2020届江苏省泰州中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析Word版)

江苏省泰州中学高三期初考试试卷数学命题人：周花香 审题人：顾建军一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 已知集合{}32,01，，-=U ，{}30，=A ，则=A C U ______. 2. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=t y t x sin 22cos 23 )(为参数t ，则圆C 的普通方程为_____. 3. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的_______条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）4. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______.5. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.6. 两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.7. 已知)2,0(πα∈，12cos 2sin 2+=αα，则=αsin _______.8. 设函数)sin()(ϕω+=x A x f )000(πϕωϕω<<>>，，为常数且，，A A 的部分图像如图所示，则ϕ的值为______.9. 已知)(x f 是奇函数，且当0<x 时，axe xf -=)(，若8)2(ln =f ，则=a ______.10. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为_______. 11. 在ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ,,，已知3π=A ，74=a ，角A 的平分线交边BC 于点D ，其中33=AD ，则=∆ABC S ______.12. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31， 且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值ξE =______.13. 已知32)4tan(tan =-παα，则)42cos(πα-的值是______.14. 设直线21,l l 分别是函数⎩⎨⎧><<-=1,ln 10,ln )(x x x x x f 图像上点21,P P 处的切线，1l 与2l 分别与y 轴相交于点B A ,，则PAB ∆的面积的取值范围是_______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．演算步骤．．．．.．15. (本小题满分14分)已知矩阵⎢⎣⎡=a A 0 ⎥⎦⎤01，矩阵⎢⎣⎡=b B 0 ⎥⎦⎤02，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线04:3=++y x l .（1）求b a ,的值；（2）求直线2l 的方程.16. (本小题满分14分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对边的长，A b B a cos 2cos =，33cos =A . （1）求角B 的值；（2）若6=a ，求ABC ∆的面积.17.(本小题满分15分)如图，ABCD AE 平面⊥，AE CF ∥，BC AD ∥，AB AD ⊥，1==AD AB ，2==BC AE .（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（2）若二面角F BD E --的余弦值为31，求线段CF 的长.18.(本小题满分15分)如图，一楼房高AB 为319米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60° ，安装过程中，一身高为3米的监理人员EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果:为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方:设x AE =米，该监理人员观察广告牌的视角θ=∠BFC .（1）试将θtan 表示为x 的函数；（2）求点E 的位置，使θ取得最大值.。

江苏省泰州中学高三期初考试试卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2- 【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2-【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C 的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++= 【分析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果.【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【分析】x-<，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的由21定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，Q（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为_______.【答案】8【分析】按照程序框图运行程序，直到4i ³时输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900 【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法 四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果. 【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解+析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【分析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___.【答案】1【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+；两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】 【分析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)1133sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又13sin 2ABC S bc A ∆== )333b c =+ 13b c bc ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc = 348123ABC S ∆∴== 本题正确结果：123【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 【答案】26681【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的221tan 2tan 1tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14.设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1 【分析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<< ()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈Q 且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．.．15.已知矩阵0A a⎡=⎢⎣ 10⎤⎥⎦，矩阵0B b⎡=⎢⎣ 20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --= 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x ax y by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =的面积．【答案】（1）π4B =（2）S = 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求1sinBtanB cosB==，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值． （2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为cos 3A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．于是sin tan1cos B B B==．又因为0πB<<，所以π4B=．（2）因为a=sin3A=，由（1）及正弦定理sin sina bA B==，所以2b=．又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+32326=+⋅=．所以△ABC的面积为116sin22264S ab C+==⨯=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，AE⊥平面ABCD，//CF AE，//AD BC，AD AB⊥，1AB AD==，2AE BC==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =v，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅u u u v vu u u v v 可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-v，从而得到122cos ,324n n t <>=+v v ；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程24213324t t -=+，解方程求得结果.【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--u u u v ，()1,1,0BD =-u u u v ，()0,1,2BE =-u u u v设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =v111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴=v 设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅u u u v vu u u v v 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49 （2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴=u u u v设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =v222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=-v 由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =v121212cos ,n n n n n n ⋅∴<>===⋅v vv vv v 又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高AB为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60oEF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）()23363tan 2x x θ+=>；（2）当121018AE =-米时，θ取得最大值. 【分析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得23tan 38t tθ=+-1210t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知1210t =时，θ最大，从而可得到结果. 