分离变量法(非齐次方程的求解问题)

一阶线性非齐次微分方程求解方法归类$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$其中，$P(x)$和$Q(x)$是给定函数。

下面我们将对一阶线性非齐次微分方程的求解方法进行分类。

1. 齐次线性微分方程求解：当$Q(x)=0$时，微分方程可以化简为一阶齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$。

这类微分方程可以直接求解，通常使用分离变量法将方程分离并积分。

2.直接求解法：当$P(x)$和$Q(x)$是已知函数时，可以直接求解一阶线性非齐次微分方程。

可以通过求解齐次线性微分方程得到其通解，然后使用常数变易法得到非齐次微分方程的特解。

3. 变量分离法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量变化或分离变量法将方程化为可直接积分的形式。

例如，当$Q(x)$是$y$的函数时，可以使用分离变量法将方程化为$\frac{{dy}}{{Q(y) - P(x)y}} = dx$，然后积分得到解。

4. 求导数法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过求导数的方式求解。

例如，当方程可以写成$\frac{{dy}}{{dx}} = f(ax + by + c)$的形式时，可以通过求导数来化简方程，并使用变量分离法进行求解。

5.积分因子法：当$P(x)$是一个可导函数时，可以使用积分因子法来求解一阶线性非齐次微分方程。

积分因子是一个乘法因子，可以使得原方程变成一个恰当微分方程，从而可以直接进行积分得到解。

积分因子的计算可以通过乘以一个合适的因子来使得原方程的左边满足恰当微分方程的条件。

综上所述，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要有齐次线性微分方程求解、直接求解法、变量分离法、求导数法和积分因子法等方法。

根据具体的微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。

特别是对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，如可线性化的方程和恰当方程，还可以使用对应的特殊方法进行求解。

高等数学中微分方程的解析解求取思路微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及这些变量的变化规律。

微分方程的解析解是指能够用已知的数学函数表示的解，相较于数值解具有明确性和简洁性。

对于给定的微分方程，我们可以通过一定的方法和技巧来求取解析解。

1. 分离变量法分离变量法是求取微分方程解析解的常用方法。

该方法适用于可以将微分方程表达式中的未知函数和自变量分离成两个方程的情况。

首先，将方程中的未知函数和自变量分别放在等号两边，并将所有包含未知函数的项放在一边，包含自变量的项放在另一边。

接下来，对方程两边同时进行积分操作。

对包含未知函数的一边进行不定积分，对包含自变量的一边进行定积分。

最后，将两边的积分常数合并，并解出未知函数，得到微分方程的解析解。

2. 变量代换法变量代换法是求解微分方程的另一种常用方法。

通过选择适当的变量替换，可以将原方程转化为更简单的形式，进而求得解析解。

例如，可以通过引入新的变量替换原方程中的未知函数，或者将原方程中的未知函数表示为其他函数的导数形式来进行变量代换。

经过变量代换后，原方程可以转化为更简单的形式，使得求解更加容易。

3. 齐次方程的解法对于齐次微分方程，可以通过齐次方程的解法来求得解析解。

齐次方程指的是微分方程中，未知函数和自变量的项都是同次数的情况。

对于齐次方程，可以引入新的变量替换，将其转化为分离变量的形式，然后利用分离变量法进行求解。

在齐次方程的解法中，可以使用如分离变量法、变量代换法等的一些常用技巧来求得解析解。

4. 常数变易法常数变易法也是一种常用的求解微分方程的方法。

该方法适用于非齐次线性微分方程的情况。

常数变易法将微分方程的未知函数表示为特解与齐次方程的通解之和的形式。

首先，求得齐次方程的通解。

然后，假设非齐次方程的解为一个特解。

通过代入原方程，将特解代入通解中，并求得特解的具体形式。

最后，将特解和齐次方程的通解相加，得到非齐次方程的通解。

微分方程的常用解法微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

它描述了变量之间的关系，通过求解微分方程，我们可以得到系统的行为规律。

本文将介绍微分方程的常用解法，包括分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法以及一阶线性非齐次方程法。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

它的基本思想是将微分方程中的变量分离，使得方程两边可以分别关于不同的变量积分。

具体步骤如下：1. 将微分方程中的变量分离，将含有未知函数及其导数的项移到方程的一边，将不含未知函数的项移到方程的另一边。

2. 对两边同时积分，得到一个含有未知函数的表达式。

3. 求解该表达式，得到未知函数的解。

二、齐次方程法齐次方程是指微分方程中只包含未知函数及其导数的项，不包含未知函数的项。

对于这类方程，可以使用齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 将齐次方程中的未知函数及其导数替换为新的变量，令y = ux，其中u是一个新的函数。

2. 将原方程中的未知函数及其导数用新的变量表示，得到一个关于u和x的方程。

3. 求解该方程，得到u的解。

4. 将u的解代入y = ux，得到未知函数y的解。

三、常系数线性齐次方程法常系数线性齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数都是常数的方程。

对于这类方程，可以使用常系数线性齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 假设未知函数的解为y = e^(kx)，其中k是一个待定的常数。

2. 将该解代入原方程，得到一个关于k的代数方程。

3. 求解该代数方程，得到k的值。

4. 将k的值代入y = e^(kx)，得到未知函数y的解。

四、一阶线性非齐次方程法一阶线性非齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数是常数，但方程中还存在一个非零的常数项的方程。

对于这类方程，可以使用一阶线性非齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程，得到齐次方程的通解。

