一阶线性微分方程

在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化

积分得
u( x) Q( x)e
P( x)dx
于是非齐次线性方程的通解为
P( x)dx P( x)dx y e [ Q( x)e dx C ]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
d ( y 1 ) 1 1 即： y a ln x dx x
令zy1 则上述方程成为
dz 1 z a ln x dx x

这是一个线性方程 它的通解为

以y1代z 得所求方程的通解为
z x[C a (ln x)2 ] 2
yx[C a (ln x)2 ] 1 2
下列方程是什么类型方程？

(1)
dy 1 1 y (1 2 x) y 4 是伯努利方程. dx 3 3
dy (2) y xy5 是伯努利方程. dx x y (3) y 是伯努利方程. y x
(4) dy 2 xy 4 x 不是伯努利方程. dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
由通解公式得
2 dx y e x 1 [

5 2 dx ( x 1) 2 e x 1 dx C]
33 55 22 2 22 22 ((x x 1 1 )) [[ 2((x x 1 1 ))22 C C ]] ((x x 1 1 )) [[ ((x x 1 1 ))22((x x 1 1 )) dx dx C C ]]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为

x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,


( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,

高等数学之——
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y

e P( x)dx

Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx

C

只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y

e 1dx

3x

e
1dx
dx

C

ex 3
xe
x
dx

C

ex 3 xd (ex ) C