新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版

§9.7双曲线考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以填空题的形式考查，难度为中低档．解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质．1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e ＝2，渐近线方程为y ＝±x . 4．双曲线的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线．定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为y ＝±a 2c.概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示 当2a ＝F 1F 2时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >F 1F 2时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二 教材改编2．[P48T15]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为______．答案 5解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．[P58T7]若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________． 答案635解析 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴点P 到右准线的距离d ＝PF 2e ＝635. 4．[P48A 组T7]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 答案 53解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.7．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________． 答案 45解析 由题意，双曲线的一条渐近线y ＝2x 与右准线x ＝55的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫55，255，其到另一条渐近线y ＝－2x 的距离为45.题型一 双曲线的定义例1(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是________． 答案 双曲线解析 如图，连结ON ，PF 1，由题意可得ON ＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴MF 2＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得PM ＝PF 1，∴|PF 2－PF 1|＝|PF 2－PM |＝MF 2＝2<F 1F 2，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22，∴PF 1＝2PF 2＝42，在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例(2)中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，∴PF 1·PF 2＝8， ∴12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin60°＝2 3. 2．本例(2)中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“PF 1—→·PF 2—→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22，∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴PF 1—→⊥PF 2—→， ∴在△F 1PF 2中，有PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝16，∴PF 1·PF 2＝4， ∴F PF S＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系．跟踪训练1设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC －BC ＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2(1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________． 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5，0)， 设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8<F 1F 2，符合双曲线定义． 由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. (2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为________． 答案x 24－y 25＝1解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 如图所示，连结OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a,0)，F (－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为OA ＝OC ＝a ，所以△ACO 为等边三角形， 所以∠AOC ＝60°.因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以OF ＝2OA ，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ，B 是圆(x ＋c )2＋y 2＝4c 2与C 位于x 轴上方的两个交点，且F 1A ∥F 2B ，则双曲线的离心率为________． 答案3＋174解析 由双曲线定义及题意得AF 2＝2a ＋2c ，BF 2＝2c －2a ，因为F 1A ∥F 2B ，所以∠F 2F 1A ＋∠F 1F 2B ＝180°， 所以cos∠F 2F 1A ＝－cos∠F 1F 2B ， 则4c 2＋4c 2－(2a ＋2c )22×2c ×2c＝－4c 2＋(2c －2a )2－4c 22×2c ×(2c －2a )，化简得2e 2－3e －1＝0， 因为e >1，所以e ＝3＋174.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足F 1F 2＝2OP ，PF 1≥3PF 2，则双曲线C 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 解析 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 22＝F 1F 22. 由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2， 整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ， 所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝c a ，且e >1，可得1<e ≤102.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.∴离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 例2已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为________． 答案3解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a 且F 1(－c,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1—→＝0，又AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ，BF 1—→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.1．(2019·江苏南京外国语学校月考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条准线为x ＝－32，则该双曲线的离心率为________． 答案233解析 由－a 21＋a2＝－32得a ＝3，c ＝2， 所以双曲线的离心率为c a＝23＝233. 2．(2018·南京金陵中学期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m2－y 2＝1(m >0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则实数m 的值为________． 答案3解析 双曲线x 2m 2－y 2＝1(m >0)的渐近线方程为y ＝±1mx ，∴1m ＝13，∴m ＝ 3. 3．若双曲线x 2－y 2k＝1的焦点到渐近线的距离为22，则实数k 的值是__________．答案 8解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝kx ，一个焦点坐标为(k ＋1，0)，由题意得k k ＋1k ＋1＝22，解得k ＝8.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为________． 答案x 24－y 26＝1 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32. ①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.5．设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT ＝________. 答案 1解析 连结PF 2，OT ，则有MO ＝12PF 2＝12(PF 1－2a )＝12(PF 1－6)＝12PF 1－3，MT ＝12·PF 1－F 1T ＝12PF 1－c 2－32＝12PF 1－4，于是有MO －MT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－4＝1.6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P —→·F 2F 1—→的值为________．答案 2解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2＝e ＝2，∴PF 1＝2PF 2，由双曲线的定义知PF 1－PF 2＝2， ∴PF 1＝4，PF 2＝2， 又F 1F 2＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos∠PF 2F 1＝PF 22＋F 1F 22－PF 212PF 2·F 1F 2＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P —→·F 2F 1—→＝|F 2P →|·|F 2F 1—→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.7．已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为________． 答案 4(1＋2)解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为PA ＋PF ＋AF ，而PF ＝2a ＋PF 0，∴l ＝PA ＋PF 0＋2a ＋AF ≥AF 0＋AF ＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”． 