二元线性回归模型及参数估计

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二元线性回归模型及参数估计

要估计二元线性回归模型 Yi = β0 + β1X1i + β2 X 2i + µi 中的常用的方法仍然是普通最小二乘法参数 β 0 、 β 1 、 β 2 ，常用的方法仍然是普通最小二乘法常用的方法仍然是普通最小二乘法。
i=1 设根据给定一组样本数据（ Y i， X 1i， X 2i），，2 ，…， n ，设根据给定一组样本数据采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为
ˆ 差（即 ∆X j = SXj），则被解释变量 Y 变化β ∗ 个标准差（即 j
ˆ ∆Y = β ∗ SY ）。 j
ˆ∗ ˆ∗ β1 =1.02， β2 = 0.24，则表示：解释变量 X1 变化 1 个例如
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
1．偏回归系数的估计．
对于二元线性回归模型：
Yi = β 0 + β1X1i + β 2 X 2i + µi ， i=1， 2， … ， n
其中的参数 β 0 、 β 1 、 β 2 称为偏回归系数。
，
所谓偏回归系数，所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前偏回归系数的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值，变量变化一个单位而使被解释变量平均改变的数值，即某一平均改变的数值解释变量对被解释变量Y的影响程度。解释变量对被解释变量的影响程度。的影响程度

线性回归模型如何评估自变量对因变量的影响力度？

线性回归模型是统计学中用于分析预测变量（自变量）和响应变量（因变量）之间线性关系的一种方法。

它是预测分析和因果推断中应用最广泛的技术之一。

在这篇文章中，我们将探讨线性回归模型如何评估自变量对因变量的影响力度，并将讨论分为三个部分。

线性回归模型的基本原理与参数估计线性回归模型以简单直观的方式量化自变量和因变量之间的关系。

在最基本的单变量线性回归中，模型预设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，其数学表达式通常写作 Y = β0 + β1X + ε，其中，β0是截距项，β1是斜率系数，ε代表误差项。

