河南省郑州市2014届高三第二次模拟考试数学文试题Word版含答案
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河南省郑州市2014年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷一、选择题:本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.1. 已知命题p: ∀32,80,x x >-> 那么⌝p 是A. ∀32,80x x ≤-≤ B. ∃32,80x x ≤-≤ C. ∀32,80x x >-≤ D. ∃32,80x x >-≤2. 设向量→a =(,1)x , →b =(4,)x ,则“→a ∥→b ”是“2x =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件A. 55B. 55i C. 1 D. i4. 阅读右边的程序框图，若输出的y =1, 则输入的x 的值可能是 A. ±2和2 B. -2和2 C. ± 2 D. 25. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 112B. 80C. 72D. 646.等差数列{}n a 中的14027,a a 是函数321()41213f x x x x =-++的极值点，则22014log a = A. 2 B. 3 C.4 D. 5 7. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l ⊥α, α⊥β, 则l ∥β; ②若l ∥α, α∥β, 则l ∥β; ③若l ⊥α, α∥β, 则l ⊥β; ④若l ∥α, α⊥β, 则l ⊥β. 其中正确命题的个数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知∆ABC 中，平面内一点P 满足→CP =23→CA +13→CB ，若|→PB |=t |→PA |, 则t 的值为A. 3B. 13C. 2D. 12 9. 已知直线512x π=和点(,0)6π恰好是函数())f x x ωϕ=+图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是A. ())6f x x π=-B. ())3f x x π=-C. ())3f x x π=+D. ())6f x x π=+ 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点分别为F 1，F 2 ，以线段F 1F 2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点位（4,3），则双曲线的方程为11.若曲线2(0)y ax a =>与曲线ln y x =在它们的公共点P （s,t ）处具有公共切线，则a =12. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为S n , 若21()n n nS a a n N *+∈=, 则S 2014= A. 2014+20142014 B. 2014- 20142014C. 2014D. 2014二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若253652,62a a a S ==-，则1a 的值是15.设实数,x y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1, 则22x y +的取值范围是_______.16.已知,x y ∈(-12 ,12 ), m ∈R 且m ≠0, 若222sin 201,2sin cos 041xx m x y y y m y ⎧++=⎪+⎪⎨⎪+-=+⎪⎩ 则y x =_______.三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知向量→m =（cosA, -sinA ）,→n = （cosB, sinB ）, →m ·→n =cos2C,A,B,C 为∆ABC 的内角.(Ⅰ)求角C 的大小；（Ⅱ）若AB=6，且→CA ·→CB =18, 求AC, BC 的长.18.(本小题满分12分）正∆ABC 的边长为2， CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将∆ABC 沿CD 翻成直二面角A -DC -B （如图（2））.在图（2）中：（Ⅰ）求证：AB ∥平面DEF ；（Ⅱ）求多面体D -ABFE 的体积.抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）接受调查的的人同时对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下： 9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率．B20. (本小题满分12分）已知平面上的动点(,)R x y 及两定点A(-2,0)，B(2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2=- 34, 设动点R 的轨迹为曲线C.(I)求曲线C 的方程；(II)过点S(4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q.求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标.21.(本小题满分12分）已知函数()xx f x e =. (I)求函数()f x 的单调区间和极值；(II)过点P(0，4e2 ) 作直线l 与曲线y =()f x 相切，求证: 这样的直线l 至少有两条，且这些直线的斜率之和2322121(,)e e m e e--∈.请考生从22、23、24三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并用铅笔在对应方框中涂黑.22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F. (I ）证明: A E F M 、、、四点共圆； (II)若MF=4BF=4，求线段BC 的长.23. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线l :sin()42πρθ-=. (I)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(II)求直线l 与圆O 的公共点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤< .24. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲已知函数()|2|5f x x a x =-+. （Ⅰ）求不等式()51f x x >+的解集；（Ⅱ）若不等式()f x ≤0的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值.2014年高中毕业年级第二次质量预测文科数学 参考答案 一、 选择题DBAC BAAC BADD 二、填空题13．1(0,);2 14．2;- 15．[1,4]; 16．1.2- 三、解答题17．解（Ⅰ）cos cos sin sin cos()A B A B A B ⋅=-=+m n ，因为A B C π++=,所以cos()cos cos 2A B C C +=-=,---------2分即22cos cos 10C C +-=，故1cos 2C =或cos 1C =-，---------4分 又0C π<<，所以3C π=． ---------6分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⋅=， ① 由余弦定理2222cos 60AB AC BC AC BC ︒=+-⋅⋅，---------8分及6AB =得，12AC BC +=， ②---------10分由①、②解得6,6AC BC ==． ---------12分18． 