广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道

引力半径和史瓦西引力半径的概念引力半径（gravitational radius）是一个物理学上的概念，用于描述一个天体的质量对周围空间的影响范围。

在爱因斯坦的广义相对论中，质量会弯曲周围的时空，形成引力场。

引力半径就是指在这个引力场中，质量足够大以至于无法逃离其引力影响的距离。

根据爱因斯坦的质能方程E=mc²，质量与能量是等价的。

当物体被压缩到其引力半径内时，它将塌缩成一个无限密度、体积接近零但质量不变的奇点（singularity），这就是黑洞形成的过程。

史瓦西半径和黑洞史瓦西半径（Schwarzschild radius）是一种特殊情况下计算引力半径的公式。

它由德国天文学家史瓦西在1916年首次提出，并且被广泛应用于描述黑洞。

根据史瓦西度规（Schwarzschild metric），在没有自转和电荷的情况下，一个球对称分布的质量M会形成一个静态的黑洞。

史瓦西半径可以通过公式：R = 2GM/c²其中，R是史瓦西半径，G是引力常数，M是天体的质量，c是光速。

当一个天体的半径小于其史瓦西半径时，它将塌缩成一个黑洞。

黑洞被认为是宇宙中最极端的天体之一，具有强大的引力和奇特的物理特性。

黑洞的特性和观测黑洞由于其极端条件而具有一些独特的特性。

首先，黑洞具有无可逆性。

一旦物质进入黑洞事件视界（event horizon），就再也无法逃离了。

事件视界是指距离黑洞中心等于史瓦西半径的表面，内部任何信息都无法传递到外部观测者那里。

其次，黑洞具有弯曲时空。

根据广义相对论，在黑洞附近时空被严重扭曲，时间减慢、空间弯曲。

这导致了一些奇怪的现象，例如光线被引力弯曲、时间流逝较慢等。

此外，黑洞还具有质量和自转。

质量越大的黑洞，其引力场越强，影响范围也更广。

自转则是指黑洞本身的旋转运动，由于角动量守恒，当一个天体坍缩成黑洞时，其自转速度会增加。

然而，由于黑洞的特殊性质，我们无法直接观测到它们。

黑洞不会发出可见光、电磁波或其他形式的辐射，只能通过间接的方法来推断它们的存在。

广义相对论教科书《广义相对论教科书》引言广义相对论是爱因斯坦在20世纪提出的一种重要理论，它描述了物质和能量如何影响时空的弯曲，以及在弯曲的时空中物体的运动和相互作用。

本教科书旨在以人类的视角，以清晰简明的语言，为读者介绍广义相对论的基本概念和主要原理。

第一章：时空的弯曲1.1 引力的本质1.2 弯曲时空的概念1.3 弯曲时空的度量第二章：时空中的物体运动2.1 自由落体运动2.2 物体在弯曲时空中的轨迹2.3 光线在弯曲时空中的传播第三章：引力场方程3.1 爱因斯坦场方程的推导3.2 引力场方程的解析解3.3 引力场方程的数值解第四章：宇宙的演化4.1 宇宙的膨胀和收缩4.2 宇宙微波背景辐射的起源4.3 暗能量和暗物质的作用第五章：黑洞和时空奇点5.1 黑洞的形成和性质5.2 黑洞边界——事件视界5.3 时空奇点的存在和意义第六章：广义相对论的实证6.1 引力波的探测和验证6.2 重力红移的观测和解释6.3 定义和测量引力的方法结语广义相对论是现代物理学的重要基石，它不仅深刻影响着天体物理学和宇宙学的发展，也为我们理解宇宙的本质提供了新的视角。