模型的核心目标是估计这些参数，以便准确描述这两个变量之间的线性关系。

使用最小二乘法是线性回归中最普遍的参数估计方法。

它通过最小化实际观测值和回归直线之间距离的平方和来寻找合适的β0和β1。

结果得到的参数估计值能够提供每个自变量单位变化时因变量变动的平均量。

回归系数β1是衡量自变量对因变量影响力度的直接指标。

如果β1的估计值为正，表明自变量增加会导致因变量增加；如果为负，则表示自变量的增加会导致因变量减少。

β1的绝对值大小反映了自变量对因变量的影响强度。

为了确保参数估计的准确性，回归分析要满足几个关键假设，如线性关系、独立性、同方差性和误差项的正态性。

这些假设保证了模型参数估计的无偏性和最小方差性，是评估自变量影响力度的基础。

统计检验与回归系数的显著性评估回归参数的具体影响力度还需要进行统计检验。

这一过程能帮助我们判断自变量的影响是否具有统计学上的显著性，以及模型对数据拟合的好坏。

统计检验大多依赖于构建一个假设检验框架，包括零假设（通常为自变量系数等于零，即没有影响）和备择假设（自变量系数不等于零，即有实际影响）。

t检验被广泛应用于单个回归系数的显著性检验。

通过计算t 统计量及相应的p值，我们能够决定是否拒绝零假设。

若p值低于事先选择的显著性水平（例如0.05），则认为自变量对因变量的影响是显著的。

对于模型的整体评估，F检验提供了一种方法，用以判断模型中自变量对预测因变量是否整体上有显著的解释能力。

多元线性回归模型参数的最小二乘估计

x
2 ki
yi
x1i
yi
X
Y
xki yi
ˆ0
ˆ1
ˆ
ˆ k
于是正规方程组的矩阵形式为
( X X )ˆ X Y
（3.2.5）
于是有 ˆ ( X X )1 X Y （3.2.6）
二、中心化模型的参数最小二乘估计我们已经知道，总体线性回归模型可以表示为
yi 0 1 x1i 2 x2i k xki ui （3.2.7）
u1
U
u2
un
残差平方和
1
2
n
2 i
(Y
Xˆ )(Y
Xˆ )
YY 2ˆ X Y ˆ X Xˆ
其中用到 Y Xˆ 是标量的性质。
（3.2.15）
将残差平方和（3.2.15）对 ˆ 求导，并令其为零：
( ˆ
)
2 X
Y
2 X
Xˆ
0
整理得正规方程组
X Xˆ X Y
（3.2.16）
这里 =0，可以看作是对参数施加一个限制条件。
其中心化模型
yi 1 x1i 2 x2i k xki ui （3.2.11）
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki i （3.2.12）
（i =1,2,…，n）
将它们写成矩阵形式：
Y X U
（3.2.13）
Y Xˆ
ˆ0 xki ˆ1 x1i xki ˆ2 x2i xki ˆk xk2i xki yi
由（3.2.3）第一个方程，可以得到：
y ˆ0 ˆ1 x1 ˆ2 x2 ˆk xk
（3.2.4）
将正规方程组写成矩阵形式：
n x1i xki

计量经济学-多元线性回归模型

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标，评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与诊断

多元线性回归模型参数估计

多元线性回归模型参数估计Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是待求的模型参数，ε是偏差项。

参数估计的目标是找到具有最小残差平方和（RSS）的模型参数。

残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差平方和则是所有观测值的残差平方的和。

对于参数估计，常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法的思想是最小化残差平方和以找到最佳的模型参数。

最小二乘法的步骤如下：1.假设自变量X和因变量Y之间存在线性关系。

2. 对每一个自变量Xj（j = 1, 2, ... , n），计算Xj的均值（记作xj_mean）和标准差（记作xj_std）。

3. 对每一个自变量Xj，将Xj进行标准化处理（Z-score标准化），即将Xj减去其均值后除以其标准差。

4. 根据标准化的自变量Xj，计算其相关系数（记作rj）与因变量Y 的相关系数（记作ry）。

相关系数表示两个变量之间的线性关系的强度和方向。

相关系数的取值范围为-1到1，接近-1表示负相关，接近1表示正相关，接近0表示无相关。

5. 对每个自变量Xj，计算其回归系数（记作bj）等于ry乘以xj_std除以rj。

6. 计算截距项（记作b0）等于Y的均值减去所有回归系数bj与自变量Xj的均值相乘的和。

7.得到完整的多元线性回归模型。

在进行参数估计时，需要注意以下几点：1.数据的准备：确保数据符合多元线性回归模型的假设，包括自变量与因变量的线性关系、多重共线性等。

2.异常值的处理：需要检测和处理可能存在的异常值，以避免对参数估计的干扰。

3.模型的评估：通过评估模型的适应度指标（如决定系数R^2、调整决定系数等）来判断模型的拟合优度，并对模型进行修正。

4.参数的解释：对于得到的参数估计结果，需要解释其含义和影响，以便进行预测和决策。

总之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小二乘法等方法来找到最佳的模型参数，以拟合数据并进行预测。