8．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是________． 答案 16解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ，所以OM ＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 43解析 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，AF ＝PF ＝c ＋a ， ∴PF 1＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，PF 21＝PF 2＋F 1F 2－2PF ·F 1F cos∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．10．(2019·徐州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点，若PF 1与x 轴垂直，cos∠PF 2F 1＝1213，则该双曲线的离心率为________．答案 32解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，cos∠PF 2F 1＝1213，∴PF 1＝b 2a ，PF 2＝13b25a，又PF 2－PF 1＝2a ，∴13b 25a －b 2a＝2a ，即8b 2＝8(c 2－a 2)＝10a 2， ∴e 2＝c 2a 2＝94，又e >1，∴e ＝32.11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若AF 2＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________． 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知AF 1－AF 2＝2a ＝2，BF 1－BF 2＝2a ＝2，∴AF 1＝2＋AF 2＝4，BF 1＝2＋BF 2.由题意知AB ＝AF 2＋BF 2＝2＋BF 2，∴BA ＝BF 1， ∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°， ∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴BA ＝BF 1＝22AF 1＝22×4＝22， ∴1F ABS＝12BA ·BF 1＝12×22×22＝4. 12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝b ax 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为________． 答案5解析 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b(x －c )，设直线PF 2与直线y ＝b a x 的交点为N ，易知N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，2ab c .因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.14．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若AF 1＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则122AF F ABF S S＝________.答案 12解析 如图所示，由双曲线定义可知AF 2－AF 1＝2a .又AF 1＝2a ，所以AF 2＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以12AF F S＝12AF 1·AF 2·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 由双曲线定义可知BF 1－BF 2＝2a ， 所以BF 1＝2a ＋BF 2，又知BF 1＝2a ＋BA ，所以BA ＝BF 2. 又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以2ABF S＝34AB 2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以122AF F ABF S S＝23a 243a 2＝12.15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若AQ ＝3，则E 的离心率是________． 答案433解析 如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于点M ，N ，依题意，有MA＝AQ ，NP ＝MP ，NF 2＝QF 2，AF 1＝AF 2＝QA ＋QF 2，2a ＝PF 1－PF 2＝(AF 1＋MA ＋MP )－(NP ＋NF 2)＝2QA ＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝43＝433. 16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝6PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 75解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝6PF 2，∴PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos∠F 1PF 2.∵cos∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，75. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵PF 1＝6PF 2，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。

第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.4.若渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b .6.若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝c ＋a ，|PF 2|min ＝c －a .7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1.( )解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝1 3.(老教材选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案 64.(2019·北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6B.4C.2D.12解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.答案 D5.(2019·全国Ⅲ卷)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32B.52C.72D.92解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.答案 B6.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案 y ＝±2x考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)(2020·合肥质检)x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24－y 25＝1(x ≤－2) B .x 24－y 25＝1(x ≥2) C.y 24－x 25＝1(y ≤－2) D .y 24－x 25＝1(y ≥2) (2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)x 2＋（y －3）2的几何意义为点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离，x 2＋（y ＋3）2的几何意义为点M (x ，y )到点F 2(0，－3)的距离，则x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，则x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示的曲线方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)，故选C.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2020·郑州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A.8B.9C.10D.11(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由题意知2a ＝6，则a ＝3，又由b a ＝13得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，0).根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝（10）2＋（－6）2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线时取等号，故选B.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(一题多解)(2020·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 (2)(2019·洛阳二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的方程为( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 216－y 24＝1 解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将(2，1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，b a＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.法二 设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，将(2，1)代入方程可得，4m －n ＝1.① 双曲线的渐近线方程为y ＝±m nx ， 圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1， 由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋m n＝1，即m n＝3，②由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的标准方程为x 2113－y211＝1，故选A.(2)∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a2c －a ，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·昆明调研)“0<n <2”是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________. 