2. 假设非齐次方程的特解为y = u(x)，其中u(x)是一个待定的函数。

非齐次微分方程通解在数学领域中，微分方程是一种描述变量之间关系的数学方程。

非齐次微分方程是其中一类常见的微分方程，其通解的求解方法也是让人感到困惑和挑战的。

非齐次微分方程通解指的是能够满足给定初始条件的微分方程的解集。

在求解非齐次微分方程的通解时，我们需要先求得其对应的齐次微分方程的通解，再找到一个特解，将齐次通解和特解相加，从而得到非齐次微分方程的通解。

对于一阶非齐次线性微分方程，其一般形式为：y' + P(x)y = Q(x)其中，P(x)和Q(x)是已知的函数。

要求解这类微分方程的通解，我们需要首先求得对应的齐次微分方程的通解。

齐次微分方程是指Q(x)为0的情况，即：y' + P(x)y = 0对于这类微分方程，我们可以使用分离变量的方法来求解。

将y'和y分离到方程的两边，得到：dy/y = -P(x)dx对上式两边同时积分，得到齐次微分方程的通解：ln|y| = -∫P(x)dx + C其中C为常数。

接下来，我们需要找到非齐次微分方程的一个特解。

特解的选择有很多种方法，包括常数变易法、待定系数法等。

我们根据具体的情况选择合适的方法来求解。

假设我们使用待定系数法来求解非齐次微分方程的特解。

我们假设特解为y = u(x)，将其代入非齐次微分方程中，得到：u'(x) + P(x)u(x) = Q(x)我们需要确定u(x)的形式，使得上式成立。

根据Q(x)的形式，我们可以猜测u(x)的形式，并代入方程中。

通过比较系数，我们可以得到u(x)的具体表达式。

得到特解u(x)后，我们将其与齐次通解相加，即可得到非齐次微分方程的通解：y = u(x) + ln|y| = -∫P(x)dx + C其中C为常数。

总结一下，非齐次微分方程通解的求解过程是将对应齐次微分方程的通解与特解相加。

通过求解齐次微分方程的通解，我们可以找到非齐次微分方程的一般解，再通过特解的求解，得到非齐次微分方程的特定解。

考研高数必背微分方程初值问题的求解方法微分方程初值问题是高等数学中的重要内容，在考研高数中也是一个必备的知识点。

解决微分方程的初值问题可以帮助我们找到函数的特定解，为后续的计算和分析提供基础。

本文将介绍几种常见的求解微分方程初值问题的方法，帮助考生掌握这一知识点。

方法一：分离变量法分离变量法是求解微分方程中常见的一种方法，适用于一阶常微分方程。

其基本思想是将微分方程中的变量分开后，逐个求解。

下面以一个具体的例子来说明分离变量法的具体步骤。

例题：求解微分方程 dy/dx = x/y, y(0) = 1 的特解。

解答：将变量分离得到 y dy = x dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫xdx。

分别求解这两个积分，得到ln|y| = 1/2*x^2 + C1，再两边取指数得到 |y| = e^(1/2*x^2 + C1)。

利用初值条件 y(0) = 1，得到 C1 = 0，因此特解为 y = e^(1/2*x^2)。

方法二：常系数线性齐次微分方程的求解常系数线性齐次微分方程是一类特殊的微分方程，具有形如dy/dx + Py = 0 的特点。

其中，P表示常系数。

这类微分方程的初值问题可以通过特征方程来求解。

例题：求解微分方程 dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 的特解。

解答：首先根据方程的形式可知，这是一个常系数线性齐次微分方程。

它的特征方程为 r + 2 = 0，解得 r = -2。

由于根为实数且不相等，所以特解可以写为 y = C*e^(-2x)，其中C为待定系数。

利用初值条件y(0) = 1，得到 C = 1，因此特解为 y = e^(-2x)。

方法三：二阶线性非齐次微分方程的求解二阶线性非齐次微分方程是一类常见的微分方程，具有形如d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x) 的特点。

其中，P(x)、Q(x)和f(x)分别表示一阶导数、常数和非齐次项。

常微分方程的几何意义和解法在数学领域中，常微分方程是一类非常重要的问题之一。

这类问题包括了数学中最基本的物理问题，而且是很多实际问题的数学模型。

在这篇文章中，我们将会探究常微分方程的几何意义和解法。

首先，我们需要明确什么是常微分方程。

常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是数学中的一类方程，是描述一个未知函数在自变量上导数的函数关系式。

常微分方程的例子包括了以下几种:1. y' = f(x,y) (一阶常微分方程)2. y''+y = 0 (二阶齐次常微分方程)3. y''+y = cos x (二阶非齐次常微分方程)我们先来看第一种类型的常微分方程。

对于y' = f(x,y)，我们可以将其看作一个二维函数图像中的切线斜率问题。

这里，y代表了这个函数的纵坐标，x代表了这个函数的横坐标，y'代表了这个函数图像在这个点的切线斜率。

而f(x,y)则代表了这个切线斜率与这个点（x,y）的坐标之间的关系。

因此，我们可以使用一系列箭头指向各个点上的切线，从而得到图像的整体特征。

对于二阶常微分方程：y''+y = 0，我们可以将其看作一个简谐振动的问题。

在这个问题中，y代表运动物体的位置，而加速度则等于y的二阶导数。

因此，方程中的y''可以被看作物体的加速度，而y相当于物体在相应时刻的位置。

当y<0时，物体向一个方向运动，而当y>0时，则向相反的方向运动。

而对于非齐次方程，比如y''+y = cos x，我们就需要通过特殊的技巧求解。

在这个方程中，cos x可以被看作外力的结构，而y代表了这个问题的解。

因此，在求解这个方程时，我们可以先求得它的齐次部分解，然后再利用特殊的技巧来求得其非齐次解。

接下来，我们需要了解一下求解常微分方程的几种方法。

1. 变量分离法：变量分离法是常微分方程求解中最常用的方法之一。

齐次式常见处理方法齐次式是指一个多项式方程中，所有非零项次数相同，且系数都为0的方程。

对于一个齐次方程，我们可以通过一些特定的处理方法来求解它的通解。

一、分离变量法当一个齐次方程可以化为分离变量的形式时，我们可以通过分离变量来求解。

分离变量的方法是将方程转化为dy/dx=f(x)/g(y)，然后对等式两边进行积分，从而求得y关于x的通解。

二、特征根法（线性齐次方程）对于一个线性齐次方程，我们可以通过特征根法来求解它的通解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为特征方程，即将齐次方程化为n阶常系数线性常微分方程。

2. 求解特征方程的特征根，得到n个特征根。

3. 根据特征根的重数来确定对应的n个基本解，这些基本解构成了齐次方程的通解。

4. 根据初始条件来确定特定的解，并求得齐次方程的特解。

三、常数变易法（非齐次方程）对于一个非齐次方程，我们可以通过常数变易法来求其通解。

具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程的通解。

2. 假设非齐次方程的特解为通解乘以一个待定常数C，并代入方程。

3. 求解待定常数C。

4. 将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解。

四、待定系数法（非齐次方程）对于一个非齐次方程，我们可以使用待定系数法来求解。

具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程的通解。

2. 假设非齐次方程的特解为一个多项式形式。

根据非齐次方程的形式确定多项式的次数以及各个系数。

3. 将特解代入非齐次方程，并求解各个系数。

4. 将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解。

以上是常见的几种处理齐次方程的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体的方程形式以及已知的条件选择适合的求解方法。

同时，对于复杂的方程，我们也可以将其转化为标准形式，然后再进行求解。

最后，需要注意的是，在求解过程中，我们要注意分析特定条件下的解，以满足给定的初值或边界条件。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。

