数学史 第10讲 几何学的突破

《数学简史》知识提要1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。

主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。

2 数学文化的特点数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。

数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。

（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。

3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。

第二章古代希腊数学主题：论证数学的形成与发展1论证数学的开端：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。

（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。

他的逸闻趣事具有很好的教育意义。

（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。

主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了2是无理数）的发现。

（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。

这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。

这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。

）3亚历山大时期（全盛时期）主要代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯（1）欧几里得：主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。

他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。

数学史复习资料一、选择题1、对古代埃及数学成就的了解主要来源于(A)A纸草书 B羊皮书 C泥版 D金字塔内的石刻2、对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于(C)A纸草书 B羊皮书 C泥版 D金字塔内的石刻3、《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的(B)A棱柱 B棱锥 C棱台 D楔形体4、射影几何产生于文艺复兴时期的(C)A音乐演奏 B服装设计 C绘画艺术 D雕刻艺术5、欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后第一位有影响的数学家是(A)。

A斐波那契 B卡尔丹 C塔塔利亚 D费罗6、被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是(B)A欧几里得 B泰勒斯 C毕达哥拉斯 D阿波罗尼奥斯7、被称作“非欧几何之父”的数学家是(D)A波利亚 B高斯 C魏尔斯特拉斯 D罗巴切夫斯基8、对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”其发现者是(C)A伽利略 B哥白尼 C开普勒 D牛顿9、公元前世纪数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？(C) A不可公度数 B化圆为方 C倍立方体 D三等分角10、印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是(C)A阿耶波多 B婆罗摩笈多 C马哈维拉 D婆什迦罗11、最早证明了有理数集是可数集的数学家是(A)A康托尔 B欧拉 C魏尔斯特拉斯 D柯西12、下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？(C)A阿耶波多 B马哈维拉 C奥马海亚姆 D婆罗摩笈多13、在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是(A) A希尔伯特 B庞加莱 C罗素 D F克莱因14、与祖暅原理本质上一致的是(D)A德沙格原理 B中值定理 C泰勒定理 D卡瓦列里原理．15、我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(C)A秦九韶 B杨辉 C朱世杰 D贾宪．16、就微分学与积分学的起源而言(A)A积分学早于微分学 B微分学早于积分学 C积分学与微分学同期 D不确定．17、在现存的中国古代数学著作中最早的一部是(D)A《孙子算经》 B《墨经》 C《算数书》 D《周髀算经》．18、中国古典数学发展的顶峰时期是(D)A两汉时期 B隋唐时期 C魏晋南北朝时期 D宋元时期．19、大数学家欧拉出生于（A）A瑞士 B奥地利 C德国 D法国．20、首先获得四次方程一般解法的数学家是(D)A塔塔利亚 B卡当 C费罗 D费拉利．21、世界上讲述方程最早的著作是（ A）A.中国的《九章算术》B.阿拉伯花拉子米的《代数学》C.卡尔丹的《大法》D.牛顿的《普遍算术》22.《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为（BA.托勒玫B.帕波斯C.阿波罗尼奥斯D.丢番图23.美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是（AA.六十进制B.十进制C.五进制D.二十进制24."一尺之棰，日取其半，万世不竭"出自我国古代名著（B）。

