具有无关项的卡诺图化简
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卡诺图化简法
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.2.1 逻辑变量的最小项及其性质
1.最小项定义:
设有n个变量，若m为包含全部n个变量的乘积项（每个变量 必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称m为该组 变量的最小项。 如：A、B、C是三个逻辑变量，有以下八个乘积项 为此三个变量的最小项
2.特点
(1)每个最小项均含有三个因子（n个变量则含n个因子） (2)每个变量均为原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次
ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
填函数的卡诺图时，只在无关项对应的格内填任意 符号“Φ”、“d”或“×”
化简方法：视化简需要可作0或1处理。
例2.2.7：
设计一位十进制数的判奇电路，当为奇数时输出为1，否则为0。 无关项：1010 ～1111
解：
列 真 值 表
N A
0 1 2 0 0 0
B
0 0 0
C
0 0 1
D
0 1 0
结论：任一个
逻辑函数都可化 成为唯一的最小 项表达式
m3 m5 m7 m6
m(3,5,7,6)
对于一个具体的逻辑问题，逻辑表达式是不唯一的
真值表
唯一 最小项表达式
卡诺图 真值表实际上是函数最小项 表达式的一种表格表示 最小项表达式的一种图形表示 ——卡诺图
如
A 0 0 0 0 1 1 1 1
2.2.1 逻辑变量的最小项及其性质
1.最小项定义:
设有n个变量，若m为包含全部n个变量的乘积项（每个变量 必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称m为该组 变量的最小项。 如：A、B、C是三个逻辑变量，有以下八个乘积项 为此三个变量的最小项
2.特点
(1)每个最小项均含有三个因子（n个变量则含n个因子） (2)每个变量均为原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次
ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
填函数的卡诺图时，只在无关项对应的格内填任意 符号“Φ”、“d”或“×”
化简方法：视化简需要可作0或1处理。
例2.2.7：
设计一位十进制数的判奇电路，当为奇数时输出为1，否则为0。 无关项：1010 ～1111
解：
列 真 值 表
N A
0 1 2 0 0 0
B
0 0 0
C
0 0 1
D
0 1 0
结论：任一个
逻辑函数都可化 成为唯一的最小 项表达式
m3 m5 m7 m6
m(3,5,7,6)
对于一个具体的逻辑问题，逻辑表达式是不唯一的
真值表
唯一 最小项表达式
卡诺图 真值表实际上是函数最小项 表达式的一种表格表示 最小项表达式的一种图形表示 ——卡诺图
如
A 0 0 0 0 1 1 1 1
第六讲 具有无关项和多输出逻辑函数卡诺图化简法
L = A D + AD
L = L = A D + AD
L = A D + AD
CD 00 AB 00 0 01 0 11 10
01 11 10
1
= A D • AD = ( A + D) • ( A + D ) = ( A + D) • ( A + D ) = A+ D+ A + D
1 1
× 0 1 × 0 0 × × 0 0 ×
L2 = AB C + BC
将两个输出函数视为一个整体， 将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如下
BC A 00 0 0 1
01
11
1 1
1 1
BC 10 A 00 0 0 0
01
11
10
0 0
1 1
0 0
1
0
1
1
L1 = AB C + C
L2 = AB C + BC
逻辑图如 ２８图 逻辑图如Ｐ２８图１．２０，图１．２１ ２０，
•
•
逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺 图和时序图
求其最简与或式
F = D + BC
某逻辑函数输入是8421 8421BCD码，其逻辑表达式为： 例８. 某逻辑函数输入是8421 码 其逻辑表达式为： L（A,B,C,D）=∑ （1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） , ）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） （ 用卡诺图法化简该逻辑函数。 用卡诺图法化简该逻辑函数。 解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 画出4变量卡诺图。 号小方格填入1 10、11、12、13、14、15号小方格填入 号小方格填入× 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项，如图（ ） 所示。注意， 方格不能漏。 （ 2 ） 合并最小项 ， 如图 （ a）所示 。 注意 ， 1 方格不能漏 。 × 方 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 写出逻辑函数的最简与—或表达式 或表达式: （3）写出逻辑函数的最简与 或表达式: 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为： 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：
数电课件第八次课 无关项卡诺图化简法、门电路2
AB
CD 00
1 0 0 0
00 01 11 10
结论： F = G
18
第三章
§3.1 概述
门电路
§3.2 二极管及其构成的与、或门电路 §3.3 三极管及其构成的非门电路 §3.4 TTL门电路 §3.5 CMOS门电路
19
§3.1 概述
一、门电路的概念：
算的电子电路，叫逻辑门电路。实 实现基本和常用逻辑运 实现基本和常用逻辑运算的电子电路，叫逻辑门电路。实 现与运算的叫与门，实现或运算的叫或门，实现非运算的叫非 门，也叫做反相器，等等。 门电路主要有： 与门 、或门 、与非 门，也叫做反相器，等等。门电路主要有： 门电路主要有：与门 与门、 或门、 、异或门 等。 门、或非门 或非门、 异或门等。
