数学选择题的特殊解法

选 择 题 的 解 法高考考卷中，选择、填空题均属客观题，占分55%左右，在很大程度上决定了高考的成败。

对客观题的心理策略是：克服心理恐惧，树立志在必得的信心；战术策略是：不局限于直接法，灵活运用各种方法以求达到准确、迅速解题的目的。

宗旨是：“不择手段，多快好省”。

（一）选择题及其解法解题时，应该“不择手段”地以达目的，切忌“小题大做”而“潜在失分”。

应尽量减少低级失误：“看错、算错、写错、抄错、用错、想错”。

解答选择题“要会算，要会少算，也要会不算”。

根据高考选择题的特点，解选择题的主要方法有： 直接求解法；1.直接法 直接判断法；图解法．2.逆推验证法．代值法；3.特殊化法 考察极端情况或变化趋势；构造数学模型．逻辑分析法；4.推理分析法特征分析法．一、直接法 通过推理或演算，直接从选择支中选取正确答案的方法称直接法．1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．例1 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个 例2 设F 1、F 2为双曲线42x －y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2＝90o ，则△F 1PF 2的面积是（ ）Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5 例3 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，过AB 中点M 与原点的直线斜率为22，则n m 的值为（ ） Ａ.22 Ｂ.332 Ｃ.1 Ｄ.23 2.直接判断法 涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择．例1、 甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ）Ａ.充分而非必要条件 Ｂ.必要而非充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非要条件 例2、 下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） Ａ.f (x )＝x ＋lg x a x a -+ Ｂ.f (x )＝(x －1)11-+x x Ｃ.f (x )＝2|2|12-+-x x Ｄ.f (x )＝111122+--+++x x x x 二、特殊化法（即特例判断法）例1．（2004广东）如右下图,定圆半径为a ，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( B )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限例2．函数f(x)=Msin(ϕ+ωx ) (0>ω)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)=–M ， f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ϕ+ωx )在[a ，b]上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值–M例3．已知等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ C ）A ．130B ．170C ．210D ．260例4．已知实数a ，b 均不为零，β=α-αα+αtan sin b cos a sin b sin a ，且6π=α-β，则a b 等于（ B ）A ．3B ．33C ．–3D ．–33 例4（2001理）若定义在(–1，0)内的函数f(x)=log 2a (x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是（ A ）A ．（0，21）B ．（0，21]C ．（21，+∞） D ．（0，+∞） 例5．（95全国理）已知I 为全集，集合M ，N I ，若N N M = ，则（ C ）A ．C I M ⊇C I NB ．M ⊆C I N C ．C I M ⊆C I ND ．M ⊇C I Nx三、排除法（筛选法）例1．（2002理）在()π2,0内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是（ ）A ．(4π,2π) (π,45π) B ．(4π,π) C ．(4π,45π) D ．(4π,π) (45π,23π) 例2．设θ是第二象限的角，则必有（ ）A ．2cot 2tan θ>θB ．2cot 2tan θ<θC ．2cos 2sin θ>θD ．2cos 2sin θ<θ 例3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0x (x )0x (12)x (f 21x ，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是（ ）A ．(–1,1)B ．(–1,+∞)C ．(–∞,–2) (0,+∞)D ．(–∞,–1) (1,+∞) 例4．已知θ是第三象限角，|cos θ|=m ，且02cos 2sin >θ+θ，则2cos θ等于（ ） A ．2m 1+ B ．–2m 1+ C ．2m 1- D ．–2m 1- 例5．已知二次函数f(x)=x 2+2(p –2)x+p ，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使f( c)>0，则实数p 的取值范围是（ ）A ．（1，4）B ．（1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1） 四：数形结合法（图象法）例1．（南京考题）对于任意x ∈R ，函数f(x)表示–x+3，3122x +，x 2–4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．8D ．–1 例2．已知向量(2,0)OB = ，向量(2,2)OC =，向量)CA αα= ，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）A ．[0，4π]B ．[4π，512π]C ．[512π，2π] D ．[12π，512π] 例3．已知方程|x –∈N*)在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k>0B ．0<kC ．121n +≤kD ．以上都不是五：代入检验法（验证法） 将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。