【详解】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FH AB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，4sin 601933203tan CM CN NM CFM MF AE BN ++-∠====-o 在Rt BFH ∆中，183tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tan tan tan 1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x +==-+ Q 监理人员必须在G 的右侧 2x ∴>综上所述：)tan 2x θ=> （2）由（1）可得：()218tan 221080x x x x θ+==>-+ 令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan 18218108038tt t t tθ∴==---++-1440t t +≥=Q （当且仅当1440t t =，即t =tan θ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 tan θ∴最大时，θ最大 ∴当18AE =米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19.已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解+析；（2）(]1,2{3⋃，4} 【分析】()1代入a 的值，求出()h x 的解+析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点，则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=，()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根， 此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， Q 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）04a <≤. 【分析】(1)首先求得导函数的解+析式，然后结合函数的解+析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-+== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()2f x a≤，等价于22ln 0x a a --≥， 令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =-， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()2ln g xg x =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=== 列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解+析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

江苏省泰州市2020年数学高三上学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高一上·阜城月考) 已知集合 ,集合 ,则 =（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高一下·北京期中) 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A . 1B .C .D . 24. （1分）函数的定义域是（）A . (1，2)B . [1，4]C . [1，2)D . (1，2]5. （1分） (2017高三上·西安开学考) 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A . （﹣，1）B . （﹣，1）C . （，1）D . （，0）6. （1分） (2018高二上·阳高期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分）(2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件8. （1分） (2016高二上·乾安期中) 若0＜a＜b，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（）A .B . a2+b2C . 2abD . b9. （1分） (2017高二上·中山月考) 定义为个正数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二下·定州开学考) 下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1.）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2.）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3.）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A . （4）（1）（2）B . （4）（2）（3）C . （4）（1）（3）D . （1）（2）（4）11. （1分）函数的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。

2020-2021学年江苏省泰州市高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）设集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}．则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣2，2）C．（0，2）D．（﹣2，1）2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e iθ＝cosθ+i sinθ（e为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，e iπ＝（）A．1B．0C．﹣1D．1+i4．（5分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（）A．128.4米B．132.4米C．136.4米D．110.4米5．（5分）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．88．（5分）若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈（1，2），则下列结论正确的是（）A．a b＞b c B．log a b＞log b cC．a＞log b c D．c b＞b a二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（）A．（+）•＝4B．（﹣3）⊥C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0）的导函数y＝f'（x）的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（）A．abc＜0B．f（x）在区间[0，3]的最大值为0C．f（x）只有一个零点D．f（x）的极大值是正数11．（5分）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（）A．DP与D1Q所成角的最大值为B．四面体ABPQ的体积不变C．△AA1Q的面积有最小值D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变三、填空题（共4小题）.13．（5分）已知，则cos2θ的值为．14．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多cm2．15．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4＜0}．（1）当m＝2时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知向量＝（cos x，﹣1），＝（sin x，cos2x），函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①（b﹣3c）cos A+a cos B＝0；②sin2+cos2A＝；③；并解答以下问题：（1）若选_____（填序号），求cos A的值；（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC面积S的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE＝PE，PD⊥BC．（1）求证：平面PDE⊥平面PBC；（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，g（x）＝kx．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若g（x）是f（x）的切线，求实数k的值；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞1．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）设集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}．则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣2，2）C．（0，2）D．（﹣2，1）解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N＝（0，1）．故选：A．2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为“ab＝0”得a＝0或b＝0，只有a＝0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数＝a﹣bi为纯虚数，所以a＝0并且b≠0，所以ab＝0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e iθ＝cosθ+i sinθ（e为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，e iπ＝（）A．1B．0C．﹣1D．1+i解：根据e iθ＝cosθ+i sinθ，可知e iπ＝＝﹣1．故选：C．4．（5分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（）A．128.4米B．132.4米C．136.4米D．110.4米解：设金字塔风化前的形状如图，∵|AB|＝230，∴其底面周长为230×4＝920，由题意可得：＝3.14159，∴|PO|＝146.42．∴胡夫金字塔现高大约为146.42﹣10＝136.42米．结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选：C．5．（5分）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（）A．B．C．D．解：由题意可知，．，，，∴，，∴，又，则，，∴，故选：B．6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD，令g（x）＝sin x+x，x＞0，∴g′（x）＝cos x+1≥0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝0，当x＞0时，3x+3﹣x＞0，∴当x＞0时，f（x）＞0，故排除C，故选：A．7．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．8解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，∵n∈N*，∴n的值为6．故选：B．8．（5分）若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈（1，2），则下列结论正确的是（）A．a b＞b c B．log a b＞log b cC．a＞log b c D．c b＞b a解：∵2a＝log2b＝log3c＝k，∴a＝log2k，b＝2k，c＝3k，∵k∈（1，2），∴0＜a＜1，b＞2，c＞3，b＜c，∴a b＜a0＝1，b c＞b0＝1，∴a b＜b c，即A错误；log a b＜log a1＝0，log b c＞log b1＝0，∴log a b＜log b c，即B错误；0＜a＜1，3k＞2k＞1，c＞b＞1，log b c＞log b b＝1，∴a＜log b c，即C错误；c b＞c＞b，b a＜b，∴c b＞b a，即D正确．