∑
11 0 × 0 0
10 1 0 0 0
Y = B′C ′ + A′ B′D′
Y = B′(C ′ + D′) ( A′ + C ′ )
12
⎧ Y= m(1,2,8,9) ⎪ 【例 2】 试化简逻辑函数 ⎨ 为最简与或式、 ⎪ ⎩ A′ C ′D′ + A′BCD = 0
∑
或与式和与或非式。 CD 00 AB 00 × 01 11 10 × 0 1
01 0 0 0 0 11 0 0 1 0 10 0 0 0 0
AB
CD 00
1 0 0 0
00 01 11 10
16
G = ( A′ B + B′C + C ′D + D′A)′
G ′ = A′B + B′C + C ′D + D′A
A′B =
∑ C ′D = m(1,5,9,13) ∑
具有无关项的逻辑函数及其化简
具有无关项的逻辑函数及其化简1. 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样一种情况，即输入变量的取值不是任意的。
对输入变量取值所加的限制称为约束。
同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。
例如，有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。
因为电动机任何时候只能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上的变量同时为1。
ABC 的取值只可能是001、010、100当中的某一种，而不能是000、011、101、110、111 中的任何一种。
因此，A、B、C 是一组具有约束的变量。
通常用约束条件来描述约束的内容，为方便起见采用逻辑语言表述约束条件。
由于每一组输入变量的取值都使一个、而且仅有一个最小项的值为1，所以当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项等于0来表示。
这样，上述例子中的约束条件可以表示为或写成：同时，把这些恒等于0的最小项叫做约束项。
有时还会遇到另外一种情况：在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。
在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
由于约束项和任意项都不影响函数值，所以又把两者统称为逻辑函数式中的无关项，既可以写入函数式中，也可以不写进去。
一般情况在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1，其他位置上填入0。
既然无关项可以包含也可以不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上填1或0都可以。
为此，规定在卡诺图中用×（或）表示无关项。
在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以认为它是0。
数字逻辑基础卡诺图化简
101
0
110
0
1 2020/8/14 1 1
1
14
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
2020/8/14
15
（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填
入1，其余的小方块中填入0。
例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
① 无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可 以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的 取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这 些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项， 在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用 ∑d（ ）表示。
例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～ 1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
2020/8/14
12
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
复习：
真值表--逻辑表达式（化简）--逻辑电路图
例：三变量表决逻辑 Y=？ 逻辑图？
2020/8/14
卡诺图化简法PPT课件
F ( A, B,C, D) ABCD ABCD ABCD ABCD
解： 根据最小项的编号规则，得 将这四个最小项填入四变量卡诺图内
F m3 m9 m11 m13
化简得
F ACD BCD
第21页/共55页
例11 用卡诺图化简函数
F ( A, B,C, D) ABC AC D ABC D ABC
（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越 好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。
（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 （7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
第23页/共55页
练习：判断正确与错误 例1
错误 （多画一个圈）
F C BD
正 确
F ABC ACD ABC ACD
第25页/共55页
4. 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简法
◆ 什么是无关项
实●际在中逻经辑常函会数遇表到达这式样中的用问题，在真值表表内示d对(无.应.关..于项..变，) 量例的如某，些取值下，函说数明的
