一堂探究式教学课的案例及反思

一堂探究式教学课的案例及反思
李蓉
建构主义认为：知识的学习并非是一个被动的过程，而应该是一个主动的建构过程。

知识的传授也不是简单地从一个人迁移到另一个人，它必须基于学习者对具体问题的兴趣、探究、反思、消化、改造，才能使之成为真正适合他们自己的知识结构。

因此，在课堂教学中，笔者认为开展以自主学习为前提、以合作交流为形式、以探究建构为目的的探究式学习课，无疑对实现学生认知的深化和建构，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，培养学生科学的探索精神和创造能力是大有裨益的。

下面就以自己一次课堂教学实例，来谈谈一点感受。

一、 课堂实录：
1、 创设情境、抛砖引玉：
T ：前面我们已经学习了双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。

下面请大家看一个问题（多媒体电脑显示）：
问题：给定双曲线122
2
=-y x ，过点()1,1P 能否作直线l ，使l 与 此双曲线交于2,1Q Q 两点，且点P 是2,1Q Q 的中点？
这虽然是一道比较早的高考题了，但“经典”的题例是不会因时间的流逝而“褪色”的，我们如果从不同的角度思考，可以得到这个问题的不同解法，请大家尝试，看谁解得最快、最好。

（问题提出后，犹如一石激起了千层浪，学生的探究热情被激发起来了，他们跃跃欲试，立即投入到对该题探索中去）
2、 自主探究，暴露思维
学生求解的同时，我在行间巡视，发现1S 很快得出了结果，于是请1S 上台板书如下：
假设l 存在，则l 显然不平行于y 轴，设点()()222111,,y x Q y x Q ，则有122121=-y x ，122
222=-y x ， 两式相减，得：()()()()022*******=+---+y y y y x x x x ，
因为()1,1P 为2,1Q Q 的中点，所以有： 2,
22121=+=+y y x x ， 所以22
121=--=x x y y k ，故所求直线l 的方程为12-=x y 。

T ：很好！
“点差法”用得恰到好处。

大家都对1S 投以了赞许的目光。

3、 辨析错误，正本清源
突然2S 提出了异议：老师，我虽然没有计算，但是我通过画图，发现所求直线跟双曲线没有交点啊，所以我猜想符合题意的直线l 不存在。

教室里一阵躁动不安，有人在自言自语：怎么会呢？直线方程已经求出来了，怎么会不合题意呢？一定是2S 画图不准确。

出现了疑惑，此时我故意不点破，而是因势利导。

T ：真的是2S 同学画图不准确吗？大家再换个角度想想看，除了画图外，我们还有没有别的办法来判断直线与双曲线的位置关系呢？
过了一会儿，3S 站起来慷慨陈词：有，可用∆判断。

我的解法是：
假设l 存在，则l 显然不平行于y 轴，故可设l 的方程为：()11-=-x k y ，代入双曲线方程化简整理得：()()0322222222=-+--+-k k x k k x k ， ()1 又设点()()222111,,y x Q y x Q ，则21x x 、是方程()1的两实根， 又由韦达定理有22
222221=--=+k k k x x 所以可得2=k ， 但此时08<-=∆，直线与双曲线无交点，说明2S 的发现是对的。

T ：很好的做法，让我们为他的成功而鼓掌！
（热烈的掌声）当然，刚才2S 提出这个问题来，也说明了他很会动脑筋，同样是功不可没的。

（学生倍受鼓舞，教师对主体的肯定，更加激发他们的探究热情。

）
T ：3S 用代数的方法，验证了所求直线l 与双曲线确实没有公共点，符合题意的直线l 不存在，这就启示我们以后在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时，要注意运用∆对所求结果进行检验。

4、 合作交流，深入探究
这时，4S 迫不及待地站起来说了：老师，我还是不明白，我们求出的这条直线12-=x y 与原双曲线究竟有什么联系呢？为什么它不符合题意，却又被求了出来？
T ：问得好，我们的学习中需要的就是这种“打破沙锅问到底”的精神，下面请大家再继续探究，一起帮他解决这个问题好吗？
（事实上，大多数学生也心里存在着这个疑惑，现在带着既帮别人，又帮自己的心情来探究，热情更加高涨）
学生形成讨论小组进行讨论，很快第二小组派出代表5S 发言：从前面1S 的解法中可知，当两个式子相减时，可求出22121=--=
x x y y k ，其实这里前者是后者的充分非必要条件，因为若把122121=-x y 与12
2222=-x y 相减，也能推出22
121=--=x x y y k ，所以我们猜想：这条直线12-=x y 可能适合于已知双曲线为其共轭双曲线12
22
=-x y 的情形。