解析 (1)若方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线，则(n ＋1)·(n －3)<0，解得－1<n <3，则0<n <2的范围小于－1<n <3，所以“0<n <2”是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)A (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2020·广州模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.3x ±y ＝0 B.2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D.2x ±3y ＝0解析 ∵F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝（3a ）2＋a 2－4c 22×3a ×a，∴3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，∴b 2a 2＝34，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C.答案 C规律方法 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (2019·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D. 5解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).则c ＝a 2＋b 2，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.在Rt△OPM 中，|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca＝2，即e ＝ 2.答案 A规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.角度3 双曲线几何性质的综合应用【例3－3】 (1)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233(2)(2019·太原模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. (2)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.答案 (1)A (2)B规律方法 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系. 2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(角度1)(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x(2)(角度2)(2020·石家庄模拟)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )A.(0，2)B.(1，3]C.[2，3)D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2019·长沙统一考试改编)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则△PF 1F 2的面积为________.解析 (1)因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . (2)由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋|PF 2|）2|PF 2|＝4a 2＋|PF 2|2＋4a |PF 2||PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a＝8a ，当且仅当|PF 2|＝4a 2|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时，等号成立.∵|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a . ∵点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，当且仅当P ，F 1，F 2三点共线且点P 为右顶点时等号成立，即6a ≥2c ，∴e ≤3，又∵e >1，∴e ∈(1，3]，故选B.(3)设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 2＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 20＋y 20＝2得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.答案 (1)B (2)B (3) 2A 级 基础巩固一、选择题1.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x 解析 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 答案 A3.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析 由题意可得－b a＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D. 答案 D4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.答案 D5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A. 答案 A6.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C7.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 答案 D8.(2020·沈阳模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6)D.6＋3 2解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝（0＋6）2＋（2－0）2＋（6－0）2＋（0－2）2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B. 答案 B 二、填空题9.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 10.(多填题)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 答案 1 211.设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________.解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 答案x 216－y 29＝1 12.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________. 解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案3215B 级 能力提升13.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.(1，2]B.[2，＋∞)C.(1，2]D.[2，＋∞)解析 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2，选B. 答案 B14.(2020·石家庄模拟改编)已知双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C 的左、右支于点A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |的值为________. 解析 由双曲线定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，∴|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，∴|AB |＝16.答案 1615.(2020·南昌联考)点P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F 1PF 2＝π3，则b 1b 2的值是________.解析 不妨设P 是第一象限内的交点， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可知m ＋n ＝2a 1，① 由双曲线定义可知m －n ＝2a 2，② 由①②得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理的推论可得，cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－（2c ）22mn ＝12，即m 2＋n 2－mn ＝4c 2，∴(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝4c 2， 即a 21＋3a 22＝4c 2，又知a 21－b 21＝c 2，a 22＋b 22＝c 2，∴b 21＋c 2＋3(c 2－b 22)＝4c 2，∴b 21＝3b 22， 又知b 1>0，b 2>0，∴b 1b 2＝ 3. 答案316.(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________.解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝1tan∠AOF 1＝a b，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 2C 级 创新猜想17.(多填题)(2020·昆明诊断改编)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，则△APF 周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________. 解析 设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1.由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0).当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋（66）2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小.由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示).|AF 1|＝|AF |＝15，故△APF 周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1得y 2＋66y－96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 32 12 6。