例1．已知a ，b 是任意实数，记|a+b|，|a –b|，|b –1|中的最大值为M ，则（ ） A ．M ≥0 B ．0≤M ≤12 C ．M ≥1 D ．M ≥12例2．已知二次函数2()2(2)f x x p x p =+-+，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是（ ）A ．（1，4）B ．（1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1） 例3．(2004广东)变量x ，y 满足下列条件：212293623240,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使得z=3x+2y 的值的最小的(x ，y)是（ ）A ．（4.5，3）B ．（3，6）C ．（9，2）D ．（6，4）六、推理分析法1.逻辑分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，它可分为以下三种情况：(1)若“(A )真 ⇒ (B )真”，则(A )必假，否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾．例1 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个对角面ACC 1A 1与BDD 1B 1都是矩形，则这个平行六面体是（ ）Ａ.正方体 Ｂ.长方体 Ｃ.直平行六面体 Ｄ.正四枝柱例2 当x ∈[－4，0]时，a ＋x x 42--≤34x ＋1恒成立，则a 的一个可能值是（ ） Ａ.5 Ｂ.35 Ｃ.－35 Ｄ.－5 例3、已知sin θ ＝53+-m m ,cos θ ＝524+-m m （2π＜θ ＜π＝,则tg 2θ＝( ).Ａ.m m --93 Ｂ.|m m --93| Ｃ.31 Ｄ.5 选 择 的 解 法高考考卷中，选择、填空题均属客观题，占分55%左右，在很大程度上决定了高考的成败。

对客观题的心理策略是：克服心理恐惧，树立志在必得的信心；战术策略是：不局限于直接法，灵活运用各种方法以求达到准确、迅速解题的目的。

宗旨是：“不择手段，多快好省”。

（一）选择题及其解法解题时，应该“不择手段”地以达目的，切忌“小题大做”而“潜在失分”。

应尽量减少低级失误：“看错、算错、写错、抄错、用错、想错”。

解答选择题“要会算，要会少算，也要会不算”。

根据高考选择题的特点，解选择题的主要方法有： 直接求解法；1.直接法 直接判断法；图解法．2.逆推验证法．代值法；3.特殊化法 考察极端情况或变化趋势；构造数学模型．逻辑分析法；4.推理分析法特征分析法．一、直接法 通过推理或演算，直接从选择支中选取正确答案的方法称直接法．1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．例1、 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个 分析 本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置，这就需对圆心到直线的距离作定量分析．解 将圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2,∴ r ＝22.∵ 圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝2|121|+--＝2,恰为半径的一半．故选Ｃ．例2、设F 1、F 2为双曲线42x －y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2＝90o ，则△F 1PF 2的面积是（ ）Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5 解 ∵ |PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±4，∴ |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16，∵ ∠F 1PF 2＝90o ，∴ 21PF F S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|＝41(|PF 1|2＋|PF 2|2－16). 又∵ |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20.∴ 21PF F S ∆＝1，选Ａ．例3、 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，过AB 中点M 与原点的直线斜率为22，则n m 的值为（ ） Ａ.22 Ｂ.332 Ｃ.1 Ｄ.23 分析 命题：“若斜率为k (k ≠0)的直线与椭圆22a x ＋22b y ＝1（或双曲线22a x －22by ＝1）相交于A 、B 的中点，则k ·k OM ＝－22a b (或k ·k OM ＝22ab )，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：解 ∵ k AB ·k OM ＝－22ab ＝－m n 11＝－n m , ∴ n m ＝－k AB ·k OM ＝1·22＝22，故选Ａ．2.直接判断法 涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择．例1、 甲：乙：“两个二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ）Ａ.充分而非必要条件Ｃ.充要条既非充分又非要条件分析 显然“乙⇒“甲⇒乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A 1－－C 与B 1－DD 1－A 满足条件甲(图31－1)，但它们的度数分别为90o 和45o ，并不满足乙，故应选Ｄ．注意 命题“甲⇒乙”成立是有条件的，这个条件就是这两个二面角的棱互相平行，忽视这个条件，易错选Ａ．例2、 下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） Ａ.f (x )＝x ＋lg x a x a -+ Ｂ.f (x )＝(x －1)11-+x x Ｃ.f (x )＝2|2|12-+-x x Ｄ.f (x )＝111122+--+++x x x x 解 由于选择支Ｂ给出的函数的定义域为[－1，1)，该定义区间关于原点不对称，故选Ｂ．评析 在判断函数的奇偶性时，不可忽略这样一个结论：“函数的定义区间关于原点对称是函数具备奇偶性的一个必要而非充分条件．”二、特殊化法（即特例判断法）例1．（2004广东）如右下图,定圆半径为a ，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( B )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限提示：取满足题设的特殊值a=2，b=–3，c=1解方程231010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 得 21x y =-⎧⎨=-⎩ 于是排除A 、C 、D ，故应选B例2．函数f(x)=Msin(ϕ+ωx ) (0>ω)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)=–M ， f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ϕ+ωx )在[a ，b]上（ C ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值–M提示：取特殊值。