通过本教科书的学习，读者将深入了解广义相对论的基本原理和应用，并能更好地理解宇宙的奥秘。

参考文献1. 爱因斯坦，1905年，论相对论的电动学基础。

2. 爱因斯坦，1915年，关于广义相对论的一般理论。

致谢本教科书的撰写离不开广义相对论领域的前辈们的贡献和启发，以及编辑和校对人员的辛勤工作。

特此致以诚挚的感谢。

（以上内容仅为示例，具体内容可根据需要进行创作）。

广义相对论与时空弯曲理论广义相对论是由爱因斯坦在20世纪初提出的一种描述万有引力的理论。

它认为，物质和能量会引起时空的弯曲，而这种弯曲又会影响物体的运动和相互作用。

广义相对论颠覆了牛顿力学的宇宙观，成为现代物理学的重要基石。

广义相对论的基本思想是：物质和能量会改变周围的时空结构，形成曲率。

这种曲率会导致物体在时空中的运动路径发生改变，就像在一个弯曲的空间中移动一样。

广义相对论的核心方程是爱因斯坦场方程，它描述了时空弯曲和物质分布之间的关系。

具体来说，爱因斯坦场方程可以写成以下形式：Rμν - 1/2 Rgμν = 8πG/c^4 Tμν其中，Rμν是时空的曲率张量，R是曲率标量，gμν是时空的度规张量，G是引力常数，c是光速，Tμν是能量-动量-应力张量。