§9.7 抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左 向上向下 焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p2通径长 2p概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠5.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x 答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是__________. 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________. 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)(2019·某某中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝4x B.y 2＝36xC.y 2＝4x 或y 2＝36x D.y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6).因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3(1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)(2020·某某检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点.O 为坐标原点.若△OAB 的面积为1，则p 的值为________. 答案2解析 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △AOB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值X 围是________.答案 (8,12)解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12). ∴△ABF 的周长的取值X 围是(8,12).思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)(2020·某某期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12B.4C.6D.8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.(2)(2020·某某龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |＝m |PA |，则m 的最小值为________. 答案22解析 过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |＝|PF |，∵|PF |＝m |PA |，∴|PN |＝m |PA |，则|PN ||PA |＝m ，设PA 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ， 可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0， ∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1， ∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)由题设可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3， 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 故|AB |＝4133.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2020·某某模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程.解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2－kmk2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，k DE·k ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.1.抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B.－14C.4D.－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a＝1，解得a ＝－14.2.(2019·某某青山区模拟)已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A.2B.3C.3D. 2 答案 B解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4.(2020·某某调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( )A.58B.12C.38D.1 答案 A解析 由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18， 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点N 的坐标为(a ,0)， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－18，MN →＝(a －x 0，－y 0)，由2FM →＝MN →可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝a －x 0，2y 0－14＝－y 0，解得y 0＝112，x 0＝13a ，代入抛物线方程可得x 0＝±612，则a ＝±64，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±64，0， 由两点之间的距离公式可得|FN |＝58.5.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A.4B.3 3 C.43D.8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |， ∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0， 过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.6.(2019·某某模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A.6B.22C.23D.4 答案 A解析 根据题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x ，得 y 2－4k y －4＝0，y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4， 则x 1＋x 2＝y 1＋y 2k ＋2＝4k2＋2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k2＋2＋2＝6， 则k ＝±2， |y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝26，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×26＝6，∴△AOB 的面积为 6.7.(2020·某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x 答案 B解析 如图所示，过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′，设|AF ′|＝3x ，因为cos∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ， 则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝|PF |＋|AA ′|·|PA ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .8.(2019·某某模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为________.答案 10解析 由抛物线的定义可知|PF |＝|PM |＝5，并且点P 到准线的距离x P ＋1＝5， ∴x P ＝4，y P ＝±4， ∴S ＝12×5×4＝10.9.(2020·江淮十校联考)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________. 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的的直线与C 交于A ，B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)， 则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则抛物线C 与直线必有两个交点.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0， 所以k ＝2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？说明理由.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3).设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0). 因为车与箱共高4.5m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)， 则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62， 所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道.12.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点F (0,1)，点A (x ，y )(y ≥0)为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足|AF |＝|AB |＋1.(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于两个不同点P ，Q (非原点)，过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ，设线段PQ 的中点为N ，若|FM |＝|FN |，求直线l 的斜率. 解 (1)由|AF |＝|AB |＋1，得x 2＋y －12＝|y |＋1，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 设N (x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝2k ，y N ＝2k 2＋b ，又曲线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，y ′＝x2，∴过P 点的切线斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理，过Q 点的切线方程为y ＝x 22x －14x 22，联立两切线可得交点M 的坐标为x M ＝x 1＋x 22＝2k ，y M ＝14x 1x 2＝－b .所以x M ＝x N ，又因为|FM |＝|FN |，所以MN 中点纵坐标为1，即2k 2＋b －b2＝1，k ＝±1，故直线l 的斜率为k ＝±1.13.长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________. 答案 34解析 由题意知，2大于抛物线的通径，即AB 可以过焦点.设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图.由梯形的中位线定理，可得|MN |＝12(|AC |＋|BD |).连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |.根据平面几何知识，可得|AF |＋|BF |≥|AB |，当且仅当点F 在AB 上时取等号， ∴|AC |＋|BD |≥|AB |＝2，∴|MN |＝12(|AC |＋|BD |)≥12|AB |＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN |＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为34.14.过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3).若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________. 答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0， 则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式相减得x 1＋x 2＝4y 1－y 2x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率 k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15.