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平面向量总复习题

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一、选择题1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：B2.当|a |＝|b |≠0且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等解析：∵（a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0，∴（a ＋b ）⊥（a －b ）． 答案：B3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a ，b 满足|a |＞|b |且a 与b 同向，则a ＞b ；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋| b |A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误； ②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误； ③两向量不能比较大小，故命题③错误； ④0与任意向量平行，故命题④错误； ⑤命题⑤正确. 答案：B4.下列四式中不能．．化简为的是（ ） A.)(BQ PA AB ++ B.)()(QC BA PC AB -++ C.+- D.-+解析：A 选项中，=+=+=+,B 选项中，AB AB BA AB -=+＝0，PQ CQ PC QC PC =+=-，PQ ＋0＝PQ C 选项中，QC QC CQ QC -=+＝0，－QP ＋0＝PQ ＋0＝PQ ．D 选项中，≠-=+,，（∵=+） 答案：D5.已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于（ ）A.0B.2＋2C.2D.22解析：∵AC BC AB =+，∴a ＋b ＝c ，∴a ＋b ＋c ＝2c ，∴|2c |＝22.答案：D6.如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确．．．A.=+B.++＝0C.=+D.=+答案：D7.已知a ，b 为非零向量，|a ＋b |＝|a －b |成立的充要条件是 A.a ∥b B.a ，b 有共同的起点 C.a 与b 的长度相等 D.a ⊥b解析：|a ＋b |＝|a －b |⇔|a ＋b |2＝| a －b |2⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a 2＋2a ·b ＋b 2⇔a 2－2 a ·b ＋b 2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b答案：D8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是①|a |2＝a 2；②ab a b a =⋅2；③（a ·b ）2＝a 2·b 2；④（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0A.①②③B.①④C.②④D.②⑤解析：②aba b a b a a b a ≠==⋅||cos ||||cos ||||22αα ③（a ·b ）2＝（| a ||b |cos α）2＝| a |2|b |2cos 2α，a 2·b 2＝| a |2·|b |2,∴(a ·b )2≠a 2·b 2⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b 且a ≠0，b ≠0. 答案：B9.若点P 分有向线段21P P 成定比为3∶1，则点P 1分有向线段P P2所成的比为A.－34B.－32 C.－21 D.－2334112-=PP P P ，则点P 1分有向线段P 2所成的比为－34.答案：A10.已知点A （x ，5）关于点C （1，y ）的对称点是B （－2，－3），则点P （x ，y ）到原点的距离是A.4B.13C.15D.17解析：由中点坐标公式可得y x =-=-235,122，解得x ＝4，y ＝1， 再由两点间距离公式得17142222=+=+y x .答案：D11.将点（a ，b ）按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到点的坐标为 A.（a －h ，b ＋k ） B.（a －h ，b －k ） C.（a ＋h ，b －k ） D.（a ＋h ，b ＋k ）解析：设平移后点的坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得⎩⎨⎧=-'=-'k b y h a x ，∴⎩⎨⎧+='+='kb y h a x答案：D12.点A （2，0），B （4，2），若|AB |＝2|AC |，则点C 坐标为 A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1） C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个解析：由题意|AB |＝222)24(22=+-，∴|AC |＝22||=AB . 故点C 分布在以点A 为圆心，半径为2的圆上，故点C 坐标有无数多个. 答案：D13.将曲线f （x ，y ）＝0按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到的曲线的方程为 A.f （x －h ，y ＋k ）＝0 B.f （x －h ，y －k ）＝0 C.f （x ＋h ，y －k ）＝0 D.f （x ＋h ，y ＋k ）＝0 解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得⎩⎨⎧=-'=-'ky y hx x ，∴⎩⎨⎧-'=-'=ky y h x x又f （x ，y ）＝0，∴f （x ′－h ，y ′－k ）＝0即f （x －h ，y －k ）为平移后曲线方程. 