这个方程表达了时空的曲率与物质分布之间的关系，描述了引力的起源和传播。

广义相对论的一个重要预测是引力波的存在。

引力波是由加速运动的物体产生的涟漪，类似于在水面上扔入石子后产生的波纹。

这种波动会传播到周围的时空中，可以通过精密的实验和观测手段进行探测。

2015年，通过LIGO实验的成功观测，验证了引力波的存在，为广义相对论提供了强有力的实证支持。

时空弯曲理论与广义相对论密切相关。

根据广义相对论，物质和能量会改变周围的时空结构，形成时空弯曲。

这种弯曲可以用几何学的方式来描述，就像一个弹性网格被压弯一样。

时空弯曲的程度与物质和能量的分布有关，更密集的物质会导致更强烈的弯曲。

时空弯曲理论不仅仅是关于空间和时间的几何描述，它还涉及到物体的运动和相互作用。

物体在弯曲的时空中沿着最陡峭的路径运动，这条路径被称为测地线。

弯曲的时空也会影响物体之间的相互作用，例如光线会在弯曲的时空中弯折，这就是引力透镜效应的基础。

时空弯曲理论不仅适用于宏观尺度的宇宙，也适用于微观尺度的量子世界。

事实上，广义相对论和量子力学是两个最成功的物理理论，它们在自己的领域内都获得了极高的精度和广泛的实验验证。

Einstein场方程的Schwarzschild求解——广义相对论经典算例陈英明;谭明涛;章志敏【摘要】Einstein场方程是一个难解的非线性二阶微分方程组,其解析求解广泛应用于广义相对论.求解了Einstein场方程的中心对称静态解,即Schwarzschild解,该解对于广义相对论的研究具有一定的指导作用.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)004【总页数】3页(P31-33)【关键词】广义相对论;Einstein场方程;Schwarzschild解;黑洞【作者】陈英明;谭明涛;章志敏【作者单位】淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北235000;电子科技大学物理电子学院,四川成都610054;吉首大学物理与机电工程学院,湖南吉首416000;淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北235000;电子科技大学物理电子学院,四川成都610054【正文语种】中文【中图分类】O412.1广义相对论是相对论性的引力理论[1]，强等效原理[1-2](对于一切自然规律，局域范围内无法区分引力与惯性力)则是广义相对论的基本假设之一.另一个基本假设是广义协变原理[2-3]，即所有的参考系都是平权的，在任意的坐标变换下，一切的物理规律都是协变的.因此，在广义相对论中，坐标系统的选取可以是任意的，习惯上称dx0为坐标时间，dxα(α=1,2,3)为坐标距离.Einstein在20世纪初建立起来的广义相对论使得人们对于引力和时空有了全新的认识，引力理论及其在相关领域的研究获得了空前的发展，不断地涌现新的观念.当人们在研究质量超过中子星临界质量的恒星时，发现简并的中子气体产生的简并压力无法抵抗非常强大的引力作用，从而使得恒星不断收缩，于是出现了由广义相对论所预言的一类由大质量恒星演化而来的特殊天体，即黑洞[2-3].笔者引入黑洞这一重要的概念，研究了在广义相对论中如何通过解析求解Einstein场方程的中心对称静态解.场的中心对称性要求度规或间隔ds在所有与中心等距离点处必须是一样的.当引力场存在时，时空是非Euclid的，因此这个距离不是坐标r.当作坐标变换φ→-φ或ϑ→-ϑ时ds不变；再考虑到静态引力场，t→-t时也有ds不变.于是中心对称静态度规的形式为[1-3]由于坐标的任意性，可以再作如下变换r′=r，ϑ′=ϑ，φ′=φ，t′=t.则略去(1)式中坐标的撇号(即重新标记坐标)，并令A′(r)=e2ν,B′(r)=e2λ,其中ν和λ都是r的函数，进而得到间隔为则协变度规gik的矩阵为相应的逆变度规张量为其中：x0=ct；x1=r；x2=ϑ；x3=φ.由(2)，(3)式可知完整的克里斯多菲符号为因为当i≠k时，总有gik=gik=0，所以容易验算，克里斯多菲符号的64个分量中只有13个分量不为零，其余的51个则均为0，即利用克里斯多菲符号还可以进一步计算里奇张量为将(4)式代入(5)式可知考虑Schwarzschild外部解，即引力源以外的区域，显然有将(7)式代入(6)式可得当r→时，时空是平坦的，黎曼空间度规退化为闵可夫斯基空间度规，从(8)式的微分方程组可以解得度规为相应的线元表示为(9)式即为Schwarzschild的外部解，描述了球对称物体外部的引力场. Schwarzschild外部解有2个奇点：一个是本性奇点r=0，另一个奇点r=rs=GM/c2为Schwarzschild半径.Schwarzschild半径与黑洞密切联系，黑洞为广义相对论的理论预言[1-3]，但是在早期的研究中，研究者认为宇宙中不可能有物体能够达到如此高的密度，即全部的质量M都集中在Schwarzschild半径rs=GM/c2之内.例如，太阳的Schwarzschild半径rs≈3 km，地球的Schwarzschild半径rs≈9 mm.rs是一个球面型界面，界面内外的时空特性完全不同，此界面被称作黑洞的视界.黑洞的认证十分困难，无光线发出，只能采用间接的方式来考察.如：双星系统中有一个是黑洞，则可以利用引力透镜效应来观察. 1974年霍金在考虑量子效应的情况下已证明黑洞也可以存在辐射，缓解了广义相对论与热力学之间的矛盾，同时也揭示了热力学、量子力学[4]与广义相对论之间的一些联系[5].如今，黑洞物理学已经成为宏观世界的引力理论[6]与微观世界的量子理论相互联系的纽带，并向量子力学、热力学、弦理论[7]、统计物理学等学科与广义相对论相互交叉的研究领域发展[1,5,8].【相关文献】[1] 王永久.黑洞物理学[M].长沙:湖南师范大学出版社,2000：1-124.[2] CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].New York:OxfordUniversity Press,1983:1-97.[3] RUFFINI R，WHEELER J A.Introducing the Black Hole[J].Phys. Today,1971,76(1):30.[4] PERES A，TERNO D R.Quantum Information and Relativity Theory[J].Rev. Mod. Phys.,2004,76:93.[5] 史蒂芬·霍金，罗杰·彭罗斯.时空本性[M].杜欣欣，吴忠超，译.长沙:湖南科学技术出版社,1996：1-113.[6] MISNER C W,THORNE K S，WHEELER J A.Gravitation[M].San Francisco:Freeman,1973：1-89.[7] POLCHINSKI J.String Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998:1-45.[8] TEUKOLSKY S A.Rotating Black Holes:Separable Wave Equations for Gravitational Electromagnetic Perturbations[J].Phys. Rev. Lett.,1972(29):1 114.。

广义相对论全文介绍广义相对论是由爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论。

它是与牛顿引力理论相对立的一种物理学理论，通过重新定义了引力的本质，提供了一种更加准确的描述自然界中引力现象的方式。

广义相对论在宇宙学、黑洞研究以及引力波探测等领域起着重要的作用。

本文将对广义相对论的基本原理、数学形式和相关实验验证进行全面的探讨。

基本原理广义相对论的基本原理可以总结为以下几点：1.等效原理：等效原理指出，在引力场中的质点自由下落的过程中，其运动状态与在没有引力场中匀速直线运动的状态是等效的。

