展开与折叠(二)

2 展开与折叠1．棱柱的表面展开图棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)．【例1】如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．解析：(1)三棱柱两个底面是三角形(2)六棱柱两个底面是六边形(3)长方体两个底面是长方形(4)三棱柱两个底面是三角形答案：三棱柱2．圆柱、圆锥的表面展开图(1)圆柱的表面展开图沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示．如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱．(2)圆锥的表面展开图如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．【例2】如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断．解：圆锥、圆柱、五棱柱．3．平面图形的折叠平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．根据平面展开图判断立体图形的方法：(1)能够折叠成棱柱的特征：①棱柱的底面边数＝侧面的个数．②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧．(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形．(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形．(4)能够折叠成正方体的特征：①6个面都是完全相同的正方形．②正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个．③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠．4．正方体展开图上的数字问题正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解．正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：(1)1－4－1型相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面．(2)1－3－2型相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；②中间一行第1个与第3个为相对面；第2个与第三行第2个为相对面．(3)2－2－2型相对面的确定：①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；②第二行第1个与第三行的第2个是相对面；③第三行的第1个与第一行的第2个为相对面．(4)3－3型相对面的确定：①第一行的第1个与第3个为相对面；②第二行的第1个与第3个为相对面；③第一行的第2个与第二行的第2个为相对面．【例3－1】如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？分析：(1)底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的两个底面在侧面同侧，折叠后也不能围成棱柱；(2)(4)折叠后可以围成棱柱．解：(2)(4)可以．【例3－2】生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接起来吗？分析：根据能折叠成不同几何体的特征去判断即可．解：如图所示．【例4－1】如图所示，假定用A，B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．分析：先判断属于哪种类型，再确定相对面．前三种的相对面都是隔一个即可；第四种的A与上面第一行中的第2个是相对面．解：如图所示．【例4－2】要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x＝__________，y＝__________.解析：这里关键是要找到相对的面，折叠之后可知，x与1相对，所以x＝5，y与3相对，所以y＝3.答案：5 3【例4－3】小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________解析：这个正方体的平面展开图属于1－4－1型的，根据规律可知，第一行的与第三行的为相对面，中间一行的第1个与第3个、第2个与第4个为相对面，故应选A.答案：A5．表面展开图的应用正方体与图案正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的变化．根据展开图判断是否与模型对应的方法：(1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况；(2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致．当前面和上面的图案确定位置后，另一个图案是在左面还是右面，图案放置的角度是否正确．【例5】图中给出的是哪个正方体的展开图？( )．解析：显然带有黑色的面是相对的面，所以A，B错误．又因为两个黑色小正方形应该是相对的，所以选D.答案：D。

2展开与折叠【知识与技能】1.进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可展开为平面图形；2.了解圆柱、圆锥的侧面展开图.【过程与方法】经历展开与折叠、模型制作等活动发展空间观念，积累数学活动经验，形成较为规范的语言.【情感态度】在操作活动中揭发学生自主学习的热情和积极思考的习惯，体验学习数学的乐趣。

【教学重点】在操作活动中，发展空间观念、积累数学活动经验，掌握和识别棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开图.【教学难点】根据几何体的展开图判断能折叠成什么样的几何体.一、情境导入，初步认识在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子.为了设计和制作这样的盒子，我们需要了解这种盒子展开后的平面图形.1.正方体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？2.请同学们将自己准备的纸盒剪开，看看展开后的形状是怎样的？【教学说明】学生很容易得出正方体有6个面、12条棱、8个顶点，让学生自己动手操作有利于学生直观地了解正方体的展开图.二、思考探究，获取新知1.正方体的展开图问题1将小正方形纸盒沿某些棱任意剪开，你能得到哪些形状的平面图形？能否将得到的平面图形分类？【教学说明】学生进行裁剪，教师巡视.把学生剪好的平面图形贴在黑板上（重复的不再贴），再让学生讨论怎样分类.【归纳结论】将正方体沿不同的棱展开可得到不同的表面展开图，共有如下11种情形，可分为四类.141型（共6种）231型（共3种）33型（1种）222型（1种）问：一个正方体要将其展开成一个平面图形，必须沿几条棱剪开？学生分组进行讨论，得出结论.【归纳结论】由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，面与面之间相连的棱有5条（即未剪开的棱），因此需要剪开7条棱.2.平面图形的折叠问题2下图中的图形经过折叠能否围成一个正方体？【教学说明】学生动手实际操作，激发学生的积极性和主动性，有助于学生得出正确的结论，发展学生的几何直观性.【归纳结论】若是正方体11种展开图的平面图形就能折叠成一个正方体，否则不能折叠成一个正方体.3.圆柱、圆锥的侧面展开图问题3教材第10页“做一做”的内容【教学说明】学生动手操作，能直观地得出结论.【归纳结论】圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形. 三、运用新知，深化理解1.上图中经过折叠能围成棱柱的是（填序号）.2.画出下面棱柱的一种展开图.【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的掌握和理解.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】1.（2）（4）2.四、师生互动，课堂小结1.正方体的展开图，圆柱、圆锥的侧面展开图.2.通过这节课的学习，学到了哪些新知识？【教学说明】教师引导学生回顾本节课所学知识，加深对新知识的理解.1.布置作业：从教材“习题1.3，1.4”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.本节课通过学生自己动手操作，感受正方体的展开与折叠，了解圆柱、圆锥的侧面展开图，进而了解其他几何体的展开与折叠，学生积极性较高.。

展开与折叠（2）策略与反思纠错与归纳【学习目标】1．能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形。

2．通过展开与折叠、制作模型的过程，发展空间观念，积累数学活动经验。

【重点难点】重点：能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形。

难点：尽可能多的将一个正方体展成一个平面图形。

【使用说明与学法指导】1．阅读课本8-9页并制2．每位同学准备正方体的展开图【自主学习】1．正方体有个面，条棱，个顶点，每个顶点处有条棱，每个面都是形。

2．提示:“展成一个平面图形”是指“正方体的6个面展开后所成的6个正方形中的每一条边与其他的正方形的某条边重合”，即“相连”【合作探究】1．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形。

回答下列问题：（1）你能得到哪些平面图形？与同伴进行交流，提供尽可能多的展图形;并将其画出来；将一个正方体沿某些棱展开，至少要剪几条棱？（2）在你们的所示结果中，有如下的平面图形吗？（3）下图中的图形经过折叠能否围成一个正方体？能说说理由吗？2．把圆柱、圆锥的侧面展开，会得到什么图形？想一想，试一试！3．如右图是一多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？【当堂训练】1．在下面的图形中，（）是正方体的表面展开图.2．下面的图形经过折叠不能围成一个长方体的是（）3．如图1–10所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________.5．如图是一个正方体的平面展开图，那么3号面相对的面是______号面；6．下面10个图形中哪些可以折成没有盖子的五个面的小方盒？请指明.程前你祝似锦。

1 5
4 1 2 4
6 1
2
2.(2012·广安中考)如图是一个正方体的表面展开图，则原正 方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是( )
(A)美
(B)丽
(C)广
(D)安
5.如图所示，在正方体的三个面上写上数1,2,3，而在展开图 中也分别写上了两个或一个指定的数，请你在展开图的其他面 上写上适当的数，使得相对的面上两数的和等于7.
下图是一些立体图形的展开图，用它们能 围成怎样的立体图形？
想一想、折一折
以下哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱?
⑴
⑵
⑶
⑷
拓展1：你有办法将图形（1）、（3）修改后使能折叠成棱柱?
拓展2：图形（2）、（4）是不同的平面图形，折叠出同 样的棱柱，从中你得到了什么启示？
把下面的正三角形沿虚线折叠后 的几何体是什么？
想一想：下列的图形都是正方体的展开图吗？
(1) (2) (3)
(√)
(4) (5)
(√)
(6)
(√)
(√)
(×)
(×)
1 2 3 4
1
2
3 4
(１)
1
(２)
想一想哪个正方 体中的小动物可 以吃到自己喜欢 的食物？为什么？ 1
2
3 4
2
3
4
(３)
(５)
考考你
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了
太 你 们 棒
体是否为圆锥.
2.（眉山·中考）下列四个图中是三棱锥的表面展开图的是（
）．
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】选B.可通过实际折叠四个展开图尝试获解．事实上，图形A是一个