤<−或36m <≤；②12【分析】（1）①根据变换的定义求出()2,2−相应变换后的点的坐标即可；②分两种情形：0,0b b ≥＜，分别构建不等式解决问题即可；（2）①根据C ，D 两点的纵坐标，结判断出m 的范围即可；②把CDE 沿EF 分成两个三角形，分别判断CEF △和DEF 作什么变换，推出G 的面积CEF DEF CDE S S S =+=，设CD 的解析式为y kx b =+，将点C ，D 的坐标代入y kx b =+，建立关于k ，b 的二元一次方程组，解方程组求出k ，b 值后即可得到CD 的解析式，当y m =时，8x m =−，求出点F 的坐标和EF 的长，即可求出图形G 所覆盖的区域的面积．【小问1详解】 解：①0,2m m =>，∴()2,2−相应变换后的点的坐标是()2,2，故答案为：()2,2；②∵0m =，∴直线l 为y 轴，若0b ≥，点(,)P a b 作相应变换后的点的坐标为(2,3)−，则点P 的坐标(2,3)；若0b <，则(,)P a b 作相应变换后的点(2,3)−，则点P 的坐标(2,3)−−；综上，2,3P （）或()2,3P −−；【小问2详解】解：①由题可知，线段CD 是m −双变换图形，点(2,6)C −，(5,3)D −， ∴6,3m m ≥<，∵63>，∴63m −≤<−或36m <≤．故答案为：63m −≤<−或3m <；②如图，把CDE 沿EF 分成两个三角形，CEF △作Ⅰ（m ）变换，DEF 作Ⅱ（m ）变换，图形G 的面积CEF DEF CDE S S S =+=，设CD 的解析式为y kx b =+，将点(2,6)C −，(5,3)D −代入y kx b =+，得：2653k b k b −+=⎧⎨−+=⎩， 解得：18k b =⎧⎨=⎩， ∴CD 的解析式为8y x =+，当y m =时，8x m =−，∴点()8,F m m −，∴()88EF m m =−−=， ∴()()()118386436431222CDE S m m m m =⨯−+⨯−=−+−=⨯=． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，新定义问题和三角形的面积公式，深入理解题意是解决问题的关键．。

北京市汇文中学2023~2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒3．对于二次函数()21y x =--的图象的特征，下列描述正确的是（）A ．开口向上B ．经过原点C ．对称轴是y 轴D ．顶点在x 轴上4．若关于x 的一元二次方程()2210a x a x a -+-=有一个根是1x =，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或15．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的三个格点，则 ABC 是（）A ．优弧B ．劣弧C ．半圆D ．无法判断6．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参二、填空题16．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm大圆内滑行的路径MN的长度为三、解答题17．解方程：2-+=．x x29100上的一点．18．已知：如图，A为O相切的一条直线．求作：过点A且与O作法：①连接OA；的一个交点为B，作射线OB；②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与O③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．(1)若12a b ==-，，求该抛物线的对称轴并比较(2)已知抛物线的对称轴为x t =，若28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的P 为图形M 的“二分点”．已知点N （3，0），A （1，0），B （(1)①在点A ，B ，C 中，线段ON 的②点D （a ，0），若点C 为线段OD (2)以点O 为圆心，r 为半径画圆，若线段值范围．。

2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区汇文双语学校九年级（上）第三次质检数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是()A. B. C. D.2.在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，单位：次/分钟，这组数据的众数和中位数分别是()A.180，182B.178，182C.180，180D.178，1803.已知一组数据为1，2，x，4，它们的平均数是2，则这组数据的方差为()A.1B.C.2D.4.下列各组线段中，成比例的是()A.2cm，3cm，4cm，5cmB.2cm，4cm，6cm，8cmC.3cm，6cm，8cm，12cmD.1cm，3cm，5cm，15cm5.如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得∽，则下列选项不成立的是()A.B.C.D.6.如图，在中，以BC为直径的，交AB的延长线于点D，交AC于点连接OD，OE，若，则的度数为()A.B.C.D.7.如图，等边三角形ABC的边长为10，在AC，BC边上各取一点E，F，使，连接AF，BE相交于点P，若，则的值是()A.16B.25C.36D.408.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊羊只能在草地上活动那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是()A.B.C.D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，则A、B两地的实际距离为______10.已知，则______.11.已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若线段AB的长为4厘米，那么线段AC的长为______厘米.12.已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为，则这两个菱形的面积和是______.13.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点若，则______.14.如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，∽，则的度数为______.15.如图，在直角中，，，，P、Q分别为BC、AB上的两个动点，若使是等腰三角形且，则______.16.如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若，则线段OQ的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共102分。

初三下数学综合练习2一．选择题（本题共16分，每小题2分）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.三棱柱B.长方体C.圆锥D.圆柱【答案】A【解析】【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．2.下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A.赵爽弦图B.科克曲线C.河图幻方D.谢尔宾斯基三角形【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．∠=︒，那么2∠的度数为（）.3.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果158A.32︒B.58︒C.138︒D.148︒【答案】D【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．【详解】如图，由三角形的外角性质得：∠3=90°+∠1=90°+58°=148°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=148°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．4.估计的值在（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间【答案】D【解析】【分析】直接利用估算无理数的方法估算出【详解】解：=∵252836<<<<，∴56<<，∴56<<，故选：D ．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的化简，正确得出的取值范围是解题关键．5.在如图所示的三个图形中，由作图痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A.图2B.图1与图2C.图1与图3D.图2与图3【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线作图．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．【详解】解：根据基本作图可判断：图1中：AD 平分BAC ∠，图2中AD 为BC 边上的中线，图3中AD 为BAC ∠的平分线故选：C ．6.图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，E ，使得A ，B 与C 共线，A ，D 与E 共线，且直线AC 与河岸垂直，直线BD ，CE 均与直线AC 垂直．经测量，得到BC ，CE ，BD 的长度，设AB 的长为x ，则下列等式成立的是（）A.x BD x BC CE =+B.x BD BC CE =C.BC BD x BC CE =+D.BC BD x CE=【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定定理确定BD CE ∥，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可．【详解】解：∵直线BD ，CE 均与直线AC 垂直，∴BD CE ∥．∴ABD ACE ∽．∴AB BD AC CE=．∵AB 的长为x ，∴AC =AB +BC =x +BC ．∴x BD x BC CE=+．故选：A ．【点睛】本题考查平行线的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．7.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y =ax 2+bx +c 可改写为y =a (x −1)2−2的形式②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2④若y >0，则x >3其中所有正确的结论为（）A.①④B.②③C.②④D.①③【答案】D【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴该函数图象的对称轴是直线x=132-+=1，∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式，故选项①正确，选项②错误；∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．8.如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A 的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（）A.