T ：敏锐的观察力、大胆合理的猜想，这是创造型人才必备的素质，大家表现得很好，那么猜想正确吗？
大家纷纷动手进行验证，猜想成立。

5、 再掀波涛，更进一步
讨论到这里，大家都带着一份满足感，一份成就感，轻轻地松了一口气。

我也准备结束这道题的讲评时，没想到一直没发言的数学科代表说话了：刚才的研究所得，对一般情形也适用吗？
我心里一惊，是啊，从特殊到一般，真后悔自己事先怎么没有先去研究一下呢?但我坚信，学生的潜能是巨大的，50多人的智慧应该能解决这个问题的。

于是我马上表扬了科代表的这种强烈的探究意识，同时在黑板上写下了原问题的一般情形，然后师生共同探究： 给定双曲线122
22=-b y a x ，过点()()0,≠mn n m P 能否作直线l ，使l 与此双曲线交于2,1Q Q 两点，且点P 是2,1Q Q 的中点？
（同学们又兴奋起来，边紧张思考，边在纸上计算。

教师以参与者、合作者的身份与学生共同探究，可以更大限度地激发学生的探究热情。

）
T ：我们可以仿照刚才3S 同学的做法，先假设符合题意的l 存在，求出
n a m b k 22=，然后把l 的方程n m x k y +-=)(代入双曲线1222
2=-b y a x ，化简整理得： ()()()[]
022*******=+---+-b n mk a x n mk ka x k a b ， 当0222=-k a b ，即直线与渐进线平行或重合时，显然不合题意，
当0222≠-k a b 时，()2222222224b n mnk k a k m b a ++--=∆，
把n
a m
b k 22=代入整理得：()()2222222222222
4b a n a m b n a m b n a b ---=∆ “妙，太妙了！” 科代表兴奋不已的说，“现在只要将上式化成⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1422222222262b n a m b n a m n b a 的形式，就可通过判定⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122222222b n a m b n a m 与的符号得出∆的正负了。

因此，我们
可利用双曲线和其渐进线把坐标平面分成下面三类区域：（如图） 只要分析出各区域内⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122222222b n a m b n a m 与正、负情况，问
题不就解决了吗？
经过一番合作交流后，6S 代表大家发表了探究“成果”：
()1、当点P 在区域Ⅰ内时，12222>-b
n a m ， 符合题意的l 存在； ()2、当点P 在双曲线上时，12222=-b
n a m ， 符合题意的l 不存在； ()3、当点P 在区域Ⅱ内时，102222<-<b
n a m ， 符合题意的l 不存在； ()4、当点P 在渐进线上（除原点）时，02222=-b
n a m ， 符合题意的l 不存在； ()5、当点P 在区域Ⅲ内时，02222<-b
n a m ， 符合题意的l 存在。

6、 设置悬念、欲擒故纵
探究到这里，很快就要下课了，为了进一步激发学生的学习兴趣，将探究活动持续和延伸到课外， 我又给大家提出了一个问题，让学生带着悬念走出课堂。

T ：今天大家的探究很深入，也很成功。

我们从一道高考题出发，通过大家的努力，不仅熟练了圆锥曲线中有关弦中点问题的两种解法，了解了对∆进行检验的必要性，而且还发现了几个重要的结论。

尤其是其中当点P 在区域Ⅱ或双曲线上时，所求直线l 不符合题意的情况，建议大家大家课后再作进一步的探究，再看看在一般情况下它是否符合已知双曲线的共轭双曲线的情形？
二、反思分析：
说实话，走进教室之前，我还在担心学生的探究是否能够深入，可是在本案例中，学生由疑惑而探究，因探究而建构，不仅从简单的、个别的、特殊的事例
中获得数据和结论，而且还通过特例的体验、总结、归纳和猜想，将其结论概括
和推广为更一般、更深入的结论，真真实实地经历了一场从特殊到一般的辨证思维过程。

更重要的是在此探究的过程中，学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置，所表现出的探究潜能是巨大的，他们的探究热情也深深的感染了我，同时也更加了我开展探究性学习的信念。

当然，不可否认，探究性学习的课堂可能显得不够严谨，有时还会有点“乱”，但我想这正式学生主动学习的体现，是思维深化的结果，另外，在将相关知识、方法改编成需要探究的、能激发学生的问题时，复习的内容可能还不够完整、全面、丰富，这确实也是个矛盾，这也对教师提出了更高的要求，只有不断提高自身的素质，精心创设富有探究性的问题情境，才能让课堂充满学生成长的气息，让学生真正成为学习的主人。