延长退休年龄的数学模型

人口老龄化数学建模人口老龄化是指人口结构中老年人口比例持续增加的现象。

随着平均寿命的延长和生育率的下降，全球范围内人口老龄化问题日益突出。

这一趋势对社会经济发展、医疗保健、社会保障等方面都带来了巨大的挑战。

人口老龄化对经济发展的影响主要有两个方面：一是对劳动力市场的挑战，二是对公共财政的压力。

首先，由于老年人口占比增加，劳动力市场供给不足的问题将更加突出。

传统的劳动力市场是建立在年轻劳动力为主体的基础上，年轻人通过工作获取收入并支持经济活动的发展。

但随着人口老龄化，年轻劳动力的数量减少，劳动力供给将受到限制。

这将导致劳动力市场的紧张和劳动力成本的上升。

同时，在某些行业中，老年人可能难以适应新技术和新工作方式，这也会对生产效率造成一定的影响。

其次，人口老龄化将对公共财政带来巨大的压力。

随着老年人口比例的增加，对医疗保健和养老服务的需求将大幅增加。

这将需要政府投入更多的财力和人力资源来满足老年人的需求。

同时，随着老年人口的增加和退休人员数量的增多，退休金、医疗保险等社会保障支出也将大幅增加。

如何平衡财政收入和支出之间的矛盾将是一个严峻的挑战。

为了有效应对人口老龄化带来的挑战，需要制定相应的政策和措施。

首先，应推动教育改革，提高劳动力的素质和技能水平，以适应新技术和新工作方式的需求。

其次，应鼓励年轻人多生育，通过加大生育保障和家庭政策的力度，提高生育率。

同时，应优化老年人的就业和福利政策，鼓励老年人参与社会经济活动，延长他们的劳动年限。

在数学建模方面，人口老龄化可以通过人口统计学模型来进行研究。

可以利用人口统计数据，根据不同年龄段的人口数量和比例，预测未来的老年人口比例变化趋势。

同时，也可以利用经济模型来研究人口老龄化对劳动力市场和公共财政的影响。

通过建立合理的数学模型，可以帮助政府和决策者更好地理解和预测人口老龄化带来的挑战，并制定相应的政策和措施。

综上所述，人口老龄化是一个全球性的挑战，对社会经济发展、劳动力市场和公共财政都带来了巨大的影响。

2014年第十一届五一数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期：2014 年 5 月 4 日获奖证书邮寄地址：邮政编码2014年第十一届五一数学建模联赛编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：11212014年第十一届五一数学建模联赛题目关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻摘要本文根据我国国情参照发达国家的退休年龄，对不同群体实施延迟退休政策，并且研究其对我国的社会问题的影响，尽快做出“延迟退休”的科学可行的制度设计。

问题一：我们针对我国国情指标，构造得到国民人均预期寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况，国民受教育情况的计算公式，拟合得到变化趋势图，定性分析这四个指标对延迟退休的影响。

其影响分别为随退休年龄增加，国民受教育时长，人口老龄化程度,国民人均预期寿命呈呈增长趋势，劳动力状况呈下降趋势。

问题二：我们针对不同群体，研究其具体工作状况，进而得到评价指标，再利用层次分析法构建评价模型，得到对不同群体较为合理的不同延迟退休年限。

延迟退休问题
延迟退休即延迟退休年龄，指国家综合考虑中国人口结构变化的情况、
就业的情况而逐步提高退休年龄来延迟退休的制度。

2013 年 11 月 12 日中
国共产党第十八届中央委员会第三次全体会议通过《中共中央关于全面深
化改革若干重大问题的决定》指出：研究制定渐进式延迟退休年龄政策。