①④B.①③C.①②③D.②③④【答案】C【解析】【分析】根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误．故选C ．【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．二．填空题（本题共16分，每小题2分）9.函数y =中，自变量x 的取值范围是__．【答案】3x <【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．【详解】解：由题意得，30x ->，解得3x <．故答案为：3x <．10.方程32122x x x-=--的解是___________．【答案】5x =-【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验．【详解】解：32122x x x-=--322x x +=-，5x =-，经检验：5x =-是原方程的解，∴原方程的解为5x =-．故答案为：5x =-．11.如图，1∠，2∠，3∠是多边形的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果123225∠+∠+∠=︒，那么DFE ∠的度数是______.【答案】45°【解析】【分析】利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．12.如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 经过点A ，C ，D 与BC 交于点E ，连接AE ，若72D ∠=︒，则BAE ∠=_____________．【答案】36︒【解析】【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得108AEC ∠=︒，进而由邻补角性质解得72AEB ∠=︒，再由平行四边形对角相等性质，解得72B D ∠=∠=︒，最后由三角形内角和180°解题即可．【详解】四边形ABCD 是O 的内接四边形180D AEC ∴∠+∠=︒72D ∠=︒18072108AEC ∴∠=︒-︒=︒，18010872AEB ∴∠=︒-︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，72B D ∴∠=∠=︒18027236BAE ∴∠=︒-⨯︒=︒故答案为：36︒【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13.如图，在△ABO 中，∠ABO ＝90°，点A 的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y ＝k x（k ≠0），使它的图象与△ABO 有两个不同的交点，这个函数的表达式为_____．【答案】答案不唯一，如：2y x=；【解析】【详解】分析：由△AOB 在第一象限，∠ABO=90°，点A 的坐标为(3，4)和反比例函数k y x =与△AOB 有两个不同的交点，可得：012k <<，由此在该范围内任取一个k 的值即可.详解：∵△AOB 在第一象限，∠ABO=90°，点A 的坐标为(3，4)和反比例函数k y x =与△AOB 有两个不同的交点，∴012k <<，∴本题答案不唯一，如取k=2，则对应的反比例函数的解析式为：2y x =.故答案为答案不唯一，如：2y x =.点睛：由反比例函数k y x =中k 的几何意义结合k y x =的图象与△AOB 有两个不同的交点可知，k y x =的图象与线段AB 的交点在应在A 点之下，B 点之上，由此即可得到012k <<，从而使问题得到解决.14.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1,2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根的概率是_________．【答案】12【解析】【分析】由题意通过列表求出p 、q 的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.【详解】解：由题意，列表为：∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x 的方程20x px q ++=有实数根的有3种情况，∴P 满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根为3162=.故答案为：12.【点睛】本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键．15.下图是，二次函数24y x x =-+的图象，若关于x 的一元二次方程240x x t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是______．【答案】54t -<≤【解析】【分析】先利用二次函数的性质得到2x =时，y 有最大值4，在计算出5x =时，5y =-，由于关于x 的一元二次方程240x x t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解可看作抛物线24y x x =-+与y t =在15x <<内有公共点，然后利用函数图像可得到t 的取值范围；【详解】()22424y x x x =-+=--+，当2x =时，y 有最大值4，当5x =时，245y x x =-+=-，关于x 的一元二次方程240x x t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解可看作抛物线24y x x =-+与y t =在15x <<内有公共点，∴t 的取值范围是54t -<≤；故答案是：54t -<≤．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．16.在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是_________．【答案】5和10【解析】【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，7和8，6和9；由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．故答案为：5和10．【点睛】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．三．解答题（本题共68分）17.计算：11(2cos 4514-︒-+-+．【答案】5-【解析】【分析】本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．【详解】解：原式=)242122-+⨯---=412-+-=5-．18.解不等式组+43(+2)112x x x ≤⎧⎪⎨-<⎪⎩并求该不等式组的非负整数解．【答案】不等式组的解13x -≤<；该不等式组的非负整数解为0,1,2x =【解析】握计算法则是解题的关键．【详解】解：+43(+2)112x x x ≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解①得1x ≥-，解②得3x <，∴不等式组的解集为13x -≤<，∴该不等式组的非负整数解为0,1,2x =．19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB ．求作：一个直角三角形ABC ，使线段AB 为斜边．作法：如图，①过A 任意作一条射线l ；②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧，两弧相交于点P ；④作射线BP 交射线l 于点C ．所以ABC 就是所求作的直角三角形．理由________________．思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作_____________个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是____________．【答案】到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（1）无数（2）以AB 为直径的圆（点A 、【解析】【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．根据线段的垂直平分线的逆定理分析可知．（1）由于过点A 可作无数条射线，利用作法可得到无数个直角三角形；（2）利用圆周角定理可判断这些直角三角形的直角顶点C 所形成的图形．【详解】解：由作图知,DP DB EP EB ==，故DE 是线段BP 是垂直平分线，∴BC AC ⊥，∴ABC 是直角三角形．（1）∵过点A 可以作无数条射线，∴以线段AB 为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的图形是以AB 为直径的圆（点A 、B 除外），理由是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；故答案为：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；（1）无数；（2）以AB 为直径的圆（点A 、B 除外）．20.已知x 2+3x ﹣3＝0，求代数式336133x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭的值．【答案】3【解析】【分析】易得233x x +=，然后利用分式的加减乘除的混合运算对分式进行化简，得到最简分式，然后利用整体代入法进行计算，即可得到答案.【详解】解：∵x 2+3x ﹣3＝0∴x 2+3x ＝3，∵原式33633x x x x x x -++=∙--+=363x x x x ++-+=22696(3)x x x x x x ++--+=293x x +=933=.【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题基础题型．21.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，连接EF ，EC ，延长EF 交CD 延长线于M ．（1）补全图形并证明：EF AC ⊥；（2）若=60B ∠︒，求EMC △的面积.【答案】（1）见解析（2）2EMC S = 【解析】【分析】（1）按要求画出图形即可；连接BD ，由已知条件可知EF 是ABD △的中位线，由此可得EF BD ∥，由菱形的性质可得AC BD ⊥，从而可得EF AC ⊥；（2）由已知条件易得ABC 是等边三角形，结合点E 是AB 的中点可得CE AB ⊥，结合AB CD 可得CE MC ⊥，在Rt BCE 中由已知条件求得CE 的长，证明AEF DMF ≌，得出112MD AE AB ===，从而可得CM 的长，这样即可由12·CME S MC CE =，求出其面积了．【小问1详解】解：补全图形如下图所示：如下图，连接DB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DB AC ⊥，∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF BD ∥，∴EF AC ⊥．