我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。

简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。

这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。

我们来看一下分离变量法。

分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。

这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。

具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。

接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。

下面我们来看一下特征线法。

特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。

具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题。

让我给你简单解释一下这个概念。

你知道吗，微分方程就像是一个神秘的世界，里面有很多奇妙的现象。

而二阶常系数非齐次线性微分方程就是这个世界里的一个谜题。

它的意思是说，这个方程有两个未知数，其中一个未知数的最高次数是2,而且方程中没有齐次项。

听起来好像很难懂，但别担心，我会用最简单的语言来解释给你听。

我们来看一个例子。

假设我们有一个问题：求解下面的二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + 3y' + 2y = x^2这个问题看起来很复杂，但是我们可以用一种叫做“分离变量”的方法来解决。

具体步骤如下：1. 我们把方程中的x^2移到等式左边，得到一个新的方程：y'' + 3y' + 2y x^2 = 02. 然后，我们把这个新方程看作是一个关于y的二次方程。

为了求解这个二次方程，我们可以先求出它的两个根，分别是y1和y2。

3. 我们根据这两个根和原方程的关系，就可以求出x的值。

这个方法虽然看起来有点复杂，但是其实很简单。

只要你掌握了这种方法，就可以轻松地解决很多类似的问题。

当然啦，还有很多其他的方法可以用来解决二阶常系数非齐次线性微分方程，比如“积分因子法”等等。

但是我觉得，还是分离变量的方法最简单、最直观。

好了，现在我们已经知道了如何解决二阶常系数非齐次线性微分方程的问题。

接下来，我要给你讲一个有趣的故事。

从前，有一个叫小明的小男孩，他非常喜欢学习数学。

有一天，他在家里发现了一本旧书，里面记载了很多神奇的数学知识。

其中就包括了二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

小明觉得这个方法非常神奇，于是决定试着去解决一些实际问题。

有一天，小明的爷爷给他出了一道难题：求解下面的二阶常系数非齐次线性微分方程：y''' + 6y'' + 4y' + 3y = x^3小明看了看这个方程，觉得非常有挑战性。

