2.1圆-(1)

2.1 圆〔1〕 教学案学习目标：1、理解圆的有关概念；2、理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系；3、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系． 学习重点：1、理解圆的有关概念；2、理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系． 学习难点：对集合概念的理解 学习过程： 一、情境创设1、日常生活中，我们见到的汽车、摩托车、自行车等交通工具的车轮是什么形状的？2、为什么要做成这种形状？3、假设改成其他形状〔如正方形、三角形〕，会发生怎样的情况？4、操作： ①固定点O②将线段OP 绕点O 旋转一周③观察点P 运动所形成的图形的形状．二、探索活动 活动一 1、圆的定义〔1〕圆是怎么形成的？ 〔2〕如何画圆？〔3〕圆的表示方法：以O 为圆心的圆，记作“______〞，读作“________〞 2、在平面内，点与圆的位置关系〔1〕在平面内，点与圆有哪几种位置关系？_________、_________、__________. 〔2〕画一个圆，分别在圆内、圆上、圆外各取一个点，并比拟圆内、圆上、OP··圆外的点到圆心之间的距离与半径的大小，你能发现什么？圆上各点______________________________也就是说，_________________________________________________；圆内各点__________________________________________；也就是说，_________________________________________________；圆外各点__________________________________________．也就是说，_________________________________________________；〔3〕归纳、总结得出结论．如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇒_________；点P在圆上⇒__________；点P在圆外⇒__________．逆命题是否成立？符号“⇔〞读作“等价于〞，表示从左端可以推出右端，从右端可以推出左端．活动二画一画1、画线段PQ，使得PQ＝4cm．2、(1)画出以下图形到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．(2)在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．(3)在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来．三、例题分析例1：⊙O的半径为3cm，A为线段OP的中点，当OP满足以下条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：(1)OP=4cm；(2) OP=6cm；(3) OP=8cm．B例2：(1)矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点A 、B 、C 、D 是否在以点O 为圆心的同一个圆上？为什么？(2)如果E 、F 、G 、H 分别为OA 、OB 、OC 、OD 的中点，点E 、F 、G 、H 在同一个圆上吗？为什么？四、随堂练习1．⊙O 的直径为8cm ，如果点P 到圆心O 的距离为，那么点P 与⊙O 有怎样的位置关系？如果点P 到圆心O 的距离为4cm 、3cm 呢？2．用图形表示到定点A 的距离小于或等于2cm 的点的集合．3．：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，M 为BC E 在以点M 为圆心的同一圆上．五、归纳与小结 六、作业：见作业纸作业纸班级 姓名1．到点O 的距离等于8cm 的点所组成的图形是________________． 2．⊙O 的半径为5cm ．(1)假设OP ＝3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O__________； (2)假设OQ ＝5cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O__________； (3)假设OR ＝7cm ，那么点R 与⊙O 的位置关系是：点R 在⊙O__________；B3．如果⊙A 的直径为6cm ，且点B 在⊙A 上，那么AB ＝______cm ．4．正方形ABCD 的边长为1cm ，对角线AC 与BD 相交于点O ，以点A 为圆心，1cm 长为半径画圆，那么点B 、C 、D 、O 与⊙A 的位置关系为：点B 在⊙A______，点C 在⊙A______，点D 在⊙A______，点O 在⊙A________．5．在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O 的半径为5cm ，那么点P(3，－4)与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O_______．6.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm ，AB=5cm ，CD ⊥AB 于D ，假设以点C 为圆心，为半径画圆,那么点D 与⊙C 的位置关系为〔 〕A.点D 在⊙C 内B. 点D 在⊙C 上C.点D 在⊙C 外D.点D 与⊙C 的关系无法确定7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC ＝3，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．以B 为圆心，BC 为半径画圆，试判断点A 、C 、E 、F 与⊙B 的位置关系．8．如图，⊙O 的半径r=10cm ，圆心O 到直线l 的距离OD=6cm ，在直线l 上有A 、B 、C 三点，且AD=6cm ，cm ．问A 、B 、C 三点与⊙O 的位置关系各是怎样？9.以矩形ABCD 的顶点A 为圆心画⊙A ，使得B 、C 、D 中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点在⊙A 外，假设BC=12,CD=5.那么⊙A 的半径r 的取值范围是___ _______ _.·ABCEF·。