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（）A．（+）•＝4B．（﹣3）⊥C．D．解：由题意，可知对于A：∵+＝（﹣4，2），∴（+）•＝﹣4×（﹣1）+2×0＝4，故选项A正确，对于B：∵﹣3＝（﹣3﹣3×（﹣1），2﹣3×0）＝（0，2），∴（﹣3）•＝0×（﹣1）+2×0＝0，∴（﹣3）⊥，故选项B正确，对于C：∵﹣＝（﹣2，2），∴|﹣|＝＝2，||＝•＝，∴|﹣|≠||，故选项C不正确，对于D：∵2＝||2＝（﹣3）2+22＝13，2+4•＝||2+4•＝（﹣1）2+02+4×[（﹣3）×（﹣1）+2×0]＝13，∴2＝2+4•，故选项D正确，∴正确选项为ABD．故选：ABD．10．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0）的导函数y＝f'（x）的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（）A．abc＜0B．f（x）在区间[0，3]的最大值为0C．f（x）只有一个零点D．f（x）的极大值是正数解：f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0），f′（x）＝3ax2+2bx+c，由题意得：1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的根，故b＝﹣a＞0，c＝6a＜0，故abc＞0，故A错误；故f（x）＝ax3﹣ax2+6ax，显然f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，2）递增，在（2，+∞）递减，故f（x）在[0，1）递减，在（1，2）递增，在（2，3]递减，而f（0）＝0，f（1）＝a＜0，f（2）＝2a＜0，f（3）＝a＜0，故f（x）在[0，3]的最大值是0，故正确；函数f（x）的大致图象如图示：，故函数f（x）只有1个零点，故C正确，D错误；故选：BC．11．（5分）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h解：根据题意，依次分析选项：对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误，对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣3，不是S（t）的最小值，C错误，对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确，故选：BD．12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（）A．DP与D1Q所成角的最大值为B．四面体ABPQ的体积不变C．△AA1Q的面积有最小值D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AP，因为AP⊥DQ，所以AP⊥平面DD1Q，所以AP⊥D1Q，因为P为BC中点，记A1B1中点为E，所以Q位于直线D1E上．A：记B1C1中点为H，连结EH，D1H，易知D1H∥DP，所以DP与D1Q所成角即为∠ED1H，因为正方体棱长为1，所以，解得：cos∠，所以DP与D1Q所成角为定值，为，故A错误；B：A，B，P三点为定点，所以S△ABP为定值，因为Q位于平面A1B1C1D1中，A，B，P在平面ABCD中，所以点Q到平面ABP的距离为定值，所以四面体ABPQ的体积不变，故B正确；C：在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥QA1，所以，在Rt△D1A1E中，A1D1＝2，A1E＝1，所以点A1到D1E的距离的最小值为，所以△AA1Q的面积有最小值为，故C正确；D：当Q不与D1重合时，D1与Q连线即为D1E，故平面D1PQ即为平面D1PE，此时截面固定，面积为定值，当Q与D1重合时，两点确定一条直线，则截面确定，此时面积为定值，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知，则cos2θ的值为﹣．解：因为，所以＝，解得tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多64cm2．解：方案甲：6个乒乓球放一排，包装盒是长为4×6＝24，宽和高为4的长方体，它的表面积为S甲＝2×（4×4+4×24+4×24）＝416（cm2）；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，包装盒是长为4×3＝12，宽为4×2＝8，高为4的长方体，它的表面积为S乙＝2×（4×8+4×12+12×8）＝352（cm2）；且S甲﹣S乙＝416﹣352＝64（cm2）；所以方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多64cm2．故答案为：64．15．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为4+2．解：∵正实数x，y满足x+y＝1，∴y＝1﹣x，x∈（0，1），∴+＝+＝﹣1++＝﹣1+，令t＝3﹣x∈（2，3），则+＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+≥﹣1+＝﹣1+5+2＝4+2，当且仅当t＝时取“＝“，故答案为：4+2．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为π．解：∵△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝，∴cos∠ABC＝＝﹣，∴sin∠ABC＝，∴△ABC的外接圆的半径r＝×＝1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA1＝2，则球O的半径R＝＝．∴球O的体积＝R3＝π．故答案为：π．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4＜0}．（1）当m＝2时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}，（1）m＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝（0，2）；（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴，解得0≤m≤1，∴实数m的取值范围为[0，1]．18．（12分）已知向量＝（cos x，﹣1），＝（sin x，cos2x），函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．解：（1）由题意，可知＝sin x cos x﹣cos2x＝•2sin x cos x﹣＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，则由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，可得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）由题意，可知当x∈[，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，根据正弦函数的性质，可知当2x﹣＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最小值f（x）min＝﹣1﹣＝﹣，当2x﹣＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最大值f（x）max＝﹣＝0．19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①（b﹣3c）cos A+a cos B＝0；②sin2+cos2A＝；③；并解答以下问题：（1）若选_____（填序号），求cos A的值；（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC面积S的最大值．解：（1）若选：①（b﹣3c）cos A+a cos B＝0，由正弦定理可得：（sin B﹣3sin C）cos A+sin A cos B＝0，即：sin（A+B）＝3sin C cos A，可得：sin C＝3sin C cos A，因为：C为三角形内角，sin C＞0，可得：cos A＝．若选：②sin2+cos2A＝，可得+2cos2A﹣1＝﹣，可得36cos2A+9cos A﹣7＝0，解得cos A＝，或﹣（由于A为锐角，舍去），故cos A＝．若选：③，由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B+sin B cos A，因为sin B≠0，可得sin A＝1+cos A，可得sin2A＝，所以cos2A+＝1，整理可得：3cos2A+2cos A﹣1＝0，解得cos A＝，或﹣1（由于A为锐角，舍去）．（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，把cos A＝，a＝2代入可得：4＝b2+c2﹣bc≥bc，可得bc≤3，当且仅当b＝c时等号成立，又因为A为三角形内角，可得sin A＞0，则sin A＝＝，则S＝bc sin A＝bc，即S的最大值为．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE＝PE，PD⊥BC．（1）求证：平面PDE⊥平面PBC；（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵△BCD为正三角形，E是BC的中点，∴BC⊥DE，又∵BC⊥PD，PD∩DE＝D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴BC⊥平面PDE．∵BC⊂平面PBC，∴平面PDE⊥平面PBC；解：（2）由（1）知，BC⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，故PE⊥BC，又DE⊥BC，故∠PED为二面角P﹣BC﹣D的平面角，△ABD中，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，故BD＝．又△BCD为正三角形，故DE＝，又PE＝DE，则PE＝3，又PD＝2，故△PDE中，由余弦定理得：cos∠PED＝，因此，二面角P﹣BC﹣D的余弦值为；解：（3）由（2）知，sin∠PED＝，作PH⊥DE于H，则PH＝PE•sin∠PED＝，由（1）知，BC⊥平面PDE，又PH⊂平面PDE，故PH⊥BC，又PH⊥DE，BC∩DE＝E，BC⊂平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD，故＝．21．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x+1）＞3，∴22x﹣2x+1＞3，∴（2x﹣3）（2x+1）＞0，∴2x＞3，∴x＞log23，∴不等式的解集为{x|x＞log23}．（2），当x∈[﹣1，0]时，∴g（x）在[﹣1，0]上单调递减，又，∴；当时，，综上，当时，g（x）的值域为．（3）当x1＞0，x2∈[﹣1，0]时，∀x1＞0，∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，即g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）max＞0，由（2）知，，则g（2x1）+ag（x1）+5＞0，，令，则∀x＞1，不等式恒成立，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴a的取值范围为．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，g（x）＝kx．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若g（x）是f（x）的切线，求实数k的值；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞1．解：（1）∵f（x）＝x2﹣lnx，∴，当时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；当时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增．故函数f（x）的最小值为．（2）若g（x）是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），则过点（x0，f（x0））的切线方程为y＝f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），即，即，由题意知，令h（x）＝﹣x2+1﹣lnx（x＞0），则x＞0时，，∴h（x）＝﹣x2+1﹣lnx在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，∴有唯一的实根x0＝1，则．（3）证明：由题意，知，两式相加，得，两式相减，得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，则＝，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，因而lnx1x2+2x1x2＝，令G（x）＝lnx+2x，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∵G（x1x2）＝lnx1x2+2x1x2＞2＝G（1），∴x1x2＞1．。

