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数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。
通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。
本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。
1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。
假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。
根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。
展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。
(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。
假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。
将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。
化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。
因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。
数列与数学归纳法的综合练习题一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它包括两个基本步骤：基础步和归纳步。
基础步是证明命题对于某个特定的自然数成立；归纳步是假设命题对于一个自然数成立，然后证明对于下一个自然数也成立。
下面通过具体的练习题来进一步理解数学归纳法的应用。
二、练习题一：数列的定义与递推关系1. 已知数列{an}的通项公式是an = 3n - 1（n为自然数），求前5项的值。
解：将n逐个代入通项公式，有：a1 = 3 * 1 - 1 = 2；a2 = 3 * 2 - 1 = 5；a3 = 3 * 3 - 1 = 8；a4 = 3 * 4 - 1 = 11；a5 = 3 * 5 - 1 = 14。
所以，数列{an}的前5项的值分别为2，5，8，11，14。
2. 已知数列{bn}的递推关系是bn = bn-1 + 2，其中b1 = 1，求前6项的值。
解：根据递推关系，可以得到：b2 = b1 + 2 = 1 + 2 = 3；b3 = b2 + 2 = 3 + 2 = 5；b4 = b3 + 2 = 5 + 2 = 7；b5 = b4 + 2 = 7 + 2 = 9；b6 = b5 + 2 = 9 + 2 = 11。
所以，数列{bn}的前6项的值分别为1，3，5，7，9，11。
三、练习题二：数学归纳法证明1. 证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n为自然数。
证明：基础步：当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
归纳步：假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；则当n=k+1时，等式左边变为1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)；根据归纳假设，左边可以变为k(k+1)/2 + (k+1)；化简得 (k^2 + k + 2k + 2) / 2；再次化简得 (k^2 + 3k + 2) / 2；进一步化简得 (k+1)(k+2)/2；即等式右边。
小学六年级数学归纳法练习题数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
对于小学六年级的同学来说，通过练习数学归纳法的相关题目，可以培养逻辑思维和推理能力。
下面我们就来一起看看一些小学六年级数学归纳法的练习题。
一、基础练习1、观察下列算式：1 ＋ 3 ＝ 41 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 91 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 161 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25根据以上规律，用数学归纳法证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，等式成立。
假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²成立。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。
综上，对于任意正整数 n，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²成立。
2、计算：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1)，并用数学归纳法证明你的结论。
解：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1) ＝ 1/3 × n(n ＋ 1)（n ＋ 2)证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1×2 ＝ 2，右边＝ 1/3 × 1×2×3 ＝ 2，等式成立。
假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) 成立。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（1/3k ＋ 1)＝ 1/3 ×（k ＋ 1)（k ＋ 2)（k ＋ 3)所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。
用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。
高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。
1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。
则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。
1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。
3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。
4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。
证明g(n) = (n+1)^2。
5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。
三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。
通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。
在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。
下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。
练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。
假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。
由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。
化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。
再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。
可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。
练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。
答案二：同样使用数学归纳法进行证明。
首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。
假设当n=k时，2^k > k^2 成立。
数列与数学归纳法的练习题1. 问题描述考虑以下数列的规律：a1 = 1a2 = 3a3 = 6a4 = 10a5 = 15...请使用数学归纳法回答以下问题：问题1：求第n项的表达式。
问题2：证明数列的通项公式。
问题3：求前n项的和的表达式。
问题4：证明数列的和的公式。
2. 解答问题1：求第n项的表达式。
观察数列，我们可以发现每一项的值都是前一项的值加上它的下标。
即an = an-1 + n-1问题2：证明数列的通项公式。
首先，我们需要证明递推关系对于所有大于等于5的正整数都成立。
假设关系对于某个正整数k成立，即ak = ak-1 + k-1我们来证明关系对于k+1也成立。