(2019·全国100所名校联考)已知点P (1,2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若Rt△PAB 内接于该抛物线，且∠A ＝90°，则点B 的纵坐标的取值X 围是________. 答案 (－∞，－6)∪[10，＋∞)解析 由题意可得抛物线的方程为y 2＝4x ，设A (x ，y )，B (x 0，y 0)，△PAB 的外接圆的方程为(x －1)(x －x 0)＋(y －2)(y －y 0)＝0，所以(4x －4)(4x －4x 0)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 即(y 2－4)(y 2－y 20)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 化简可得y 0＝－16y ＋2－y ＝－16y ＋2－(y ＋2)＋2. 令t ＝－(y ＋2)，且y ≠y P ，则y 0＝－16y ＋2－y ＝16t＋t ＋2∈(－∞，－6)∪[10，＋∞). 16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜率为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点，求|FA |·|FB |的取值X 围.解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 4， 则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴|FA |·|FB |＝y 23＋94·y 24＋94＝y 3y 42＋94y 23＋y 24＋8116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－342＋94⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y 20－2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－34＋8116＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴|FA |·|FB |∈[3，＋∞).。

学习资料9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1。

双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的等于非零常数（小于｜F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P=｛M|||MF1｜—|MF2||=2a}，｜F1F2｜=2c，其中a>0,c>0，且a，c为常数。

（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线;(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线；(3）若a c,则点M不存在.2.标准方程(1）中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0);（2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质续表1.过双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b〉0）上一点M（x0,y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1。

2。

双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2,点P（x0，y0)为双曲线上任意一点，且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.3.若点P （x 0，y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1（a>0，b 〉0）内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2。

4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0，y 0）为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a>0,b 〉0）的弦AB (不平行y 轴）的中点，则k AB ·k OM =b 2a 2,即k AB =b 2x0a 2y 0。

5。

双曲线的焦半径公式 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a 〉0，b>0)的焦点为F 1(-c ，0),F 2(c ,0)，当点M （x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,｜MF 2｜=ex 0-a ;当点M （x 0,y 0）在双曲线左支上时,｜MF 1|=-ex 0-a ，｜MF 2｜=—ex 0+a.6。

第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)假设a<c，那么集合P为双曲线；(2)假设a＝c，那么集合P为两条射线；(3)假设a>c，那么集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.4.假设渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b .6.假设P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，那么|PF 1|min ＝c ＋a ，|PF 2|min ＝c －a .7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，那么△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2. 诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，那么1e 21＋1e 22＝1.( )解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时那么表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝1 3.(老教材选修2－1P61A1改编)双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，那么||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案 64.(2019·卷)双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，那么a ＝( )A.6B.4C.2D.12解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.答案 D5.(2019·全国Ⅲ卷)F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.假设|OP |＝|OF |，那么△OPF 的面积为( ) A.32B.52C.72D.92解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.答案 B6.(2019·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，那么该双曲线的渐近线方程是________.解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案 y ＝±2x考点一 双曲线的定义及应用[例1] (1)(2020·某某质检)x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24－y 25＝1(x ≤－2) B.x 24－y 25＝1(x ≥2) C.y 24－x 25＝1(y ≤－2) D.y 24－x 25＝1(y ≥2) (2)(2019·某某质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，那么当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4＋37D.3＋317解析 (1)x 2＋〔y －3〕2的几何意义为点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离，x 2＋〔y ＋3〕2的几何意义为点M (x ，y )到点F 2(0，－3)的距离，那么x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b2＝c 2－a 2＝5，那么x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示的曲线方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)，应选C.(2)由得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，那么|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形〞中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.[训练1] (1)(2020·某某一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，那么|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2019·某某调研)圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由题意知2a ＝6，那么a ＝3，又由b a ＝13得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，那么F 1(－10，0).根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝〔10〕2＋〔－6〕2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线时取等号，应选B.(2)如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)考点二 双曲线的标准方程[例2] (1)(一题多解)(2020·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 (2)(2019·某某二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么该双曲线的方程为( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 216－y 24＝1解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将(2，1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，ba ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.法二 设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，将(2，1)代入方程可得，4m －n ＝1.①双曲线的渐近线方程为y ＝±m nx ， 圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1， 由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋m n＝1，即m n＝3，②由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的标准方程为x 2113－y211＝1，应选A.