多元线性回归模型的参数估计

加权最小二乘法（WLS）
在最小二乘法基础上，对不同的观测值赋予不同的权重，以调整其对回归参数估计的影响。
广义最小二乘法（GLS）
考虑自变量之间的相关性，通过转换自变量和因变量来消除自变量之间的多重共线性影响。
03
参数估计的方法
普通最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差平方和来估计参数。在多元线性回归模型中，普通最小二乘法通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
模型选择
选择多元线性回归模型作为预测模型，以商品价格和用户评价作为自变量，销量作为因变量。
参数估计
使用最小二乘法进行参数估计，通过最小化误差平方和来求解回归系数。
模型检验
对模型进行假设检验，确保满足线性回归的前提假设。
结果解释与模型评估
结果解释
根据回归系数的大小和符号，解释各自变量对因变量的影响程度和方向。
05
参数估计的实例分析
数据来源与预处理
数据来源
数据来源于某大型电商平台的销售数据，包括商品价格、销量、用户评价等。
数据清洗
对原始数据进行清洗，去除异常值、缺失值和重复值，确保数据质量。
数据转换
对连续变量进行离散化处理，对分类变量进行独热编码，以便进行回归分析。
模型建立与参数估计
01
02
03
THANKS
感谢观看
04
参数估计的步骤
确定模型形式
确定自变量和因变
量
首先需要确定回归模型中的自变量和因变量，通常因变量是研究的响应变量，自变量是对响应变量有影响的预测变量。
确定模型的形式
根据自变量和因变量的关系，选择合适的回归模型形式，如线性回归、多项式回归等。

多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性_OK

R2 1 SSE n k 1 SST n 1
其中n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总离差平方和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平方和的减少没有多大帮助，却增加待估参数的个数，从而使 R有2 较大幅度的下降。
20
2.修正判定系数的R 计算
R2 1 (1 R2 ) n 1 n k 1
系数，选择那些与预测对象相关程度高者作为自变量。
30
三、逐个剔除法（后退法）
首先将与预测对象有关的全部因素引入方程，建立模型，然后依据每个回归系数的t值大小，逐个剔除那些不显著的变量，直到模型中包含的变量都是影响预测对象的显著因素为止。
注意：
（1）当不显著的变量较多时，不能同时剔除，要从最小的那个系数所对应的变量开始逐一删除。
1
X0(X
T
X
)1
X
T 0
其中， tα 是自由度为年n-k-1的t分布临界值。
29
2.4 解释变量的选择
一、因素分析因素分析是一种定性分析。它是预测时选择自
变量的第一步。凭借对预测对象的熟悉、了解，分析找到影响预测对象的所有因素，从中选择。
二、简单相关分析分别计算预测对象与各影响因素的简单相关
xik xi1 ˆk
xi2k
i 1
xik yi
i 1
其矩阵形式为
X T XBˆ X TY
解得
Bˆ ( X T X )1 X T Y
8
所以多元线性回归方程的矩阵形式为
Yˆ XBˆ X ( X T X )1 X T Y
一元回归的参数估计是多元回归参数估计的特例。
9
n
Q ei2 min i 1 (Y XB)'(Y XB) (Y 'B' X ')(Y XB) Y 'Y Y ' XB B' X 'Y B' X ' XB

3多元线性回归模型参数估计

3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种回归分析方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系模型。

多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn+ε其中，Y表示因变量，X1,X2,…,Xn表示自变量，β0,β1,β2,…,βn表示模型参数，ε表示误差项。

多元线性回归模型的目标是估计出模型参数β0,β1,β2,…,βn，使得实际观测值与模型预测值之间的误差最小化。

参数估计的方法有很多，下面介绍两种常用的方法：最小二乘法和梯度下降法。

1. 最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）：最小二乘法是最常用的多元线性回归参数估计方法。

它的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。

首先，我们定义残差为每个观测值的实际值与模型预测值之间的差异：εi = Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni)其中，εi表示第i个观测值的残差，Yi表示第i个观测值的实际值，X1i, X2i, …, Xni表示第i个观测值的自变量，β0, β1, β2, …,βn表示参数估计值。

然后，我们定义残差平方和为所有观测值的残差平方的总和：RSS = ∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2我们的目标是找到一组参数估计值β0,β1,β2,…,βn，使得残差平方和最小化。

最小二乘法通过数学推导和求导等方法，可以得到参数估计值的解析解。

2. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种迭代优化算法，可以用于估计多元线性回归模型的参数。

它的基本思想是通过迭代调整参数的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。

首先，我们定义目标函数为残差平方和：J(β) = 1/2m∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2其中，m表示样本数量。