也就是说，引力场中的物体运动状态是由空间的弯曲决定的。

2.弯曲时空：广义相对论认为，质量和能量会弯曲时空，形成引力场。

这种弯曲是由物质的分布和运动引起的，被称为时空的曲率。

3.弯曲路径：在弯曲时空中，物体沿着一条路径运动时，会呈现出弯曲的轨迹。

这条路径被称为测地线，描述了物体在引力场中的运动轨迹。

4.引力是几何效应：广义相对论认为，引力不是通过作用力进行传递的，而是通过时空的几何效应产生的。

物体在弯曲时空中自由运动，看起来就像是受到了引力的作用。

数学形式广义相对论使用了爱因斯坦场方程来描述引力场的性质。

爱因斯坦场方程的数学形式如下：R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}其中，R_{\mu\nu}是时空的曲率张量，g_{\mu\nu}是时空的度规张量，R是时空的标量曲率，G是引力常数，c是光速。

T_{\mu\nu}是物质能量动量张量，描述了物质对时空的影响。

爱因斯坦场方程可以通过求解时空的度规张量来得到。

求解爱因斯坦场方程是一个非线性的偏微分方程问题，需要借助于数值方法来进行求解。

目前的研究主要集中在通过数值模拟来研究引力场的性质和时空的演化过程。

实验验证广义相对论的预言已经得到了多个实验的验证。

下面列举一些重要的实验验证结果：1.光线偏转：1919年，爱因斯坦的广义相对论的一项重要预言，在太阳附近的背景星星上观测到了太阳光的弯曲。

Schwarzschild 解与致密星摘要：本文推导了TOV 方程，求解出Schwarzschild 内部解及外部解，并介绍了致密星（白矮星和中子星）的存在，同时利用相对论讨论了白矮星和中子星的物理状态和结构性质。

为了简化工作，我们大量借助Mathematica 来辅助运算。

关键词：爱因斯坦引力方程Schwarzschild 内部解TOV 方程白矮星中子星1引言20世纪30年代从理论上预言存在中子星和黑洞，但一直没有观测到这些天体。

然而在60年代发现类星体、脉冲星、双星X 射线源等奇异天体后，相对论天体便发展起来。

恒星演化理论预言恒星演化到晚期应存在三类天体，即白矮星、中子星和黑洞。

一颗晚期演化的恒星变为哪类天体取决于它的质量。

质量为M 星而核燃料耗尽的恒星，由于引力收缩将释放能量，从而温度升高。

对于M 太阳<M <8M 太阳的晚期恒星将最后演化为白矮星，白矮星靠简并电子气的压力与引力平衡，从而维持星体的存在；对于8M 太阳<M <30M 太阳的晚期恒星将最后演化为中子星，中子星靠简并中子气与引力平衡而维持星体的存在；当一个晚期演化的恒星质量大于中子星质量上限时，便不能存在稳定的结构，这种星体无止境地塌缩下去，最后成为黑洞。

2理想流体的Schwarzschild 解2.1Tolman-Oppenheimer-Volkoff 方程的推导考虑爱因斯坦引力方程G T ννμμκ=-（1）在静态球对称星体内部的解。

由静态球对称度规的最普遍形式2222222()(sin )()ds a r dr r d d b r dt θθϕ=--++（2）可得度规张量分别为()rr g a r =-2g r θθ=-22sin g r ϕϕθ=-()tt g b r =0,g μνμν=≠对于（3）设星体物质为理想流体，则有2()P T U U Pg c νννμμμρ=++（4）其中P 是固有压强，ρ是固有总能密度，U μ是速度四矢，定义为1g U U μνμν=（5）因为流体是静止的，故可取0r U U U θϕ===1/2()tt t U g -==（6）由静态和球对称假设可知，P 和ρ仅仅是径向半径r 的函数。