这需要综合考虑包括合理的赡养比、人口结构、人力资源供求（就业影响）、劳动者受教育年限、人口预期寿命以及社会保障制度进展情况等多
种因素。

目前，有关部门正在对这些因素进行综合分析和考虑。

2019 年中国的人均寿命已达到 77 岁，养老保险的赡养比也下降到了 3：1。

“延迟退休”是应对养老金收不抵支风险、维持政策代际公平的有效选择。

如：一位女性的寿命为 85 岁，55 岁退休，后面就要领 30 年养老金。

如果
不改革，在很大程度上必然要“啃小”，增加整个社会后代人的负担，这从代际公平上说是不合理的。

1. 基于某种因素(或多种因素)建立数学模型说明采用延迟退休的合理性，
以及男女退休的年龄；
2. 为了不使得政策产生的波动过大，拟采用渐进式延迟退休年龄政策，通
过数学模型说明这种渐进政策的合理性以及渐进的方式；
3. 从退休人员的个体考虑，由于单位效益等问题，有些人在岗时的收入和
退休时差距不大，因此，他们希望越早退休越好；而有些人在岗时收入比
退休明显多的，就希望晚退休，基于这种情况，建立数学模型，确定合理
的退休年龄以及制定相关的政策；
4. 针对国家目前已经实施全面放开二孩的计划生育政策，考虑新的人口政
策对以上问题的影响。

延迟退休问题的数学模型引言随着人口结构的变化和老龄化趋势的加剧，很多国家纷纷提出延迟退休的政策，以缓解养老金压力，同时也是为了更好地利用老年人的社会资源和知识经验。

但是，延迟退休政策对于不同的人、不同的行业、不同的区域都会产生各种各样的影响和挑战，需要科学的分析和研究，建立数学模型来优化政策。

本文将从数学模型的角度出发，探讨延迟退休问题及其数学建模。

一、延迟退休的现状及影响目前全球范围内，许多国家都在考虑或实施延迟退休政策，其中China、Germany、Japan、Korea、Singapore 等是常见的例子。

随着人口老龄化速度的提高，社会保险体系和养老金体制面临压力，延迟退休成为解决养老问题的有效途径之一，然而该政策同样会对国家、企业、个人等产生影响。

下面从不同角度对其影响进行探讨。

1. 对国家影响延迟退休的首要目的是为了缓解养老金压力，降低政府的财政压力，增加国家经济发展的可持续性。

但不可避免地也会带来其他影响，如就业岗位减少、劳动力市场与青年人才竞争加剧、老年人口死亡率增加等。

这一方面需要政府通过其他方式来解决，另一方面也需要国家大力推进老年人的就业，鼓励老年人发挥其余的作用。

2. 对企业影响延迟退休政策虽然在一定程度上可以缓解企业的用工压力，但也会使得部分老年劳动力仍然留在企业里面，导致企业不能招入新的劳动力，并影响企业的发展、创新和竞争。

同时，企业也需要积极推进老年工人的技能创新和培训，保持劳动力的可持续性。

3. 对个人影响延迟退休使得个人工作年限增长，但养老金领取时间也会延长。

这一方面需要个人进行有效的规划，保证养老金安全，另一方面也需要政府制定更加公平和有效的养老保障制度。

总之，延迟退休在一定程度上可以缓解养老问题和财政压力，但同时也会带来一系列新的挑战和问题。

二、延迟退休问题的数学建模基于上述分析，延迟退休问题涉及到诸多因素，如政策设计、金融保障、社会福利、人口结构等。

这些变量之间存在着复杂的相互作用关系，需要建立一个科学的数学模型来进行优化。

数学建模延迟退休随着人类寿命的延长和社会老龄化的加剧，延迟退休在现代社会中成为了一种备受关注的话题。

延迟退休可以为国家和个人带来一系列的经济和社会效益，尤其在数学建模的角度下，其影响因素和效果可以更加清晰地呈现出来。

本文将从数学建模的角度，探讨延迟退休对经济、人口结构和社会保障的影响，并分析其利弊以及可行性。

一、数学建模延迟退休对经济的影响1.经济负担减轻：随着延迟退休的普及，劳动力市场将迎来一波新的人才输入，这些有经验、有能力的老年人将进一步提升劳动力市场的效率和竞争力。