2第二节回归模型的参数估计

（2）输入统计资料：在EViews软件的命令窗口键入数据输入/编辑命令： DATA Y X 将显示一个数组窗口，此时可以按全屏幕编辑方式输入每个变量的统计资料；（3）估计回归模型参数：在数组窗口中点击Procs\Make Equation。在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键入LS命令来估计模型。命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量
（1）建立工作文件：）建立工作文件：
先启动EViews软件（单击“开始”按钮→ 程序” 先启动EViews软件（单击“开始”按钮→“程序” → EViews软件 3” 单击“ 3.1”) ,出现Eviews软件出现Eviews “Eviews 3 →单击“Eviews 3.1 ) ,出现Eviews软件窗口,如下图所示: 窗口,如下图所示:
时间频率年度半年季度月度起始期周日非时序数据终止期
图 2-3 工作文件对话框
选择时间频率为Annual（年度数据）选择时间频率为Annual（年度数据），再分别点 Annual 击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85 98。 85和击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85和98。然后点击OK 将在EViews OK， EViews软件的主显示窗口显示然后点击OK，将在EViews软件的主显示窗口显示相应的工作文件窗口。相应的工作文件窗口。
（ 3 ）一致性：这是估计量的一个大样本性质，如果随着一致性：这是估计量的一个大样本性质， ˆ 样本容量的增加，越来越接近于真值，样本容量的增加，估计量 β 越来越接近于真值，则称 ˆ 的一致估计。严格地说，是依概率收敛于β, β,即 β为β的一致估计。严格地说，ˆ是依概率收敛于β,即： β
在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键 EViews软件的命令窗口中，软件的命令窗口中 LS命令来估计模型命令格式为：命令来估计模型。入LS命令来估计模型。命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量其中，表示常数项；例如：其中，C表示常数项；例如： LS Y C X

多元线性回归模型的参数估计

n (2)
n 2

1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
e

x x x ))2 ( yi ( 0 1 1i 2 2i k ki

1
n (2)
n 2
1
e
2
)(Y X) 2 (Y X

• 对数或然函数为
* L L nL ()
1 ' n L n (2 ) ( Y X )( Y X ) 2 2
1 T E ( NN ) E n
1

12 n E n 1
1 n n2
2 0

0 2I 2
标量符号 4、（为了假设检验），随机扰动项服从正态分布
i ~ N(0, 2 )
i 1,2,, n
矩阵符号 4、向量 N 为一多维正态分布，即
N ~ N(0, 2 I )
二、多元线性回归模型的参数估计
1、普通最小二乘估计
• 普通最小二乘估计
随机抽取被解释变量和解释变量的 n 组样本观测值：
且x的秩1??kx?此时xxt也是满秩的标量符号2随机误差项具有零均值同方差及不序列相关0?ie?ni21??22?????iievarni21??0??jijiecov????ji?矩阵符号2innenet20???011???????????????????????nneeene?????????????????????????????nntenne??????11???????????21121nnne???????????i22200????????????????????标量符号3解释变量与随机项不相关0?ijixcov?ni21??矩阵符号30?nxet即011????????????????????????????????????ikiiiiikiiiiexexexxe????????标量符号4为了假设检验随机扰动项服从正态分布02??nini21??矩阵符号4向量n为一多维正态分布即02inn?二多元线性回归模型的参数估计11普通最小二乘估计?普通最小二乘估计随机抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值

第三章多元线性回归模型的参数估计

第三章多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计是指通过给定的数据样本，使用其中一种方法来计算出回归模型的参数值。