【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =，AB DC ，∵60ABC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∵E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，∵AB DC ，∴CE MC ⊥，即EMC △是直角三角形，且sin 60CE BC =⨯︒=，∵F 是AD 的中点，∴AF DF =，∵AB DC ，∴AEF DMF =∠∠，EAF MDF =∠∠，∴AEF DMF ≌，∴112MD AE AB ===，∴3MC MD DC =+=，∴33212EMC S MC CE =⨯= ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与函数(0)m y x x=>的图象交于点(1,2)A ．（1）求m 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线l ，直线2y x b =+与直线l 交于点B ，与函数(0)m y x x=>的图象交于点C ，与x 轴交于点D ．①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值；②当BC BD >时，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2m =；（2）①3b =-；②3b >．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）①过点C 作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交x 轴于点F ，根据点C 是线段BD 的中点得到点C 的纵坐标为1，代入函数2y x=求出点C 的坐标为(2,1)，代入函数2y x b =+中求出b 即可；②如图，当BC BD >时，点B 在线段CD 上，连接CA 并延长交x 轴于点E ，当BC=BD 时，CA=AE ，得到点C 的纵坐标为4，代入函数2y x=中求出点C 的坐标为（12，4），代入函数2y x b =+中，解得b=3，即可得到当BC BD >时，3b >．【详解】解：（1）把(1,2)A 代入函数(0)m y x x =>中，21m ∴=，2m ∴=．（2）①过点C 作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交x 轴于点F ．当点C 是线段BD 的中点时，1CE CF ==．∴点C 的纵坐标为1．把1y =代入函数2y x=中，得2x =．∴点C 的坐标为(2,1)．把(2,1)C 代入函数2y x b =+中，得3b =-．②如图，当BC BD >时，点B 在线段CD 上，连接CA 并延长交x 轴于点E ，作CG ⊥x 轴于G ，AH ⊥x 轴于H ，当BC=BD 时，∵AB ∥x 轴，∴CB AC BD AE=，∴CA=AE ，∵CG ⊥x 轴，AH ⊥x 轴，∴CG ∥AH ，∴12AE AH CE CG ==∵点A 的纵坐标为2，即AH=1，∴CG=4，即点C 的纵坐标为4，将y=4代入函数2y x=中，得x=12，∴点C 的坐标为（12，4），将点C 坐标代入函数2y x b =+中，得b=3，∴当BC BD >时，3b >．．【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的综合，一次函数图象平移问题，平行线分线段成比例，已知点坐标求函数解析式中的未知数，根据题意画出图形进而解决问题是解题的关键，数形结合更易理解．23.某区举办了一次安全知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：甲：306060706080309010060601008060706060906060乙：8090406080809040805080707070706080508080【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：学校3050x ≤≤5080x <≤80100x <≤甲2144乙4142（说明：优秀成绩为80100x <≤，良好成绩为5080x <≤，合格成绩为3050x ≤≤【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：学校平均分中位数众数甲676060乙7075a 其中=a ____________．【得出结论】（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是__________校的学生；（填“甲”或“乙”）（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为__________；（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】分析数据：80；得出结论：（1）甲；（2）110；（3）乙，见解析【解析】【分析】分析数据：众数的定义是在一组数据中出现次数最多的那个数，据此求解；得出结论：（1）根据中位数的定义和两校成绩的中位数即可求解；（2）根据概率公式计算即可；（3）从中位数和平均数两方面说明即可．【详解】解：【分析数据】 乙校的20名同学的成绩中40分、50分、60分的人数各2人，70分的有4人，80分的有8人，90分的有2人，∴80分出现次数最多，有8次，.∴众数为80分，即80a=；【得出结论】（1） 甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，∴由表中数据可知小明是甲校的学生，故答案为：甲；（2）估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为21 2010 ==，故答案为：1 10；（3） 乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75高于甲校的中位数60，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，∴乙校的成绩较好．【点睛】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数、平均数以及简单概率，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．(1)求证：∠CBF=12∠CAB；(2)若CD=2，1tan2CBF∠=，求FC的长．【答案】（1）见解析；（2）FC=10 3.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠EAC=12∠CAB，由弦切角定理可得∠BAE=∠CBF，即可证明.（2）连接BD，由∠DBC=∠CBF.得到tan∠DBC=12.得出BD=4.设AB=x，则AD=2x-，在RtΔABD中，根据勾股定理求得AB=5，证明ΔABD∽ΔAFB，根据相似三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∴∠BAE+∠ABC=90°，∵AB=AC，∴∠BAE=∠EAC=12∠CAB.∵BF为⊙O的切线，∴∠ABC+∠CBF=90°.∴∠BAE=∠CBF.∴∠CBF=12∠CAB.（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵∠DBC=∠DAE，∴∠DBC=∠CBF.∵tan∠CBF=1 2.∴tan∠DBC=1 2.∵CD=2，∴BD=4.设AB=x，则AD=2x-，在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5.∴AB=5，AD=3.∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF.∴ΔABD ∽ΔAFB .∴2AB AD AF =⋅.∴AF =253.∴FC =AF -AC =103.【点睛】考查切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，难度较大.25.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．【答案】（1）见解析；（2）()214316y x =--+；（3）达到优秀【解析】【分析】（1）根据题意可直接画出图象；（2）由图中信息可设抛物线解析式为()243y a x =-+，然后把点()0,2A 代入求解即可；（3）当y =0时，则有()2143016x --+=，求解即可得到点C 的坐标，进而问题可求解．【详解】解：（1）如图所示．（2）解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为（4，3），点A 的坐标为（0，2），设该抛物线的表达式为()243y a x =-+，由抛物线过点A ，有1632a +=，解得116a =-，∴该抛物线的表达式为()214316y x =--+；（3）解：令0y =，得()2143016x --+=，解得14x =+，24x =-（C 在x 正半轴，故舍去），∴点C 的坐标为（4+，0），∴4OC =+，32>，可得344102OC >+⨯=，∴小明此次试投的成绩达到优秀．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(21)y x a x =--（0a ≠）．（1）若函数图象对称轴为y 轴，直接写出a 的值；（2）点()P m n ，是抛物线上一点，当21m -≤≤，n 存在最小值N ．①若3a =，直接写出N 的值_________；②若40N -≤≤，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）12（2）①4-；②332a -≤≤【解析】【分析】（1）根据对称轴公式求解即可；（2）①先求二次函数的对称轴，从而确定当1m =时n 最小，据此求解即可；②分类讨论，当对称轴在直线2x =-左边，在直线1x =右边，在直线2x =-和1x =之间三种情况，再利用二次函数的性质计算即可．【小问1详解】∵函数图象对称轴为y 轴，∴()2102a ---=，解得：12a =．【小问2详解】①当3a =时，解析式为22525524y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∴当52x ≤时y 随x 的增大而减小，∴21m -≤<，∴当1m =时n 最小，∴21514N =-⨯=-．②对称轴为直线()21122a x a --=-=-，当122a -≤-，即32a ≤-，∵21m -≤≤，∴当2m =-时，n 有最小值，∴()422142N a a =+-=+，∵40N -≤≤，∴302a -≤≤，∴32a =-；当1212a -<-<，即3322a -<<时，当12m a =-时，n 有最小值，∴()2211121222N a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵40N -≤≤，∴2142a ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭，∴21042a ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴1222a -≤-≤，∴3522a -≤≤，∴3322a -≤≤；当112a -≥，即32a ≥，∴当1m =时，n 有最小值，∴12122N a a =-+=-，∵40N -≤≤，∴4220a -≤-≤，∴13a ≤≤，综上所述，332a -≤≤．质是解题的关键．27.已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH AE ⊥于H ，设直线DH 交AC 于N ．（1）如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；（2）如图2，当M 在线段OD 上，连接NE ，当EN BD ∥时，求证：BM AB =；（3）在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE EC ⊥时，求证：2AN NC AC =⋅．