他们不仅可以为企业提供技术支持和经验传承，也能够缓解人口老龄化带来的劳动力短缺问题，从而促进经济的可持续发展。

2.消费能力增强：延迟退休可以延长老年人的工作生涯，相应地也延长了他们的收入来源。

老年人的消费需求在延长工作期限后将持续存在，他们将继续为经济增长做出贡献。

此外，随着老年人的消费需求增加，相关产业也将得到进一步发展，从而推动经济的繁荣。

3.养老金平衡：随着延迟退休的普及，个人退休金缴存期限延长，退休后的养老金领取时间也相应推迟，这有助于降低养老金支付的负担。

同时，也能够使退休金与实际退休年龄更加匹配，有助于提高养老金的可持续性，减少养老金运作风险。

二、数学建模延迟退休对人口结构的影响1.缓解人口老龄化：延迟退休可以使劳动年龄人口持续增加，从而一定程度上缓解人口老龄化问题。

在人口老龄化背景下，延迟退休可以有效减缓劳动力的供需矛盾，为社会经济发展提供更为稳定的人口结构。

2.平衡就业机会：延迟退休使得老年人继续参与劳动力市场，减少了年轻人的就业竞争压力。

由于延迟退休的老年人并不会减少，年轻人将有更多的就业机会，并且时间上也有更充裕的准备来迎接自己的退休。

3.促进人力资源高效流动：延迟退休推动了人力资源的优化配置。

老年人的长期工作经验和专业技术将得以更好地传承和利用，提升了整体的人力资源素质和经济发展水平。

同时，延迟退休也为年轻人提供了更多学习和成长的机会，让他们能够更好地适应未来社会的发展需求。

基于延迟退休年龄政策的国民寿命预测数学模型设计作者：刘泽华来源：《科技视界》2015年第28期【摘要】“延迟退休”是解决人口老龄化问题的热点措施之一，从科学设计延迟退休政策方案出发，建立数学模型预测国民寿命进行探讨，为延迟退休献计制度设计献策。

【关键词】延迟退休；数学模型；设计延迟退休年龄，指国家结合国外有些国家在讨论或者已经决定要提高退休的年龄来综合考虑中国人口结构变化的情况、就业的情况而逐步提高退休年龄或延迟退休的制度。

因为目前我国已经进入人口老龄化快速发展期，“延迟退休”已成为人们关注的热点话题，不同的群体对延迟退休有不同的看法与诉求，因此，科学的做出延迟退休的制度设计尤其重要，本文就建立数学模型预测国民寿命进行探讨。

1 模型的假设1）人的一生分成工作期和退休期，消费者在每个时期内都是同质的，且职工从工作起会一直工作到退休。

2）假设个体的效用函数仅仅取决于消费水平，不存在闲暇和劳动力供给之间的选择，劳动力供给在工作期完全无弹性，在到达退休年龄时退出劳动市场，劳动力供给为零。

3）假设三大产业不同时期的就业弹性指数为定值。

4）假设个人健康状况、个人和家庭收入及其储蓄和积累资产的多少等因素对劳动参与率的影响忽略不计。

5）所给出的数据具有代表性，能反映普遍情况。

6）假设文中所有数据可靠。

7）假设职工健康状况良好，不会出现突然死亡。

8）假设国家经济发展稳定，不会出现金融危机等导致工资发生急剧变化的情况。

9）假设人口总量的变化不考虑是由特殊情况而引起的，符合自然增长。

10）假设政府的政策在一段时间内是一定的，不会引起相关数据的变化。

11）假设文中所考虑的一切经济变化均是在市场经济调节下形成的。

在讨论退休年龄问题时，首先应当把握影响退休年龄的相关因素：一是，人均预期寿命。

寿命延长则工作年限应当适当延长，反之亦然；二是，劳动力供求状况。

供过于求时当然不能延长退休年龄，供不应求时则不可能不延长退休年龄；三是，受教育年限。

李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划是一个涉及金融和经济领域的复杂问题，需要使用多种数学模型来进行描述和分析。