即a(k+1) = a(k+1)-1 + (k+1)-1= ak + k= ak-1 + (k-1) + k= ak-1 + k-1 + k所以，关系对于所有大于等于5的正整数都成立。
此外，由于a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 10，我们可以使用数学归纳法证明关系对于1、2、3、4也成立。
这里略去证明过程。
因此，我们可以得出结论，数列的通项公式是an = an-1 + n-1问题3：求前n项的和的表达式。
我们可以通过将数列的每一项相加得到前n项的和。
即S(n) = a1 + a2 + a3 + ... + an将数列的通项公式代入上式，并对相同项进行合并，可以得到：S(n) = 1 + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+3+...+n-1) + (1+2+3+...+n)通过观察括号中的式子，我们可以发现，每一项的和可以用等差数列的前n项和来表示。
因此，上式可以进一步化简为：S(n) = 1*1 + 2*3 + 3*6 + ... + (n-1)*n问题4：证明数列的和的公式。
为了证明数列的和的公式，我们需要求解S(n) = 1*1 + 2*3 + 3*6 + ... + (n-1)*n。
【数学归纳法】一、数学归纳法的证明步骤：二、习题讲练：1、 用数学归纳法证明：（1）()11234 (12)n n n +++++=+； 证明：（1）当n = 时，左边= ，右边= ，左边 右边，所以等式 ；（2）假设n k =时等式成立，即：1234...k +++++= 成立那么+1n k =时：1234...+(k +1k +++++= ()+1k +===所以当+1n k =时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何的*n N ∈都成立。
（2）2311222...221n n -+++++=-证明：（1）当n = 时，左边= ，右边= ，左边 右边，所以等式 ；（2）假设n k =时等式成立，即：2311222 (2)k -+++++= 成立那么+1n k =时：2311222...2+2k k -+++++= 2k +==所以当+1n k =时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何的*n N ∈都成立。
（3）()()1111...133********+1n n n n ++++=⨯⨯⨯-+ 证明：（1）当n = 时，左边= ，右边= ，左边 右边，所以等式 ；（2）假设n k =时等式成立， 即：111 (133557)++++⨯⨯⨯ = 成立 那么+1n k =时：()()1111...1335572121k k +++++⨯⨯⨯-+ ====所以当+1n k =时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何的*n N ∈都成立。
（1）在数列{}n a 中，已知111,1n n n a a a a +==+（+n N ∈），算出它的前四项，然后根据你算出的前四项归纳猜测该数列的通项公式n a ，并加以证明。
解：111,1n n n a a a a +==+Q ∴1n =时，2a =2n =时， 3a =3n =时， 4a =……………………………………………………………………由此猜测： 数学归纳法证明：（1） 当12,3,4n =，时，猜测显然成立； （2） 假设n k =时等式成立，即：那么+1n k =时，（2）已知数列()1111...,...1223341n n ⨯⨯⨯+，，，，，计算123S S ，，S ，由此推测计算n S 公式，并给出证明。
数学归纳法双基训练*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…(2n-1)(n ∈N*)时，从“k 到k+1”左边需增乘的代数式是( )。
【2】(A)2k+1 (B)2k+1k+1 (C)2(2k+1) (D)2k+3k+1*2.用数学归纳法证明：1+12+13+…+n 12-1<n(n>1)在验证n=2成立时，左式是( )。
【2】(A)1 (B)1+1/2(C)1+1/2+1/3 (D)1+1/2+1/3+1/4*3.某个与自然数n 有关的命题，若n=k 时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。
现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )。
【2】 (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=4时该命题不成立 (D)当n=4时该命题成立 *4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+12n-1-12n =1n+1+1n+2+ (12)，第一步应验试左式是 ，右式是 。
【2】*5.若要用数学归纳法证明2n>n 2(n ∈N*)则仅当n 取值范围是 时不等式才成立。
【2】**6.用数学归纳法证明：1+a+a 2+…+a n+1=n+21-a 1-a(a ≠1)(n ∈N*).【3】**7.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6(n ∈N*).【3】 **8.用数学归纳法证明：1(n 2-1)+2(n 2-22)+…+n(n 2-n 2)=2n (n-1)(n+1)4(n ∈N*).【4】**9.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*).【4】**10.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=21n(4n +6n-1)(n N*)3∈.【4】**11.用数学归纳法证明：1111n++++=(n N*)2446682n(2n+2)4(n+1)⋅⋅⋅∈⨯⨯⨯。
2014年新田一中选修2-2课后作业（十八）班级___________姓名___________学号___________1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)3．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是( )．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立4．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．6．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝an3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．7．求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n.8．数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案 C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案 B3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于( )．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案 C4．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n2n＋1.答案13253749n2n＋15．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案 2 x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＜2－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＜2－1k＋1(k＋1)2＜2－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1 k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．综合提高(限时25分钟)7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )．A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.答案 C8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )．A ．P (6)成立则P (5)成立B ．P (6)成立则P (4)成立C ．P (4)成立则P (6)成立D ．对所有正整数n ，P (n )都成立解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.答案 a ＝12，b ＝c ＝1410．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出a n 的表达式为________．解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案 a n ＝26n －511．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n .证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋12，原不等式成立；(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1>1＋k 2＋＝1＋k2＋12＝1＋k＋12，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≤12＋k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1<12＋k＋∴f(k＋1)<12＋(k＋1)即n＝k＋1时，命题成立．综合(1)、(2)可得：原命题对n∈N*恒成立．12．(创新拓展)数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．证明当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝32，n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝74，n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝158.∴猜想a n＝2n－1 2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，②假设n＝k时猜想成立，即a k＝2k－12k－1成立．那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝2(k＋1)－a k＋1＝S k＋a k＋1＝2k－a k＋a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k＝2＋2k－12k－1＝2k＋1－12k－1，∴a k＋1＝2k＋1－12k，即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对n∈N*猜想均成立．。
数学归纳法练习题一、选择题1. 用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )A.121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 112122k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,nnx y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.二、填空题4. 数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是三、解答题7. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除. 8. 若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n nnαααααα=L .9. 若*n N ∈,且2n ≥,求证:1111312224n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39nf n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.12. 正数数列{}n a 中,11()2n n nS a a =+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*n N ∈,试比较 3(1)!nn +和 的大小.【答案】一、选择题1. C2. D3. B 二、填空题4. 11111,,,,23456. 11n a n =+(*n N ∈)5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++L L6. 23412222++++, 55152535422222kk k k k ++++++++.三、解答题(略解)7. ① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除;② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+=2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除.8. ① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=9. ① 2n =时,左=11713341224+=>② 设n k =时, 1111312224k k k +++>++L 1n k =+时, 左=1111222122k k k k +++++++L =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++L ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324.10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 1212n n n a --=① 1n =时,计算得11a =,结论成立;② 设n k =时, 1212k k k a --=, 则1n k =+时, 11111121[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-∴11212k k ka ++-=.11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.② 设n k =正确即 ()(27)39kf k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.12. ⑴ 11a =,21a =,3a = ⑵ 猜想: n a =① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即n a =则 1n k =+ 时111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+--21110k k a ++⇒+-=,解得(取正值) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!nn >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!nn <+① 4n = 时,显然成立;② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!kk <+ 则 1n k =+ 时1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )即 13(11)!k k +<++。
第四章4.4*数学归纳法A级必备知识基础练A.13k+1B.13k+1−1k+1C.13k+2+13k+3+13k+4D.13k+2+13k+4−23(k+1)2.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=( )A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+2k+1k+1D.f(k)·2k+1k+1A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立4.[探究点一](多选题)对于不等式√n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k ∈N *)时,不等式成立,即√k 2+k <k+1,则n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√(k 2+3k +2)+(k +2)=√(k +2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.关于上述证明过程的说法正确的是( ) A.证明过程全都正确 B.当n=1时的验证正确 C.归纳假设正确D.从n=k 到n=k+1的推理不正确5.[探究点五·江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n ∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .6.[探究点四]在数列{a n }中,a 1=12,a n+1=3a n a n +3.(1)求出a 2,a 3并猜想{a n }的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数f(n)=n(n-1).2B级关键能力提升练9.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1314(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边( )A.增加了12(k+1)B.增加了12k+1+12k+2C.增加了12(k+1)−1k+1D.增加了12k+1+12k+2−1k+110.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作S k,则当n=k+1时左边的和,记作S k+1,则S k+1-S k=( )A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立12.