广义相对论的几个疑难问题Einstein广义相对论深刻地揭示了时间、空间和运动物质之间内在关系.然而Einstein 引力场方程的一些特殊引力场精确解中却存在不能消除的奇点，像具有球对称静态引力场Schwarzschild外部解及匀速转动引力场外部解[2]等.另外，用Einstein引力场方程处理宇宙演化解中，存在与直接观测到的质量密度相矛盾的结论，即质量缺失问题（也就是所谓的暗物质）.Penrose和Hawking认为只要关于物质、能量、以及因果性一些合理物理条件成立，在Einstein广义相对论中就不可避免存在着奇点.在这类奇点处，时空流行达到尽头，象在星体中引力坍缩终止于黑洞中心奇点就是这样的.由于不知道奇点所准循的规律，物理学、包括广义相对论将随着奇点出现而失效.一般认为出现这种运动终止于奇点现象反映了广义相对论引力场理论某种不完善，并不一定是客观世界所固有的.1. 由于地球观察者与宇宙物质间存在相对运动速度，描述膨胀宇宙必须采用动态能量动量张量，不能采用静态能量动量张量.采用动态能量动量张量后的计算结果表明，爱因斯坦引力场方程不可能用来描述均匀且各向同性膨胀的宇宙，现代标准宇宙学面临基础缺失的危机.2.广义相对论：广义相对论在所有尺度上都是正确的吗？3.超弦理论最终可能会放弃时间和空间这两个概念.4、是否存在额外的时空维度？对重力真正性质的研究也会带来这样的疑问：空间是否不仅仅限于我们能轻易观察到的四维，要确定这一点，我们可能首先要怀疑自然是否是自相矛盾的：我们是否应该接受这样的观点，即有两种力作用于两个不同的层面——重力作用于星系这个大层面，而其它三种力作用于原子的微小世界？统一场论会说这是一派胡言——肯定有一种方法将原子层面的三种力量与重力连接起来.这就将我们引向了一些线性理论学家对重力的解释，其中就包括其它维的空间，开始的宇宙线性理论模型将重力和其它三种力在复杂的11维宙中结合起来，在那个宇宙——也就是我们宇宙中——其中的7维隐藏在超乎想象的微小空间中，以至于我们无法觉察到，弄懂这些多维空间的一个办法是，想象一个蛛网的一根丝，用裸眼来看，这根细丝只是一维的，但在高倍放大镜下，它就分解成了一个有相当宽度、广度和深度的物体，线性理论学家说，我们之所以看不见其它维的空间，只是因为缺少能将它们分解的精密仪器.我们可能永远无法直接看到这些多维空间，但有了天文学家和粒子物理学家的仪器，也许可以找到它们存在的证据.在试图引申爱因斯坦理论和了解引力的量子性质时，粒子物理学家们假设存在着超出已知四维时空的高维时空.它们的存在对宇宙的诞生和演化具有隐含，可能会影响基本粒子的相互作用，并改变近距离时的引力.高能与核物理在弦理论方面的研究表明有额外维.TeV能级加速器和其他对撞机的实验，通过寻找两个加速的粒子（如TeV能级加速器的质子与反质子）在对撞中产生粒子时丢失的能量，来寻找额外维.5、什么是引力?在爱因斯坦改进牛顿的理论时，他扩展了重力的概念，将巨大的重力场和以接近光速运动的物体都计算在内，这一扩展形成了著名的相对论和时空理论，但爱因斯坦的理论没有涉及极小领域的量子力学，因为重力在很小范围内可以忽略不计，而且还没有人对个别少量的重力进行过试验性的观察.然而，自然界也有重力被压迫在小物体之内的极端情况，比如说，在靠近黑洞中央的地方，大量物质被挤在量子大小的空间里，重力就在很小的距离内变得非常强，大爆炸时期混沌的初始宇宙中一定就是这种情况.黑洞在宇宙中普遍存在，可以探讨它们的巨大引力.早期宇宙中的强引力效应具有客观测到的重要性.爱因斯坦理论也应适用于这些情况，正像它适用于太阳系一样.完整的引力理论应该包括量子效应—爱因斯坦引力理论不包括—或不解释为什么它们不相关.高能和核物理理论学家研究弦理论和额外维空间的可能性，有助于解释引力的量子方面.像在费米实验室（左图）TeV能级加速器和CERN的LHC上开展的实验将能够在未来几年内对一些这样的思想进行检验.弦理论已经导致对黑洞的熵进行计算.6、为了能与地球近平直参考系中的实际测量结果进行比较，必须将弯曲时空中对引力问题的计算换算成用平直时空中的标准尺和标准钟（或局部惯性系的标准尺和标准钟）来计量.这在弯曲时空引力理论中被认为是基本原则，但目前广义相对论对具体问题计算的过程中却普遍地忽略了这个原则.采用标准尺和标准钟计算的结果表明，水星近日点进动是实际观察值的4.8倍，而且方向相反，雷达波延迟只是观察值的53%，这样的结果显然是根本不可能的.因此广义相对论实际上并未得到实验证实，除非爱因斯坦引力场方程描述的已经是平直时空中的结果，不是弯曲时空中的结果，但这与爱因斯坦弯曲时空引力理论的前提相矛盾.7、美国宾夕法尼亚州大学的爱德华·吉南和弗兰克·马洛尼两位天文学家发现距我们2000光年的DI海格立斯双星的运动与相对论完全相悖，它们的质量都很大，分别为4.5和5.2个太阳质量，公转周期为10.55天，轨道偏心率0.489左右.据此，按相对论计算，其轨道应该有明显的最近点进动现象.然而事实上，当两星的其中之一运动到另一个星体之前并发生全食时，人们只观测到两次较明显的亮度衰变.天文学家根据时间建立了该双星的亮度曲线，计算出偏全食时间，并据此演绎出双星相应位置.鉴于DI海格立斯双星的观测已有84年的历史，人们拥有丰富的资料，经对3000多轨道进行详细分析，吉南和马洛尼两位天文学家计算出两星最近点进动仅为0.64度，而相对论理论推算的结果却是2.34度！。