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）先判断出OD OA =，AOM DON ∠=∠，再利用同角的余角相等判断出ODN OAM ∠=∠，判断出DON AOM ∆≅∆即可得出结论；（2）先判断出四边形DENM 是菱形，进而判断出22.5BDN ∠=︒，即可判断出67.5AMB ∠=︒，即可得出结论；（3）先判断出DEN ADE ∆∆∽得出2DE AD EN =⋅，再判断出AC =，EN =，AN =，代换即可得出结论．【小问1详解】解：（1） 正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，OD OA ∴=，90AOM DON ∠=∠=︒，90OND ODN ∴∠+∠=︒，ANH OND ∠=∠ ，90ANH ODN ∴∠+∠=︒，DH AE ⊥ ，90DHM ∴∠=︒，90ANH OAM ∴∠+∠=︒，ODN OAM ∴∠=∠，()ΔΔASA DON AOM ∴≅，OM ON ∴=；【小问2详解】连接MN ，//EN BD Q ，90ENC DOC ∴∠=∠=︒，45NEC BDC ACD ∠=∠=︒=∠，EN CN ∴=，同（1）的方法得，OM ON =，OD OD，=∴==，DM CN EN，EN DM//∴四边形DENM是平行四边形，DN AE，⊥∴ 是菱形，DENMDE EN∴=，∴∠=∠，EDN ENDQ，EN BD//∴∠=∠，END BDN∴∠=∠，EDN BDN，∠=︒45BDC∴∠=︒，BDN22.5，∠=︒90AHD∴∠=∠=︒-∠=︒，AMB DME BDN9067.5∠=︒，ABM45BAM AMB∴∠=︒=∠，67.5∴=；BM AB【小问3详解】如图3，DN AE，⊥∴∠+∠=︒，90DEH EDH∠+∠=︒，DAE DEH90∴∠=∠，DAE EDH，EN CD⊥90DEN ADE ∴∠=︒=∠，DEN ADE∴∆∆∽，∴DE EN AD DE=，2DE AD EN∴=⋅，AC是正方形ABCD的对角线，45ACD BAC∴∠=∠=︒，CN∴=，AC=，延长EN交AB于P，∴四边形ADEP是矩形，DE AP∴=，AN==，2AN AC CN∴=⋅．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出DEN ADE∆∆∽是解（3）的关键．28.在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP＝PQ＝，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点.例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q 的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）.（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；（2）若点Q的坐标是（0，﹣2），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（32，12-）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标.【答案】（1）M（2，2），N′（4，﹣2）；（2142；（3）P（0，﹣3），N（0，3）；（4）（2312-，322-）【解析】【分析】（1）根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2），N′（4，﹣2）；（2）若点Q的坐标是（0，﹣2），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；（4）如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A.在Rt△OAP中，由勾股定理，OP1=，在△PQN′中，∠PQN′＝90°，PQ＝QN′，推出点N′在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大，推出∠QPN′＝45°推出PQ＝PN′，推出PQ的取值范围：0＜，由P（32，﹣12），由对称性可知N′（﹣32，12），再根据平行四边形的性质求出点M′坐标即可.【详解】解：（1）∵PQ＝2，根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2），N′（4，﹣2）.（2）①当PQ＝1时，OQ＝2在RT△OPQ中，如图1中，∴OP＝OQ∴∠OQP＝∠OPQ＝45°∵∠PQN′＝90°PQ＝Q N′∴点N’在x轴负半轴上，不在第二象限。

安徽省六安市金安区汇文中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．ADC∠=∠C．AB AC BC CD=6．已知二次函数A．m＞﹣1 47．已知y关于x的函数关系式是A．若m=1，函数的最小值为B．若m=-1，当C．不论m为何值时，函数图象与A．6＜t≤8二、填空题11．二次函数y＝∆中，12．在ABC13．如图，点A是反比例函数且点D为线段AB14．在平面直角坐标系中，Q．（1）若点P的横坐标为1，则（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且三、解答题，，15．已知三条线段a b c16．如图，在△ABC中，DAD=3：2，BF=6，求EF和17．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知（1）求该抛物线的解析式；（2）若借助横梁DE（DE度是多少米？18．如图，AB∥CD，AC与（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．19．已知，如图，反比例函数y＝点B（m，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式ax+b≥kx的解集是20．如图，已知二次函数2y x=（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点(),Q m n在该二次函数图象上①当2m=时，求n的值；②若Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出21．某商店购进一批成本为每件（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于22．如图，在Rt△ABC折痕为EF（点E、F（1）若△CEF与△ABC①当AC=BC=2时，AD②当AC=3，BC=4时，（2）当点D是AB的中点时，△23．如图，已知二次函数于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC（3）直线x=m分别交直线写出m的值．。

2024北京汇文中学初三10月月考数 学一、单选题（本题共30分，每小题3分）1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线()231y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()3,1B. ()3,1−C. ()3,1−D. ()3,1−−3. 把抛物线23y x =向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. 2)3(25y x =+− B. 23(5)2y x =++ C. 23(2)5y x =−+ D. 23(2)5y x =++4. 如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，连接AD ．当点,,A D E 在同一条直线上时，下列结论不正确．．．的是（ ）A. ABC DEC ≌△△B. =45ADC ∠︒C. AD =D. AE AB CD =+5. 在同一坐标系中表示2y ax =和()0y ax b ab =+>的图象的是( )A. B. C. D.6. 如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°7. 如图，ABC 绕某点旋转，得到DEF ，则其旋转中心的坐标是（ ）A. ()10，B. ()11−，C. ()01−，D. ()00，8. 若()()1231142A yB yC y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点都在二次函数()22y x k =−−+的图象上，则123y y y ，，的大小关系为（ ） A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 231y y y <<D. 312y y y <<9. 抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()1,2D −，与x 轴的一个交点A 在点()3,0−和()2,0−之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ）①0abc <；②30a c +<；③若方程20ax bx c m ++−=没有实数根，则2m >；④图象上有两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)，若12x x <，且122x x +>−，则一定有12y y >．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如图，点A 、C 、E 、F 在直线l 上，且2AC =，1EF =，四边形ABCD ，EFGH ，EFNM 均为正方形，将正方形ABCD 沿直线l 向右平移，若起始位置为点C 与点E 重合，终止位置为点A 与点F 重合．设点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本题共20分，每小题2分）11. 二次函数()22y x b x b =−++的顶点在y 轴上，则b =__________．12. 若二次函数22y x x k =−+的图象与x 轴只有一个公共点，则k =__________．13. 已知二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y mx n m =+≠的图象相交于点()1,6A −和()7,3B ，如图所示，则使不等式2ax bx c mx n ++<+成立的x 的取值范围是_____________．14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度16AB =米，拱高4CD =米，那么桥拱所在圆的半径OA =___________米．15. 在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，将ABP 绕点A 逆时针旋转后能与ACP '△重合，若3AP =，则PP '=___________．16. 如图，ABC 和DEC 关于点C 成中心对称，若2AC =，3AB =，90BAC ∠=︒，则AE 的长是________．17. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若∠ABC ＝50°，则∠BDC 的度数为______ °．18. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，若P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则∠APB ＝_____°．