●课 题等差数列（一）●教学目标（一）教学知识点1.等差数列的定义.2.等差数列的通项公式.（二）能力训练要求1.明确等差数列的定义2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题（三）德育渗透目标1.培养学生观察能力.2.进一步提高学生推理、归纳能力.3.培养学生的应用意识.●教学重点1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.●教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.●教学方法启发式教学启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.●教具准备投影片一X记作§Ⅰ.复习回顾［师］上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子（打出投影片）Ⅱ.讲授新课［师］首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）［师］（提问）：大家是否已考虑成熟？［生］（回答）：学生甲：数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a n =n （1≤n ≤6）. 学生乙：数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a n =12－2n （n ≥1）.学生丙：数列③是一递增数列，后一项总比前一项多51，其通项公式为：a n =5n （n ≥1）.学生丁：数列④是一常数数列，即每一项均相等，其通项公式为：a n =2（n ≥1）. ［师］综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？［生］它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.［师］也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，51，0. 2.等差数列的通项公式［师］等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：（n －1）个等式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-+da a d a a d a a d a a n n 1342312 若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1=（n －1）d 即：a n =a 1+（n －1）d当n =1时，等式两边均为a 1,即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列｛a n ｝的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1=d 即：a 2=a 1+d ；a 3－a 2=d 即：a 3=a 2+d =a 1+2d ；a 4－a 3=d 即：a 4=a 3+d =a 1+3d ；……；a n －a n －1=d ,即：a n =a n －1+d =a 1+（n －1）d［师］看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①:a n =1+（n －1）×1=n （1≤n ≤6）,数列②：a n =10+（n －1）×（－2）=12－2n（n ≥1）,数列③：a n =51+（n －1）×51=5n （n ≥1），数列④：a n =2+（n －1）×0=2（n ≥1） 由通项公式可类推得：a m =a 1+（m －1）d ，即：a 1=a m －（m －1）d ，则：a n =a 1+（n －1）d =a m －（m －1）d +（n －1）d =a m +（n －m ）d .如：a 5=a 4+d =a 3+2d =a 2+3d =a 1+4d3.例题讲解［例1］（1）求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项. 解：由题意可知：a 1=8,d =5－8=2－5=－3∴该数列通项公式为：a n =8+（n －1）×（－3）,即：a n =11－3n （n ≥1）,当n =20时，则a 20=11－3×20=－49.答案：这个数列的第20项为－49.（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n ，可使得a n =－401.解：由题意可知：a 1=－5,d =－9－（－5）=－4,∴数列通项公式为：a n =－5－4（n －1）=－4n －1.令－401=－4n －1,解之得n =100. ∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5=10,a 12=31,求首项a 1与公差d .解：由题意可知，a 1+4d =10,①,a 1+11d =31,②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1=－2,d =3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{a n }中，已知a 5=10,a 15=25,求a 25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：a 1+4d =10,a 1+14d =25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1=4,d =23. ∴这个数列的通项公式为：a n =4+23×（n －1）,即：a n =23n +25.∴a 25=23×25+25=40. 思路二：若注意到已知项为a 5与a 15,所求项为a 25,则可直接利用关系式a n =a m +（n －m ）d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15=a 5+10d ,即25=10+10d ,∴10d =15.又∵a 25=a 15+10d ,∴a 25=25+15=40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5,a 15,a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5,a 15,a 25成等差数列∴2a 15=a 5+a 25,即a 25=2a 15－a 5,∴a 25=2×25－10=40.Ⅲ.课堂练习［生］（书面练习）课本［师］（提问并结合学生所答进行讲评）1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a 1=3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：a n =3+（n －1）×4,即a n =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴a 4=4×4－1=15,a 10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a 1=10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（n －1）×（－2）,即：a n =－2n +12,∴a 20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规X 性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：根据题意可得：a 1=2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：a n =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：a 1=0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：a n =－27n +27, 令－27n +27=－20,解得n =747 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. ［生］（板演练习）课本P 117练习22.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4=10,a 7=19,求a 1与d ;（2）已知a 3=9,a 9=3,求a 12. 解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a ∴该数列的通项公式为：a n =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴a 12=0 解法二：由已知得：a 9=a 3+6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1又∵a 12=a 9+3d ,∴a 12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1=d （n ≥2）.其次，要会推导等差数列的通项公式：a n =a 1+（n －1）d （n ≥1），并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n =a m +（n －m ）d 的理解与应用.Ⅴ.课后作业（一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：（1）如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?（2）等差数列有哪些性质?●板书设计。