在多元线性回归模型中，我们有多个自变量与一个因变量之间的关系，因此需要估计出每个自变量的系数。

参数估计是回归模型的核心内容之一，它能够通过对样本数据的分析和处理，得到模型中的参数值，从而建立起模型与实际数据之间的映射关系。

常用的多元线性回归模型的参数估计方法有最小二乘法和最大似然估计法。

最小二乘法是一种最常用的参数估计方法。

它的基本思想是通过最小化因变量的观测值与模型预测值之间的平方误差，来确定模型参数的最佳估计值。

最小二乘法的优点是数学上简单且易于计算，但对于异常值的敏感性较强。

最大似然估计法是另一种常用的参数估计方法。

它的基本思想是找到最能使观测数据发生的概率最大的模型参数，从而得到最优的参数估计值。

最大似然估计法具有较好的统计性质，但它的计算复杂度较高，需要对似然函数进行极大化求解。

在实际应用中，我们需要根据实际情况选择合适的参数估计方法。

通常情况下，最小二乘法是首选的方法，因为它具有简单和直观的优点，适用于大多数情况。

但当样本数据存在异常值或者数据分布不符合正态分布假设时，最大似然估计法可能是更好的选择。

无论是最小二乘法还是最大似然估计法，其核心问题都是通过最优化方法找到使得模型和观测数据之间的误差最小的参数值。

这一过程需要使用数学工具和计算方法进行求解，可以使用迭代算法，如牛顿法或梯度下降法，来逐步逼近最优解。

参数估计的结果可以告诉我们每个自变量对因变量的贡献程度。

因此，一个良好的参数估计能够帮助我们更好地理解数据，预测因变量，以及识别自变量之间是否存在相互影响。

总而言之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小化模型与观测数据之间的误差，找到最佳的模型参数值的过程。

合理选择参数估计方法，并进行有效的数学计算，能够为我们提供有关数据和模型之间的重要信息，并为进一步的分析和应用提供基础。

多元线性回归模型参数估计

对对数似然函数求极大值，也就是对：
YXˆ YXˆ
求极小值。因此，参数的最大似然估计为：
ˆ XX1XY
结果与参数的普通最小二乘估计相同。
3、矩估计（Moment Method, MM）
用每个解释变量分别乘以模型的两边，并对
所有样本点求和，即得到：
前期消费：CONSP(-1)
对对数似然函数求极大值，也就是对：
Yi Yi X1i Yi X2i
(ˆ0 ˆ1X1i ˆ2X2i ˆkXki)Xki Yi Xki
解得 (k 1 )个方程组成的线性代数方程组 ,即可得到
(k 1 )个待估参数的估计值 ˆj,j 0 ,1 ,2 , ,k
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1iX1ˆiˆ22i XXˆ222iiX2 i ˆˆkkXXˆkkkii))XXXk12i)ii
Co (Xvji,i)0 j1,2,k
假设4，随机误差项满足正态分布
i ~N(0,2)
假设5，解释变量之间不存在严格的线性关系，即不存在完全共线性。
上述假设的矩阵符号表示式：
假设2，
1 E(1)
E
E()E 1
n
nE12
n1
var(1)
cov(n,1)
cov(1,n)2 var(n) 0
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Y ˆ i ˆ 0 ˆ 1 X 1 i ˆ 2 X 2 i ˆ k X k i ( i 1 , . . . , n )
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
ˆ 0
Q
0
ˆ 1
Q
0
ˆ 2
Q
0

