高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法
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课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法
1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1
(n ∈N *),则f (1)的值为( ) A.1 B.15
C.1＋12＋13＋14＋15
D.非以上答案
解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数,且最大分母为6n －1,则当n ＝1时,最大分母为5,故选C.
2.下列结论能用数学归纳法证明的是( )
A.x ＞sin x ,x ∈(0,π)
B.e x ≥x ＋1(x ∈R)
C.1＋12＋122＋…＋12
n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *) D.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α,β∈R)
解析：选C 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法,由此可知选项C 符合题意.
3.已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2,则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )
A.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2
B.f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2
C.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2
D.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
解析：选A f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.
4.利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1
＜f (n )(n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n ＝k 到n ＝k ＋1时,左边增加了( )
A.1项
B.k 项
C.2k －1项
D.2k 项
解析：选D 令不等式的左边为g (n ),则
g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1
, 其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋
1－2k ＝2k . 故左边增加了2k 项.
5.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a
n ＋1＝1－a n ＋
21－a (n ∈N *,a ≠1),在验证n ＝1成立时,左边所得的项为___________. 解析：当n ＝1时,n ＋1＝2,所以左边＝1＋a ＋a 2.
答案：1＋a ＋a 2
6.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2
,假设n ＝k 时,不等式成立,则当n ＝k ＋1时,应推证的目标不等式是____________________________________.
解析：观察不等式中分母的变化便知.
答案：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3
7.用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
. 证明：(1)当n ＝1时,左边＝12＝1,
右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1,左边＝右边,原等式成立. (2)假设n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时等式成立,即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k
－1·k (k ＋1)2
. 那么,当n ＝k ＋1时,
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －
1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12
[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2
. ∴n ＝k ＋1时,等式也成立,
由(1)(2)知对任意n ∈N *,都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
. 8.用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *). 证明：(1)当n ＝1时,
左边＝1＋12,右边＝12
＋1, 所以32≤1＋12≤32
,即命题成立. (2)假设当n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时命题成立,即
1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12
＋k , 则当n ＝k ＋1时,
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12
＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1), 即n ＝k ＋1时,命题成立.
由(1)(2)可知,命题对所有n ∈N *都成立.
9.已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2,a n ＝a n －1＋2(n ≥2,n ∈N *).
(1)求证：对任意n ∈N *,a n ＞2恒成立；
(2)判断数列{a n }的单调性,并说明你的理由；
(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和,求证：当a ＝3时,S n ＜2n ＋43
. 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)恒成立. ①当n ＝1时,a 1＝a ＞2,结论成立；
②假设n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时结论成立,即a k ＞2,
则n ＝k ＋1时,a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2,
所以n ＝k ＋1时,结论成立.
故由①②及数学归纳法,知对一切的n ∈N *,都有a n ＞2成立.
(2)数列{a n }是单调递减的数列.
因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1),又a n ＞2,
所以a 2n ＋1－a 2n ＜0,所以a n ＋1＜a n .
所以{a n }是单调递减的数列.
(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2,得a 2n ＋1＝a n ＋2,
所以a 2n ＋1－4＝a n －2.
根据(1)知a n ＞2(n ∈N *),
所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14
, 所以a n ＋1－2＜14
(a n －2)＜⎝⎛⎭⎫142(a n －1－2)＜…＜⎝⎛⎭⎫14n ·(a 1－2). 所以当a ＝3时,a n ＋1－2＜⎝⎛⎭
⎫14n ,即a n ＋1＜⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时,S 1＝3＜2＋43
, 当n ≥2时,
S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n
＜3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14
⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＜2n ＋43
. 综上,当a ＝3时,S n ＜2n ＋43(n ∈N *).。