19. 已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：①二次函数2y ax bx c =++可改写为()212y a x =−−的形式； ②二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下；③关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=−的两个根为0或2； ④若0y >，则3x >．其中所有正确的结论为_____． 20. 数学课上，李老师提出如下问题： 已知：如图，AB 是O 的直径，射线AC 交O 于C ．求作：弧BC 的中点D ．同学们分享了如下四种方案：①如图1，连接BC ，作BC 的垂直平分线，交O 于点D ．②如图2，过点O 作AC 的平行线，交O 于点D ．③如图3，作BAC ∠的平分线，交O 于点D ．④如图4，在射线AC 上截取AE ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点D ．上述四种方案中，正确的方案有______个．三、解答题（21－26题每题6分，27－28题每题7分）21. 已知二次函数265y x x =−+ （1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的三个顶点分别为()3,4A −，()5,1B −，()1,2C −．（1）画出ABC 关于原点对称的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出ABC 绕原点逆时针旋转90°后的222A B C △，并写出点2C 的坐标． 23. 如图，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：CAO BCD ∠=∠； （2）若3BE =，8CD =，求O 的直径．24. 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？25. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m ，小明站在距篮圈中心水平距离6.5m 处的点A 练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是x （单位：m ）时，球心距离地面的竖直高度是y （单位：m ）.小明进行了多次定点投篮练习，并做了记录：（1）第一次训练时，篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：y 与x 满足的函数解析式； ②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；（2）将小明第i 次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为i d .小明第二次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相同，则1d _______2d （填“>”，“<”或“=”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)M m −，(3,)N n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若m n =，求t 的值；（2）若c m n <<，求t 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），点F 与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点P ，设ADP α∠=．（1）用含α的代数式表示DCP ∠；（2）连接AP AF ，．求证：APF 是等边三角形；（3）过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．补全图形，猜想线段CH 与PH 之间的数量关系，并加以证明．28. 在平面直角坐标系xoy 中，对于点()11,P x y ，给出如下定义：当点()22,Q x y 满足1212x x y y =时，称点Q 是点P 的等积点．已知点()1,2P ．（1）在()12,1Q ，()24,1Q −−，()38,2Q 中，点P 的等积点是 ．（2）点Q 是P 点的等积点，点C 在x 轴上，以O ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标．（3）已知点1(1,)2B 和点(5,)M m ，点N 是以点M 为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T 上的任意一点，对于线段BN 上的每一点A ，在线段PB 上都存在一个点R 使得A 为R 的等积点，直接写出m 的取值范围．参考答案一、单选题（本题共30分，每小题3分）1. 【答案】A【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意， B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意， D. 是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， 故选：A ．【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键． 2. 【答案】A【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵()231y x =−+， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ． 3. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：把抛物线23y x =向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为23(2)5y x =++， 故选：D ． 4. 【答案】D 【分析】将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，可得,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE ===≌再证明45,90,ADC ACD ∠=︒∠=︒ 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，∴,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE ===≌ 故A 不符合题意； ∴135,BAC CDE ∠=∠=︒∴45,CDA CAD ∠=︒=∠ 故B 不符合题意； ∴90,ACD ∠=︒ ∴222,AC CD AD +=∴,AD =故C 不符合题意；∵,AE AD DE =+∴.AE AD AB =+ 故D 符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键． 5. 【答案】D【分析】根据ab ＞0，即a 、b 同号，分两类讨论，结合系数与一次函数、二次函数图象的位置关系，逐一排除．【详解】因为ab ＞0，即a 、b 同号，当a ＞0，b ＞0时，函数y=ax 2的图象开口向上，函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，可排除B ； 当a ＜0，b ＜0时，函数y=ax 2的图象开口向下，函数y=ax+b 的图象经过二、三、四象限．可排除A 、C ． 故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是关键． 6. 【答案】B【分析】由线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，根据垂径定理的即可求得=BC BD ，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：∵线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ， ∴=BC BD ， ∵∠CAB =20°，∴∠BOD =2∠CAB =2×20°=40°． 故选：B ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7. 【答案】B【分析】先根据旋转的性质得出点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点E ，连接BE 、AD ，作线段BE 、AD 的垂直平分线，它们的交点为()11P −，，即可得到答案． 【详解】解：ABC 绕某点旋转，得到DEF ，∴点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点E ，如图，连接BE 、AD ，作线段BE 、AD 的垂直平分线，它们的交点为()11P −，，，∴旋转中心的坐标是()11−，， 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 8. 【答案】B【分析】根据抛物线的解析式可得二次函数的开口向下，对称轴为直线2x =，再由12x =−，1x =，4x =离对称轴2x =的远近即可得到答案．【详解】解：二次函数()22y x k =−−+，10a ∴=−<，二次函数的开口向下，对称轴为直线2x =，由12x =−，1x =，4x =离对称轴2x =的远近可得13y y <，32<y y ，132y y y ∴<<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 9. 【答案】B【分析】①根据抛物线的性质与图象判断a 、b 、c 的正负性，据此解答即可；②由抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一个交点在点()0,0和(1,0)之间，得0a b c ++<，根据抛物线的对称轴可得2b a =，据此判断即可；③根()20y ax bx c a =++≠的最大值是2，可得抛物线()20y ax bx c a =++≠与直线y =没有交点，则2m >，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；．【详解】解：∵抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()12D −，，与x 轴的一个交点A 在点()30−，和()20−，之间，抛物线开口向下， ∴0a <，102ba−=−<，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一个交点在点()0,0和(1,0)之间， ∴0b <，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴0c >，∴0abc >，故①错误； ∵12ba−=−， ∴2b a =，∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一个交点在点()0,0和(1,0)之间， ∴当x =1时，0y a b c =++<，∴102b bc ++<， ∴320b c +<，故②正确；∵方程20ax bx c m ++−=没有实数根，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(12)D −，， ∴抛物线()20y ax bx c a =++≠与直线y m =没有交点，∴2m >，故③正确；∵抛物线开口向下，图象上有两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)，对称轴为直线121212x x x x x =−+>−<，，， ∴Q (x 2,y 2)在对称轴的右侧，当11x ≥−时，在抛物线对称轴x =−1的右侧，y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴12y y >，当11x <−时，∵P (x 1,y 1)，∴P (x 1,y 1)关于对称轴的对称点为()112,P x y −−，∵x 2−(−x 1−2)=x 2+x 1+2>−2+2=0，∴x 2>−x 1−2>−1，∴12y y >，故④正确．