用数学归纳法证明“当n ∈N *时,f(n)=5n +2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k ∈N *)时,f(k)=5k +2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A 的表达式为 .13.是否存在a,b,c 使等式(1n )2+(2n )2+(3n )2+…+(n n)2=an 2+bn+cn对一切n ∈N *都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).(x>0),f n+1(x)=f1(f n(x)). 15.已知数列{f n(x)}满足f1(x)=√1+x2(1)求f2(x),f3(x),并猜想{f n(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.C级学科素养创新练16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,….4.4* 数学归纳法1.D 当n=k 时,不等式的左边等于1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1,且k ∈N *,当n=k+1时,不等式的左边等于1k+2+1k+3+1k+4+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4,当n=k+1时,不等式的左边比当n=k 时增加的项为13k+2+13k+3+13k+4−1k+1=13k+2+13k+4−23k+3.故选D.2.B 由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N *)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].3.AD 由题意知p(k)对k=2,4,6,…,成立,当k 取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.4.BCD n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k 到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.34(34k+2+52k+1)-56·52k+1 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.6.(1)解由a 1=12,a n+1=3a na n +3,得a 2=3a 1a 1+3=3212+3=37,a 3=3a 2a 2+3=9737+3=924=38.猜想a n =3n+5.(2)证明①当n=1时,a1=12=36=31+5,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即a k=3k+5,那么,当n=k+1时,a k+1=3a ka k+3=3·3k+53 k+5+3=93k+18=3(k+1)+5,结论成立.由①和②可知对任意n∈N*,都有a n=3n+5成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.9.D 当n=k时,1k+1+1k+2+…+1k+k>1314,当n=k+1时,1k+1+1+1k+1+2+…+1k+k+1k+k+1+1k+1+k+1>1314,左边增加了12k+1+12k+2−1k+1.10.C 依题意,S k=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则S k+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴S k+1-S k=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3 )]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.AD 选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.12.A=4(5k +3k-1) 因为f(k)=5k +2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k +2×3k +1=5k +2×3k-1+1+4×5k +4×3k-1=f(k)+4(5k +3k-1).故A=4(5k +3k-1). 13.解取n=1,2,3可得{a +b +c =1,8a +4b +2c =5,27a +9b +3c =14,解得a=13,b=12,c=16.下面用数学归纳法证明(1n )2+(2n )2+(3n )2+…+(n n)2=2n 2+3n+16n=(n+1)(2n+1)6n.即证12+22+…+n 2=16n(n+1)(2n+1), ①当n=1时,左边=1,右边=1, ∴等式成立;②假设当n=k(k ∈N *)时等式成立,即12+22+…+k 2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k 2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k 2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②当n ∈N *等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=1√1+f12(x)=√1+2x2,f3(x)=f1[f2(x)]=2√1+f22(x)=√1+3x2.猜想:f n(x)=√1+nx2(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明f n(x)=√1+nx2(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=√1+x2,显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即f k(x)=√1+kx2,则当n=k+1时,f k+1=f1[f k(x)]=x√1+kx2√1+(√1+kx2)=√2,即对n=k+1时,猜想也成立.结合①②可知,猜想f n(x)=√1+nx2对一切n∈N*都成立.第11页共11页。
数学归纳法习题
(一)选择题
在验证n=1成立时，左边所得的项为 [ ]
A．1
B．1+a
C．1+a+a2
D．1+a+a2+a3
2．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N)时，
从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它
是[ ]
(二)填空题
1．用数学归纳法证明等式1+ 2+ 3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n=1左边所得的项是______；从“k→k+1”需增添的项是______．
2．用数学归纳法证明当n∈N时1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时，当n=1
时原式为______，从k→k+1时需增添的项是______．
(三)解答题
2．用数学归纳法证明：自然数m，n对任何的3≤m≤n均有
差数列．
3．求证：当n为正奇数时7n+1能被8整除．
自然数n，f(n)＞n．
a3，a4，并推测出{a n}的通项公式，用数学归纳法加以证明．
求a2，a3，a4，并推测a n的表达式，用数学归纳法证明所得结论．
数学归纳法综合能力测试题(参考答案)
(一)选择题1．C 2．D
(二)填空题 1．1+2+3，(2k+2)+(2k+3)；
2．1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4．
(三)解答题
成立．
时，多了一个顶点，该顶点与原k边形中的(k-2)个顶点可连成(k-2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k-1)条对角线
说明本题也可用排列组合的方法证明
4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2
即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2∴命题成立；
②假设n=k(k≥3)时命题成立，即对于任何
a1，a2，…，a n成等差数列
则当n=k+1时，由归纳假设a1，a2，…，a k成等差数列，设公差为d
令 a k+1-a k=m
去分母化简得 m2+d2-2dm=0
于是m=d 即a k+1-a k=d
∴a1，a2，a3，…，a k，a k+1成等差数列
故对任何n∈N命题成立．
3．(1)n=1时，71+1=8能被8整除；
(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，M∈N)
则当n=k+1时
7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48
=49×8m-8×6=8(49M-6)
∵49M-6∈N ∴命题成立．
4．(1)当n=2时，
(2)假设n=k(k≥2)不等式成立
因此 f(k+1)＞ f(k)+1＞ k+1．
(2)假设n=k时，不等式成立
∴ n=k+1时不等式亦成立
由(1)、(2)可知对一切n∈N不等式都成立．
证明(1)当n=1时，等式成立；
证明略。