以下是其中一些常用的数学模型：
1. 精算模型
精算模型是用来计算养老金计划负债和成本的工具。

它基于一系列假设，包括人口统计数据、投资收益率、通货膨胀率、利率等，通过这些假设来模拟未来现金流和负债变化的情况。

精算模型可以帮助计划发起人制定合适的费率，以保证养老金计划的长期稳定运行。

2. 投资组合模型
投资组合模型是用来优化养老金资产配置的工具。

它通过将资产分配到不同的投资品种中，以实现风险和收益的平衡。

投资组合模型通常采用现代投资组合理论（如Markowitz模型），通过计算每一种投资品种的期望收益、方差和相关系数，来找出最优的投资组合。

3. 随机过程模型
随机过程模型是用来模拟养老金计划负债和投资的动态变化的工具。

它基于随机过程理论，可以考虑到许多随机因素的影响，如死亡率、投资收益率、通货膨胀率等。

随机过程模型可以帮助计划发起人预测未来负债和资产的变化情况，从而更好地制定决策。

4. 仿真模型
仿真模型是用来模拟养老金计划在不同情况下的表现的工。

它通过设定不同的参数和假设条件，模拟出未来可能出现的各种情况，并对这些情况进行评估和分析。

仿真模型可以帮助计划发起人评估不同策略的风险和收益，从而更好地制定决策。

李斯特养老金计划需要使用多种数学模型来进行描述和分析。

这些模型可以帮助计划发起人制定合适的费率、优化资产配置、预测未来变化情况以及评估不同策略的风险和收益。

延长退休年龄的数学模型摘要本文通过分析我国现阶段人口老龄化问题，通过查阅相关的资料，从人口结构转变引起的养老金支付压力，我国已具备延长退休年龄的必要条件，人口寿命延长加大养老金支付压力，人口红利进入收割期这四个方面分析，提出了有必要延长退休年龄的观点。

随之建立了Leslie离散模型，通过编写程序，运用matlab软件计算预测出了2001年至2100年我国各个年龄段的人口数量，通过画图，来说明未来一百年老龄化的严重程度。

在Leslie离散模型预测出的数据的基础之上，以养老金保险基金为切入点，建立了养老保险基金财务平衡模型，以五年为一个间隔，当退休年龄分别为60岁和65岁时，计算出从2010年到2100的赡养率和基本养老金的平均替代率，通过对数据的分析和多方面的比较，提出了我国应该将退休年龄延长到65岁的建议。

在退休年龄为65的基础上，针对如何公平公正确定退休金的发放和何时开始延长退休年龄这些问题，我们提出了分步骤，分阶段实行退休年龄延长的建议，应该实行弹性退休政策，应该根据不同地区和不同的人群制定合适的退休年龄，而不是实行一刀切的退休政策。

最后我们对建立模型的过程中没有考虑到的问题进行了优化，写出了优化方案，补充完善了模型，最后，我们对模型的优缺点进行评价。

关键词老龄化 Leslie离散模型 matlab软件养老保险基金财务平衡模型一、 问题重述：随着我国计划生育实施30年，以及老龄化社会的来临，社会中所需的劳动力短缺和养老保险资金储备的压力，我国自二十一世纪初以来，社会人口结构进入老龄化阶段的表征日益显现，人均寿命延长和劳动年龄人口数量的增长速度不断递减。

进入“十二五”期间后，我国更将是进入人口的快速老龄化阶段，劳动年龄人口的抚养比逐年上升，从而对我国经济发展方式的转变和产业结构升级带来巨大的压力，也对现行的社会养老保险基金的可持续运作提出了严峻的挑战。

针对这种现状，我们面临以下几个问题：1、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要延长退休年龄。

企业退休职工养老金问题的数学模型一、摘要本文通过对企业退休职工养老金制度的改革问题进行了探究，建立Logistic数学模型并使用Matlab来预测未来一段时间内职工的年平均工资，并利用预测数据来推算职工养老金替代率和未来职工的养老金缺口情况和收支平衡进行分析与计算。

最后提出了合理建议使得建立的模型尽可能地满足目标替代率58.5%和养老保险基金收支平衡。

关键词：Logistic数学模型预测替代率收支平衡二、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。

这两个账户我们合称为养老保险基金。

退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。

养老金会随着社会平均工资的调整而调整。

如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。

近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。

我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。

养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

基于延迟退休年龄问题的数学模型研究与分析作者：叶万红耿娟娟来源：《科学与财富》2018年第30期摘要：随着我国经济的不断发展，社会服务的水平不断提高，人们的平均寿命比往年大幅度延长了，这样就出现了老龄化的问题，由于此问题日益突出，延迟退休年龄问题便成为了热点话题，因此本文就延迟退休年龄话题展开了探讨。

首先利用层次分析法选取了影响延迟退休年龄的指标，其次建立了不同群体下的不同延迟退休年龄的评价模型，进而为相关部门制定延迟退休年龄的策略提供参考价值。

关键词：延迟退休；层次分析法；综合评价模型一、研究的背景根据国际的经验规定可知，如果一个国家六十五岁以上的比例达到百分之七或者六十岁以上的比例达到百分之十的时候，那就意味着这个国家已经步入了老龄化的社会。