(2)∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋〔2c －a 〕2－〔2c ＋a 〕24c 〔2c －a 〕＝c －2a2c －a ，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3〔2c －a 〕2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，应选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量〞，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).[训练2] (1)(2019·某某调研)“0<n <2〞是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，那么双曲线的方程为________________. 解析 (1)假设方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线，那么(n ＋1)·(n －3)<0，解得－1<n <3，那么0<n <2的X 围小于－1<n <3，所以“0<n <2〞是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线〞的充分不必要条件.应选A.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)A (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 多维探究角度1 求双曲线的渐近线[例3－1] (2020·某某模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，假设|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，那么双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0B.2x ±7y ＝0C.3x ±2y ＝0D.2x ±3y ＝0解析 ∵F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝〔3a 〕2＋a 2－4c 22×3a ×a，∴3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，∴b 2a 2＝34，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，应选C.答案 C规律方法 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度2 求双曲线的离心率[例3－2] (2019·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( ) A.2B.3C.2 D. 5解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).那么c ＝a 2＋b 2，如下图，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，那么|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.在Rt△OPM 中，|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca＝2，即e ＝ 2.答案 A规律方法 求双曲线离心率或其取值X 围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.角度3 双曲线几何性质的综合应用[例3－3] (1)M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，假设MF 1→·MF 2→<0，那么y 0的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233(2)(2019·某某模拟)F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，假设|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，那么S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. (2)如下图，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.应选B.答案 (1)A (2)B规律方法 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系. 2.与双曲线有关的取值X 围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，那么借助此关系直接变换转化求解.(2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.[训练3] (1)(角度1)(2019·某某模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，那么双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x(2)(角度2)(2020·某某模拟)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么该双曲线离心率e 的取值X 围是( )A.(0，2)B.(1，3]C.[2，3)D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2019·某某统一考试改编)F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，那么△PF 1F 2的面积为________. 解析 (1)因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . (2)由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝〔2a ＋|PF 2|〕2|PF 2|＝4a 2＋|PF 2|2＋4a |PF 2||PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a＝8a ，当且仅当|PF 2|＝4a 2|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时，等号成立.∵|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a . ∵点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，当且仅当P ，F 1，F 2三点共线且点P 为右顶点时等号成立，即6a ≥2c ，∴e ≤3，又∵e >1，∴e ∈(1，3]，应选B.(3)设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 20＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 2＋y 20＝2得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.答案 (1)B (2)B (3) 2A 级 基础巩固一、选择题1.(2018·某某卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22x D.y ＝±32x 解析 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 答案 A3.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，那么C的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析 由题意可得－b a＝tan 130°， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.应选D. 答案 D4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，那么点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A.2B.2 C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.答案 D5.方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值X 围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，应选A. 答案 A6.F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C7.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，那么|MO |－|MT |等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1解析 连接PF 2，OT ，那么有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，应选D. 答案 D8.(2020·某某模拟)双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，那么△APF 周长的最小值为( ) A.4＋2B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，那么F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝〔0＋6〕2＋〔2－0〕2＋〔6－0〕2＋〔0－2〕2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝〞，应选B. 答案 B 二、填空题9.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，那么双曲线方程为_________________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 10.(多填题)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，那么a ＝________；b ＝________.解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.答案 1 211.设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，假设曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线C 2的标准方程为________________.解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，那么||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 答案x 216－y 29＝1 12.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，那么△AFB 的面积为________. 解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案3215B 级 能力提升13.(2020·某某雅礼中学模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，那么此双曲线的离心率e 的取值X 围是( ) A.(1，2] B.[2，＋∞) C.(1，2] D.[2，＋∞)解析 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，那么e ≥2，选B.14.