答案：B14.设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M （－1，2），则|PQ |等于（ ） A.42 B.25C.5D.210解析：由题意设P （x ，0），Q （0，y ），由中点坐标公式可得2x ＝－1，2y ＝2 解得x ＝－2，y ＝4，∴|PQ |＝52204)2(22==+-.答案：B15.下列命题中，正确的是 A.|a ·b |＝| a |·|b | B.若a ⊥（b －c ），则a ·b ＝a ·c C.a 2＞|a |D.a （b ·c ）＝（a ·b ）c解析：A ．a ·b ＝|a ||b |cos α，|a ·b |＝|a ||b ||cos α|≠| a ||b | B.若a ＝0，则a ·b ＝a ·c ，若b －c ＝0，即b ＝c ，a ·b ＝a ·c ； 若a ≠0，且b －c ≠0，由a ⊥（b －c ），得a ·（b －c ）＝0. ∴a ·b －a ·c ＝0，∴a ·b ＝a ·c ，故B 正确. C.若|a |＝0或1，则a 2＝|a |. D.向量的数量积不满足结合律. 答案：B16.函数y ＝4sin2x 的图象可以由y ＝4sin （2x －3π）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位解析：∵用x －6π替换掉函数y ＝4sin2x 中的x 可得y ＝4sin2（x －6π）＝4sin （2x －3π），故可将原函数图象向左平移6π个单位得到.答案：A17.已知m ，n 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：∵m ·n ＝|m ||n |cos60°＝21， ∴|a |＝7)(22=+n m ，|b |＝7)23(2=+-n m∴a ·b ＝（2 m ＋n ）（－3m ＋2 n ）＝－6 m 2＋2 n 2＋m ·n ＝－6＋2＋21＝－27∴cos α＝21||||-=⋅b a b a ，∴α＝120°答案：C18.将函数y ＝22x 的图象按a 平移后，函数解析式为y ＝1212-x －1，则a 等于（ ）A.（－2，1）B.（2，－1）C.（1，－1）D.（－1，1）解析：y ＝1212-x －1，即y ＋1＝)2(212-x∴用x －2，y ＋1分别替换了原函数解析式中的x ，y 即⎩⎨⎧=+'=-'y y x x 12，∴⎩⎨⎧-=-'=-'12y y x x 即⎩⎨⎧-==12k h∴a ＝（2，－1） 答案：B19.在直角三角形中，A 、B 为锐角，则sin A ·sin BA.有最大值21和最小值0 B.有最大值21，但无最小值C.既无最大值，也无最小值D.有最大值1，但无最小值解析：∵△ABC 为直角三角形，∴B ＝2π－A ∴sin A ·sin B ＝sin A ·sin （2π－A ）＝sin A ·cos A ＝21sin2A当A ＝B ＝4π时，有最大值21，但无最小值.答案：B20.α、β是锐角三角形的三个内角，则 A.cos α＞sin β且cos β＞sin α B.cos α＜sin β且cos β＜sin α C.cos α＞sin β且cos β＜sin α D.cos α＜sin β且cos β＞sin α解析：∵α、β是锐角三角形两内角，∴α＋β＞2π，∴2π＞α＞2π－β＞0， ∴sin α＞sin （2π－β）即sin α＞cos β，同理sin β＞cos α 答案：B21.在△ABC 中，sin A ＜sin B 是A ＜B 的 A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由正弦定理可得B b A a sin sin =，∴BAb a sin sin = 由sin A ＜sin B 可得a ＜b根据三角形小边对小角可得A ＜B ，反之由A ＜B 也可推得sin A ＜sin B 故sin A ＜sin B 是A ＜B 的充要条件. 答案：C22.在△ABC 中，tan A ·tan B ＞1，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定解析：∵tan A ·tan B ＞1＞0，又∵A 、B 不可能同时为钝角，∴tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan （A ＋B ）＝BA BA tan tan 1tan tan -⋅＜0，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴0°＜C ＜90°， ∴△ABC 为锐角三角形. 答案：A23.在△ABC 中，A 、B 、C 相应对边分别为a 、b 、c ，则a cos B ＋b cos A 等于 A.2cos C B.2sin C C.2ba + D.c解析：由正弦定理得：BbA a sin sin =＝2R 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B∴a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R cos A sin B ＝2R sin （A ＋B ）＝2R sin C ＝c 答案：D24.在△ABC 中，已知cos A ＝135，sin B ＝53，则cos C 等于 A.6516 B.6556 C.6516或6556D.－6516 解析：由sin B ＝53，得 cos B ＝±B 2sin 1-＝±54 但当cos B ＝－54，cos A ＋cos B ＜0，C 无解 ∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ） ＝－（cos A cos B －sin A sin B ） ＝sin A sin B －cos B cos A ＝1312·5453-·6516135=答案：A25.