偏微分方程的几种经典解法经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel 原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的'D Alembert 公式,求解位势方程的Green 公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的.本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier 变换法以及Green 函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法.1.分离变量法分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题.1.1第一初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程)2222sin 2cos 2,u ux t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.1) (0,)(,)0,u t u t π== 0t > (1.2) (,0)sin ,u x x =0x π<< (1.3)(,0)sin 2,ux x t∂=∂ 0x π<< (1.4) 解：用分离变量法求问题(1.1)—(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.5)方程(1.1)对应的齐次方程为22220,u ut x∂∂-=∂∂0,0x t π<<> (1.6) 将(1.5)式代入方程(1.6)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.7) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.7)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.2)和(1.5)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.2)—(1.6)可以化为如下形式的两个常微分问题,即()()"()()0,1(0)()0,2X x X x X X λπ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题. 求解问题(1).根据常微分方程的理论可知,问题(1)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.8)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底.将问题(1.1)—(1.4)中的非齐次项和初值按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin 2cos 2()sin ,n n x t f t nx ∞==∑ 0,0x t π≤≤≥1sin sin ,n n x a nx ∞==∑ 0,x π≤≤1sin 2sin ,n n x b nx ∞==∑ 0,x π≤≤其中0,1()cos 2,20,0,3n n f t t n t n =⎧⎪==≥⎨⎪≥⎩ 1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩,0,11,20,3n n b n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩设1(,)()()n n n u x t X x T t ∞==∑, 0,0x t π≤≤≥ (1.9)是问题(1.1)—(1.4)的形式解,将上式代入(1.1)—(1.4)可得,()n T t 是如下常微分方程初值问题的解,"'()()(),0(0),(0),n n n n n n n n T t T t f t t T a T b λ⎧+=>⎪=⎨⎪=⎩,其中1,2,n =.求解问题(2).当1n =时,问题(2)转化为求常微分问题"11'11()()0,(0)0,(0)1,T t T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (3) 有常微分方程理论可知,问题(3)的通解为112()cos sin T t c t c t =+.将其代入1(0)1T =,得11c =.将12()cos sin T t t c t =+代入'1(0)0T =得20c =.故1()cos T t t =. 当2n =时,问题(2)转化为常微分问题"22'22()4()cos 2,(0)1,(0)0,T t T t t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (4)对应其次方程的特征根为2i α=±,用常微分方程中的算子解法求特解.2(4)cos2,D x t +=故sin 24tx t =.所以问题(4)的通解为212()cos 2sin 2sin 2.4tT t c t c t t =++将其代入2(0)0T =得10c =,将22()sin 2sin 24t T t c t t =+代入'2(0)1T =得212c =,故22()sin 2.4t T t t +=当3n ≥时,问题(2)转化为常微分问题"2'()()0,(0)0,(0)0,n n n nT t n T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (5) 由常微分理论可知,问题(5)的通解为12()cos sin ,3,4,n T t c nt c nt n =+=将其代入(0)0,n T =得10c =.将2()sin n T t c nt =代入'(0)0,n T =得20c =.故()0n T t =. 综上有cos ,1,2()sin 2,2,040,3,n t n t T t t n t n =⎧⎪+⎪==≥⎨⎪≥⎪⎩(1.10)将(1.8)(1.10)代入(1.9)中,得问题(1.1)—(1.4)的形式解为2(,)sin cos sin 2sin 2,4t u x t x t x t +=+ 0,0x t π≤≤≥经检验,该形式解满足原问题及初边值条件,该形式解就是原问题的解. 例：利用分离变量法求解下述问题22220,u ut x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.11) (0,)sin ,(,)0,u t t u t π== 0t >, (1.12) (,0)0,u x = 0x π<<, (1.13)(,0),u x x t ππ∂-=∂ 0x π<<, (1.14) 解：将上述非零边值问题转化为零边值问题,用变量代换,设(,)u x t 是原问题的解,令(,)(,)sin ,xv x t u x t t ππ-=-0,0x t π≤≤≥. 则(,)v x t 是如下问题的解2222(,),v vf x t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.15) (0,)(,)0,v t v t π== 0t >, (1.16) (,0)0v x =, 0x π<<, (1.17)(,0)0,vx t∂=∂ 0x π<<, (1.18) 其中(,)sin ,xf x t t ππ-=0,0x t π≤≤≥. 用分离变量法求问题(1.15)—(1.18)的形式解.设该问题有如下形式的形式解(,)()()v x t X x T t =, (1.19)方程(1.15)对应的齐次方程为22220,v vt x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<>, (1.20) 将(1.19)代入方程(1.20)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.21) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.21)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.16)和(1.19)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.16)—(1.18)(1.20)可以化为如下形式的两个常微分问题,即"()()0,(0)()0,X x X x X X λπ⎧+=⎨==⎩ (6) 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题.(7) 求解问题(6).根据常微分方程的理论可知,问题(6)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.22)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底. 将问题(1.15)—(1.18)的非齐次项按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin ()sin ,n n xt f t nx ππ∞=-=∑0,0.x t π≤≤≥ 令sin n xc nx ππ-=,则在其两端同乘sin nx 再在(0,)π上积分,得 200sin sin 2nn x nxdx c nxdx c πππππ-==⎰⎰. 由分部积分,经计算可得2n c n π=.从而2()sin n f t t n π=,0t ≥,1,2,n =.设1(,)()()n n n v x t X x T t ∞==∑,0,0.x t π≤≤≥是问题(1.15)—(1.18)的形式解,将其带入(1.15)—(1.18)可得,()n T t 是如下常微分问题的解"22()()sin ,n n T t n T t t n π+=0,t > (1.23) (0)0,n T = (1.24) '(0)0,n T = (1.25)其中1,2,n=(1.23)—(1.25)对应的齐次方程的特征根为ni α=±,则通解为()cos sin n n n T t A nt B nt =+.用算子算法求特解,222()()sin n D n T t t n π+=,解得 22sin ()(1)n tT t n n π=-. 故该问题的通解为22sin ()cos sin (1)n n n tT t A nt B nt n n π=++-. (1.26)将上式代入(0)0,n T =得0n A =,将22sin ()sin (1)n n t T t B nt n n π=+-代入'(0)0,n T =得222(1)n B n n π-=-,1,2,n =.故2222sin 2sin ()(1)(1)n nt tT t n n n n ππ-=+--,0,t >1,2,n =.因此,问题(1.15)—(1.18)的形式解为22212sin 2sin (,)sin (1)(1)n nt t v x t nx n n n n ππ∞=⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭∑,0,0.x t π≤≤≥ (1.27) 考察(1.27)右端级数的收敛性.记2222sin 2sin sin (1)(1)n nt t a nx n n n n ππ⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭,0,0,x t π≤≤≥1,2,n =.容易验证下列级数均在[0,][0,)π⨯+∞上一致收敛1n n a ∞=∑,1n n a x ∞=∂∂∑,1n n a t ∞=∂∂∑,221n n a x ∞=∂∂∑,221n n a t ∞=∂∂∑,21nn a x t ∞=∂∂∂∑. 经检验,(,)v x t 满足问题(1.15)—(1.18),就是 问题(1.15)—(1.18)解.将(1.27)代入(,)(,)sin xu x t v x t t ππ-=+,0,0,x t π≤≤≥ 得22212sin 2sin (,)sin sin (1)(1)n nt t xu x t nx t n n n n ππππ∞=⎛⎫--=++ ⎪--⎝⎭∑,0,0,x t π≤≤≥ 此即为原问题(1.11)—(1.14)的解.1.2第二初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(抛物型)220,u ut x ∂∂-=∂∂ 01,0x t <<> (1.28) (0,)(1,)0,u u t t x x ∂∂==∂∂ 0,t > (1.29) (,0)cos ,u x x π= 01,x << (1.30)解：用分离变量法求解问题(1.28)—(1.30)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.31)将其代入(1.28)有"'()()()()X x T t X x T t λ∆==-,01,0x t <<> (1.32) 其中λ为某一常数,且0λ≥. 