中国数学史各阶段的特点1.引言1.1 概述中国数学史是指中国数学发展的历史过程，经历了古代、中世纪和近代三个阶段。

每个阶段都具有自己独特的特点和贡献。

本文将详细探讨每个阶段的数学特点，并总结各个阶段的特点，同时对未来发展方向进行展望。

在古代数学阶段，中国数学的特点主要体现在其对整数、代数、几何和算法的研究上。

古代中国人培养了一种强大的计算能力，他们通过日常生活中的实际问题激发了数学研究的动力。

重要的数学著作如《九章算术》和《孙子算经》被广泛传播和使用，成为后来数学发展的基础。

古代数学家在几何学上取得了突破，发展了割圆术和尺规作图法等重要的几何方法。

此外，他们还在代数学方面引入了象数、算术和代数基本理论，使得数学在提升计算能力的同时也开始具备了抽象思维能力。

进入中世纪数学阶段，中国数学面临了一定的停滞和衰退。

这个时期受到了外来文化的影响，特别是印度和阿拉伯数学的传入。

因此，在一段时间内，中国数学的发展主要借鉴了这些外来数学的成就。

然而，尽管主要受外来文化的影响，中国数学家依然在算法、代数和几何等方面进行了创新。

值得一提的是，中世纪时期中国数学家发展了一种新的计算方法，即推算和筹算，这种方法将数学与实际问题相结合，为后来数学的应用奠定了坚实基础。

进入近代数学阶段，中国数学经历了现代科学的兴起和西方数学的传入。

这个时期，中国数学面临了重大的挑战和机遇。

中国数学家开始研究西方的数学方法和理论，并通过翻译和借鉴逐渐吸收了西方数学的成就。

这使得中国数学在代数、几何、数论和概率论等领域取得了突破性的进展。

同时，中国数学家也借鉴了现代科学研究的方法和理念，将实证主义和数学方法相结合，为中国数学的发展开辟了新的道路。

总结各个阶段的特点，古代数学以其强大的计算能力和几何研究的突破而闻名；中世纪数学虽然受到外来文化的影响，但仍然在算法和几何等方面有所创新；近代数学则面临着西方数学的传入和现代科学思想的冲击，为中国数学发展带来了宝贵的机遇和挑战。

数学史上的重要数学家与突破性成果数学是一门古老而重要的学科，它的发展离不开无数杰出的数学家们的贡献。

他们通过不懈的探索和努力，不仅为我们揭示了数学的奥秘，还取得了突破性的成果。

本文将介绍数学史上的一些重要数学家及其所取得的突破性成果。

欧几里得（Euclid）欧几里得是古希腊的数学家，他被誉为几何学之父。

他的著作《几何原本》是世界上流传最广的数学著作之一。

在这本著作中，欧几里得以逻辑严密的方式阐述了几何学的基本概念和定理。

他的突破性成果在于建立了几何学的公理化体系，奠定了几何学的基础。

阿基米德（Archimedes）阿基米德是古希腊的物理学家、数学家和工程师，他被称为古代最伟大的数学家之一。

他的突破性成果包括浮力定律、杠杆原理和球的体积计算公式等。

阿基米德的研究对数学、物理学和工程学的发展产生了深远的影响。

牛顿（Isaac Newton）牛顿是17世纪英国的科学家和数学家，也是现代物理学和数学的奠基人之一。

他发明了微积分学，并通过其研究揭示了物体运动的规律，提出了万有引力定律。

牛顿的突破性成果使得人类对宇宙的理解有了新的突破，对后来的科学研究产生了深远的影响。

高斯（Carl Friedrich Gauss）高斯是18世纪德国的数学家，他是现代数学的开创者之一。

他在数论、代数、几何和物理学等领域都有重要贡献。

高斯提出了正规分布的概念，并建立了高斯函数，这对统计学和概率论有很大的影响。

他还发现了多边形面积的公式和二次互反律等重要结果。

黎曼（Bernhard Riemann）黎曼是19世纪德国的数学家，他对数学分析和几何学的发展做出了巨大的贡献。

他提出了黎曼几何的概念，将几何学从欧氏几何扩展到了更一般的情况。

黎曼的研究开创了拓扑学和微分几何的新领域，为现代数学的发展奠定了基础。

这些数学家以及他们所取得的突破性成果为数学的发展做出了重要贡献。

他们的工作不仅拓宽了人类对数学的认识，还为后代的数学家们提供了宝贵的启示。

《数学史》习题总体要求每一讲写一600字左右的读书笔记，30% 记录学期总成绩。

第一讲数学的起源与早期发展1、您对《数学史》课程的期望。

2、谈谈您的理解：数学是什么?3、数学崇拜与数学忌讳。

4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。

5、数的概念的发展给我们的启示。

6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。

第二讲古代希腊数学1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。

2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？3、简述欧几里得《原本》的现代意义？4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。

5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。

6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？第三讲：中世纪的东西方数学I1、简述刘徽的数学贡献。