从我国的人口普查数据来分析，我国已经步入了老龄化的行列了，而且老龄化问题日益突出。

此问题的出现最终将会阻碍我国经济的发展，造成社会保障出现不稳定的现象，延迟退休年龄问题便成为了当今世界的热点话题。

因此，怎样才能给出合理的延迟退休年龄的年限将是一个很重要的问题，所以，对延迟退休年龄问题的探讨是一件非常有意义的事情。

二、影响延迟退休年龄的指标选取与分析通过查阅相关文献的方法，给出了关于下面的四个指标的计算公式，利用层次分析的方法对建立的数学模型进行预测，利用MATLAB编程软件得出模型的结果。

2.1人均预期寿命的计算式生存人年数：年龄组死亡概率：尚存人数与死亡人数：综上可以得出，人均预期寿命的计算式：2.2人口老龄化的计算式平均年龄：平均寿命：老龄化指数计算式：2.3劳动力供求关系的计算式劳动力供求关系计算式：2.4 国民受教育程度的计算式采用MATLAB软件对数据进行拟合，得出了受教育程度的图像和计算式，具体公式和图像如下所示：计算公式：图像：通过以上四个指标对延迟退休年龄的影响分析可知，首先人均寿命不断提高，这就意味着延迟退休年龄是必要的，其次劳动力的供不应求，不能满足我国经济快速的发展。

基于数据包络模型的我国延迟退休方案研究- 关键词：延迟退休;DEA-CCR模型;实施方案一、引言本文在已有研究的基础上，对我国延迟退休年限的确定进行了研究。

本文首先确定影响延迟退休的指标，并将其分成不同的两类，一类与延迟退休正相关，一类与延迟退休呈负相关，进而通过数据包络分析法来计算出相应的延迟退休效率，并用延迟退休效率来代表是否应该延迟退休以及延迟退休的年限长度，进而制定相应的延迟退休政策执行的时间表。

二、指标数据的选择及假设（一）指标的选择1.国民人均预期寿命Y国民平均预期寿命，俗称“人均寿命”。

它一般指全体国民的人均寿命，其计算方式为对同时出生的一批人进行追踪调查，分别记下他们各年龄段死亡人数，直至最后一人寿命结束，然后根据这一批人活到各种不同年龄的人数来计算人口平均寿命;计算公式是：Y=∑ni=1xifi∑ni=1fi（1）其中n是指分为n个年龄段，fi是指第i个年龄段的死亡人数，xi是第i个年龄段的组中值。

2.人口老龄化程度P人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。

国际上通常把60岁以上的人口占总人口比例达到10%，或65岁以上人口占总人口的比重达到7%作为国家或地区进入老龄化社会的标准。

我们定义人口老龄化程度的公式为：P=P60PN（2）式中，P为人口老龄化程度指数，P60表示年龄大于60岁的人口，PN为总人口数。

3.劳动力供求状况Ns和Nd劳动力供给Ns是指在一个国家，在某一段时间内，在一定的经济条件和工资水平上，劳动力供给的决策主体愿意并且能够提供的劳动时间。

劳动力需求Nd是企业在某一特定时期内，在某种工资率下愿意并且能够雇佣的劳动量，计算公式是：Nd=Ed・wp，Ns=Es・wp（3）其中Ed代表劳动力需求弹性，Es代表劳动力供给弹性，w为货币工资，p 为价格，wp代表实际工资。

Ed=ΔDDΔWW，Es=ΔSSΔWW（4）其中ΔDD为劳动力需求变动率，ΔSS为劳动力供给变动率，ΔWW为工资率变动率。

对于最优延迟退休年龄的预测12091029 代志雄延迟退休问题分析对于延迟退休最优年龄的预测：1. 建立模型假设个人只处于两种状态:(1) 完全工作状态。

在此种状态下, 个人收入只包括工资收入, 同时个人效用只由消费得到。

(2) 完全退休状态。

在此种状态下, 个人收入只包括退休金收入, 同时个人效用由消费和休闲得到。

除以上两种状态外, 个人不再存在其他状态, 即不存在既有工资收入, 又有养老金收入的中间状态; 或既有工资收入带来的个人效用, 又有休闲带来的个人效用的中间状态。