由(1.32)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,1)上积分,得11"20()()()0,X x X x dx X x dx λ+=⎰⎰注意到由(1.29)和(1.31)有''(0)(1)0,X X ==所以有11'220()()X x dx X x dx λ=⎰⎰易见0λ≥.故(1.28)—(1.30)可化为如下形式的两个常微分问题,即"''()()0,01,(0)(1)0,X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ (8) 和'()()0,0T t T t t λ+=> (9)求解问题(8),当0λ=时,有"()0X x =,''(0)(1)0,X X ==由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12()X x c c x =+,01x ≤≤.将其代入'(0)0X =,有20c =,故1()X x c =,其中1c 为任意常数. 当0λ>时,由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12(),X x c c =+ 01x ≤≤将其代入'(0)0X =,则20c =,将1()X x c =代入'(1)0X =,得2()n n λπ=, 1,2,n=特征值n λ对应的特征函数为()cos n X x n x π=,1,2,n =,01x ≤≤.所以,对于0λ≥,有()cos n X x n x π=,01x ≤≤, 0,1,2,n=注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即100,,()(),,2m nm n X x X x dx m n π≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰ 这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,1))L 的一个基底. 下面求解问题(9),将2()n n λπ=代入,可有'22()()0,n n T t n T t π+=0,1,2,n =,0t ≥.有常微分方程理论可知其通解为223()n t n T t c e π-=, 0,1,2,n =, 0t ≥.此时,形式解为2230(,)()()cos n t n n n n u x t X x T t c n xe ππ∞∞-====∑∑, 01x ≤≤,0t ≥.将其代入(1.30)中,得30(,0)cos cos n u x c n x x ππ∞===∑,01,x <<由比较系数法,可得31,10,1n c n =⎧=⎨≠⎩ 故问题(1.28)—(1.30)的形式解为2(,)cos t u x t xe ππ-=,01x ≤≤,0t ≥.经检验,该形式解满足原问题(1.28)—(1.30),此即为原问题的解.1.3 Poisson 方程的边值问题分离变量法还适用于某些特殊形状区域上的二维Poisson 方程的各种边值问题,如果所考虑的定解区域是矩形域,那么可以完全仿照前面的方法来求解,只是此时x,y 之一要扮演t 的角色；如果定解区域是圆域或环形域,则应先做极坐标变换将定解问题化为矩形区域上的定解问题,然后利用分离变量法求解. 例:利用分离变量法求解下述问题22222212(),u u x y x y∂∂+=-∂∂ 12,<< (1.33)(,)0,u x y =1,= (1.34)(,)0,ux y υ∂=∂2,= (1.35)其中υ为2{(,):2}x y R ∂∈<上的单位外法向量.解：用分离变量法求解问题(1.33)—(1.35)的形式解.首先,通过极坐标变换将环形域上的定解问题化为矩形域上的定解问题,做极 坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 12,02ρθπ≤≤≤≤, 则(1.33)—(1.35)化为2222221112cos 2,v v vρθρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.36) (1,)0,(2,)0,vv θθρ∂==∂ 02θπ<<, (1.37) 其中(,)(cos ,sin )v u ρθρθρθ=,12,02ρθπ≤≤≤≤.注意到在极坐标条件下(,0)ρ与(,2)ρπ表示同一点,故(,)v ρθ还满足如下周期性条件(,0)(,2),(,0)(,2),v v v v ρρπρρπθθ∂∂==∂∂ 12,ρ<< (1.38) 问题(1.36)—(1.38)是一个定解问题. 方程(1.36)对应的齐次方程为22222110,v v vρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.39) 设问题对应的形式解为(,)()()v R ρθρθ=ψ,12,02ρθπ≤≤≤≤. (1.40)将(1.40)代入(1.37)中,得"'"211()()()()()()0,R R R ρθρθρθρρψ+ψ+ψ= 12,02ρθπ<<<<即"2"'()()(),()()R R R θρρρρλθρ∆ψ+=-=-ψ12,02ρθπ<<<<, (1.41) 其中λ为固定常数,下面证明0λ≥.由(1.41)有"()()0,θλθψ+ψ= 02θπ<<,在上式两端同乘()θψ,并在(0,2)π上积分,由(1.38)和(1.40)可知''(0)(2),(0)(2),ππψ=ψψ=ψ所以有22'220()(),d d ππθθλθθψ=ψ⎰⎰易见0λ≥.所以问题(1.37)(1.38)(1.40)可化为两个常微分问题,即"''()()0,(0)(2),(0)(2),θλθππ⎧ψ+ψ=⎪⎨ψ=ψψ=ψ⎪⎩ 02θπ<<, (10) 以及2"'()()()0R R R ρρρρλρ+-=和适当定解条件的常微分问题(11)求解问题(10).当0λ=时,有"''()0,(0)(2),(0)(2),θππψ=ψ=ψψ=ψ由常微分方程的理论可知,问题(10)的通解为()A B θθψ=+,02θπ≤≤,代入(0)(2)πψ=ψ得()A θψ=,其中A 为任意实数. 当0λ>时,通解为(),A B θψ=+02θπ≤≤, 将其代入''(0)(2),(0)(2)ππψ=ψψ=ψ有sin ,A A B =+=-+, 故2,1,2,n n n λ==特征值n λ对应的特征函数为()cos sin ,02,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=.其中n A 和n B 是任意不同时为零的实数,综上可知()cos sin ,02,0,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=,其中0A 是任意不为零的实数,n A 和n B 是任意不同时为零的实数. 注意到1{cos sin }n n n θθ∞=+是一个直交系统,即20()()0,,,0,1,2,m n m n m n πθθψψ=≠=⎰,这表明1{cos sin }n n n θθ∞=+正规化后是2((0,2))L π的一个基底.设1(,)()()()cos ()sin ,n n n n n n n v R A n B n ρθρθρθρθ∞∞∞====ψ=+∑∑∑12,02ρθπ≤≤≤≤,将非齐次项按1{cos sin }n n n θθ∞=+展开,有2n =时,2212A ρ=代入(1.4)—(1.6)有"'22222'2214()()()12,(1)(2)0,A A A A A ρρρρρρ⎧+-=⎪⎨⎪==⎩ 12,ρ<< 2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n A A A A A ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 0,1,3,4,n =,和2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n B B B B B ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 1,2,3,n =.解得2242129112(),1717A ρρρρ-=-++ 12ρ≤≤, ()0n A ρ=, 12ρ≤≤,0,1,3,4,n =, ()0n B ρ=, 12ρ≤≤,1,2,3,n =.故224129112(,)()cos 21717v ρθρρρθ-=-++, 12,02ρθπ≤≤≤≤ 因此,原问题的形式解为2222222112(,)[12917()],17()x y u x y x y x y -=-++++12≤. 经检验,该形式解满足原问题,即为原问题的解.二．行波法行波法：求解一维波动方程的常用解法,利用这种方法得到波动方程的一个重要求解公式（'d Alembert 公式）1.齐次波动方程cauchy 问题定理2.1（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,则函数 ()()()()()x+atx-at11u x t =x-at +x+at +d 22a ϕϕψξζ⎰，,[)()2u C R 0+∈⨯∞，是cauchy 问题22222u u-a =0t x∂∂∂∂, x R t>0∈， ()(),0u x x ϕ=, x R ∈()(),0ux x tψ∂=∂, x R ∈的解.例：求解下述波动方程的cauchy 问题()()2222120,,0,0cos ,,0cos ,u u uu x R t t x t u x x x R ux e x x R t -⎧∂∂∂-++=∈>⎪∂∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=-∈⎪∂⎩解：首先将方程化为标准形式.设u 是原问题的解,令()(),,,,0t v x t e u x t x R t =∈≥则v 是如下问题的解()()222210,,0,cos ,,0,v vx R t t x v x t x x Rvx e x R t-⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩ 由定理2.1可知()()()()1111,cos cos 22cos cos ,,0x t x tv x t x t x t e d x t te x R t ζ+---=-+++=+∈≥⎰ 因此()()()1,cos cos t u x t e x t t e -+=+, ,0x R t ∈≥为原问题的解.利用一维齐次波动方程cauchy 问题的通解表达式,还可以求解其他定解问题.在此不再赘述.2.非齐次波动方程的cauchy 问题定理2.2（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,[)()10,f C R ∈⨯+∞, 则函数()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d af d d x R t aττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++∈≥⎰⎰⎰属于[)()20,C R ⨯+∞,是cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a f x t x R t t x u x x x R ux x x R t ϕψ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩的解,其中0a >.注2.1上述问题解得光滑程度本质上取决于初值和非齐次项的光滑程度. 注2.2 如果()(),x x ϕψ和(),f x t 都是x 的奇（偶,周期）函数,则上述问题的解也是x 的奇（偶,周期）函数. 例：求解下述波动方程的定解问题()()()()()()22222,,00,0,0,0,0,0,0u u a f x t x t x u t t u x x x ux x x tϕψ∂∂-=>∂∂=>=>∂=>∂其中0a >,[)()[)()[)[)()2110,,0,,0,0,C C f C ϕψ∈+∞∈+∞∈+∞⨯+∞,且满足相容性条件()()()()2''000,00,0a f ϕψϕ==-=解：注意到如果u 是x 的奇函数,则u 自然满足边值条件.