江苏省泰州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·衡阳月考) 已知，则＝（）A .B .C .D . R2. （2分） (2017高一下·景德镇期末) 某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（）A . 72B . 144C . 108D . 1923. （2分）已知函数，则的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·河口期末) 设，则的大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（）A . f（x）=x2+8xB . f（x）=x2﹣8xC . f（x）=x2+2xD . f（x）=x2﹣2x6. （2分）(2016·江西模拟) f（x），g（x）是定义在[a，b]上的连续函数，则“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件7. （2分） (2016高一上·河北期中) 已知a= ，b=log2 ，c=log ，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a8. （2分）若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）设函数则的值为（）A . 2B . 1C .D .10. （2分） (2016高一上·平阳期中) 函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），则f （1），f（2），f（4）的大小关系为（）A . f（1）＜f（2）＜f（4）B . f（2）＜f（1）＜f（4）C . f（4）＜f（2）＜f（1）D . f（4）＜f（1）＜f（2）11. （2分）偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，当时, f(x)=1-x，则关于x的方程在上解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则（）.A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）满足{1，2}∪A={1，2，3}的集合A的个数为________．14. （1分） (2017高二下·长春期中) ∫ dx=________．15. （1分） (2017高二上·信阳期末) 已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a 的值为________．16. （1分） (2019高一上·龙江期中) 已知函数，对于任意的，恒成立，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一上·长春期末) 已知集合A=[a﹣3，a]，函数（﹣2≤x≤5）的单调减区间为集合B．（1）若a=0，求（∁RA）∪（∁RB）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18. （5分）已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=x+b有实数根，求b的取值范围；（3）设h（x）=log9（a•3x﹣a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．19. （5分） (2016高二上·上杭期中) 已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．20. （10分） (2018高二上·哈尔滨期中) 已知椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆的一个短轴顶点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若经过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值．21. （10分） (2018高三上·山西期末) 已知函数 .（1）证明：；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数 .（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

江苏省泰州市兴化茅山镇中心中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方形的边长为4，点位边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球表面积为A. B. C.D.参考答案：A略2. 已知函数，满足，将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线对称，则ω的取值可以为A.1B.2C.3D.4参考答案：B 3. 设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：B【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B4. 数列的前项和，若，且，则的值为（）．A．B．C．D．参考答案：C∵，且，∴，，∴，，，．故选．5. 设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)参考答案：A6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A. 当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面所成角最大且为60°B. 无论点F在BC1上怎么移动，都有C. 当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且D. 无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°参考答案：A【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于，当点移动到的中点时，直线与平面所成角由小到大再到小，如图1所示；且为的中点时最大角的余弦值为，最大角大于，所以错误；对于，在正方形中，面，又面，所以，因此正确；对于，为的中点时，也是的中点，它们共面于平面，且必相交，设为，连和，如图2，根据△△，可得，所以正确；对于，当点从运动到时，异面直线与所成角由大到小再到大，且为的中点时最小角的正切值为，最小角大于，所以正确；故选：．【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，是中档题．7. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b?α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a?α，故C正确；若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a?β，故D错误．故选：D．8. 如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA?PB=PC?PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA?PB=PC?PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A10. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人.现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为参考答案：2112. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）参考答案：108013. 若集合，，且，则实数取值的集合为 ． 参考答案： {﹣1,0,1}14. 若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_____．参考答案：或．【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆，可以得到不等式，解这个不等式，求出实数的取值范围.【详解】解：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，∴或．故答案为：或．【点睛】本题考查了焦点在横轴上椭圆方程的识别，考查了解不等式的能力.15. (1+2x 2)(x －)8的二项展开式中常数项是 ．（用数字作答）参考答案：﹣42【考点】二项式定理的应用．【分析】利用的通项公式为T r+1=，即可得出结论． 【解答】解：的通项公式为T r+1=， ∴的二项展开式中常数项是1×﹣2=﹣42．故答案为﹣42．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16. 函数y=的定义域是 ．参考答案：{x|x ＞2且x≠3}考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．解答： 解：由，解得：x ＞2且x≠3．∴函数y=的定义域是{x|x ＞2且x≠3}． 故答案为：{x|x ＞2且x≠3}．点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．17. 程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a = ▲ ．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1， 解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________． 【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0， 解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________． 【答案】【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________． 【答案】12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角， 即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围． 试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可 （2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时）， 由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值； （2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+； （3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。

江苏省泰州市姜堰中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}．故选：D．2. 已知集合，集合，则为（）A.B. C.D.参考答案：C【知识点】集合的运算【试题解析】因为所以故答案为：C3. 等比数列{a n}中，是关于x的方程的两个实根，则（）．A．8 B．－8 C．4 D．8或－8参考答案：B是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B4. 已知函数g（x）=2cos2x，若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出不等式0≤x≤π，2cos2x≥对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，2cos2x≥，∴0≤x≤或≤x≤π，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．5. 设，则∩=（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）参考答案：A主要检查所给选项：当x=时，，满足题意；，不符合题意，B错误；，不符合题意，C错误；，满足题意；当x=时，，满足题意；，不符合题意，D错误。