§【知识点总结】一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。

例1：下列说法：①经过点P的圆又无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P 的圆有无数个；④二、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆内⇔d＜r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d＞r例2：在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（）A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外三、圆中的相关概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3）顶点在圆心的角叫做圆心角（4）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.（5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例3：下列说法中不正确的是：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆.【典例展示】题型一性质的简单应用例1：如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a题型二简单的证明题例2：如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD（1）试说明A、E、C、F四点共圆（2）设线段BD与（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND题型三分类讨论题例3：某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。

苏科版数学九年级上册《2.1 圆》教学设计3一. 教材分析苏科版数学九年级上册《2.1 圆》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上，进一步探究圆的相关概念、性质和运算。

本节课的主要内容有：圆的定义、圆的性质、圆的标准方程、圆的一般方程。

这些内容不仅是九年级数学的重点，也是难点，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对于平面几何的基本概念和性质有一定的了解。

但学生在学习圆的相关知识时，需要将已有的知识进行拓展和迁移，这对于学生的思维能力是一个挑战。

另外，学生对于圆的实际应用可能较为陌生，需要通过实例来加强理解。

三. 教学目标1.理解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程和一般方程。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.通过对圆的学习，提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解。

2.圆的标准方程和一般方程的推导和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT，包括圆的定义、性质、方程等内容。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际案例，如车轮的形状，引导学生思考圆的定义和性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现圆的定义、性质、方程等内容，引导学生理解和掌握。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个圆，尝试写出其标准方程或一般方程，并进行讲解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，检测对圆的知识的理解和掌握。

教师及时批改，反馈学生的错误和问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考圆的实际应用，如圆的周长、面积等，提高学生的数学应用能力。

6.小结（5分钟）学生总结本节课所学内容，教师进行补充和讲解。

六年级上册数学教案2.1 圆的认识（1）｜西师大版一、教学内容今天我要为大家教授的是六年级上册数学教案中的第二部分内容，主要涉及圆的认识。

我们将深入探讨圆的基本属性和特点，理解圆的半径与直径的概念，以及它们之间的关系。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够掌握圆的定义，理解半径和直径的概念，并能够运用这些知识解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：理解圆的定义，掌握半径和直径的概念及它们之间的关系。

难点：如何让学生们理解并运用圆的性质解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体教学设备。

学具：练习本、铅笔、圆规、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入：请大家观察周围的环境，找一找有哪些物品是圆形的。

2. 知识讲解：我们来学习圆的定义。

圆是平面上所有与给定点距离相等的点的集合。

这个给定的点叫做圆心，所有与圆心等距离的点称为半径。

通过圆心并且两端都在圆上的线段称为直径。

3. 例题讲解：请看这个例题，一个圆的直径为10cm，求这个圆的半径。

通过这个例题，学生们可以理解直径和半径的关系。

4. 随堂练习：请同学们用圆规和直尺画一个半径为5cm的圆，并用量尺测量其直径，看看是否为10cm。

5. 作业布置：请同学们课后画出一个直径为20cm的圆，并计算其半径。

六、板书设计圆的定义圆：平面上所有与给定点距离相等的点的集合圆心：给定的点半径：与圆心等距离的点直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段七、作业设计作业题目：请同学们画出一个直径为20cm的圆，并计算其半径。

答案：半径为10cm。

八、课后反思及拓展延伸课后反思：通过本节课的教学，我发现学生们对圆的定义和半径、直径的概念有了更深入的理解。

但在实际操作中，部分学生对圆规和直尺的使用还不够熟练，需要在课后加强练习。

拓展延伸：下一步，我们可以学习圆的周长和面积，让同学们更深入地了解圆的性质。

重点和难点解析在刚才的教学内容中，有几个重要的细节是需要我们重点关注的。

一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题 如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】 由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】 如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】 连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形． 又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】 连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】 连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。