因此,根据注2.2,我们可以采用奇延拓方法来求解上述问题.将()(),x x ϕψ和(),f x t 关于0x =做奇延拓,即令()()(),0,0x x x x x ϕϕ≥⎧⎪Φ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0x x x x x ψψ≥⎧⎪ψ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0,0,,,0,0f x t x t F x t f x t x t ≥≥⎧⎪=⎨-<≥⎪⎩考虑cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a F x t x R t t x u x x x R ux x x R t⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=Φ∈⎨⎪∂⎪=ψ∈∂⎪⎩ 按'd Alembert 公式形式地写出其解()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d F d d x R t aττξζζτζτ+-+---=Φ-+Φ++ψ+∈≥⎰⎰⎰回到原来的初值,ϕψ和非齐次项f ,就可以得到原问题的形式解如下：当0x at ≥≥时,()()()()()()()()011,221,2x atx att x a t x a t u x t x at x at d a f d d a ττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++⎰⎰⎰ ()1而当0x at ≤≤时,()()()()()()()()()()())/0/11,221(,,2x atat x t x a x a t t x a t a t x t x a x a t u x t at x x at d af d d f d d aττττϕϕψξζζτζτζτζτ+--+-+------=--+++++⎰⎰⎰⎰⎰ ()2可以直接验证由()1和()2确定的形式解[)[)()20,0,u C ∈+∞⨯+∞就是定解问题的解.三．幂级数解法幂级数解法：是求解偏微分方程的经典解法之一,不仅可以求解一维问题,还可以求解高维问题.我们先来求解如下的常微分方程初值问题()()()()2''0,00,'00,u t a u t t u A u +=>== ()()()3.13.23.3其中0a >方程()3.1的通解是()12cos sin ,0u t C at C at t =+≥其中1C 和2C 是任意实数.由边值条件()3.2和()3.3,可得12,0C A C ==.于是,问题()()3.1 3.3-的解为()cos ,0u t A at t =≥注意到()()()201cos ,02!nnn at at t n ∞=-=≥∑因此,问题()()3.1 3.3-的解可写为如下的级数形式()()()()()()222001,02!2!nn nnn n at tu x A a A t n n ∞∞==-==-≥∑∑. ()3.4定理3.1 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数()202!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()()()2222200,,,0,2!2!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑ 就是波动方程Cauchy 问题()()()22220,,0,0,,0=0,u ux R t t x u x x x R u x x Rt ϕ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪∈∂⎪⎩的级数形式的形式解.定理3.2 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数0!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()22200,,,0,!!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑就是热传导方程Cauchy 问题220,,0u u x R t t x∂∂-=∈>∂∂()(),0,u x x x R ϕ=∈的级数形式地形式解.幂级数方法求解问题的一大优点就是空间维数不限,下面的例子是一个高维问题.例：求解三维波动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()232330,,,,0, 3.5,,,0,,,,,, 3.6,,,00,,,,3.7uu x y z R t t u x y z x y z x y z R ux y z x y z R tϕ∂-∆=∈>∂=∈∂=∈∂ 其中222222,x y z∂∂∂∆=++∂∂∂()()2223,,,,,x y z x y z x y z R ϕ=++∈解：令2,a A ϕ=-∆=,则由()3.4可得到问题()()3.5 3.7-的级数形式的形式解()()()()230,,,,,,,,,02!n nn t u x y z t x y z x y z R t n ϕ∞==∆∈≥∑ ()3.8将ϕ的表达式代入()3.8,得()()22223,,,3,,,,0u x y z t x y z t x y z R t =+++∈≥容易验证,这个形式解的确是定解问题的解.四.Fourier 变换方法1.()R ε,()D R 和()R ϕ空间（i ）()R ε空间：对于{}()1n n u C R ∞∞=⊂和()u C R ∞∈,如果对任何a b <及任何非负整数k ,都有[]()()()(),0sup limk knn x a b u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()C R ∞,称为基本空间()R ε.(ii ）()D R 空间：对于{}()01n n u C R ∞∞=⊂和()0u C R ∞∈,如果存在a b <,使得[],n u a b ⊂supp 且对任何非负整数k ,都有()()()()0sup lim k knn x Ru x u x →∞∈-=则称()n u x 在()0C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()0C R ∞,称为基本空间()D R .(iii ）()R ϕ空间：如果()u C R ∞∈,且对任何非负整数k 和m ,都有()()sup k mx Rxu x ∈<+∞,则称()u R ϕ∈.()R ϕ中序列收敛的概念：对于{}()1n n u R ϕ∞=⊂和()u R ϕ∈,如果对任何非负整数m 和k ,都有()()()()()0sup limkkmnn x Rx u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()R ϕ中收敛于()u x .2．速降函数空间上的Fourier 变换(i ）定义：设(),R ϕϕ∈称函数[]()(),ix Rx e dx R ξϕξϕξ-=∈⎰F为ϕ的Fourier 变换,也记为();ϕξ∧称函数[]()-11x (),2ix Re d x R ξϕϕξξπ=∈⎰F为ϕ的Fourier 逆变换,也记为()x ϕ∨. (ii ）性质：a ）设()R ϕϕ∈,对任意正整数m 有()()()[]()()()()[]()11,;m m m m i x ix x ϕξξϕξϕϕ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F F F F[]()()()()()[]()()()()()11,.m m mm ix x i x ϕξϕξϕξϕ--⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦F F FFb) 设()R ϕϕ∈,对任意正整数0a R b R ∈≠∈和,有[]()[]()()()[]()11(),;ia iaxx a e a x e x ξϕξϕξϕξϕ----=-=⎡⎤⎣⎦F F FF[]()[]()()()[]()1111(),.x bx b x b b bbξϕξϕϕξϕ--==⎡⎤⎣⎦F F FFc) 设()12,R ϕϕϕ∈,则[][][][][][]11112121212,2ϕϕϕϕϕϕπϕϕ---*=*=；F F F FF F [][][][][][]111121212121,.2ϕϕϕϕϕϕϕϕπ---=*=*F F F F FF其中12ϕϕ*表示1ϕ与2ϕ的卷积,即()()()()1212,.R x x y y dy x R ϕϕϕϕ*=-∈⎰d ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()R ϕ上的连续线性变换.e ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换. (iii)在速降函数空间中求解热传导方程 考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.1,0,,4.2u u x t R t xu x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈ 其中()g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.1,4.2的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.1和初值问题()4.2关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥关于ξ作Fourier 逆变换,并利用()R ϕ上Fourier 逆变换的线性性质,得(),u x t ()212t ix Rg ee d ξξξξπ∧-=⎰()()22241()21()2().iy t ix R R t i x y R R x y tR g y e dye e d g y e d dy g y e dy ξξξξξξπξπ---+---===⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.1,4.2的解u 具有如下表达式的形式解()()24,(),,0.x y tRu x t g y edy x R t --=∈>特别地,若()22,xg x ex R -=∈,则问题()()4.1,4.2的解u 的形式解为()()()2222442,,,0.x x y y t tRu x t eedy x R t ----+==∈≥⎰且容易验证这个形式解满足方程（4.1）和初值问题（4.2）,从而是问题（4.1）,（4.2）的解.(iv)在速降函数空间中求解弦振动方程考虑弦振动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()22220,,0,,4.3,0,, 4.4,0,,4.5u ux t R t x u x x x R ux x x R tϕψ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈∂=∈∂其中()()(),x x R ϕψϕ∈.由于()()(),x x R ϕψϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.3 4.5-的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.3和初值问题()()4.4,4.5关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()()()()()()2220,0,4.6,0, 4.7,0, 4.8u u t t u ut ξξϕξξψξ∧∧∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎪⎪=⎨⎪⎪∂=⎪∂⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程,方程()4.6的通解为()()()12,.i t i t u t C e C e ξξξξξ∧-=+由()()4.7 4.8和,得()()()()()()12121==,.C C C C R i ξξϕξξξψξξξ∧∧+-∈，因此()()()()()()1211=,.22C C R i i ψξψξξϕξξϕξξξξ∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()()()()()11,22i t i t u t e e i i ξξψξψξξϕξϕξξξ∧∧∧∧∧-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1,,0.