南开中学高2012级10-11学年(上)期末试题——数学理

2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．310．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．14．计算：= ．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑．【分析】“”⇒“”，反之不成立，例如α=．即可判断出结论．【解答】解：“”⇒“”，反之不成立，例如α=．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，∴，解得l=5，r=，∴扇形的面积S=lr=故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式，涉及角的弧度数的定义，属基础题．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的零点存在定理判断即可．【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+＜0，f（3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点定理的应用，注意判断函数的单调性，以及零点定理的应用．5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；规律型；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：D．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行推导即可．【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin x，然后向右平移个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，根据三角函数的周期变换和平移变换法则是解决本题的关键．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，则f=f（0），f=f（1）=1，f=f（2），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x=﹣2时，f（﹣2+4）=f（﹣2），即f（2）=﹣f（2），则f（2）=0，即f+f+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质结合条件关系进行转化是解决本题的关键．10．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======，故选：D．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力，属于基础题．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=﹣2x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 1 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，得出m2﹣3m+3=1，求出m的值，再验证幂函数是否为（0，+∞）上的减函数即可．【解答】解：幂函数在（0，+∞）单调递减，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意；当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去；∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．14．计算：= 3 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：=log66+2=3．故答案为：3．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得tan，再由二倍角的正切公式可得．【解答】解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），又∵，∴sin==，∴tan==2，∴tanθ==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为[，1+] ．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，令log2（1﹣x）+1=0，x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，即可得出结论．【解答】解：由题意，令log2（1﹣x）+1=0，∴x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，∴实数a的取值范围是[，1+]．故答案为：[，1+]．【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=﹣，代入tanα=tan[（α+β）﹣β]=，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=，代值计算可得．【解答】解：（1）∵，∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]===﹣；（2）化简可得===【点评】本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=a x+=f（x），则函数为偶函数，当x≥0时，设0≤x1＜x2，即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•，∵a＞1，0≤x1＜x2∴1≤＜，则﹣＜0，•﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增，同理当x≤0时，函数单调递减；（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|），即|x﹣1|＞|2x+1|，平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期；（2）由图象过点可得λ=﹣1，由结合三角函数的值域可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ由函数图象关于直线对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）∵y=f（x）的图象过点，∴2sin（2•﹣）+λ=0，解得λ=﹣1，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，故函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出f（cosθ），问题转化为sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，∴，解得：，∴f（x）=x2+x﹣2；（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，∴由不等式对θ∈R恒成立，得：cos2θ+cosθ﹣2≤sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=+1﹣，∵﹣1≤sinθ≤1，∴①﹣1≤≤1即﹣3≤m≤1时：g min（θ）=1﹣≥0，解得：﹣3≤m≤1，符合题意；②＜﹣1即m＜﹣3时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＞﹣3，无解；③＞1即m＞1时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＜1，无解；综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（θ）=sos2θ+（1+m）sinθ+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（﹣x）==0，由此能求出a．（2）当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=0，得x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）==0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）===0，∴=1，∴1﹣a2x2=1﹣x2，解得a=±1．（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx），由﹣log2（mx）=0，解得mx=1，x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=，由=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】综合题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可．【解答】解：（1）若a=，b=，c=，则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．（3）λ的最大值是．①当λ＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．②当λ=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，即 a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得 sina+sinb＞+=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得 cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当λ=时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为，【点评】本题主要考查新定义的应用，要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。

2023-2024学年天津市南开中学高二（上）期末物理试卷一、单选题：本大题共5小题，共25分。

1.如图所示，电场中某区域的电场线分布，a、b是电场中的两点，则( )A. a点的场强比b点小B. 负的点电荷在a点具有的电势能一定为负值C. 电子由a点运动到b点，电势能变大D. 正电荷在a点由静止释放，它只在静电力作用下运动的轨迹与电场线一致2.如图所示，电源内阻等于灯泡的电阻，当开关闭合。