在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则A 的取值范围是（ ） A.90°＜A ＜180° B.45°＜A ＜90° C.60°＜A ＜90° D.0°＜A ＜90° 解析：∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＞0，∴cos A ＝bca cb 2222-+＞0，∴A ＜90°，又∵a 边最大，∴A 角最大∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A ＞180°， ∴A ＞60°，∴60°＜A ＜90° 答案：C26.已知点A 分的比为2，下列结论错误的是 A.B 分的比为－32 B.C 分的比为－3 C.A 分的比为2D.C 分的比为－31 解析：数形结合可得C 选项错误. 答案：C27.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为 A.23B.3C.23或3D.23或43解析：sin C ＝23230sin 32=︒， ∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30° ∴S △ABC ＝21AB ·AC ·sin A ＝23或3. 答案：C28.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 22A，则△ABC 是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析：∵sin B ·sin C ＝2cos 1A+ 又cos A ＝cos ［180°－（B ＋C ）］＝－cos （B ＋C ）＝－（cos B cos C －sin B sin C ） ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos （B －C ）＝1，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰三角形. 答案：A 二、解答题1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋k e 2，CB ＝e 1＋3 e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.分析：由于A 、B 、D 三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e 2，将AB 、BD 的e 1、e 2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k 的方程组，便可求得k 的值.解：＝－＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋k e 2＝λ（e 1－4e 2）于是可得⎩⎨⎧-==λλ42k ，解得k ＝－8.评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.2.已知a 、b 是两个非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值；（2）求证b ⊥（a ＋t b ）.分析：利用|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2进行转换，可讨论有关|a ＋t b |的最小值问题，若能算得b ·（a ＋t b ）＝0，则证明了b ⊥（a ＋t b ）.（1）解：设a 与b 的夹角为θ 则|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2 ＝a 2＋2a ·t b ＋t 2b 2＝|a |2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2|b |2 ＝|b |2t 2＋（2|a ||b |cos θ）t ＋|a |2＝|b |2（t ＋||||b a cos θ）2＋|a |2sin 2θ ∴当t ＝－||||b a cos θ＝－22||||cos ||||b ba b b a ⋅-=θ时，|a ＋t b |有最小值.（2）证明：b ·（a ＋t b ）＝b ·（a －2||b b a ⋅·b ）＝a ·b －2||b ba ⋅·b ·b ＝a ·b －a ·b ＝0 ∴b ⊥（a ＋t b ）.评述：对|a ＋t b |变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.3.如图所示，OADB 是以向量＝a ，＝b 为边的平行四边形，又BM ＝31BC ，CN ＝31CD ，试用a ，b 表示MN ON OM ,,.解：-=＝a －b∵616131===BM （a －b ） ∴+==b +61（a －b ）＝61a ＋65b又由＝a ＋b ，得32326121==+=a ＋32b 32(=-=OM a ＋32b ）－（61a ＋65b ）＝21a －61b评述：由于a ，b 不共线，因此a ，b 构成平行四边形OADB 所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a ，b 表示的向量连同a ，b 设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.4.已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足2222||||||||CA OB BC OA +=+2||OC =2||+．