2020届高三数学(理)上学期期中试题完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数z 满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D9.已知向量ar，br的夹角为135o，且1a=r，2b=rmu r满足4a mb m⋅=⋅=r u r r u r，则mu r= ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019xm xf x mx x-⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a满足(),na f n n N*=∈，且{}na是单调递增函数，则实数m的取值范围是（）A.(]1,3 B.()1,+∞ C.[)3,+∞ D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()1243f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为( )A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e∈，总存在三个不同的实数[]1,4y∈-，使得21ln0yy xe ax x---=成立，则实数a的取值范围是（）A．3160,e⎛⎤⎥⎝⎦B．23163,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．23161,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．3163,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第三次月度检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{A y y ==，集合(){}2log 10B x x =->，则AB =（ ） A ．∅ B ．()0,∞+C ．()1,2D ．()2,+∞ 2．已知复数34z i =+，则23z z -=（ ）A B ．5 C ．20 D ．3．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ）A ．20种B ．30种C ．90种D ．120种 4．在某拍卖会上成交的唐代著名风鸟花弃纹浮雕银杯如图①，银杯由杯托和盛酒容器两部分组成，盛酒容器可近似地看成由圆柱和一个半球组成，盛酒容器的主视图如图2．若6AB =，3AC =，则该容器的容积（不考虑材料的厚度）为（ ）A ．45πB ．50πC ．60πD ．63π 5．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =-B ．()ln f x x x =-6．已知413m <<，则23143m m+--的最小值是（ ）A ．9B 6C ．9D ．12 7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）A ．992B ．1022C ．1007D ．10378．已知函数()()221log 1f x x x=+-，则不等式()(1)210x f x --≥的解集是（ ） A ．[0,1]B ．[0,)+∞C ．11[0,)(,)22⋃+∞D ．(,0][1,)-∞⋃+∞二、多选题 9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-”C ．若,a b ∈R ，则2b a a b +≥=D ．设a R ∈，“1a =”，是“函数()1xx a e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件10的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．2112212A F F A F F ⋅=B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F11．设函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,已知()f x 在[0,]π有且仅有3个零点,下列结论正确的是（ ）A ．在()0,π上存在1x ,2x ,满足12()()2f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()e sin x f x a x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点三、填空题13．已知双曲线C 过点且渐近线为3y x =±，则双曲线C 的标准方程为__________.14．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2个不同的小球，球1O 与三棱锥11A CB D -的四个面都相切，球2O 与三棱锥11A CB D -的三个面和球1O 都相切，则球1O 的体积等于______，球2O 的表面积等于______．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin (x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求f (x )的单调递增区间；（2）若a ＝sin B ＋sin C ＝2△ABC 的面积． 18．已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3＝10，a 2＝4．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝______，求数列{b n }的前n 项和S n ．请在①n •a n ；②|2log 2a n ﹣9|；③1(21)(21)n n n a -++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．19．已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为0,(2,)F M y 是曲线C 上的一点，且52MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅=-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 20．如图长方体1111ABCD A B C D -的11AA =，底面ABCD 的周长为4，E 为1BA 的中点.（Ⅰ）判断两直线1EC 与AD 的位置关系，并给予证明：（Ⅱ）当长方体1111ABCD A B C D -体积最大时，求直线1BA 与平面1A CD 所成角θ．21．如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试探讨点T 的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由. 22．已知函数()()2ln 0f x x x a a =+>，()0,1x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()ln xf x ae x >对()0,1x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．D【分析】求出集合A ，集合B 中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出A B ． 【详解】集合{{}0A y y y y ===≥ (){}{}2log 102B x x x x =->=> {}2A B x x ∴⋂=>故选：D【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题．2．C【分析】先计算出23z z -，再求出模即可.【详解】()()222339241634912161342z z i i i i i i -=-=++--=-+++，2320z z ∴-==.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算和模的求解，属于基础题.3．B【分析】先从5人中选出1人擦黑板，再从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，最后从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有155C =种选法， 从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有246C =种选法， 从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有221C =种选法，由分步计数原理，可得不同的安排方法有56130⨯⨯=种安排方法.故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及组合的应用，其中解答中熟练应用组合的知识和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.4．A【分析】由图可知：几何体是由一个圆柱和一个半球组成的，然后分别利用柱体和球体体积公式求解.【详解】由题知：半球的半径3R =，圆柱的高3h =，则容器的容积V =V 圆柱+V 半球23144523πππ=⋅+⨯=R h R 故选：A【点睛】本题考查以传统文化为背景的三视图还原几何体及圆柱和球的体积计算，属于基础题. 5．A【分析】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，利用导数分别计算各选项的极大值点即可得出答案.【详解】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，对于选项A ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()2120x f x x -'==，得2x =，所以2x =为函数的极大值点，故A 正确； 对于选项B ，当0x >时，函数()ln f x x x =-，所以()110f x x'=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故B 不正确； 对于选项C ，当0x >时，函数()22ln f x x x =-，所以()220f x x x '=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故C 不正确；对于选项D ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()210f x x'=-=，得2x =，所以2x =为函数的极大值点，故D 不正确；故选：A【点睛】本题考查了由图象判断函数的解析式，综合考查了函数的基本性质，导数研究函数的极值点，考查了学生的逻辑推理的能力，考查了数形结合的思想.6．C【分析】利用配凑得到分母的和是定值，进而利用均值定理求解．【详解】 413m <<10,430m m ∴->->， []23636(43)3(33)()(33)(43)9914333433343m m m m m m m m m m --+=+-+-=++≥+------当且仅当6(43)3(33)3343m m m m --=-- ，又413m << 故53m -=时取等号． 故选：C ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．7．C【分析】首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可.【详解】将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.即215(1)n a n -=-，1513n a n =-当135n =，135151351320122019a =⨯-=<，当136n =，136151361320272019a =⨯-=>，故1,2,n =……，135数列共有135项．因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=.故答案为：C ．【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 8．