计量经济学试题及答案

计量经济学试题及答案1.计量经济学模型：揭示经济现象中客观存在的因果关系，主要采用回归分析方法的经济数学模型。

2.参数估计的无偏性：它的均值或期望值是否等于总体的真实值。

3.参数估计量的有效性：它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

估计量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越差；否则越好，越有效。

不同的估计量具有不同的方差，方差最小说明最有效。

4.序列相关：即模型的随即干扰项违背了相互独立的基本假设。

5.工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代与随即干扰项相关的随机解释变量。

6.结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经济学方程系统。

7．内生变量：具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。

内生变量一般都是经济变量。

8.异方差：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。

9. 回归分析：研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论。

其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前者的（总体）均值。

前一变量称为被解释变量或应变量，后一变量称为解释变量或自变量。

1．下列不属于．．．线性回归模型经典假设的条件是（ A ）A．被解释变量确定性变量，不是随机变量。

B．随机扰动项服从均值为0，方差恒定，且协方差为0。

C．随机扰动项服从正态分布。

D．解释变量之间不存在多重共线性。

2．参数β的估计量β?具备有效性是指（ B ）A ．0)?(=βVar B ．)?(βVar 为最小 C ．0)?(=-ββED ． )?(ββ-E 为最小3．设Q 为居民的猪肉需求量，I 为居民收入，PP 为猪肉价格，PB 为牛肉价格，且牛肉和猪肉是替代商品，则建立如下的计量经济学模型：iB i P i i t P P I Q μαααα++++=3210 根据理论预期，上述计量经济学模型中的估计参数1?α、2?α和3?α应该是（ C ）A ．1?α<0，2?α<0，0?3>αB ．1?α<0，2?α>0，0?3<αC ．1?α>0，2?α<0，0?3>αD ．1?α>0，2?α>0，0?3<α4．利用OLS 估计模型i i i X Y μαα++=10求得的样本回归线，下列哪些结论是不正确的（ D ）A ．样本回归线通过（Y X ,）点B ．∑i μ?=0C ．YY ?= D ．ii X Y 10??αα+=5．用一组有20个观测值的样本估计模型i i i X Y μββ++=10后，在的显著性水平下对1?β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于零的条件是t 统计量绝对值大于（ D ）A. (20)B. (20)C. (18)D. (18)6．对模型i i i i X X Y μβββ+++=22110进行总体线性显著性检验的原假设是（ C ）A ．0210===βββB ．0=j β，其中2,1,0=jC ．021==ββD ．0=j β，其中2,1=j7.对于如下的回归模型i i i X Y μαα++=ln ln 10中，参数1α的含义是（ D ）A ．X 的相对变化,引起Y 的期望值的绝对变化量B ．Y 关于X 的边际变化率C ．X 的绝对量发生一定变动时,引起Y 的相对变化率D ．Y 关于X 的弹性 8.如果回归模型为背了无序列相关的假定，则OLS 估计量（ A ）A ．无偏的，非有效的B ．有偏的，非有效的C ．无偏的，有效的D ．有偏的，有效的9. 下列检验方法中，不能用来检验异方差的是（ D ）A．格里瑟检验B．戈德菲尔德-匡特检验C．怀特检验D．杜宾-沃森检验10．在对多元线性回归模型进行检验时，发现各参数估计量的t 检验值都很低，但模型的拟合优度很高且F检验显著，这说明模型很可能存在（ C ）A．方差非齐性B．序列相关性C．多重共线性D．模型设定误差11.包含截距项的回归模型中包含一个定性变量，且这个定性变量有3种特征，则，如果我们在回归模型中纳入3个虚拟变量将会导致模型出现（ A ）A．序列相关B．异方差C．完全共线性D．随机解释变量12.下列条件中，哪条不是有效的工具变量需要满足的条件（ B ）A．与随机解释变量高度相关B．与被解释变量高度相关C．与其它解释变量之间不存D．与随机误差项不同期相关在多重共线性13．当模型中存在随机解释变量时，OLS估计参数仍然是无偏的要求（ A ）A．随机解释变量与随机误差项独立B．随机解释变量与随机误差项同期不相关，而异期相关C．随机解释变量与随机误差项同期相关D．不论哪种情况，OLS 估计量都是有偏的14．在分布滞后模型t t t t X X Y μβββ+++=-1210中，解释变量对被解释变量的长期影响乘数为（ C ）A. 1βB. 2βC. 21ββ+D ．210βββ++15．在联立方程模型中，外生变量共有多少个（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 41．普通最小二乘法确定一元线性回归模型i i i e X Y ++=10??ββ的参数0?β和1?β的准则是使（ B ）A ．∑ei 最小B ．∑e i2最小C ．∑e i 最大D ．∑e i2最大2、普通最小二乘法(OLS)要求模型误差项i μ满足某些基本假定。