2、用数列极限证明：圆内椄正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。

3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。

5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。

6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。

第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？2、有关零号“0”的历史。

3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。

4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。

5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。

6、求斐波那契数列的通项公式。

第五讲：文艺复兴时期的数学1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。

2、简述符号“＋”、“－”的历史。

3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。

4、学习珠算有现实作用吗？5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。

数学发展史中的几次重大思想方法的突破首先，公理化方法是数学发展史中一次重要的思想方法的突破。

在古希腊数学中，几何学以欧几里德的《几何原本》为代表，第一次使用公理化方法来建立数学理论体系。

公理化方法是基于一系列不需要证明但被普遍接受的基本命题（公理）来建立数学理论。

这种方法赋予了数学以逻辑和严谨性，成为后来数学发展的基石。

其次，演绎推理是另一个重大的思想方法的突破。

亚里士多德是演绎推理的先驱者，他系统地阐述了逻辑学和演绎推理的原理。

演绎推理是通过采用一套准则和规则，从已知的命题出发，以无可争辩的方式推出新的结论。

这一思想方法的突破加深了数学证明的严谨性和逻辑性，并为后来符号逻辑和集合论的发展奠定了基础。

第三，无限元素和无穷极限的概念的引入是数学史中的重大突破。

在古希腊数学中，人们主要关注有限的几何图形和数量，直到十七世纪才发展出对无限的概念。

这个突破是由数学家如托勒密、阿基米德和爱因斯坦的贡献推动的。

无限元素和无穷极限的概念赋予了数学一种新的动力和可能性，使得数学能够处理更为复杂的问题，并在微积分的发展中发挥了重要作用。

最后，抽象代数的发展也是一次重要的思想方法的突破。

抽象代数通过研究代数结构中的一般性质和规律，摆脱了具体的数值和几何直观，深化了对数学结构本质的理解。

这一突破由数学家如埃瓦里斯特·加罗华、诺特·亨德里克·阿贝尔和埃米尔·诺特贝克推动，对现代数学的发展起到了关键的作用，例如群论和环论等数学分支。

这些重大思想方法的突破不仅创造了数学的新领域和方法，也为科学和技术的发展提供了坚实的基础。

它们推动了数学从实用主义的学科向一门更为抽象和理论的学科的转变，使得数学的研究更加深入、广泛和严谨。

无论是公理化方法、演绎推理、无限元素和无穷极限，还是抽象代数的突破，它们都是数学史上的重要里程碑，对数学的发展产生了深远的影响。

数学史第十讲：中国数学发展简史（上）导言中国是世界上最早有数学发展的国家之一，中国古代数学的发展历史悠久，影响深远。

本文将简要介绍中国古代数学的发展，重点关注中国数学的早期发展和重要成就。

中国古代数学的起源中国古代数学起源于原始社会时期，古人在实际生活中通过计算和测量解决问题。

最早的数学活动主要集中在农业、商业和建筑等领域。

古代中国人通过实际经验逐渐积累了一定的数学知识。

商周时期的数学成就在商、周时期，古代中国的数学活动开始系统化。

当时的古人创造了一套独特的计数制度，称为“六十进制”。

这一计数制度是基于六十个基本符号，并且有一定的进位规则。

这种计数制度的特殊性使其对后来的数学发展产生了深远的影响。

此外，商、周时期的古代中国人还开始研究几何学和代数学。

他们在实际工程建设中运用几何知识来解决测量计算问题，并发展了一些几何方法。

在代数学方面，他们开始应用方程来解决问题，并发展出了一些基本的代数运算法则。

秦汉时期的数学进步在秦汉时期，中国的数学发展取得了显著进步。

这一时期的数学活动主要体现在“史书”和“九章算术”两部著作中。

“史书”是当时最早的数学著作，记录了中国古代数学的一些成就。

其中包括数论、代数学和几何学等方面的内容。

这对后来的数学发展起到了重要的引导作用。

“九章算术”是中国古代数学的一部重要著作，共有九章。

它包含了古代中国数学的基本概念、运算法则和解题方法。

其中最著名的章节是“方程章”，它主要介绍了一元二次方程的解法和应用。

魏晋南北朝时期的数学繁荣在魏晋南北朝时期，中国的数学繁荣达到了顶峰。

当时出现了一系列重要的数学家和数学著作，对中国古代数学的发展产生了深远的影响。

其中最著名的数学家是刘徽，他是中国古代数学史上的重要人物之一。

刘徽的主要贡献是建立了一套完整的天元术，解决了很多几何和代数问题。

他的著作《九章算术注》被后人广泛传颂，并对后来的中国数学发展产生了深远影响。

此外，魏晋南北朝时期还出现了很多其他的数学著作，如刘徽的《神农算经》、嵇中散的《数书九章》等，都对中国古代数学的发展起到了积极的推动作用。

数学史第十讲中国数学发展简史数学史第十讲：中国数学发展简史关键词：中国数学，历史发展，数学思想，古代数学，近现代数学一、引言中国是世界上最古老的文明之一，其数学发展源远流长，且在不断发展过程中，形成了自己独特的数学思想和体系。