广义相对论中的时空几何广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论，该理论认为引力是由质量和能量所引起的时空弯曲造成的。

在广义相对论中，时空被视为一种四维的几何结构，引力则被解释为物质和能量对时空的影响。

一、引力与时空弯曲广义相对论的核心思想之一是引力与时空弯曲的关系。

传统的牛顿力学认为，物体之间的引力是通过距离作用而产生的。

然而，爱因斯坦提出了一种全新的观点：物体不是通过相互作用产生引力，而是通过它们在时空中运动所造成的时空弯曲而引起的。

据广义相对论，物体在时空中沿着一条称为“测地线”的轨迹运动。

正如地球绕太阳运动一样，引力使得物体在时空中弯曲其运动轨迹。

这种弯曲的效应可以通过测量物体间的相对加速度来捕捉到。

因此，广义相对论将引力的本质解释为时空的弯曲。

二、时空的度量与曲率在广义相对论中，时空被描述为一种弯曲的四维结构。

为了描述时空的几何性质，我们需要使用度量张量和曲率张量这两个重要的概念。

度量张量描述了时空中的距离和相对位置的度量方式。

它是一个对称的二阶张量，用于定义时空的内禀几何属性。

通过度量张量，我们可以计算时空中的弧长、角度和体积等几何量。

曲率张量则用于描述时空的曲率性质。

曲率度量了时空弯曲的程度和方向。

在广义相对论中，曲率张量与物质和能量分布直接相关，通过爱因斯坦场方程来描述它们之间的关系。

这些方程告诉我们物质和能量是如何塑造时空几何的，并且由此决定了引力场的分布。

三、引力波和时空弯曲的实验证据广义相对论的一大重要预言是引力波的存在。

引力波是由加速的物体在时空中传播而产生的涟漪，类似于在水中扔入石子产生的波纹。

这种涟漪的存在可以通过引力波探测器进行实验观测。

2015年，LIGO科学合作组织宣布首次直接探测到引力波，这是对广义相对论的一次重大验证。

引力波的探测证实了广义相对论对引力的描述是准确的，并进一步证明了时空弯曲的存在。

四、时空奇点与黑洞广义相对论还预言了时空奇点的存在。

黑洞时空曲率计算公式在物理学中，黑洞是一种极其神秘和神秘的天体，它具有非常强大的引力场，以至于连光都无法逃逸。

在爱因斯坦的广义相对论中，黑洞被描述为时空曲率非常大的地方，这种曲率可以用数学公式来计算。

本文将介绍黑洞时空曲率的计算公式，并探讨其在物理学中的重要性。

在广义相对论中，时空被描述为一种弯曲的几何结构，这种弯曲是由质量和能量的分布所引起的。

黑洞的时空曲率非常大，这意味着它在引力上具有非常强大的效应。

为了描述黑洞的时空曲率，我们可以使用爱因斯坦场方程，这是广义相对论中描述引力的基本方程之一。

爱因斯坦场方程可以写成如下形式：Gμν = 8πGTμν。

在这个方程中，Gμν是爱因斯坦张量，描述了时空的曲率；Tμν是能动量张量，描述了物质和能量的分布；G是引力常数；c是光速。

通过这个方程，我们可以计算出时空的曲率，从而了解黑洞的性质。

对于静态、球对称的黑洞，我们可以使用度规来描述其时空结构。

度规可以写成如下形式：ds² = -e^νdt² + e^λdr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)。