多元线性回归预测法

xi2 yi ˆ4
xi3 yi
(4-33) (4-34)
第二步，根据回归模型旳自由度n-p和给定旳明显性水平值
查有关系数临界表，得 R n p 值
第三步，判断。若 R R n p ，表白变量之间线性有关明显，
检验经过，这时回归模型可用来进行预测。若
，
表白R变量R之n间线p性有关关系不明显，检验通但是，这时旳回归
二元线性回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2 xi2 , ( p 2)
此时
Bˆ
ˆ0 ˆ1
,
ˆ2
X
1
1
1
x11 x21
xn1
x12
x22
xn
2
得出 ˆ0, ˆ1, ˆ2 旳计算公式如下：
A X'X
n
n
i 1 n
xi1
i1
xi 2
n
xi1
i 1 n
xi21
第三步，判断。若F F p, n p 1 ，则以为回归方
程有明显意义，也就是p1=p2=…=pp=0不成立；反之，则以为回归方程不明显.
F统计量与可决系数，有关系数有下列关系：
F
R2 1 R2
•
n p p 1
(4-39)
R
p 1F n p p 1F
(4-40)
4. 回归系数旳明显性检验——t检验
随机误差项相互独立旳假设不能成立，回归模型存在有关。
在实际预测中，产生自有关旳原因可能是：
（i）忽视了某些主要旳影响要素。（ii）错误地选用了回归模型旳数学形式。
（iii）随机误差项 i 本身确实是有关旳。
合适旳补救方法是：
（i）把略去旳主要影响原因引入回归模型中来。（ii）重新选择合适旳回归模型形式。（iii）增长样本容量，变化数据旳精确性。

第四讲_(计量经济学第二章)

^ − ^ − ^ − β0 = Y − β1 X1 − β2 X2 ^ ( ∑ yi x1i )∑ x22i −( ∑ yi x2i )∑ x1i x2i 2 2 2 β1 = ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i ) ^ ( y x ) x2 −( y x ) x x β 2 = ∑ i 2i 2∑ 1i 2 ∑ i 1i ∑2 1i 2i ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i )
∑x1i x2i )x2i ]Y
= ∑k1iYi
∑ x12i −( ∑ yi x1i )∑ x1i x2i β2 = ∑ x2 x2 −( ∑ x x )2 1i 2 i 1i ∑ 2 i 2 ∑[(∑ x1i ) x2 i yi ]−∑[(∑ x1i x2 i ) x1i yi ] = 2 2 2 ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i ) 2 [(∑ x1i ) x2 i −( ∑ x1i x2 i ) x1i ] = ∑{ ∑ x2 x2 −( ∑ x x )2 yi } 1i 2 i 1i ∑ 2 i
二元线性回归模型参数的普通最小二乘估计。
1、将解简化：、将解简化：
β1 =
=
∑[(
^
( ∑ yi x1i )
∑ ∑x1i x2i 2 2 2 ∑ x1i ∑x2i −( ∑ x1i x2i )
2 x2i −( ∑ yi x2i )
∑
2 x2i )x1i yi ]−∑[(
∑
(
x1i x2i )x2i yi ]
α
2
1 − α p{| T1 |< t } = 1 − α
^ ^
^ ^ 2 1 2 1
得置信区间：得置信区间： ( β 1 − t α × S β , β 1 + t α × S β )