滑动变阻器滑片位于某位置时，水平放置的平行板电容器间一带电液滴恰好处于静止状态，灯泡L正常发光，现将滑动变阻器滑片由该位置向a端滑动，则( )A. 灯泡将变亮，R中有电流流过，方向竖直向上B. 液滴带正电，在滑片滑动过程中液滴将向下做匀加速运动C. 电源的路端电压增大，输出功率也增大D. 滑片滑动过程中，带电液滴电势能将减小3.1831年10月28日，法拉第展示了人类历史上第一台发电机——圆盘发电机，如图为法拉第圆盘发电机的示意图，铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中，圆盘以角速度ω顺时针旋转(从上往下看)，则( )A. 圆盘转动过程中电流沿a到b的方向流过电阻RB. 圆盘转动过程中Q点电势比P点电势低C. 圆盘转动过程中产生的电动势大小与圆盘半径成正比D. 若圆盘转动的角速度变为原来的3倍，则电流在R上的热功率也变为原来的3倍4.在例题中，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)=0.3−0.1t(SI)，其他条件不变，在0～6s内( )A. 金属框内感应电流先沿顺时针方向后沿逆时针方向B. 金属框受到的安培力先向上后向下C. 细绳上的拉力有可能等于金属框的重力D. 3s时金属框内的感应电流为零5.由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。

现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。

重庆南开中学高2025级高一（上）期末考试地理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间90分钟。

第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共69分）本卷共46题，每题1.5分，共69分。

下列题目四个选项中只有一个正确选项。

不选、多选或错选不给分。

下图为“太阳系局部示意图”，据此完成1～2题。

1.M行星可能是A.月球或金星B.水星或木星C.水星或金星D.火星或土星2.和地球相比，M行星没有生命的主要原因是①没有坚硬的陆地表面②距离太阳更近，表面温度过高③公转方向为自东向西④没有液态水和适合呼吸的大气A.①②B.③④C.①③D.②④第25个太阳活动周期于2019年开始并慢慢加剧，预计2025年达到峰值，然后回落，太阳活动的强弱可通过太阳黑子数量判读，下图为“太阳圈层结构示意图”，据此完成3～4题。

3.太阳黑子出现在A.①层B.②层C.③层D.太阳内部4.推测第26个太阳活动周期开始于A.2030年B.2036年C.2040年D.2046年下图为“地球圈层结构示意图”，据此完成5～6题。

5.在大陆地壳的某地层中发现恐龙化石，推测该地层形成于A.新生代B.中生代C.古生代D.元古宙6.下列说法中，正确的是A.莫霍面在地下平均2900km处B.甲圈层属于地球外部圈层C.大洋地壳平均厚度比大陆地壳小D.软流层位于乙圈层最顶部下图为“地球某大气成分浓度垂直分布图”，据此完成7～8题。

7.该大气成分主要分布于A.对流层B.平流层C.高层大气D.电离层8.受人类活动影响，部分地区该大气成分浓度降低，带来的主要影响是A.大气透明度提高B.到达地面的紫外线增多C.大气透明度降低D.到达地面的紫外线减少月球表面昼夜温差大，白昼时温度高达127℃，黑夜时低至-183℃，下图（左）为“玉兔号月球车”。

为适应极端环境，“玉兔号月球车”肩插“太阳翼”、脚踩“风火轮”、身披“黄金甲”、腹中“秘器”多，下图（右）为“大气受热过程示意图”，据此完成9～10题。

AF =
。
25 , AF
12
BF , 则
-4-
（ 15）某艺校在一天的 6 节课
中随机安排语文、数学、外语三门文
化课和其他三门艺术课个
1 节，则在课表上的相邻两节文化
课之间最多间隔 1 节艺术
课的概率为
（用数字作
答） .
【答案】 3 5
【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语
x
A B 所表示的平面图形的面积为
（ A） 3 4
3
（ B）
5
4
（ C）
7
（ D）
2
二 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案分别填写在答题卡相应位置上
（ 11）若（1+i）（2+i）=a+bi ，其中 a, b R,i 为虚数单位， 则 a b
；
-3-
1
（ 12） lim
x1
2. 不等式
0 的解集为
2x 1
A.
1 ,1
B.
2
【答案】 A
1 ,1
C.
2
1
.
1,
D.
2
1
,
1,
2
【解析】
【考 点定 的解法， 解 性质， 属于
位】本题主要考察了分式不等式 题的关键是灵活运用不等式的 基础试题
3. 对任意的实数 k，直线 y=kx+1 与圆 的位置关系一定是
A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心
（ 9）设四面体的六条棱的长分别为
面，则 a 的取值范围是
1，1， 1， 1， 2 和 a ，且长为 a 的棱与长为 2 的棱异