在这个度规中，ν和λ是度规函数，描述了时空的曲率；t、r、θ和φ分别是时间、径向坐标、极角和方位角。

通过度规函数，我们可以计算出时空的曲率，从而了解黑洞的性质。

黑洞的事件视界是描述其边界的重要概念。

事件视界是一个球面，其半径称为Schwarzschild半径，可以通过下面的公式计算：r_s = 2GM/c²。

在这个公式中，r_s是Schwarzschild半径；G是引力常数；M是黑洞的质量；c 是光速。

通过这个公式，我们可以计算出黑洞的事件视界，从而了解它的大小和性质。

除了事件视界，我们还可以通过度规函数来计算黑洞的其他性质，比如霍金辐射和时空的奇点结构。

霍金辐射是由于量子效应而产生的，它可以通过度规函数和量子场论来描述。

时空的奇点结构是黑洞内部的一个奇点，它可以通过度规函数和爱因斯坦场方程来描述。

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目录[隐藏]简介基本假设广义相对论的基本概念主要内容广义相对论的实验检验爱因斯坦第四假设广义相对论-天体物理学上的应用广义相对论-进阶概念广义相对论-和量子理论的关系当前进展广义相对论基础教案示例简介基本假设广义相对论的基本概念主要内容广义相对论的实验检验爱因斯坦第四假设广义相对论-天体物理学上的应用广义相对论-进阶概念广义相对论-和量子理论的关系当前进展广义相对论基础教案示例[编辑本段]简介广义相对论爱因斯坦的第二种相对性理论（1916年）。

该理论认为引力是由空间——时间几何（也就是，不仅考虑空间中的点之间，而是考虑在空间和时间中的点之间距离的几何）的畸变引起的，因而引力场影响时间和距离的测量. 广义相对论：爱因斯坦的基于光速对所有的观察者（而不管他们如何运动的）必须是相同的观念的理论。

它将引力按照四维空间—时间的曲率来解释。

狭义相对论和万有引力定律，都只是广义相对论在特殊情况之下的特例。

狭义相对论是在没有重力时的情况；而万有引力定律则是在距离近、引力小和速度慢时的情况。

600千米的距离观看十倍太阳质量黑洞模拟图在600千米的距离上观看十倍太阳质量的黑洞（模拟图），背景为银河系背景爱因斯坦在1905年发表了一篇探讨光线在狭义相对论中，重力和加速度对其影响的论文，广义相对论的雏型就此开始形成。

1912年，爱因斯坦发表了另外一篇论文，探讨如何将重力场用几何的语言来描述。

至此，广义相对论的运动学出现了。

到了1915年，爱因斯坦场方程式被发表了出来，整个广义相对论的动力学才终于完成。

《广义相对论基础》第四次作业答案一、从球对称Schwarzschild 时空的如下守恒量方程2d d Lr ϕτ=， (1) 2222211dr GM L E d r r τ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (2) 出发，导出在平面极坐标系下轨道所满足的微分方程（即推广的比内公式），并进而从理论上分析、讨论水星的进动问题（不要求数值的计算和估计）。

解：将（1）代入（2），并采用1G c ===的单位制，可得到轨道方程：2222321111222d E M Md r L r r rL ϕ⎡⎤-⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （3） 两边对ϕ微商，得2222113d M Md r r L r ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。

（4） 作变量代换Mu r=，上式化成 22223d u M u u d L ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。

（5） 因为广义相对论修正项23u 本身较小，所以可将23u 替换为牛顿解，得到2444222236cos 3cos d u M M M M u e e d L L L L ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≈+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （6） 常数项会导致径向修正，角度项会导致进动。

因为243M M L L ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21ee ，所以略去高阶常数项43M L ⎛⎫⎪⎝⎭和2e 项，从而得到24226cos d u M M u e d L L ϕϕ⎛⎫⎛⎫+≈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（7） 令12u u u =+，方程（7）可拆解为2211242222,6cos .d u M u d L d u M u e d L ϕϕϕ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩（8） 解得()21421cos ,3sin .M u e L M u e L ϕϕϕ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩（9） 从而22221cos 3sin 1cos 13M M M M u e e e L L L L ϕϕϕϕ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++≈+-⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭。