知识点2 奇、偶函数的单调性
例2-2 已知奇函数 在区间[2,3]上单调递增，求 在区间[−3, −2]上为的单调性.
【解析】任取1 ,2 ∈ [−3, −2]且1 < 2 ，∴ 2 ≤ −2 < −1 ≤ 3，又奇函数 在
[2,3]上单调递增，∴ −2 < −1 ，则− 2 < − 1 ,∴ 1 < 2 ，因
例5 判断函数 =
1 2
+ 1, > 0,
2
൞ 1
的奇偶性.
2
− − 1, < 0
2
【解析】函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，关于原点对称.
当 > 0时，− < 0， − = −
当 < 0时，− > 0， − =
1
2
综上可知，函数 是奇函数．
1
2
−
−
2
2
1
2
− 1 = −( 2 + 1) = − ；
1
2
1
2
+ 1 = 2 + 1 = −(− 2 − 1) = − .
例6（1） 已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
( D
)
A.ℎ = + 是偶函数
C.ℎ =
⋅
2−
是偶函数
B.ℎ = ⋅ 是奇函数
D.ℎ =
2−
是奇函数
【解析】对于A，ℎ = + = 4 − 2 + − 2 = 4 − 2 + 2 − ,