综上，可得正确结论的序号是：②③④．故选∶B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．10. 【答案】A【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，如下图所示，CE=x ，∠DCA=45°，y随x 的增大而增大，函数解析式为2cos =⨯=∠x y DCA，函数图象是一条线段， 当点D 从点H 运动到点G 的过程中，CE=x ，CF=x －1，AE=2－xDA=DC=AC ·sin ∠()22cos cos ⎛⎫⎡⎤=+−−=−= ⎪⎣⎦∠∠⎝⎭A y DA DC DAE DCA E CF y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段，当点A 从点E 运动到点F 的过程中，CE=x∴CF=x －1，AF=AC －CF=2－（x －1）=3－xy随x 的增大而减小，函数解析式为2cos =⨯=−+∠AF y DAF函数图象是一条线段， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出各种情况的函数解析式，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11. 【答案】2−【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y 轴上点的横坐标为0求解即可．【详解】解：∵二次函数()22y x b x b =−++的顶点在y 轴上， ∴202b +=，解得2b =−， 故答案为：2−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y 轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．12. 【答案】1【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x 轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x 轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．【详解】解：∵二次函数22y x x k =−+的图象与x 轴只有一个公共点，∴方程220x x k −+=有两个相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=−=−−=，解得：1k =，故答案为：1．13. 【答案】17x −<<【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得． 【详解】解：二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y mx n m =+≠的图象相交于点()1,6A −和()7,3B ，∴由图象可得：使不等式2ax bx c mx n ++<+成立的x 的取值范围是17x −<<，故答案为：17x −<<．【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 14. 【答案】10【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．【详解】解：连接AO ，BO ，DO ，可得：AD BD =，OD AB ⊥，∵16AB =，拱高4CD =米，∴8m AD BD ==，设OA x =，则4DO x =−，根据题意可得：222AD DO AO +=，即()22284x x +−=，解得：10x =，即圆弧形桥拱所在圆的半径是10米．故答案为：10【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．15. 【答案】【分析】根据旋转的性质，得到90PAP BAC '∠=∠=︒，AP AP '=，即可解答．【详解】解：根据旋转的性质，可得90PAP BAC '∠=∠=︒，AP AP '=， 3AP =，PP '∴==故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，熟知对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角和对应点到旋转中心的距离相等，是解题的关键．16. 【答案】5【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理．根据中心对称的性质，可得2,3,90CD AC DE AB D BAC ====∠=∠=︒，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：∵ABC 和DEC 关于点C 成中心对称，2AC =，3AB =，90BAC ∠=︒，∴2,3,90CD AC DE AB D BAC ====∠=∠=︒，∴4AD AC CD =+=，∴5AE ==．故答案为：517. 【答案】140【分析】先求出∠A 的度数，再利用圆内接四边形的性质求出∠BDC 的度数．【详解】解：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠ABC ＝50°，∴∠A =40°，∵四边形ABDC 是圆内接四边形，∴∠BDC +∠A =180°，∴∠BDC =140°，故答案为：140．【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟记各定理及性质是解题的关键．18. 【答案】150°【分析】连接PQ ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，再根据旋转的性质得AP ＝PQ ＝6，∠P AQ ＝60°，则可判断△APQ 为等边三角形，所以PQ ＝AP ＝6，接着证明△APC ≌△ABQ 得到PC ＝QB ＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ 为直角三角形，于是得到结论．【详解】连结PQ ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，∴AP ＝PQ ＝6,∠P AQ ＝60︒，∴△APQ 为等边三角形，∴PQ ＝AP ＝6，∵∠CAP ＋∠BAP ＝60︒,∠BAP ＋∠BAQ ＝60︒，∴∠CAP ＝∠BAQ ，在△APC 和△AQB 中，AC AB CAP BAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APC ≌△AQB ，∴PC ＝QB ＝10，在△BPQ 中,∵PB 2＝82＝64,PQ 2＝62,BQ 2＝102，而64＋36＝100，∴PB 2＋PQ 2＝BQ 2，∴△PBQ 为直角三角形,∠BPQ ＝90︒，∴∠APB ＝90︒＋60︒＝150︒.故答案为：150°.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理.19. 【答案】①③【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，顶点式，抛物线与x 轴的交点，由图象经过()1,0−，()3,0，得到对称轴是直线1x =，进而确定顶点坐标及开口，得到①正确，选项②错误；根据对称性得到一元二次方程2 1.5ax bx c ++=−的两个根为0或2，故选项③正确；根据抛物线与x 轴的交点，可判断④错误；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵该函数的图象经过()1,0，()3,0， ∴该函数图象的对称轴是直线1312x −+==， ∴该函数图象的顶点坐标是()1,2−，有最小值，开口向上，∴二次函数2y ax bx c =++可改写为()212y a x =−−的形式，故选项①正确，选项②错误； ∵该函数的图象经过()015,.，其关于对称轴直线1x =的对称点为()2, 1.5−，∴关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=−的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过()1,0−，()3,0，∴若0y >，则3x >或1x <−，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故答案为：①③．20. 【答案】①②③④【分析】本题考查了垂径定理和圆周角的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行证明推理．根据作图方法，逐个推理证明即可．【详解】解：①如图1，由作图可知，BC 的垂直平分线经过圆心O ，∵OD BC ⊥，∴点D 是弧BC 的中点；②如图2，连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵OD AC ∥，∴OD BC ⊥，∴点D 是弧BC 的中点；③如图3，∵BAD CAD ∠=∠，∴点D 是弧BC 的中点；④如图4，连接AD ，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵AE AB =，∴BAD CAD ∠=∠，∴点D 是弧BC 的中点；故答案为：①②③④．三、解答题（21－26题每题6分，27－28题每题7分）21. 【答案】（1）()3,4−（2）见解析 （3）40y −≤<【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，然后再求出顶点坐标即可；（2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可；（3）根据函数图象得出结果即可．【小问1详解】解：∵265y x x =−+ ()22634x x =−+−()234x =−−，∴二次函数图象的顶点坐标为()3,4−；【小问2详解】解：列表：【小问3详解】解：由函数图象可知，当14x <<时，直接写出y 的取值范围40y −≤<．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，涉及到二次函数顶点坐标式，抛物线的对称轴和顶点坐标，画二次函数图象，根据自变量求函数的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．22. 【答案】（1）图见解析，()3,4−（2）图见解析，()2,1−−【分析】本题考查了原点对称，旋转性质计算（1）根据横坐标、纵坐标都变成相反数，确定坐标后，画图即可．（2）根据旋转的性质计算画图即可．【小问1详解】根据题意，画图如下：111A B C △为所求，且点1A 的坐标为()3,4−；【小问2详解】如上图，则222A B C △为所作，点2C 的坐标为()2,1−−；23. 【答案】（1）见解析 （2）253【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键熟练掌握相关图形的性质．（1）根据圆周角定理得到90ACB ∠=︒，根据直角三角形的性质得到答案；（2）根据垂径定理得到CE 的长，根据勾股定理计算5BC ==，证明BAC BCE ∽，即有BA BC BC BE=，问题随之得解． 【小问1详解】 证明：∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=︒，∴A B ∠∠=︒+90，∵AB CD ⊥，∴90BCD B ∠+∠=，∴CAO BCD ∠=∠；【小问2详解】∵AB CD ⊥，8CD =， ∴142CE CD ==，∴5BC ==，∵CAO BCD ∠=∠，B B ∠=∠∴BAC BCE ∽， ∴BA BC BC BE=， ∴525533BC BA BC BE =⨯=⨯=． 即：O 的直径为253． 24. 【答案】（1）y 10000x 80000=−+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【详解】试题分析：（1）设y =kx +b ，再由题目已知条件不难得出解析式；（2）设利润为W ，将W 用含x 的式子表示出来，W 为关于x 的二次函数，要求最值，将解析式化为顶点式即可求出.试题解析：解：（1）设y =kx +b ，根据题意得：3526k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k =－1，b =8，所以，y 与x 的函数关系式为y =－x +8；（2）设利润为W ，则W =（x －4）（－x +8）=－（x －6）2+4，因为a =－1＜0，所以当x =6时，W 最大为4万元.当销售价格定为6元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是4万元.点睛：要求最值，一般讲二次函数解析式写成顶点式.25. 【答案】（1）①3.6m ，()2=0.14 3.6y x −⨯−+；②小明第一层投篮没能投进（2）<【分析】（1）①根据表格数据可得篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，设抛物线解析式为()24 3.6y a x =−+，然后利用待定系数求解析式即可；②当 6.5x =时，求出y 的值与3.05比较即可；（2）根据第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相同，可得第二次投篮训练y 与x 满足的函数解析式为()2=0.1 3.6y x b −⨯−+，把()6.5,3.05代入求得=6.52b −，根据题意可得14d =，2 6.52d =−，即可求解． 【小问1详解】解：①根据表格数据可得，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6m ，∵点A 为坐标原点，以水平地面为x 轴建立坐标系，∵当3x =和5x =时，纵坐标都是3.5， ∴抛物线对称轴为3542x +==， ∴抛物线的顶点坐标为()4,3.6，∴设抛物线的解析式为()24 3.6y a x =−+，把()0,2代入解析式得，()22=4 3.6a x −+， 解得0.1a =−，∴y 与x 满足的函数解析式为()2=0.14 3.6y x −⨯−+；②当 6.5x =时，()20.1 6.54 3.60.625 3.6 2.975 3.05y =−⨯−+=−+=<，∴小明第一层投篮没能投进；【小问2详解】解：∵第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相同，∴第二次投篮训练y 与x 满足的函数解析式为()2=0.1 3.6y x b −⨯−+，把()6.5,3.05代入得，()20.1 6.5 3.6=3.05b −⨯−+，解得1 6.52b =+（舍），2 6.52b =−，由题意可得，14d =，2 6.52d =−， ∴21d d >，故答案为：<． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意求二次函数的解析式是解题的关键．26. 【答案】（1）1t =（2）112t −<< 【分析】本题主要考查了二次函数的性质 （1）依据题意，若m n =，从而对称轴是直线1312x t −+===，进而可以得解； （2）把(1,)M m −，(3,)N n 代入解析式2y ax bx c =++，根据c m n <<得出t 的取值范围．【小问1详解】解：由题意，若m n =，∴对称轴是直线1312x t −+===．即1t =；【小问2详解】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为x t =，2b x t a ∴=−=， 2b at ∴=−，22y ax atx c ∴=−+，(1,)M m −，(3,)N n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，∴296a at c m a at c n ++=⎧⎨−+=⎩①②， ①−②得，88m n a at −=−+，m n <，0m n ∴−<，880a at ∴−+<，0a >，1t ∴<，由①得，2m c a at −=+，c m <，0m c ∴−>，20a at ∴+>，0a >，12t ∴>−， t ∴的取值范围为112t −<<． 27. 【答案】（1）30DCP α∠=+︒（2）见解析 （3）CH PH =，证明见解析【分析】（1）由点F 与点A 关于直线DE 对称，ADP α∠=，则AD DF =，PDF ADP α∠=∠=，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，则AD CD =，AB CD ∥，得到DF CD =，180120ADB BAD ∠=︒−∠=︒，则DCP CFD ∠=∠，1202CDF α∠=︒−，即可得到()1180302DCP CFD CDF α∠=∠=︒−∠=︒+，得到结论； （2）由点F 与点A 关于直线DE 对称得到AP FP =，DPF DPA ∠=∠，则APF 是等腰三角形，由30CFD DPF PDF DPF αα∠=︒+=∠+∠=∠+得到30DPF ∠=︒，则30DPF DPA ∠=∠=︒，即得到60APF ∠=︒，结论得证；（3）连接,PB BD ，证明()SAS DAF BAP ≌，则DF PB =，再证ABD △是等边三角形，则BD AB AD DF PB ====，由BG DP ⊥于点G 得到PG GD =，由CD GH ∥得到1PH PG CH GD ==，猜想得证．【小问1详解】解：∵点F 与点A 关于直线DE 对称，ADP α∠=，∴AD DF =，PDF ADP α∠=∠=，∵在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，∴AD CD =，AB CD ∥，∴DF CD =，180120ADB BAD ∠=︒−∠=︒，∴DCP CFD ∠=∠，∵1202CDF ADC ADP PDF α∠=∠−∠−∠=︒−， ∴()1180302DCP CFD CDF α∠=∠=︒−∠=︒+， 即30DCP α∠=+︒；【小问2详解】∵点F 与点A 关于直线DE 对称，∴AP FP =，DPF DPA ∠=∠，∴APF 是等腰三角形，∵30CFD DPF PDF DPF αα∠=︒+=∠+∠=∠+，∴30DPF ∠=︒，∴30DPF DPA ∠=∠=︒，∴60APF ∠=︒，∴APF 是等边三角形；【小问3详解】如图所示，猜想CH PH =，证明如下：过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．连接,PB BD ，∵APF 是等边三角形，∴,60AF AP PAF =∠=︒，∴60PAF BAF BAF BAD BAF ∠+∠=︒+∠=∠+∠，∴PAB FAD ∠=∠，∵DA BA =，∴()SAS DAF BAP ≌，∴DF PB =，∵,60AB AD BAD =∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴BD AB AD DF PB ====，∵BG DP ⊥于点G ，∴PG GD =，∵CD GH ∥， ∴1PH PG CH GD==， ∴CH PH =【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．28. 【答案】（1）()12,1Q（2）(3,0)C −或(3,0)C（3）47m ≤≤【分析】(1)根据定义，计算确定即可．(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可．【小问1详解】∵()1,2P ，()12,1Q ，()24,1Q −−，()38,2Q ，∴1221⨯=⨯，()()1421⨯−≠⨯−，1822⨯≠⨯，∴点P 的等积点是()12,1Q ，故答案为：()12,1Q ．【小问2详解】设点(),Q x y ，∵()1,2P ，点Q 是P 点的等积点，∴2x y =即12y x =，故点Q 在直线12y x =上，∴点1,2Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当点O 平移得到点P 时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，∵O ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形， ∴点1,2Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C ， ∴点11,22C x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∵点11,22C x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭在x 轴上， ∴点1202x +=， 解得4x =−，∴点()23,0C −；当点P 平移得到点O 时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，∵O ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形， ∴点1,2Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ， ∴点11,22C x x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∵点11,22C x x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭在x 轴上， ∴点1202x −=， 解得4x =，∴点()13,0C ；综上所述，点(3,0)C −或(3,0)C ．【小问3详解】设点(),Q x y ，∵()1,2P ，点Q 是P 点的等积点，∴2x y =即12y x =， 故点Q 在直线12y x =上， 设点B 的等积点坐标(),x y ， ∵11,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴12x y =即2y x =， 故点B 的等积点在直线2y x =上，∵点(5,)M m ，点N 是以点M 为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T 上的任意一点， 设该正方形为EFGH ，则(4,1),(4,1),(6,1),(6,1)E m F m G m H m +−−+，∵A 为R 的等积点，R 在PB 上，∴每一点A 在直线12y x =与直线2y x =在第一象限交成的锐角内部或边上， 当(6,1)G m −在直线12y x =上时，m 取得最小值， 故1162m −=⨯， 解得4m =；当(4,1)E m +在直线2y x =上时，m 取得最大值，故124m +=⨯，解得7m =；故m 的取值范围是47m ≤≤．【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键．。