C【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合函数的单调性和零点，解抽象不等式.【详解】()f x 的定义域是{}0x x ≠()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，且在()0,∞+是增函数，又 ()()221log 1110=+-=f ， 则()()()210211f x f x f -≥⇔-≥，即211x -≥，解得：1≥x 或0x ≤，()210f x -≤，则211210x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得110,,122⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 不等式()(1)210x f x --≥，等价于()1210x f x ≥⎧⎨-≥⎩或()1210x f x ≤⎧⎨-≤⎩， 解得：1≥x 或102x ≤<或112x <≤ 所以不等式的解集为110,,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭故选：C【点睛】 易错点点睛：本题考查利用抽象函数的单调性和奇偶性解抽象不等式，易错点是容易忽略函数的定义域，关键是利用函数是偶函数转化不等式.9．BD【分析】根据不等式的性质可判断A ；根据含有量词的否定可判断B ；根据基本不等式的适用条件可判断C ；根据奇函数的性质可判断D. 【详解】对于A ，当1a >时，可得11a <，故“1a >”是“11a<”的充分条件，故A 错误； 对于B ，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B 选项正确；对于C ，若0ab <时，2b a a b +≤-=-，故C 错误； 对于D ，当1a =时，1()1xxe f x e -=+，此时()()f x f x -=-，充分性成立，当()1x xa e f x ae -=+为奇函数时，由1()1x x xxa e ae f x ae e a-----==++，()()f x f x -=-可得1a =±，必要性不成立，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题. 10．BD 【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A ，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A ；对于B ，根据勾股定理以及离心率公式判断B ；根据21PO A B k k =结合斜率公式以及离心率公式判断C ；由四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 得出内切圆的半径为c ，进一步得出ab = D.【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得bc = ∵222a b c =+，∴a =∴c e a ===，不满足题意，故C 不符合条件； 对于D ，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，∴ab =∴422430c a c a -+=，∴42310e e -+=，解得2e =（舍去）或2e =，∴e =，故D 符合条件． 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，属于中档题. 11．AD 【分析】对A 选项,易知最小正周期T π<;对D,结合伸缩变换先求()sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点,进而得到()sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点,再列出不等式组,即可得ω的范围;对B,可以把第三个零点与第四个零点的中点坐标求出来,利用选项D 中ω的范围,可得该中点坐标可能在[]0,π内;对C,根据选项D 中ω的范围,可得6x πω-的范围不在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内. 【详解】解: 对A,()f x 在[0,]π有且仅有3个零点,则函数的最小正周期T π<, 在()0,π上存在1x ,2x ,满足12()1,()1f x f x ==-, 所以12()()2f x f x -=可以成立,故A 正确;对D,函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是:71319,,,6666ππππωωωω, 则函数()sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是:71319,,,6666ππππωωωω, 因为函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点,所以213.7601960πππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩1319,66ω⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭,故D 正确. 对B,由D 选项中前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω, 得0131986623x πππωωω+==, 此时0830x π=可使函数()f x 取得最大值,因为1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭,所以1681619313πππω<≤, 所以()f x 在()0,π可能存在2个最小值点,故B 错误; 对C,由D 选项中1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭,所以176612x πππω-<-<, 区间17,612ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的子区间,故C 错误. 故选: AD【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,对三角函数的中ω对图象的影向作用做了深入的考查,求解时要能灵活地运用伸缩变换,研究函数的图象特征,考查数形结合思想、函数与方程思想. 12．AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.13．2213x y -=【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为()2230x y λλ-=≠,将点代入方程求出λ,即可得出双曲线方程为. 【详解】解:根据题意,双曲线的渐近线方程为y x =, 可化为: 0x ±=,则可设双曲线方程为()2230x y λλ-=≠,将点代入()2230x y λλ-=≠,得()230λλ-=≠,即3λ=,故双曲线方程为: 2213x y -=.故答案为: 2213x y -=【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质等基础知识考查运算求解能力,考查数形结合思想属于基础题特别要掌握已知渐近线方程时,如何设出双曲线的标准方程. 14．80 【分析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(2)240T C x x +∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题. 15【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可. 【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac-=-+⇒=，因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤⎪⎝⎭所以2S a 的最大值为6.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题. 16．43π π 【分析】由题意可知三棱锥11A CB D -是边长为,则球1O 是三棱锥11A CB D -的内切球,设其半径为1R ,由111113A CB D CB D V S AO -=⨯⨯111143CB D S R =⨯⨯⨯，可知114R AO =,设平面//MNP 平面11CB D ,且球1O 和球2O 均与平面MNP 相切于点E ,则球2O 是正四面体A MNP -的内切球,设其半径为2R ,则214R AE =,最后代入数据计算即可. 【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为所以三棱锥11A CB D -是边长为,11CB D 的高为设底面11CB D 的中心为O ,连接CO ,则23CO =⨯=4AO ==, 则球1O 是三棱锥11A CB D -的内切球,设其半径为1R , 则有111111111433A CB D CB D CB D V S AO S R -=⨯⨯=⨯⨯⨯所以1114R AO ==, 所以球1O 的体积为43π,又球2O 与三棱锥11A CB D -的三个面和球1O 都相切,则设平面//MNP 平面11CB D ,且球1O 和球2O 均与平面MNP 相切于点E ,如下图所示,则球2O 是三棱锥A MNP -的内切球,设其半径为2R , 故122AE AO R =-=,因此在正四面体A MNP -中,21142R AE ==, 所以球2O 的表面积为π, 故答案为:43π;π. 【点睛】本题主要考查三棱锥内切球的综合问题,考查学生的空间思维及想象能力,有一定难度.17．（1）π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)；（2【分析】（1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间；（2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 【详解】（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin (x －A )·cos x ＋sin A＝2(sin x ·cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin 2x ·cos A －cos 2x ·sin A ＝sin (2x －A )， 由题意知5π5π()sin()1126f A =-=，所以5ππ2π62A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈ (0，π)，所以5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ2π22π232k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，解得π5πππ1212k x k ''-≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==sin sin sin 3b cB C+==+解得b c +=22224b c bc ++=，在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，解得bc ＝4，所以△ABC的面积为11sin 422bc C =⋅=【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易. 18．（1）a n ＝2n ；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出方程求出首项公比即可；（2）① b n ＝n •2n ，利用错位相减法求和②分4,5n n ≤≥，根据等差数列求和公式求解③ b n＝12(21)(21)nn n -++，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由题设可得：211(1)104a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得：122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），∴a n ＝2n ；（2）当选条件①时： 由（1）可得：b n ＝n •2n ， 则S n ＝1×21+2×22+…+n •2n ， 又2S n ＝1×22+…+（n ﹣1）•2n +n •2n +1， 两式相减得：﹣S n ＝2+22+ (2)﹣n •2n +1＝2(12)12n --﹣n •2n +1，整理得：S n ＝（n ﹣1）•2n +1+2． 