解（Ⅰ）如图(2):在ABC ∆中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF //AB ，又⊄AB 平面DEF ,⊂EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ---------6分（Ⅱ）由直二面角A DC B --知平面ADC ⊥平面BCD ， 又在正ABC ∆中，D 为边AB 中点，AD CD ⊥ 所以AD ⊥平面BCD ，---------9分136BCD A BCD V S AD ∆-=⋅⋅=三棱锥 ，111322BCD FCD V S AD ∆-=⋅⋅=三棱锥E所以，多面体D-ABFE 的体积V =A BCD V --三棱锥FCD V -=三棱锥E -----12分 19．解（Ⅰ）所有参与调查的人数为8001004501502003002000+++++=， 由分层抽样知：452000100900n =⨯=． ---------5分 （Ⅱ）总体平均数9.29.68.79.39.08.29.06x +++++==，---------7分从这6个分数中任取2个的所有可能取法为：(9.2,9.6)、(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(9.2,8.2)、(9.6,8.7)、(9.6,9.3)、(9.6,9.0)、(9.6,8.2)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(8.7,8.2)、(9.3,9.0)、(9.3,8.2)、(9.0,8.2)，共计15种.--------10分由|9.0|0.5x -≤知，当所取的两个分数都在[8.5,9.5]内时符合题意，即(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(9.3,9.0)符合，共计6种，所以，所求概率615P =． ---------12分20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-， 则3224y y x x ⋅=-+-，---2分整理得,曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠．-----------5分（Ⅱ）设NQ 与x 轴交于(,0)D t ，则直线NQ 的方程为(0)x m y t m =+≠，记1122(,),(,)N x y Q x y ，由对称性知22(,)M x y -，由223412,x y x my t⎧+=⎨=+⎩消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分所以2248(34)0m t ∆=+->，且1,2262(34)mt y m -=+， 故12221226,34312,34mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩------------9分 由M N S 、、三点共线知NS MS k k =，即121244y y x x -=--， 所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，-----------10分所以222(312)6(4)034m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =， 所以直线NQ 过定点(1,0)D ．--------12分 21．解（Ⅰ）由题知1()()R x xf x x e-'=∈， 当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，-----------2分 所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，其极大值为1(1)f e=，无极小值．-----------5分 （Ⅱ）设切点为00(,())x f x ，则所作切线的斜率001()x x k f x e-'==， 所以直线l 的方程为：000001()x x x x y x x e e--=-， 注意到点24(0,)P e 在l 上，所以00000214()x x xx x e e e--=-，-----7分整理得：020240x x e e-=，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令224()x x g x e e =-，则(2)()xx x g x e-'=-， 当()0g x '>时，02x <<，当()0g x '<时，0x <或2x >，所以，函数()g x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，---9分注意到2244(0)0,(2)0,(1)0g g g e e e=-<=-=->， 所以方程()0g x =的解为2x =，或(10)x t t =-<<，即过点24(0,)P e恰好可以作两条与曲线()y f x =相切的直线．----10分当2x =时，对应的切线斜率121(2)k f e'==-， 当x t =时，对应的切线斜率21t tk e-=， 令1()(10)t t h t t e -=-<<，则2()0t t h t e-'=<，所以()h t 在(1,0)-上为减函数，即1(0)()(1)2h h t h e =<<-=，212k e <<，所以231222121(,)e e m k k e e--=+∈．------------12分22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ︒∠= ， 又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ︒∠=∠=，因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆，所以BF BM BE BA ⋅=⋅ ，---6分在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅ ，------8分又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，BC =．---10分23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2c o s s i n ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即si n cos 1ρθρθ-=， 则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分 （Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得220,10x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得0,1,x y =⎧⎨=⎩------6分即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分将（0,1）转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即为所求．------10分24．解 （Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，即21x a ->或21x a -<-，--2分解得：12a x -<或12a x +>， 所以，不等式()51f x x >+的解集为11{|}22a a x x x -+<>或．------4分 （Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，即52,25,x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩化简得,3,7a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩------6分 若0a < ，则原不等式的解集为{|}7ax x ≤={|1}x x ≤-， 此时，7a =- ；------8分若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3a x x ≤-={|1}x x ≤-， 此时，3a = ．综上所述，7a =- 或3a =．------10分。