北京汇文中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C．D．与y＝－12x2＋1，则(．开口大小相同C．指出下列事件中是必然事件的是（）．某人射击一次，中靶．抛掷两颗骰子，点数之和为16为实数，如果220a b+=，那么，2，3的3张标签中，任取一张，得到的⊙O中，弦AB＝8cmA．3cm4cm CA．圆的面积y与它的半径二、填空题12．若m是一元二次方程25-x x是．13．已知a，b是一元二次方程x 14．如图，在长为32米、宽为20余下部分种植草坪，要使草坪的面积为为．15．如图，以等腰直角三角形ABC为边作等边△DCE．B、E在C、16．如图，边长为2的正方形ABCD∠=︒，当动点F从点C出发向终点30AGBBG的最大值是．三、解答题17．用适当方法解方程：(1)2470x x --=(2)3(21)42x x x +=+18．已知：关于x 的方程2234x x k +=-有两个不相等的实数根（其中k 为实数）．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为非负整数，求此时方程的根．19．如图，函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，(0,3)B ，(1,4)C ．(1)求b ，c 的值，并直接写出顶点坐标；(2)在图2中画出这个函数的图象；（不必列表）(3)当03x ≤≤时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．20．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l 及直线l 外一点P .求作：直线PQ ，使//PQ l .作法：如图，①在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于,A B 两点；②连接PA ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ；③作直线PQ .所以直线PQ 就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(1)AC的长等于________；(1)拱门上的点的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/mx 23681012竖直高度/m y 4 5.47.2 6.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.288(5)7.2y x =--+，若记“原拱门度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为1d ，“新拱门”的跨度为2d ，则1d __________2(d 填“>”、“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系中，抛物线()222y ax a x =-++经过点()2,A t -，(),B m p ．(1)若0=t ，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；(2)若0t <，点(),C n q 在该抛物线上，m n <且334m n +≤-，请比较p ，q 的大小，并说明理由．27．如图，ABC 中，60AB AC BAC =∠<︒，，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到点D ，点E 与点D 关于直线BC 对称，连接CD CE DE ，，．(1)依题意补全图形；(2)判断CDE 的形状，并证明；(3)请问在直线CE 上是否存在点P ，使得PA PB CD -=成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点．(1)如图1，已知点()0,3A ，()2,3B ；。

2024—2025学年度第一学期九年级数学学科10月限时作业一、选择题（每题3分，共30分）1．方程二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程的根的情况（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）A ．且B ．C ．且D ．5．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．6．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若二次函数的图象经过点，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线B ．图象有最低点C ．在对称轴的左侧，随着的增大而增大D ．顶点坐标是9．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，则下列方程符213x x +=1,3,1-1,3,1--1,3,1-1,3,1210x -=2y ax =()3,6A -()3,6-()3,6--()6,3-()6,3x 210ax x -+=a 14a ≤0a ≠14a ≤14a ≥0a ≠14a ≥23y x =()2312y x =++()2312y x =-+()2321y x =-+()2321y x =--28100x x -+=()2854x +=()2854x -=()246x +=()246x -=()221y x =+-()()()1231,,2,,3,A y B y C y --1,23,y y y 132y y y >>231y y y >>123y y y >>312y y y >>231y x =-0x =y x ()0,1-x合题意的是（ ）A．B ．C ．D ．10．抛物线中，与的部分对应值如表：13468182018下列结论中，正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．对称轴是直线C ．当时，随的增大而减小D ．当时，随的增大而增大二．填空题（每题3分，共18分）11．一元二次方程的一个解为，则______．12．设是关于的方程的两个根，则______．13．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面．14．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为______．15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是______．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．()11902x x +=()190x x -=()11902x x -=()190x x +=()20y ax bx c a =++≠y x xy4x =4x >y x 45x <．y x 240x x a -+=1x =a =12,x x x 2320x x -+=12x x +=7m /s x m 2749x x -．A 2m 5m 6m OA m 23y ax bx =++x ,A B B ()3,0()2,3C AB三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）17．解下列方程：（1）；（2）．18．已知抛物线经过点．（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；（2）连结，与该抛物线的对称轴交于点，求点的坐标．19．阅读材料，解答问题．解方程：解：把视为一个整体，设，则原方程可化为：解得：或以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上例，请用换元法解答问题：已知，求的值．20．已知（1）当为何值时，？（2）对于任意实数，试比较与的大小．21．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间的关系如图所示：247x x -=2352x x -=2y x bx c =++()()3,0,0,3A B -AB P P ()()2411041240x x ---+=41x -41x y -=210240y y -+=126,4y y ==416x ∴-=1275414,,44x x x -=∴==()()2222135x y xy +++-=22x y +292,214A a aB a =-+=+a 2A B =a A B y x ()040x <<（1）求与之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？22．如图，抛物线，与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，直线的函数解析式为．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．23．【提出问题】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下操作步骤：①连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记的交点为．②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线．【观察实验】某数学兴趣小组在探究时发现在轴上取几个特殊位置的点，可以求出相对应的点的坐标；例如：取点，则点的坐标为______；取点，过作直线的垂线，垂足为点．，在中，根据勾股定理得：y x 214y x mx n =-++x B C ,B C y A AC 122y x =-+A C ,AC M ABCM M A ()1,2--x M AM AM 1l M x 2l 12,l l P x M P L x M P ()1,0M -P ()4,0M P 1x =-B ()4,,P y PM y ∴∴=-Rt PAB △（用含的代数式表示）；在的垂直平分线上，，由此可列关于的方程：解得：．．【解决问题】（1）请帮忙完成以上填空；（2）在轴上多次改变点的位置，按上述作图方法得到相应点的坐标，并完成下列表格：的坐标的坐标（-4，___）（1，___）（3）请你帮该数学兴趣小组求出点所在曲线的解析式（满足的函数关系式）；（4）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，则的取值范围是______：()2222252PA PB AB y =+=+--y P AM 22,PA PM PM PA ∴=∴=y ()()22252,y y -=+--294y =-294,4P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭x M P M ()4,0-()3,0-()1,0-()1,0()3,0()4,0 P()3,2--()1,1--()2,5-294,4⎛⎫- ⎪⎝⎭(),P x y L ,x y M 76x -<<y【结论应用】（5）过点任作直线交曲线于点（点在点的左侧），分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，取的中点，连接，求的度数；【拓展提升】（6）若点，猜想曲线的最高点的坐标为______，说明理由；A ()0y kx b k =+≠L D E ,D E D E ,x F G ,FG K DK EK ,DKE ∠()(),0A m d d <L。