(4.9)22i t i t i t i t e e e e R t i ξξξξψξϕξξξ∧∧--=++-∈≥将())i t i t e e i ξξξ--改写为()1,,0.t i t i t i t e e e d R t i ξξξττξξ---=∈≥⎰ 对()4.9两端同时关于ξ作Fourier 变换,结合上式可得(),u x t ()()()()11222i t i t i t i t ix R e e e e e d i ξξξξξψξϕξξπξ∧∧--⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1144111222112211,,0.22t i x t i x t i i xR Rt t i x t t R ttx tx te e d e d e d x t x t e d d x t x t x d x t x t d x R t ξξξτξξϕξξψξτξππϕϕψξξτπϕϕψττϕϕψξξ∧∧+--∧+--+-=++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭=++-++=++-+∈≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.3 4.5-的解u 具有如下表达式的形式解()()()()()11,,,0.22x t x t u x t x t x t d x R t ϕϕψξξ+-==++-+∈≥⎰3.广义函数（i ）定义：(),D R ()R ε和()R ϕ上的连续线性泛函分别称为()',D R ()'R ε和()'R ϕ广义函数，它们统称为广义函数；(),D R ()R ε和()R ϕ上的全体连续线性泛函分别记为()',D R ()'R ε和()'.R ϕ(ii)判定：a ）设F 为()D R 上的线性泛函，则()'F D R ∈的充分必要条件是对任何闭区间[],ab ,存在非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()[]~,0,,.sup k x a b k kF u M u x u D R a b ∈≤≤≤∈⊂且supp ub ）设F 为()R ε上的线性泛函，则()'F R ε∈的充分必要条件是存在闭区间[],a b 以及非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()~,0,.sup k x a b k kF u M u x u R ε∈≤≤≤∈c ）设F 为()R ϕ上的线性泛函，则()'F R ϕ∈的充分必要条件是存在非负整数~~,m k 和正实数,M 使得()()()()~~0,0,.supk m x Rm m k kF u Mx u x u R ϕ∈≤≤≤≤≤∈4.广义函数空间上的Fourier 变换（i ）定义：设()[]()',f R f Fourier f R ϕϕ∈定义的变换为如下的上的泛函F[][](),,,f f R ϕϕϕϕ=∈，FF也记为;f ∧[]()-1f Fourier f R ϕ定义的逆变换为如下的上的泛函F[][]()-1-1,,,f f R ϕϕϕϕ=∈，F F也记为f ∨. (ii ）性质：a ）设()'f R ϕ∈,有()[]()[]()'1'1,;f i f f x ix f x ξξ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F FFF[]()()()()[]()()()()'11,'.f ixf x f x i f x ξξξξ--=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F FFF这里,导数指广义导数,乘积是指广义函数与其乘子的乘积.b ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()'R ϕ上的连续线性变换.c ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换.（iii ）()'R Fourier ϕ上的变换方法考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.10,0,,4.11u u x t R t x u x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈其中()'g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.10,4.11的解u 满足(),u t •∈()()'0.R t ϕ≥将方程()4.10和初值问题()4.11关于x 作Fourier 变换,并利用()'R ϕ上Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥()()()2'',0t g R e t R ξϕϕ∧-∈≥这里是的乘子.关于ξ作Fourier 逆变换,就可以得到问题()()4.10,4.11的形式解. 例：求解问题()()()()()()220,,0,,4.12,0,,4.13u ux t R t xu x x x R δ⎧∂∂-=∈⨯+∞⎪∂∂⎨⎪=∈⎩解：由于初值不是一个普通函数,所以问题()()4.12,4.13的解不可能在 0t =处连续,因此我们需要重新定义u 满足初值条件()4.13的含义.既然g 是一个不是普通函数的()'R ϕ广义函数,因此我们可以把初值条件()4.13定义为：作为()'R ϕ广义函数,(),u t •在0t =处等于g ,即()()'0lim ,.t u t g R ϕ+→•=于下面我们来求解问题()()()4.12,4.13.1, 5.3g ∧=注意到于是由，得()()22,=,,0.ttu t g eeR t ξξξξξ∧∧--=∈≥0t >因此当时，有()()224-14,,.x t tu x t e x R ξ--⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦F()()4.12,4.13于是我们得到问题的形式解()()24,,0.xt u x t x R t -=∈>，()()()0, 5.1.u C R ∞∈⨯+∞容易验证这个形式解满足方程最后验证它还满足初值条件()5.2,即()()()0lim ,,,,.t u x t x R ϕδϕϕϕ+→=∈事实上,对任意的()R ϕϕ∈,有()()()()()()2244,,,xxt t Ru x t x x ex dx ϕϕϕ--==⎰(22,0.yRe dy t ϕ-=>由控制收敛定理可知()()(200lim ,,lim 2y Rt t u x t x edyϕϕ++-→→=(()200,yRe dy ϕϕδϕ-===五．Laplace 方程的基本解和Green 函数place 方程的基本解求解全空间上的N （≥2）维Poisson 方程()(), 5.1Nu f x x R -∆=∈的解的表达式,先寻找其次Poisson 方程,即Laplace 方程()0, 5.2Nu x R -∆=∈的径向解,设()(||),N u x w x x R =∈是方程（5.2）的一个解,将u 的表达式代入方程（5.2）,得1''(||)'()0,\{0}N N w x w r x R r---=∈也就是说,w 满足方程1''()'()0,0N w r w r r r-+=>即1('())'0,0N r w r r -=>因此1'(),0,N A w r r r-=>其中A 是任意实数.从而2ln ,2(),3N B r C N w r BC N r-+=⎧⎪⎨+≥⎪⎩当，当， 其中B 和C 是任意实数, 定义：称N R 上的函数211ln 22||()1,3(2)||N N N x x N N x πω-⎧=⎪⎪Γ=⎨⎪≥⎪-⎩，当当 为Laplace 方程（5.2）的基本解,也成为Newton 位势,其中N ω是N 维单位球的表面积,Laplace 方程的基本解具有的性质：(1) (\{0})N C R ∞Γ∈,且对任意的\{0}N x R ∈,有()0x ∆Γ=；(2) Γ,1()()Nloc x L R ∇Γ∈,且在广义函数意义下()(),N x x x R δ-∆Γ=∈,即对任意的0()N C R ϕ∞∈,有()()(0)NR x x dx ϕϕ∇Γ⋅∇=⎰或者()()(0)NR x x dx ϕϕΓ⋅∇=-⎰2.Green 函数考虑Poisson 方程的第一边值问题()(),, 5.3u f x x -∆=∈Ω()()(),,5.4u x g x x =∈∂Ω其中Ω是(2)N R N ≥中具有光滑边界的有界区域,设21()()u C C ∈Ω⋂Ω是为题（5.3）,（5.4）的解,可以得到对任意的ξ∈Ω,()()()()()(()()),u x x x u x dx u x x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-Γ-∆=-+Γ--∂∂⎰⎰ 即()()()()()()(()()), 5.5u x x u x x u x dx x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-=Γ-∆+Γ--∂∂⎰⎰其中v 表示∂Ω的单位外法向量,因此,问题（5.3）,(5.4)属于21()()C C Ω⋂Ω的解可用（5.5）右侧积分值表示出来,但第二个积分式子中含未知数u 沿外法向量的导数,这是我们所不知道的,注意到由Green 公式可以推出：对任意的21()()v C C ∈Ω⋂Ω,有()()(()()()())(()()),v x u x u x v x v x u x dx u x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰ 即()()()(()()()())(()()). 5.6v x u x u x v x v x f x dx g x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆+=-∂∂⎰⎰由（5.5）和（5.6）得()()()()()[(()())()()()][(()())()()].5.7u u x v x x x v x f x u x v x dx x v x g x dS v v v ξξξξΩ∂Ω=∂∂∂Γ-Γ-++∆+Γ-+-+∂∂∂⎰⎰ 如果21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω是问题()(,)0,,5.8x v x x ξ-∆=∈Ω()(,)(), 5.9v x x x ξξ=-Γ-∈∂Ω的解,那么根据（5.7）有()()()(,)()(),, 5.10G x u G x f x dx g x dS vξξξΩ∂Ω∂=-∈Ω∂⎰⎰其中(,)()(,),(,),.G x x v x x x ξξξξξ=Γ-+∈Ω⨯Ω≠这样我们得到了问题（5.3）,（5.4）一个解的表达式（5.10）定义：如果对任意固定的21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω满足方程（5.8）和边值条件（5.9）,则我们称定义于{(,):}x x ξξ∈Ω⨯Ω≠上的函数(,)()(,)G x x v x ξξξ=Γ-+为Laplace 算子关于区域Ω的Green 函数,称()x ξΓ-为Green 函数(,)G x ξ的奇异部分,而称(,)v x ξ为Green 函数(,)G x ξ的正则部分,注：如果Green 函数(,)G x ξ的正则部分(,)v x ξ存在,则根据第一边值问题（5.8）（5.9）解的唯一性,可知(,)(,),(,).v x v x x ξξξ=∈Ω⨯Ω因此21()().v C C ∈Ω⨯Ω⋂Ω⨯ΩLaplace 算子关于区域Ω的Green 函数(,)G x ξ具有以下性质： （1） 对任意的(,)x ξ∈Ω⨯Ω,x ξ≠,都有(,)(,);G x G x ξξ=（2） 对任意的ξ∈Ω,有21(,)(\{})(\{}),(,)|0,G C C G ξξξξ∂Ω⋅∈Ω⋂Ω⋅=且对任意的\{}x ξ∈Ω,(,)0x G x ξ∆=；（3） 对任意的ξ∈Ω,有1(,),(,)(),x G G x L ξξ⋅∇∈Ω且在广义函数意义下(,)(),x G x x x ξδξ-∆=-∈Ω.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。