从原始社会的结绳记事到现代数学，中国的数学发展见证了无数智慧的闪光。

本篇文章将带您探寻中国数学的发展历程，从古代的数学成果到近现代的数学发展，感受中国数学的魅力。

二、中国古代数学1、数学起源与背景在中国的远古时代，数学便已萌芽。

随着生产力的提高和土地测量、赋税、水利等实际需要的增加，数学逐渐成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

2、春秋战国时期的数学成就春秋战国时期，中国的数学成就开始显现。

《周髀算经》和《九章算术》的问世，标志着中国古代数学体系的初步形成。

其中，《周髀算经》是世界上最古老的数学著作之一，阐述了勾股定理及其应用。

秦汉时期，中国的数学思想进一步发展。

这一时期，人们对分数、小数的认识日益深化，十进位值制记数法应运而生，勾股定理得到广泛应用。

此外，赵爽的“勾股圆方图”和刘徽的“割圆术”也是秦汉时期数学的重要成果。

4、三国两晋南北朝时期的数学成就三国两晋南北朝时期，中国的数学成就达到了新的高度。

祖冲之的“圆周率”和王孝光的“沈括算图”是这一时期数学的杰出代表。

此外，这一时期还出现了《算经十书》等重要的数学著作。

三、中国近现代数学1、隋唐时期的数学思想和发展隋唐时期，中国的数学思想进一步发展，唐代的《算经十书》成为了一个时代的数学经典。

这一时期，人们开始关注数学的实际应用，如天文学、工程学等。

2、宋元时期的数学成就和发展宋元时期，中国的数学成就达到了一个新的高峰。

杨辉的“杨辉三角”和朱世杰的“四元术”是这一时期数学的杰出代表。

此外，这一时期还出现了《算学启蒙》等重要的数学著作。

明清时期，中国的数学思想逐渐走向封闭和保守，但仍有不少数学家在不懈探索。

这一时期，徐光启的《几何原本》、李善兰的《代数学》等著作对于中国的数学发展起到了推动作用。

数学领域的重要发现与突破数学作为一门科学，一直以来都在不断地发展和进步。

在数学的发展过程中，有许多重要的发现和突破，这些发现和突破对于数学的发展和应用产生了深远的影响。

本文将介绍一些数学领域的重要发现与突破，展示数学的魅力和重要性。

一、无理数的发现在古希腊时期，人们已经知道了有理数的存在，即可以用两个整数的比表示的数。

但是，直到公元前5世纪，数学家毕达哥拉斯发现了一个惊人的事实，即存在着一类无法表示为有理数的数，被称为无理数。

最著名的无理数便是开方之后不能化为有理数的数，比如2的平方根、3的平方根等。

这一发现打破了人们此前对于数的理解，开创了数学发展的新篇章。

二、微积分的创立微积分是数学的重要分支，它的创立对于现代科学和工程学的发展具有重要意义。

17世纪著名数学家牛顿和莱布尼茨几乎同时发现了微积分的基本原理和方法。

微积分的创立使得人们能够对变化率进行精确的描述和计算，从而为物理学、经济学和工程学等学科提供了强有力的工具。

微积分的发展推动了科学和技术的进步，也是数学发展的重要里程碑之一。

三、非欧几何的提出传统的几何学是以欧几里德几何为基础的，而19世纪初，数学家黎曼和洛巴切夫斯基分别提出了非欧几何的概念。

非欧几何与传统几何学不同，它不依赖于平行公理，从而为几何学提供了一种全新的视角。

非欧几何的提出不仅在数学领域引起了轰动，还在哲学和物理学等领域产生了深远的影响，对于人们对于空间的理解和思考方式带来了革命性的改变。

四、费马大定理的证明费马大定理是数学史上的一颗明星问题，它由法国数学家费马在17世纪提出，直到1994年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完整地证明。