(2020·某某模拟改编)双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C 的左、右支于点A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，那么|AB |的值为________. 解析 由双曲线定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，∴|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，∴|AB |＝16.答案 1615.(2020·某某联考)点P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F 1PF 2＝π3，那么b 1b 2的值是________.解析 不妨设P 是第一象限内的交点， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可知m ＋n ＝2a 1，① 由双曲线定义可知m －n ＝2a 2，② 由①②得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理的推论可得，cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－〔2c 〕22mn ＝12，即m 2＋n 2－mn ＝4c 2，∴(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝4c 2， 即a 21＋3a 22＝4c 2，又知a 21－b 21＝c 2，a 22＋b 22＝c 2， ∴b 21＋c 2＋3(c 2－b 22)＝4c 2，∴b 21＝3b 22， 又知b 1>0，b 2>0，∴b 1b 2＝ 3.16.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为________.解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝1tan∠AOF 1＝a b，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 2C 级 创新猜想17.(多填题)(2020·某某诊断改编)F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，那么△APF 周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________.解析 设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1.由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0).当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋〔66〕2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小.由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如下图).|AF 1|＝|AF |＝15，故△APF 周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 32 12 6。

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

基础知识整合１．椭圆的概念在平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹（或集合）叫做错误!椭圆．这两定点叫做椭圆的错误!焦点，两焦点间的距离叫做错误!焦距．集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若错误!a>c，则集合P表示椭圆；（２）若错误!a＝c，则集合P表示线段；（３）若错误!a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质（１）设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上任意一点P（x，y），则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．（２）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a２＝b２＋c２．（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.（５）椭圆离心率e＝错误!.１．已知椭圆错误!＋错误!＝１，长轴在y轴上，若焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a２＝m—２，b２＝１0—m.又c＝２，∴m—２—（１0—m）＝c２＝４．∴m＝8．２．（２0１8·广西模拟）若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｃ．３．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则椭圆C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），所以错误!解得a２＝9，b２＝8．故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝１．４．（２0１9·西安模拟）已知点P（x１，y１）是椭圆错误!＋错误!＝１上的一点，F１，F２是其左、右焦点，当∠F１PF２最大时，△PF１F２的面积是（）Ａ．错误!Ｂ．１２Ｃ．１6（２＋错误!）Ｄ．１6（２—错误!）答案B解析∵椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，∴a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴F１（—３,0），F２（３,0）．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F１PF２最大，此时△PF１F２的面积S＝错误!×２×３×４＝１２，故选Ｂ．５．椭圆３x２＋ky２＝３的一个焦点是（0，错误!），则k＝________.答案１解析方程３x２＋ky２＝３可化为x２＋错误!＝１．a２＝错误!>１＝b２，c２＝a２—b２＝错误!—１＝２，解得k＝１．6．设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F ２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为________．答案错误!解析设|PF２|＝x，∵PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２x，|F１F２|＝错误!x.又|PF１|＋|PF ２|＝２a，|F１F２|＝２c.∴２a＝３x,２c＝错误!x，∴C的离心率为e＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例１（１）（２0１8·湖北八校联考）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF１的中点在y轴上，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２．设线段PF１的中点为M，则有OM∥PF２，∵OM⊥F１F２，∴PF２⊥F１F２，∴|PF２|＝错误!＝错误!.又∵|PF１|＋|PF２|＝２a＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）设F１，F２分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点，|AF１|＝３|F１B|，且|AB|＝４，△ABF２的周长为１6．则|AF２|＝________.答案５解析由|AF１|＝３|F１B|，|AB|＝４，得|AF１|＝３．∵△ABF２的周长为１6，∴４a＝１6，∴a＝４．则|AF１|＋|AF２|＝２a＝8，∴|AF２|＝8—|AF１|＝8—３＝５．触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等.即时训练１．（２0１9·甘肃联考）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x２＋y２＝１0的一个交点，则||PA|—|PB||＝（）Ａ．２错误!Ｂ．４错误!Ｃ．４错误!Ｄ．6错误!答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝２a＝４错误!，|PA|２＋|PB|２＝（２c）２＝４0，∴（|PA|＋|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２＋２|PA||PB|，解得２|PA||PB|＝8，∴（|PA|—|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２—２|PA||PB|＝３２，则||PA|—|PB||＝４错误!，故选Ｃ．２．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F１的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F２的对称点为B，则有|GF１|＝错误!|AN|，|GF２|＝错误!|BN|，所以|AN|＋|BN|＝２（|GF １|＋|GF２|）＝４a＝１２．考向二椭圆的标准方程例２（１）（２0１9·杭州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案A解析由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，∴c＝１，∴b２＝２，∴C的方程为错误!＋错误!＝１．选Ａ．（２）已知A错误!，B是圆：错误!２＋y２＝４（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x２＋错误!y２＝１解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝２．所以|PA|＋|PF|＝２且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝１，c＝错误!，b２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为x２＋错误!y２＝１．触类旁通求椭圆方程的常用方法（１）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．２待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx２＋ny２＝１m>0，n>0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练３．（２0１9·青岛模拟）已知F１（—１,0），F２（１,0）是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝３，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案C解析如图，|AF２|＝错误!|AB|＝错误!，|F１F２|＝２，由椭圆定义，得|AF１|＝２a—错误!. １在Rt△AF１F２中，|AF１|２＝|AF２|２＋|F１F２|２＝错误!２＋２２．２由１２得a＝２，∴b２＝a２—c２＝３．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，应选Ｃ．４．设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，经过F１的直线交椭圆C于A，B两点，若△F２AB是面积为４错误!的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析l经过F１垂直于x轴，得yA＝错误!，在Rt△AF１F２中，∠AF２F１＝３0°，得错误!＝错误!×２c，错误!×２c×错误!＝４错误!，a２＝b２＋c２，解得a２＝9，b２＝6，c２＝３．