求证：O 点是△ABC 的垂心证明：设＝a ，＝b ，＝c ，则＝c －b ，＝a －c ，＝b －a . ∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2 ∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b －a ）2 即c ·b ＝a ·c ＝b ·a ，故·＝（b －a ）·c ＝b ·c －a ·c ＝0 ·＝（c －b ）·a ＝c ·a －b ·a ＝0 ∴⊥，⊥， ∴点O 是△ABC 的垂心.5.如图所示，圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点，求证：2=+++. 证明：设M 、N 分别为圆O 的两弦AB 、CD 的中点，连OM 、ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD .∵2,2=+=+ 而AB ⊥CD ，∴四边形MPNO 为矩形 ∴=+，∴2=+++6.已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标.解：设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅BC AD //0 ∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边，且2(sin A －sin B )，sin A －sin C ，2（sin B －sin C ）成等比数列.求证：2b ＝a ＋c .证明：要证2b ＝a ＋c ，由正弦定理只要证： sin B －sin A ＝sin C －sin B 即可： 由已知可得：（sin A －sin C ）2－4（sin A －sin B ） （sin B －sin C ）＝0，且sin A ≠sin B ，构造方程：（sin A －sin B ）x 2－（sin A －sin C ）x ＋（sin B －sin C ）＝0，且x ＝1是方程的根 Δ＝（sin A －sin C ）2－4（sin A －sin B ）·（sin B －sin C ）＝0，∴方程有两相等实根由韦达定理可知：BA CB sin sin sin sin --＝1∴sin B －sin C ＝sin A －sin B ，故结论得证.8.设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且＝4i ＋2j ，＝3i ＋4j ，证明△ABC 是直角三角形，并求它的面积.解：-=＝（3i ＋4j ）－（4i ＋2j ）＝－i ＋2j 又i ⊥j ，∴i ·j ＝0∵AB ·BC ＝（4i ＋2j ）（－i ＋2j ）＝－4i 2＋6i ·j ＋4j 2＝0，∴AB ⊥BC ∴△ABC 是直角三角形， ∴S ＝21|·||＝21×25×5＝5 9.已知△ABC 中三内角满足A ＋C ＝2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值.解：由A ＋C ＝2B ，可得B ＝60°，A ＋C ＝120° 设2C A -＝α，则A －C ＝2α， ∴A ＝60°＋α，C ＝60°－α， ∴)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-︒++︒=+C A Bcos 243cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211222-=-=-=++-=ααααααααα 将B =60°代入得2243cos cos 2-=-αα∴22cos 2α＋cos α－223＝0 ∴（2cos α－2）（22cos α＋3）＝0∴22cos α＋3＞0∴cos α＝22 即cos 222=-C A 10.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：CB A c b a sin )sin(222-=- 证明：∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，CB c b sin sin =，C ＝π－（A ＋B ） ∴CA B A c b c b a sin cos sin 21cos 21222-=-=- C B A C A B B A C A B B A C A B C sin )sin(sin cos sin cos sin sin cos sin 2)sin(sin cos sin 2sin -=-=-+=-=故原等式成立.11.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c 为最大边，若ac cos A ＋bc cos B ＜4S ，其中S 为△ABC 的面积.求证：△ABC 为锐角三角形.证明：由余弦定理及三角形面积公式ac cos A ＋bc cos B ＜4S即ac ·bc a c b 2222-+＋bc ·acb c a 2222-+＜2ab sin C ＜2ac ∴a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＜4a 2b 2即（a 2＋b 2）c 2＜a 4＋2a 2·b 2＋b 4＝（a 2＋b 2）2，∴c 2＜a 2＋b 2，∵cos C ＝abc b a 2222-+＞0，∴C 为锐角 又c 为最大边，故C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形.12.在△ABC 中，sin A ＝CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 解：由正弦定理、余弦定理可得：abc b a ca b a c c b a 22222222-++-++= ∴bc b a c b a c 22222222-++-+＝b ＋c ∴b （a 2－b 2）＋c （a 2－c 2）＝bc （b ＋c ）∴（b ＋c ）a 2＝（b 3＋c 3）＋bc （b ＋c ），∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形.。