设个人在完全工作、完全退休状态下的效用函数分别为21,u u , 且均满Inada 条件: 0,0,0,0u 2211<><>u u u 。

[ 由上文对完全工作状态与完全退休状态的定义, 可知1u 为消费1c 的函数,2u 为消费2c 与休闲变量l 的函数, 且休闲变量l 为外生变量。

则效用函数可设为: )ln()(111c c u =,)ln()ln(),(u 222l c l c +=设个人在完全工作状态的工资收入为 w, 在完全退休状态的养老金收入为 v 。

同时设个人在完全工作状态和完全退休状态保持不变的边际消费倾向, 则可知消费函数为:v c w ==21,c .则效用函数可以表示为：)ln()ln(),ln(21l v u w u +== 设个人0t 岁时开始工作, R 岁时退休, T 岁时死亡。

同时, 设个人在退休前死亡的概率为 p, 在退休后死亡的概率为 1- p, 即 T < R 的概率为P, T > R 的概率为 1- p 。

由以上对个人的条件假设, 可得个人的期望效用为: )]ln()ln())[ln(1()ln())(1()(21211l v w p w p u u p pu u E ++-+=+-+= 其中, 1w 为 R T <情况下个人的工资收入,2w 为R T >情况下个人的工资收入。

数学建模退休年龄延迟问题退休年龄的延迟问题1．假设条件(1)假设不存在提前退休，并且男女职工采用统一的法定退休年龄。

(2)在考察期内养老金缴费率为一个定值，不随时间及平均工资水平的变动而变动。

(3)养老金的替代率在考察期内也为一个定值，职工以替代率与平均工资的乘积来领取养老金。

(4)由于在我国农村养老保险的参保率很低，故本文所建模型中讨论引用的数据均是城镇就业人口的相关数据。

(5)在养老金收支的模型构建中不考虑政府财政对养老金的补贴。

（6）最佳退休年龄在60-65岁之间。

2.符号说明t o---职工参加工作的年龄。

t---法定的退休年龄。

T---职工的平均预期寿命。

m---职工的工作年数。

n---退休后依然据规定可以享受养老金的年数。

w to---职工刚参加工作时的平均工资。

g o---职工平均工资的年增长率。

y---考察期内养老基金的年收益率。

q---年缴费率。

p---年养老金替代率。

L t---工作的第m年末在岗职工的人数。

A i---工作的第m年末退休人数。

C m---将养老基金投资运营实现增值，收缴积累的养老金总额。

P m---积累的养老金的给付总额现值。

3．模型构建我国现行的是社会统筹和个人账户相结合的部分积累制，其特点是综合考虑了“横向平衡”和“纵向平衡”，即保证短期内对已退休人员支付退休金的平衡和保证对未来退休者支付退休金的平衡。

部分积累制的设定是为了缓解国家的负担，适合我国目前的国情但是完全积累制将是我国养老保险制度发展的方向。

张金峰(2007)构建了在平均余命提高的个人账户缴费率水平的模型，现将该模型进行扩展，综合考虑在人El老龄化情况下，引用2001—2007年的数据，测算在完全基金积累制下不同退休年龄对养老金的收支平衡的影响。

4．参数说明上述模型中设定的各项参数在不同时期不同省市存在一定的差异性。

并且随着社会经济的变化也在不断地变化着，为了能够从一个更具有普遍性的角度来说明本文的问题，这里对上述参数进行一些说明：(1)参加工作的年龄和平均预期寿命这里假定职工参加工作的年龄为2O岁。

渐进式延迟退休的数学模型研究近年来，许多国家都在考虑通过延迟退休的方式来应对人口老龄化带来的挑战。

由于在一定时期内老年人与就业人口的比例会有所变化，从而导致社会保障体系的变动，因此，开发有效的渐进式延迟退休（PTR）模型成为为人们感兴趣的研究内容。

本文以渐进式延迟退休的数学模型研究为核心，讨论研究该领域的最新动态，总结渐进式延迟退休（PTR）模型的优缺点，以期为未来延迟退休政策的制定提供参考。

首先，本文将介绍渐进式延迟退休（PTR）模型的理论构想和实现过程。

渐进式延迟退休（PTR）模型是指通过渐进式提高退休年龄，以期延迟老龄化带来的负面影响，增加劳动力供给，提高基础设施建设的投资能力，促进投资的发展，促进经济的发展。

