利用轴对称性质求几何最值

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

运用轴对称进行化归，解决几何最值问题作者：韩江来源：《初中生世界·八年级》2014年第10期未知问题可化归为已知问题，复杂问题可化归为简单问题. 化归是一种非常重要的数学思想方法，只要掌握了化归的方法，一切问题都将迎刃而解. 本文以轴对称变换为例，与同学们谈谈用化归思想解决几何最值问题.一、两个数学基本事实两点之间的所有连线中，线段最短. 如图1，线段AB最短. 把这个数学事实称为“模型1”，简称“模1”.在直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 如图2，垂线段PH最短. 把这个数学事实称为“模型2”，简称“模2”.很多几何最值问题，都可以通过化归的方法与这两个数学模型联系起来. 最经典的莫过于“将军饮马问题”.唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题. 如图3，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总路程最短？【解析】如图4，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接PA、PB，此时PA+PB最短. 数学原理：点A、B是定点，点P是动点，点A的对称点A′仍是定点，根据轴对称性质得PA=PA′，从而PA+PB=PA′+PB，问题就化归为“模1”，所以图4中A-P-B为最短路径，如果点P取在其他位置，都将违背“两点之间，线段最短”.把“将军饮马问题”称为“模型3”，简称“模3”. “模3”的特点是有两个定点、一个动点，两个定点在动点所在直线的同一侧.二、具体应用1. 单动点最值问题例1 如图5，正方形ABCD的边长是1，以AB为一边作等边△ABE，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为______.本题是一个较复杂的问题，它是“模1”与“模3”相结合的一个典型，熟知这两种模型，通过化归的方法，得到了一个解决此问题的好方法.三、基本策略运用轴对称进行化归，解决几何最值问题，基本策略是先找到一个定点（如果没有，可找一个合适的动点），再作此点的对称点，从而将某些线段通过轴对称进行位置变换，通常都可以将问题化归为文中的3种模型.同学们，初中数学的几何最值问题还有很多类型，比如还可以通过其他图形的变换进行化归，或者还可以用函数的方法解决，限于篇幅，本文不作赘述. 化归的方法和策略也有很多，希望通过本文能够抛砖引玉，引导你们归纳有用的数学模型，通过体悟，能够将陌生的数学问题化归为已知的数学问题. 只要掌握了化归的方法，你就找到了解决问题的钥匙.（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）。

中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山B'QDA'AP B C典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>>1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，变式练习>>>2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．变式练习>>>3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．变式练习>>>4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；（2）设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′就是AC的中点O．∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．变式练习>>>5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，∴FG+DF＝FG'+DF，∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，现在再移动点E（也就是移动G），∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，即DF+GF的最小值为﹣1．故选：A．变式练习>>>6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．变式练习>>>7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，故答案为；（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，过点F作FM⊥AC于M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴，∴，∴CF＝1∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．15D．10【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：++．5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．故答案为：3．6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'＝＝＝27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．故答案为：8．8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵D为AB的中点，∴DF＝AD•cos30°＝1×＝，AF＝，易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，Q、P为AC、BC的中点．∴DD″＝×2＝，同理，DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，∴∠D′＝∠D″＝＝30°，∴D″D′＝2DD′•cos30°＝2××＝3．12. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为25．【解答】解：（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．由勾股定理，得AC+CE ＝+＝+＝+；（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB＝5，DE＝1，∴AF＝6，∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°，∵∠BDE＝∠BFE＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD＝EF＝8，∴AE＝＝＝10；（3）如下图所示：作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED ⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，当BC＝x，∵x+y＝24，∴y＝24﹣x，AE的长即为代数式的最小值，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，所以AE＝＝＝25，即代数式+的最小值为25，故答案为：25．- 21 -。

初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。

下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。

例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。

2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。

例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。

3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。

例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。

对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。

4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。

例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。

对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。

5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。

通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。

例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。

以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。

专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。

即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。

利用轴对称求最小值数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边。

现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。

一、两点一线的最值问题例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点。

理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。

因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

二、两点两线的最值问题已知两个定点位于平面内两个相交的的直线之间，要在两条直线上确定两个动点使得线段和最短。

这类问题中动点满足最值的位置是由动点和定点所在的直线位置决定，可以通过轴对称图形的性质“搬点移线”（在保持线段的长度不变的情况下将某点搬至某线段所在的直线），将所求线段移到同一直线上就可以了。

例：（课本P47练习题9），如图（4）A 点为马厩，B 点为帐篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草地边某一点牧马，然后到河边去饮水，再回到帐篷，请你确定一天的最短路程。

中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山B'QDA'AP B C典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>>1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．例题4. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．4．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．例题5. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，∴FG+DF＝FG'+DF，∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，现在再移动点E（也就是移动G），∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，即DF+GF的最小值为﹣1．故选：A．变式练习>>>5．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．变式练习>>>6．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．15D．10【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：++．5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．故答案为：3．6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'＝＝＝27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．。