所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１．考向三椭圆的几何性质例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的一个焦点为（２,0），则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意，可知c＝２，因为b２＝４，所以a２＝b２＋c２＝8，即a＝２错误!，所以椭圆C的离心率为e＝错误!＝错误!.故选Ｃ．率e的取值范围是________．答案错误!解析∵c２—b２＋ac<0，∴c２—（a２—c２）＋ac<0，即２c２—a２＋ac<0，∴２错误!—１＋错误! <0，即２e２＋e—１<0，解得—１<e<错误!.又∵0<e<１，∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练５．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF１⊥PF ２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１答案D解析在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，设|PF２|＝m，则２c＝|F１F２|＝２m，|PF １|＝错误!m，又由椭圆定义可知２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）m，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．6．（２0１9·江苏模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．答案错误!解析由题意得A（—a,0），B（0，b），F（c,0），∵AB⊥BF，∴错误!·错误!＝0，∴（a，b）·（c，—b）＝ac—b２＝ac—a２＋c２＝0，∴e—１＋e２＝0，解得e＝错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例４（２0１8·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B两点．线段AB 的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上一点，且F错误!＋F错误!＋F错误!＝0．证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列，并求该数列的公差．解（１）证明：设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.１由题设得m< 错误!＝错误!，且m>0，即0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１,0）．设P（x３，y３），则由（１）及题设得（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0,0），x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|F错误!|＝错误!.于是|F错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|F错误!|＝２—错误!.所以|F错误!|＋|F错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|F错误!|＝|F错误!|＋|F错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．设该数列的公差为d，则２|d|＝||错误!|—|错误!||＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!.２将m＝错误!代入１得k＝—１．所以l的方程为y＝—x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x２—１４x＋错误!＝0．故x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，代入２解得|d|＝错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例５（２0１9·陕西咸阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），且离心率e＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）直线l的斜率为错误!，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解（１）∵e２＝错误!＝错误!＝错误!，∴a２＝４b２．又椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），∴错误!＋错误!＝１，∴a２＝8，b２＝２．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设l的方程为y＝错误!x＋m，点A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!整理，得x２＋２mx ＋２m２—４＝0．∵Δ＝４m２—8m２＋１6>0，解得|m|<２．∴x１＋x２＝—２m，x１x２＝２m２—４．则|AB|＝错误!× 错误!＝错误!.点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!.∴S△PAB＝错误!d|AB|＝错误!×错误!×错误!＝错误!≤错误!＝２．当且仅当m２＝２，即m＝±错误!时取得最大值．触类旁通１解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.（３）直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）中点弦或弦点差法（结果要检验Δ>0）的中点即时训练7．（２0１9·广西联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>１）的焦距为２，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!，求k的值．解（１）由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），依题意知错误!又因为b>１，解得a＝２，b＝错误!，c＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x—１），将其代入错误!＋错误!＝１，得（３＋４k２）x２—8k２x＋４k２—１２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!，所以直线PD的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，得x＝错误!，所以点D的坐标为错误!，则错误!＝错误!，解得k＝±１．8．（２0１9·云南昆明模拟）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,１），离心率为错误!.（１）求椭圆E的方程；（２）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，求直线l的方程．解（１）设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由已知得错误!解得a２＝２，b２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）由已知，直线l过左焦点F（—１,0）．当直线l与x轴垂直时，A错误!，B错误!，此时|AB|＝错误!，则S△OAB＝错误!×错误!×１＝错误!，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得（１＋２k２）x２＋４k２x＋２k２—２＝0，所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为S△OAB＝错误!|OF|·|y１—y２|＝错误!|y１—y２|，由已知S△OAB＝错误!得|y１—y２|＝错误!.因为y１＋y２＝k（x１＋１）＋k（x２＋１）＝k（x１＋x２）＋２k＝k· 错误!＋２k＝错误!，y１y２＝k（x１＋１）·k（x２＋１）＝k２（x１x２＋x１＋x２＋１）＝错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝错误!＝错误!，所以k４＋k２—２＝0，解得k＝±１，所以直线l的方程为x—y＋１＝0或x＋y＋１＝0．１．已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!答案C解析解法一：设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），所以错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.因为点P在椭圆上，所以0≤y 错误!≤１，所以当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．解法二：由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝２错误!求解．故选Ｃ．２．已知F是椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１,１）是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２，F（—２,0）．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|＝错误!，或者最小值—|AF′|＝—错误!.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.３．在椭圆错误!＋错误!＝１上求一点，使它到直线２x—３y＋１５＝0的距离最短．解设所求点坐标为A（３错误!cosθ，２错误!sinθ），θ∈R，由点到直线的距离公式得＝错误!，当θ＝２kπ＋错误!，k∈Z时，d取到最小值错误!，此时A点坐标为（—３,２）．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有３种解法：（１）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e）；（２）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上）；（３）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练１．设P，Q分别为圆x２＋（y—6）２＝２和椭圆错误!＋y２＝１上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）Ａ．５错误!Ｂ．错误!＋错误!Ｃ．7＋错误!Ｄ．6错误!答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q（x，y），则圆心（0，6）到点Q的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤５错误!，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋错误!＝6错误!.解法二：易知圆心坐标为M（0,6），|PQ|的最大值为|MQ|max＋错误!，设Q（错误!cosθ，sinθ），则|MQ|＝错误!＝错误!当sinθ＝—错误!时，|MQ|max＝５错误!，所以|PQ|max＝５错误!＋错误!＝6错误!.故选Ｄ．２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．答案４解析设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝a２—c２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２．即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．。