渐进式延迟退休（PTR）模型可以采用传统的数学模型来完成，主要分为三个步骤：建立退休年龄的模型，建立包含人口老龄化的模型，建立含有经济不确定性的模型。

建立退休年龄的模型旨在探究人口老龄化带来的影响，即研究渐进式延迟退休（PTR）模型对老年人和就业人口的比例变化，以及这种变化对社会保障体系的影响。

建立包含人口老龄化的模型主要是探究不同的变化速率（例如人口出生率、死亡率、移民率等）如何影响经济发展情况，以及如何通过渐进式延迟退休（PTR）模型来改善老龄化带来的负面影响。

建立含有经济不确定性的模型旨在探究由于政策、技术、资源和财政等外部因素而引起的经济不确定性如何影响渐进式延迟退休（PTR）模型，以及如何有效应对这种影响。

其次，本文将综述渐进式延迟退休（PTR）模型的优缺点。

首先，渐进式延迟退休（PTR）模型的最大优势在于有效地增加了劳动力供给，从而减轻了老龄化对社会保障体系的负面影响，减轻了经济不稳定性的影响。

此外，渐进式延迟退休（PTR）模型还能通过更加精确的退休年龄来提高社会保障的可靠性，提高投资市场的灵活性，缓解人口老龄化对经济发展带来的冲击。

然而，渐进式延迟退休（PTR）模型也存在一些缺点。

关于延迟退休年龄问题的数学建模关于延迟退休问题的研究摘要目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。

因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加。

本文通过建立国家养老金收支模型（模型I ）来预测未来50年养老金会不会存在缺口。

即用50年内养老金的发放支出与缴费收入作差，若二者之差大于零，则存在缺口。

具体模型如式： ∑∑∑=--=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=nj j n b a i j ij w b i j ij r w x c Q y M 111)1( 。

数据方面，本文采用灰色预测和线性拟合的方法对从统计年鉴上获得的数据进行处理，预测得到未来50年的各项数值，代入模型求解。

得到结论：未来50年养老金会存在缺口。

同时反解年份n ，可知2015年养老金即存在缺口。

为了确定延迟退休的具体年限，本文建立了个人养老金收支模型（模型II ）。

因为职工退休十年后，个人账户的缴费数与领取数相互抵消，所以暂不考虑个人账户养老金的收支，仅用统筹账户的缴费累计作为个人养老金的缴费数：m r mcW M )1(0+=缴 。

用个人领取的基础养老金作为个人养老金的领取数∑=+=Ni i r dW M 11)1(领 。

令 10--=N M M Q 缴领 ，求得政府每年对退休年龄超过十年的职工给予数值为 Q 的补贴 。

当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时，0>Q ，当男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时， 0<Q ，所以应延迟退休年龄至男性65岁，女性60岁。

最后，本文参考其他国家的退休年龄及改革方案，并综合考虑国内年龄结构，给出了较为合理的退休方式：2020-2030年女性职工的退休年龄每年延长6个月, 10年延长5岁。

使女性退休年龄延长至60岁, 男女退休年龄一致。

2030-2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。

用15年的时间完成, 每3年延长1岁。

渐进式延迟退休问题的数学模型研究摘要：目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。

因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加，为了解决此类问题，就此推出了渐进式延迟退休的方案。

此方案可以有效缓解我国当前乃至以后由人口老龄化带来的压力，调节市场劳动力供给与需求达到均衡。

根据人口老龄化程度、养老金收支平衡、市场劳动力的供求状况等主要因素建立退休年龄的数学模型。

对模型进行求解，得到不同年限间男女的最优的退休年龄。

关键词：延迟退休；渐进式；退休年龄一、引言（一）研究背景1.我国的人口老龄化和养老金收支平衡压力大随着我国人口老龄化进程不断加深以及社会经济的改革升级，中国的养老保险制度所面临的问题也日益严重。

我国目前的法定退休年龄是在新中国成立初期确定的，当时的人均寿命只有40岁左右（基于当时的社会背景统计）。

60多年来，我国经济社会发展，人口数量，结构和预期寿命都发生着巨大的变化，有必要对退休年龄做出一定的调整。

2.劳动力供给总量逐步减少随着人受教育程度不断提高，平均受教育年限增加，将使得工作年限不断缩短，在目前劳动力人口减少且老龄化的情况下，限制劳动年龄将抑制老年劳动力的工作意愿，并损害继续工作的老年人的劳动权益。