费马大定理宣称对于大于2的整数n，无法找到三个不全为零的整数a、b、c，使得a^n + b^n = c^n成立。

这个问题在数学界引起了长期的争议和研究，直到怀尔斯的证明才告一段落。

费马大定理的证明不仅是数学史上的一大突破，也表明了数学领域的持续发展和困难问题的解决能力。

数学史第十讲中国数学发展简史1引言中国是世界上最早有完整数学体系的文明之一。

中国数学在古代取得了很大的成就，对世界数学的发展有着深远的影响。

本文将从大致概述的角度，简要介绍中国数学的发展历程。

古代数学的起源最早的数学文化可追溯到商代和周代。

商代的甲骨文中可以找到一些数学记录，例如使用简单的加法、减法和乘法记数。

随着周代开始公式化的农业和贸易，数学逐渐得到了发展。

先秦数学思想先秦时期，中国的数学开始形成自己的思想体系。

孔子提出了“五经之算”并将数学视为教育的基础。

《周髀算经》是当时最早的数学手册之一，其中包括了复杂的方程和几何问题。

刘徽的数学贡献刘徽是东晋时期的数学家，被誉为中国古代数学的奠基人之一。

他所撰写的《九章算术》是中国最早的数学专著之一。

这本书涵盖了代数、几何和三角学等多个领域，奠定了中国古代数学的基础。

南宋数学的繁荣南宋时期，中国数学达到了一个高峰。

数学家杨辉提出了杨辉三角形，并研究了它的各种性质。

他的贡献为组合数学的发展打下了基础。

同时，南宋还出现了一位著名的数学家秦九韶，他研究了无穷小量和几何中的切线问题，为微积分的发展做出了重要贡献。

明清时期的数学衰落明清时期，中国的数学逐渐衰落。

主要原因是中国的文化重心转向了文学和政治，数学的地位逐渐被忽视。

数学的教育和研究水平也大幅下降，数学家们的成就较少突出。

结论中国古代数学在世界数学发展史上有着重要的地位。

从最早的古代数学起源到南宋时期的繁荣，中国数学的成就对于后世产生了深远的影响。

然而，明清时期的数学衰落导致了中国数学在全球范围内的边缘化。

但是，我们应该认识到中国古代数学的重要性，并继续研究和传承这一宝贵的数学遗产。

参考文献： 1. 权质之书，中国非遗数字化项目 2. 史实何在？中国算筹起源的谜团 3. 《中国数学史》刘新民著。

数学史上的突破性时刻从一到无穷大的数学历史数学是一门古老而重要的学科，它的发展历程记录了人类智慧的积累和思维的进步。

在数学史上，有许多突破性的时刻，这些时刻不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了人类的思维方式。

本文将从一到无穷大的数学历史中，介绍几个突破性的时刻。

一、阿基米德的浮力定律公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德提出了浮力定律，这一发现被认为是数学史上的突破性时刻之一。

根据浮力定律，物体在液体中所受到的浮力等于所排开的液体的重量。

这一发现不仅解释了为什么物体可以浮在水上，也为后来的力学和流体力学理论奠定了基础。

二、无穷小与微积分的发现十七世纪，英国数学家牛顿与德国数学家莱布尼茨几乎同时独立地发现了微积分。

他们的发现是数学史上的又一个突破性时刻。

微积分的核心概念是无穷小，它描述了随着自变量趋近于某一点时，函数取值的变化情况。

无穷小的引入使得数学家们可以研究曲线的切线、面积以及变化率等重要问题，推动了微积分的发展。

三、复数的引入十六世纪至十七世纪，意大利数学家卡尔丹诺、德国数学家朴次茅斯、爱尔兰数学家汉密尔顿等相继引入了复数的概念。

复数是由实数与虚数构成的数。

这一概念的提出解决了负数无法开方和方程无法求根的问题，为代数学的发展开辟了新的道路。

复数在数学史上被视为又一个突破性时刻。

四、勾股定理的发现中国古代数学家辛追发现了勾股定理，将其总结为“平方和等于斜边平方”。

古希腊数学家毕达哥拉斯也独立发现了勾股定理，他将其作为一个几何定理在数学体系中加以阐述。

勾股定理的发现，不仅解决了数学和几何中的一类问题，也拓展了数学和几何的应用领域。

五、无穷大的引入十九世纪，德国数学家戴德金提出了实数连续性的概念，并引入了无穷大和无穷小的概念。

这一概念的引入彻底改变了数学中对于数量的理解。

无穷大的引入使得数学家们可以讨论正无穷大、负无穷大以及无穷大之间的比较，进一步推动了数学的发展。

综上所述，数学史上的突破性时刻涵盖了从一到无穷大的范围。