当选条件②时：由（1）可得：b n ＝|2log 2a n ﹣9|＝|2n ﹣9|，当n ≤4时，S n ＝7+5+…+9﹣2n ＝(792)2n n +-＝n （8﹣n ）；当n ≥5时，S n ＝7+5+3+1+1+3+…+2n ﹣9＝16+(4)(129)2n n -+-＝n 2﹣8n +32，∴S n ＝228,4832,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+≥⎩．当选条件③时：由（1）可得：b n ＝1(21)(21)n n n a -++＝12(21)(21)n n n -++＝21112121n n-⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∴S n ＝2（01112121-+++12112121-++ +…+1112121n n --++）＝2（11221n -+）＝1﹣221n +．【点睛】关键点点睛：数列求和要根据数列的通项公式，选择恰当的方法，常见求和方法有裂项相消法，错位相减法，公式法，分组求和法.19．（1）22x y =；（2）4y =±+【分析】（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p=，再根据抛物线的定义可得1p =，即可求得抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，将0(2,)M y 代入22x py =，得02y p=， 又025()222p p MF y p =--=+=，解得1p =， ∴抛物线的方程为22x y =．（2）直线l 的斜率显然存在，设直线1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+， 由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2220x kx b --=，所以12122,2x x k x x b +==-， 又由121212242OA OB y y x x b k k x x ⋅=⋅==-=-，解得4b =， ∴直线方程为4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)， 原点O 到直线l 的距离d =∴1122OAB S AB d ∆=⋅=16===，所以243264k +=，解得k =±，所以直线的方程为4y =±+． 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 20．(Ⅰ)见解析(Ⅱ) π6θ= 【分析】（Ⅰ）1EC 与AD 是相交直线，连接1AB ，1C D ，说明A ，E ，1C ，D 四点共面，1EC 与AD 为梯形两腰，即可得到结果（Ⅱ）解法1：利用等体积法求出点B 到平面1A CD 的距离，然后计算出结果；解法2：以边AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系，求出平面1A CD 的法向量，利用向量的数量积求解直线与平面所成角的大小 【详解】(Ⅰ)1EC 与AD 是相交直线．证明如下：连接11AB C D ，，则11AB C D 是平行四边形，∵E 也是1AB 的中点， ∴1112AE C D AE C D =，∴1AEC D 为梯形，1A E C D ，，，四点共面， 1EC 与AD 为梯形两腰，故1EC 与AD 相交．(Ⅱ)设 AB b =，2AD b =-，()()11112122212ABCD A B C Db b V b b AA b b -+-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭当且仅当21b b b =-=，时取等号 解法1：连接BD ，设点B 到平面1A CD 的距离为h ，则根据等体积法11B A CD A BCD V V --=，其中1112A CDSCD A D =⨯⨯=111136A BCDBCD V S AA -=⨯=，所以h =， 则直线1BA 与平面1A CD 所成角θ满足11sin 2h BA θ==，所以π6θ=. 解法2：分别以边1AB AD AA ，，所在直线为x y z ，，轴，建立如图所示直角坐标系，则()()()()11,0,00,0,11,1,00,1,0B A C D ，，，， ()()()111,0,11,0,01,1,1BA CD CA =-=-=--，，，设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =， 则0x x y z -=⎧⎨--+=⎩，取1z =，则()0,1,1n =∴11sin cos 22BA n θ===⨯，，∴π6θ=．【点睛】本题主要考查了立体几何中线线的位置关系以及线面角的计算，在求解线面角时给了两种解法，一是运用等体积计算出长度，然后求得结果；一是建立空间直角坐标系，求出法向量，继而求出结果．21．（1）22143x y +=；（2）定值，且为3. 【分析】（1）根据条件可知12c a =，以及3a c +=，列式求解,,a b c ；（2）首先设直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，得到直线1MB 和2NB 的直线方程，两2=y .【详解】（1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，b ∴== 因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=， ()()22264324396210k k k ∆=++=+>，由韦达定理得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ， 直线1MB的斜率为(11111kx k x +==，直线1MB的方程为1y k x =直线2NB的斜率为(222221kx y k x x +++==，直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++===， 其中12122843kkx x x x k =-=++，121221222122x x x x x x x ⎡⎤++++====，解得3y =.因此，点T 的纵坐标为定值3. 【点睛】思路点睛：定点，定值问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件. 22．（1）答案见解析；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论，确定()0f x '>和(00f x '<的解，得单调区间；（2）问题可变形为()l n n l x xae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，引入函数()ln H x x x =，利用导数确定它的单调性，得x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，再用分离参数转化为求函数的最值，得出a 的范围． 【详解】解：（1）因为()2ln f x x x a =+，()0,1x ∈，所以()ln 2f x a x '=+，()0,1x ∈， 若20a e -<≤，即ln 2a ≤-，当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；若1a ≥，ln 0a ≥，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 若21e a -<<时，即2ln 0a -<<，ln 012a<-<， 若ln 02ax <<-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 若ln 12ax -<<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 综上所述，当20a e -<≤时，函数()f x 在()0,1x ∈单调递减；当21e a -<<时，函数()f x 在ln 0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单调递减；函数()f x 在ln ,12a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭单调递增．当1a ≥时，函数()f x 在()0,1x ∈单调递增． （2）因为2ln ln x ae x x x a <+，所以()ln ln ln x x x ae x x ae x a ae +<=，即()l n n l x xae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立， 设()ln H x x x =，则()21ln xH x x -'=， 所以，当()0,1x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，当()0,1x ∈时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()()0xH aeH x ≥>，若01x ae <<，因为()()xH ae H x >，且()H x 在()0,1上单调递增，所以x ae x >，综上可知，x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，即x xa e>对任意()0,1x ∈恒成立． 设()x x G x e =，()0,1x ∈，则()10xxG x e-'=>，所以()G x 在()0,1单调递增， 所以()()11a G x G e <=≤，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的解题关键是在于转化，转化为求函数的单调性，化简不等式，再用分离参数法转化为求函数的最值．本题属于困难题．。

江苏省泰州姜堰中学2019-2020学年上学期期中考试高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.已知复数其中i是虚数单位，则复数z的实部为______．3.________.4.命题“，”的否定是______．5.已知向量，且，则______．6.已知角的终边经过点，则的值为______．7.函数f（x）=lnx+x的图象在x=1处的切线方程为___．8.奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．9.在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O：相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则______．10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则______．11.已知a为正常数，，若，，，则实数a的取值范围是______．12.已知，函数，若存在极小值点m，且，，则______．13.已知圆O：，定点，过A点的直线l与圆O相交于B、C两点，B、C两点均在x轴上方，如图，若OC平分，则直线l的斜率为______．14.如图，在ABC中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，，，若．求的值；求的值．16.已知函数，定义域为．证明：；若在上的值域为，求实数a的取值范围．17.已知圆C：，直线：与：交于点M，直线与圆C交于A、B两点，直线与圆C交于D，E两点，若M为弦AB的中点，且．当时，求圆C的方程；当时，求圆C的方程．18.某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形ABCD和边长为1米的正方形AEFG在A点处焊接，AM、AN、GM、DN均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM、DN垂直于地面于M点和N点，且GM、DN、MN长度相等不计焊接点大小若时，求焊接点A离地面距离；若记，求加强钢管AN最长为多少？19.已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR的斜率的取值范围．20.已知函数．若，，试证明：当时，；若对任意，均有两个极值点，试求b应满足的条件；当时，证明：．江苏省泰州姜堰中学2019-2020学年上学期期中考试高三数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】【解析】根据交集的定义易知A、B两个集合共有的元素是-1,2，所以答案为【此处有视频，请去附件查看】2.已知复数其中i是虚数单位，则复数z的实部为______．【答案】1【解析】【分析】根据复数除法法则计算.【详解】，故答案为1．【点睛】本题考查复数的运算，掌握复数的运算法则是解题关键，本题是基础题.3.________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算公式得到结果.【详解】根据题干得到故答案为：.【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.4.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】【分析】把结论中“＞”改为“≤”，同时把“存在”改为“对任意”。