中国退休年龄偏低，因为在这个年龄段中，大多數劳动者依然身体比较健康，精力比较充沛，这种年龄退休造成了中国人力资源的浪费，退休年龄推迟可以延迟劳动力供给的下降。

（二）研究目的通过研究人均寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况和国民受教育情况，这四个指标对延迟退休的影响，研究几种群体较合理的延迟退休年龄，定量分析渐进式延迟退休政策实施可能带来的影响。

（三）研究意义人口老龄化问题愈来愈严重，通过研究渐进式延迟退休问题，综合分析我国劳动力供给和老龄化程度等经济社会发展因素，既能确保政策调整前后平稳过渡，也不会对就业状况造成太大的影响。

从养老基金方面来看，渐进式延迟退休可以使中国养老统筹基金增加，减少支出，降低国家养老金支出压力。

我国退休年龄优化方案的数学模型分析作者：耿娟娟叶万红来源：《科学与财富》2018年第30期摘要：随着我国经济的不断发展，社会服务的水平不断提高，人们的平均寿命比往年大幅度延长了，这样就出现了老龄化的问题，由于此问题日益突出，退休年龄问题便成为了当今社会的热点话题，因此，本文建立了人口增长的数学模型，模型的结果显示人口结构发生了改变，还建立了最佳退休年龄的数学模型，此模型的建立为相关部门制定退休年龄提供理论价值。

关键词：人口老龄化；最佳退休年龄；数学模型一研究的背景根据国际的经验规定可知，如果一个国家六十五岁以上的比例达到百分之七或者六十岁以上的比例达到百分之十的时候，那就意味着这个国家已经步入了老龄化的社会。

从我国的人口普查数据来分析，表1给出了老年人和少年儿童所占的比例，说明我国已经步入了老龄化的行列了，而且老龄化问题日益突出。

导致这种现象的出现主要有两方面的原因，一方面是我国实施计划生育策略，使得出生率下降，另一方面是我国经济快速的发展，社会服务质量不断地提高，使得人们的平均寿命延长，此问题的出现最终将会阻碍我国经济的发展，造成社会保障出现不稳定的现象。

二我国人口增长模型的建立根据2016年中国统计年鉴的数据显示，2016年的总人口数为13.8271亿，与2006年的总人口数为13.1448亿相比较，这十年总人口数大概增加0.6823亿，0-14岁所占比例下降了，而65岁以上所占比例升高了。

城镇人口所占的比例也在不断的升高，而乡村人口所占比例下降了很多。

以上分析可以看出，我国的人口结构分布不合理。

2.1 模型的建立本文通过文献调查的方法，主要考虑人口的迁出和迁出、人口的出生率和死亡率等因素，分析对人口增长的影响。

首先给出符号说明，详见表2。

2.2 模型求解与结果的分析运用MATLAB软件进行编程，对我国的人口结构进行短时期的预测，得到了总人口的变化趋势。

结果显示，我国的总人口目前还处于增长的趋势，但是2025年开始有一定的下降趋势，这就意味着我国实施的计划生育得到了一定的成效。

数学眼光看待职工延迟退休问题
问题呈现：
女性延迟退休一览表
为了应对我国人口老龄化问题，，某研究院设计了延迟退休方案，第一步，2017年女职工退休年龄统一规定为55岁，第二步，从2018年开始女性退休年龄每3年延迟1岁，直2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明母亲是出生于1964年，据此方案，她的退休年份是( )
A.2019
B.2020
C.2021
D.2022
跟踪练：
1、若某女职工出生年龄为1973年，据此方案，那她退休的年份为______________.
2、若某女职工出生年龄为1992年，据此方案，那她退休的年份为______________.
变式：
1、若某女职工退休时57岁，据此那她出生的年份可以为______________.
⑴1965⑵1966⑶1967⑷1968⑸1969
2、若某女职工退休年份为2035年，据此那她出生的年份可以为______________.
3、为了应对我国人口老龄化问题，，某研究院设计了延迟退休方案，第一步，2017年男职工退休年龄统一规定为60岁，第二步，从2018年开始男性退休年龄每6年延迟1岁，直2045年时，退休年龄统一规定为65岁，.小明父亲是出生于1972年，据此方案，他的退休年份是( )
A.2033
B.2034
C.2035
D.2036。