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高中数学 平面向量复习题及答案

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向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A 、AB 与AC 共线 B 、DE 与CB 共线C 、1sin AD θ-与AE 相等 D 、AD 与BD 相等2、下列命题正确的是（ ）A 、向量AB 与BA 是两平行向量 B 、若a 、b 都是单位向量,则a =bC 、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3、在下列结论中，正确的结论为（ ）(1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件；(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件；(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件；(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4)4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。

5、已知|AB |=1，|AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= 。

6、在四边形ABCD 中, AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 。

7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM 。

8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。

(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m )。

(2)求DA 的模。

T ={PQ 、9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。

(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题

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1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》知识点总复习附答案

高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》知识点总复习附答案

新高考数学《平面向量》练习题一、选择题 1．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α=D ．||a b -r r 1 【答案】B【解析】【分析】 根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.【详解】A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，若()f a b α=⋅r r 取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，||a b -==r r 的最大值为1=，选项D 正确.故选：B .【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.2．已知向量,a b r r 满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得cos ,a b 〈〉=r r 可求得向量a r 与b r 的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||a =r ||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r ，解得12a b ⋅=-r r，所以cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r r r r r r 又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为56π. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．3．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可.【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r,因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r ，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )ABCD【答案】D【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，知O 为ABC ∆的重心， 所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ， 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r 2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.5．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（） A ．4B ．6C ．23D ．43 【答案】B【解析】【分析】 根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．6．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是（ ）A ．1116B ．78C ．158D ．31516【答案】B【解析】【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r ，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.【详解】 设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r ，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部， 由|3|2b a -≤r r ，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r r 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min 4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯r r .故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．0B ．1C 2D ．2 【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r ，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r ，()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】【分析】 根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λ＋μ的值为（ ）A．65B．85C．2D．83【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DBu u u r u u u r u u u r，利用(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DBλμ=+u u u r u u u r u u u rQ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.10．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，3AE EO=u u u v u u u v，则•EC EDu u u v u u u v的值是（）A．45-B．1516-C．14-D．58-【答案】B【解析】【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】 ()()()()•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ,选B. 【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 【答案】C【解析】【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.12．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．13．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，则λ=（ ）A ．14B ．14-C ．13D ．13- 【答案】B【解析】【分析】 由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，32BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出． 【详解】13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-， 故选B.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v . 所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．15．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC=u u u v u u u v （ ） A ．1B ．22C ．32D ．62【答案】C【解析】【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v 可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222 222C Ccos2C2C cos112C+22232C2AB BC CA A BAB BC B A CA B CBC A BCA BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuvuu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u vuu u v uu u v（）所以32ABBC=uu u vuu u v．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．16．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A．333-+B．333+C31D31+【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，求出D点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】解：1AC=Q，3AB=30ABC∴∠=︒，60ACB∠=︒，以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则13,12D⎛+⎝⎭．)3,0AB=u u u r，()0,1AC=uu u r，∴13,12AD⎛=+⎝⎭u u u r．∴1 323 12λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴331λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．17．已知平面直角坐标系xOy中有一凸四边形ABCD，且AB不平行于,CD AD不平行于BC．设AD中点(,),E a b BC中点(,)F b a-，且222a b+=，求||||AB DC+u u u r u u u r的取值范围（）A．(4,)+∞B．[4,)+∞C．(0,4)D．(2,4)【答案】A【解析】【分析】根据AD中点(,),E a b BC中点(,)F b a-，通过向量运算得到2EF AB DC=+u u u r u u u r u u u r，从而有2AB DC EF+=u u u r u u u r u u u r，用两点间距离公式得到EFu u u r，再根据AB不平行于CD，由||||AB D AB DCC++>u u u r u u u r u u u r u u u r求解.【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2EF AB DC=+u u u r u u u r u u u r，又因为()()()222222EF a b b a a b=-++=+=u u u r，所以24AB DC EF+==u u u r u u，因为AB不平行于CD，所以||||AB D AB DCC++>u u u r u u u r u u u r u u u r，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (,AM x ∴=+u u u u r(1E x M -=--u u u r()1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.19．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.20．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C【解析】【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.。

平面向量知识点+例题+练习+答案

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。