泰兴市第三高级中学2020学年度期中调研测试 高三数学（理）试题 2020.10.29一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1、已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ▲ 2、已知集合{}*523M x x N=--∈，则M 的所有非空真子集的个数是 ▲3、已知数列}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，则7sin a ＝ ▲4、给出下列几个命题：①||||a b =r r是a b =r r 的必要不充分条件；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b a c ⋅=⋅r r r r 则b c=r r④a b =r r 的充要条件是//||||a ba b ⎧⎪⎨=⎪⎩r rr r ；⑤若,i j r r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，则,a b r r 的夹角为锐角的充要条件是1,2λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭其中，正确命题的序号是 ▲5、设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 ▲6、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .7、若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲8、方程lg(2)1x x +=有 ▲ 个不同的实数根9、已知)2sin ,2(),sin ,1(2x x ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅r r r r，则tan x = ▲10、已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有()()02121>--x x x f x f ，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f的解集为 ▲11、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =,12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则⋅= ▲12、将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ▲13、设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数．．．，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2013a = ▲14、已知函数ln ,1()1(2)(),1x x f x x x a x e≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =r（1）若||c =r//c a r r ，求：c r 的坐标（2）若||b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角16. （本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222.（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -=+⋅，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r，试求⋅的最大值.xxθQ P N MB AO17、（本小题满分15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．18、（本小题满分15分）如图,、圆心角为60°的扇形的AB 弧上任取一点P , 作扇形的内接矩形PNMQ ,使点Q 在OA 上,点,M N 在OB 上, 设矩形PNMQ 的面积为y .(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：① 设PN x =,将y 表示成x 的函数关系式；② 设POB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求y 的最大值.19、（本小题满分16分）已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). （1）求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； （2）设函数在3x π=处有极值，①对于一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()sin cos f x x x >+恒成立，求b 的取值范围； ②若函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.20、（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34354,2S a a a a =+=+（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项12,,m m m a a a ++，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由泰兴市第三高级中学2020学年度期中调研测试高三数学（理）试题参考答案 2020.10.291、1-；2、2；3、4、(1),(2)；5、1a =±；6、2-；7、22a a ><-或8、2；9、1；10、(0,4)；11、43-；12、2；13、4026；14、2(,3(3)3-∞---+U15、解：设(,)c x y =r 由//||c a c =r r r 及 2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以，(2,4)(2,4)c c ==--r r或------------------------------------7分（2）∵2a b +r r 与2a b -r r 垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r即222320a a b b +⋅-=r r r r ；∴52a b ⋅=-r r∴cos 1||||a ba b θ⋅==-r r r r ，∵[0,]θπ∈∴θπ=--------------14分16、解：∵ab b a c -+=222；∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈∴3C π=（1）∵tan tan tan tan )3A B A B -=+⋅∴tan()3A B -=∵22(),33A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴566A B A B ππ-=-=-或，又23A B π+= ∴4B π=或34B π=（舍去）∴4B π=------------7分 （2）23sin cos 23sin 12sin m n A A A A ⋅=+=+-u r r 令2sin 03A t A π=<<Q ∴01t <≤223172312()48m n t t t ⋅=-++=--+u r r ∴34t =时，m n ⋅u r r 的最大值为178--------14分17、解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………12分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．…………15分18、解：(Ⅰ) ① 因为QM PN x ==,所以0tan 60QM OM ==,又ON =所以MN ON OM =-=……2分故y MN PN x =⋅=(302x <<)…………………4分② 当POB θ∠=时, QM PN θ==,则0sin tan 60QMOM θ==,又ON θ=,所以sin MN ON OM θθ=-=-…6分故23sin cos y MN PN θθθ=⋅=(03πθ<<)…8分(Ⅱ)由②得3sin 2cos 2)2y θθ=-)6πθ+…………12分故当6πθ=时,y 取得最大值为………………………15分19、（1）证明：(0)0f b =>Q ，()sin()[sin()1]0f a b a a b a b b a a b +=+--+=+-≤(0)()0f f a b ∴+≤所以，函数()f x 在(]0,a b +内至少有一个零点-------------4分（2）()cos 1f x a x '=-由已知得：()03f π'=所以a =2，所以f （x ）=2sin x ﹣x +b---------------------------------------------------------5分 ①不等式()sin cos f x x x >+恒成立可化为：sinx ﹣cosx ﹣x ＞﹣b 记函数g （x ）=sinx ﹣cosx ﹣x ，[0,]2x π∈3()cos sin 1)1,[0,][,sin()1424444g x x x x x x x ππππππ'=+-=+-∈+∈≤+≤1)4x π≤+≤()0g x '>在[0,]2π恒成立--------------------8分函数()g x 在[0,]2π上是增函数，最小值为g （0）=﹣1所以b ＞1， 所以b 的取值范围是（1，+∞）-------------------------------------10分 ②由121(,)33m m ππ--得：12133m m ππ--<，所以m ＞0------------------11分 令f′（x ）=2cosx ﹣1＞0，可得22,33k x k k Z ππππ-<<+∈-----------------13分∵函数f （x ）在区间（121,33m m ππ--）上是单调增函数， ∴121223333m m k k ππππππ--≥-≤+且-------------------------------------14分∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0＜m≤1---------------------------16分20、解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=Q 即又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q ==∴对于k N *∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-⋅=-=⋅故12,21,23,2nn n n k a k N n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩----------------------5分 （2）22(121)2(13)13213k k kk k S k +--=+=-+------------------8分（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由-----------------------------------------------10分 若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得123232(21)k k k -⋅+⋅=+化简得14321k k -⋅=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立-----12分若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1(21)(21)223k k k --++=⋅⋅化简得13k k -=------------------------------------------------------------14分令1,()3k k k T k N *-=∈，则111120333k k k k kk k k T T +-+--=-=< 因此，1231T T T =>>>L ，故只有11T =，此时1,2111k m ==⨯-=综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1-----------------------------------------------------------16分。