值可最以例小是如项任：m意一2、的个dm，逻(42、或辑,4m者电,55为说路)无这的关些输项变入；量为的84取21值-B根CD本码不，会显出然现信。息中有六个变量组合
（101●0～也1用111逻）辑是表不达使式用表的示，函这数些中变的量无取关值项所，对例应如的最小项称为无关项。 如果电路正常工作，这些无关项决不会出现，那么与这些无关项所对应的电路
的量输得说出无到明●是简关无什化项关么而的A项， 定意B在也。义真就在值无于A所表所C，包或谓它含卡了的的诺，值最d图可可小中以以项用假取为A×定0无来B或为关表取1项示，1，。A。也具C可体以取假什定么为值0，。可以根据使函数尽
解： 根据最小项的编号规则，得 将这四个最小项填入四变量卡诺图内
F m3 m9 m11 m13
化简得
F ACD BCD
第21页/共55页
例11 用卡诺图化简函数
F ( A, B,C, D) ABC AC D ABC D ABC
（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越 好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。
（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 （7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
第23页/共55页
练习：判断正确与错误 例1
错误 （多画一个圈）
F C BD
正 确
F ABC ACD ABC ACD
第25页/共55页
4. 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简法
◆ 什么是无关项
实●际在中逻经辑常函会数遇表到达这式样中的用问题，在真值表表内示d对(无.应.关..于项..变，) 量例的如某，些取值下，函说数明的
值可最以例小是如项任：m意一2、的个dm，逻(42、或辑,4m者电,55为说路)无这的关些输项变入；量为的84取21值-B根CD本码不，会显出然现信。息中有六个变量组合
（101●0～也1用111逻）辑是表不达使式用表的示，函这数些中变的量无取关值项所，对例应如的最小项称为无关项。 如果电路正常工作，这些无关项决不会出现，那么与这些无关项所对应的电路
的量输得说出无到明●是简关无什化项关么而的A项， 定意B在也。义真就在值无于A所表所C，包或谓它含卡了的的诺，值最d图可可小中以以项用假取为A×定0无来B或为关表取1项示，1，。A。也具C可体以取假什定么为值0，。可以根据使函数尽
数字逻辑基础卡诺图化简
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项 就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上 1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5：已知 YA BA C D A B C D ，画卡诺图。
Y1 AB AB(CC)(DD)
ABCDABCDABCDABCD
m(12,13,14,15)
Y2 AC D A(B B )C D
例3： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表1-19 逻辑函数Y的真值表
图1-12 例3的卡诺图
ABC
Y
000
0
001
1
010
1
011
0
100
1
101
0
110
0
1 2020/7/26 1 1
1
.
14
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
或：Y(A,B,C)m3m6m7
m(3,6,7)
2020/7/26
.
8
例2: 写出三变量函数的最小项表达式。
解 利用摩根定律将函数变换为与或表达式， 然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
AB ABCAB
(A BA B )CA B (CC )
A B C A B C A B C A B C
2020/7/26
.
2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
例5：已知 YA BA C D A B C D ，画卡诺图。
Y1 AB AB(CC)(DD)
ABCDABCDABCDABCD
m(12,13,14,15)
Y2 AC D A(B B )C D
例3： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表1-19 逻辑函数Y的真值表
图1-12 例3的卡诺图
ABC
Y
000
0
001
1
010
1
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1 2020/7/26 1 1
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练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
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或：Y(A,B,C)m3m6m7
m(3,6,7)
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8
例2: 写出三变量函数的最小项表达式。
解 利用摩根定律将函数变换为与或表达式， 然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
AB ABCAB
(A BA B )CA B (CC )
A B C A B C A B C A B C
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2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
逻辑函数的卡诺图法化简
例4 ：用卡诺图表示4变量逻辑函数：F = ABC + CD + BD
数字电路与逻辑设计
解: 直接填入
CD 00
01
00 01 11 10
0
10
0
1
11
0
11 0
11
1
10 0
00
0
电子工 程学院
School of Electronic Engineering
厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
例5:用卡诺图表示4变量逻辑函 数:
School of Electronic Engineering
厚饱博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2)如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
例3 ：用卡诺图表示4变量逻辑函数：F = ABC + ABD +
AC 解：F = ABC+ABD+AC
=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
F B 00 01 11 10
C 0
Jq
0
0
0
0
0
0
1
F
IF = AC
B 00 01
11
10
C
0
0
0
0
0
0
0
1
F
B 00 01 11 10
C
0A 0
0
0
0
0
0
1
IF = BC
\ F = AB
电子工 程学院
School of Electronic Engineering
厚饱博学
数字电路与逻辑设计
解: 直接填入
CD 00
01
00 01 11 10
0
10
0
1
11
0
11 0
11
1
10 0
00
0
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School of Electronic Engineering
厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
例5:用卡诺图表示4变量逻辑函 数:
School of Electronic Engineering
厚饱博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2)如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
例3 ：用卡诺图表示4变量逻辑函数：F = ABC + ABD +
AC 解：F = ABC+ABD+AC
=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
F B 00 01 11 10
C 0
Jq
0
0
0
0
0
0
1
F
IF = AC
B 00 01
11
10
C
0
0
0
0
0
0
0
1
F
B 00 01 11 10
C
0A 0
0
0
0
0
0
1
IF = BC
\ F = AB
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厚饱博学
卡诺图化简
卡诺图化简一.画法卡诺图中变量组合采用格雷码排列，具有很强的相邻性。
0110m AB m AB1m 03m AB AB2(a)0132B (b)B A0101A0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC74ABCm m m ABCABC 0(a)(b)132457610011100BC A01BC A 1001110001m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCDABCD 1412m 15m ABCDABCDABCDm ABCD8m 1011m 9m ABCD 0132765413141512981110ABCD0000010*******10(a)(b)ABCD 0000010111111010二．步骤1．逻辑函数化为最小项表达式；写出最小项之和的形式、标准与或式2．根据变量的个数画出相应的卡诺图。
3．画卡诺圈并检查；填卡诺图（Y中包含的最小项填1），画包围圈（2n个相邻方格组，n=1，2，…4．将各卡诺圈合并为与项；各包围圈合并为一个与项（消去形式不同的变量，保留形式相同的变量5．将所有与项相加写出最简与或表达式合并后的各与项相加即为化简的逻辑函数三．注意：1．卡诺圈的面积要尽可能大，这样消去的变量就多，可保证与项中变量最少。
2．卡诺圈的个数要尽可能少，每个卡诺圈合并后代表一个与项，这样可保证与项最少。
3．每个卡诺圈内方格数为2n（n=0，1，2…），根据“去异留同”的原理将这2n个相邻的最小项结合，可以消去n个共有并且互补的变量而合并为一项。
4. 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，不能漏下。
5．取值为1的同一方格可被不同卡诺圈重复包围，但新增卡诺圈要有新方格。
6. 相邻方格包括上下相邻、左右相邻、四角相邻（注意对角不相邻）。
综上所述，画卡诺圈时应遵循先画大圈后画小圈的顺序，同时要保证圈内方格数为2n且不能漏下任何1方格。
卡诺图化简
Y ( A, B, C , D ) ABC ABCD ABCD ABCD 约束条件：A ⊙ B＝0
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
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第六讲逻辑函数的卡诺图化简法（2）
课题：逻辑函数的最简式的其它形式；
具有约束的逻辑函数的化简
课时安排：2
重点：具有约束的逻辑函数的化简
难点：具有约束的逻辑函数的化简
教学目标：使同学掌握用卡诺图法求最简式的其它形式的方法，理解约束条件，掌握用约束条件化简逻辑函数的方法，了解多输出逻辑函数的化简方法。
教学过程：
一、用卡诺图法求最简式的其它形式
二、用卡诺图检验函数是否最简
三、具有约束项的逻辑函数化简法
1、约束的概念和约束的条件
2、有约束的逻辑函数的表示方法
3、具有约束的逻辑函数的化简
4、多输出逻辑函数的化简
3、具有无关项的逻辑函数的化简
无关项：
约束项：值恒为0的最小项
任意项：使函数值可以为1，也可以为0 的最小项
约束项和任意项均为无关项。
含有无关项的函数的两种表示形式：
1、L=∑m(…)+∑d(…)
2、L=∑m(…)，给定约束条件为ABC+ACD=0
2．具有无关项的逻辑函数的化简
化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。
例７.
不考虑无关项时，表达式为：
考虑无关项时，表达式为:
注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。