微分方程求解微分方程作为数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

它能够描述各种自然现象以及工程问题中的变化规律，为我们提供了有效的求解方法和解释途径。

本文将以解微分方程为主题，讨论几种常见的求解方法，并通过实例展示其应用。

一、分离变量法分离变量法是解微分方程中最常见、也是最基础的方法之一。

它适用于形如 $u'(t) = g(t)h(u)$ 的一阶微分方程，其中 $g(t)$ 和 $h(u)$ 是已知的函数。

考虑一个简单的一阶微分方程 $y'(t) = t^2$，我们可以通过分离变量的方式求解。

首先将方程变形为 $\frac{{dy}}{{dt}} = t^2$，然后将$y$ 和 $t$ 分别移到方程的两侧，得到 $\frac{{dy}}{{y}} = t^2 dt$。

接下来将方程两边分别积分，即可得到解 $y(t)$。

二、常数变易法常数变易法是解齐次线性微分方程的一种常用方法，常用于形如$y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)$ 的二阶非齐次线性微分方程。

考虑一个简单的二阶非齐次线性微分方程 $y'' - 2y' + y = e^t$，我们可以通过常数变易法求解。

首先求解对应的齐次线性微分方程 $y'' - 2y' + y = 0$ 的通解 $y_c(t)$，然后设非齐次方程的特解形式为 $y_p(t) = A e^t$，其中 $A$ 是待定常数。

将特解代入原方程，解得 $A = 1$，于是得到非齐次方程的一个特解。

最终，通解为 $y(t) = y_c(t) + y_p(t)$。

三、常系数线性微分方程的特解常系数线性微分方程是一类形如 $a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+ ... + a_1 y' + a_0 y = r(t)$ 的微分方程，其中 $a_n, a_{n-1}, ..., a_1,a_0$ 是常数，$y^{(k)}$ 表示对 $y$ 进行 $k$ 次求导。