二元线性回归模型和参数估计

ˆ0 Y ˆ1X1 ˆ2 X 2
ˆ1
(
y
i
x
1i
)(
x2
2i
)
(
y
i
x
2i
)(
x
1i
x
2i
)
(
x2
1i
)(
x2
2i
)
(
x
1i
x
2i
)2
ˆ2
(
yi x2i )( x12i ) ( yi x1i )( x1i x2i ) ( x12i )( x22i ) ( x1i x2i )2
其中， xi Xi X， yi Yi Y ， X
设根据给定一组样本数据（ Yi，X1i，X2i），i=1，2，…， n ，采用一般最小二乘法估计得到旳样本回归模型为
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2X2i ei ，则参数估计量 ˆ 0 、 ˆ1 、ˆ 2 应
该使残差平方和
n
ei2
n (Yi
Yˆi )2
n (Yi
ˆ0 ˆ1X1i
ˆ2i X 2i )2
i1 i1
i 1
到达最小。
根据极值存在旳必要条件，应该有
ei2
ˆ0
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i ) 0
ei2
ˆ1
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X1i
0
ei2
ˆ2
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X 2i
0
用
ˆ
j
表示
Beta
系数，则
ˆ
j
ˆ j
S Xj SY

计量经济学多元线性回归模型及参数估计

-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
V
ar
Cov( N
)
E
N
E(N
)N
E(
N
)
E(
NN
)
1
E
n2 1
2
12
n
E
2 1
n1
12 22
n2
1n
2n
n2
2
0
0
0
2
0
2
I
0
0
2
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
E(X
N )
E
1 X 11
ei 0 X i1ei 0 X i2ei 0
X ik ei 0
(*) (*)或（**）是多元线性回归模型正
(**) 规方程组的另一种写法。
离差形式的样本回归方程
由于
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik
[Yi (ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik )] 0
????eemm??所以有???eem??mnnee???ee?????????????????????????????????????????????nnnnnnnnmmmmmmmmme??????????????2121222211121121????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????21221122221121221111因为xxxxim?????1为对称等幂矩阵即mm??mmmm???2????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????????????????22112222211211221111??nnnnnmmmememem??????????22112222222111?????1212122??????????????kntrtrtrmtr????????xxxxixxxxi其中符号tr表示矩阵的迹其定义为矩阵主对角线元素的和

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其中的参数 0 、 1 、 2 称为偏回归系数。
，
所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值，即某一
解释变量对被解释变量Y的影响程度。
要估计二元线性回归模型 Yi 0 1X1i 2 X 2i i 中的参数 0 、 1 、 2 ，常用的方法仍然是普通最小二乘法。
2
rYX
1
rYX
2
2
rX X 1
2
2 ( 1 rYX
2 )( 1 r X X ) 1 2
如果 rYX X ＞ rYX X ，则表示被解释变量 Y 与解释变量 X1 1 2 2 1 之间的线性关系更密切，被解释变量 Y 对于解释变量 X1 的变化更敏感；如果 rYX X ＜ rYX X ，则表示被解释变量 Y 与解释变量 X2 1 2 2 1 之间的线性关系更密切，被解释变量 Y 对于解释变量 X2 的变化更敏感。
x
ˆ ˆ 2 2
x
2 2i 2 yi
由于
ˆ Y j X j
ˆ ˆ SY j S Xj j
的含义是：若解释变量 Xj 变化 1 个标准所以，Beta 系数 ˆ j
ˆ 差（即 X j SXj ），则被解释变量 Y 变化个标准差（即 j
二元线性回归模型的估计
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型，即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模型：
Yi 0 1X1i 2X2i i ，
i=1，2，…，n 。
一、二元线性回归模型的参数估计
1．偏回归系数的估计
对于二元线性回归模型：
Yi 0 1X1i 2 X2i i ，i=1，2，…，n
例如 1 1.78 ，2 0.45 ，则表示：在样本均值附近，X1 每增加 1%，将使被解释变量 Y 增加 1.78%；而 X2 每增加 1%，将使被解释变量 Y 增加 0.45%，所以，被解释变量 Y 对于解释变量 X1 变化的敏感程度远大于对解释变量 X2 变化的敏感程度。
ˆ Y SY ）。 j
ˆ ˆ 1 1.02 ，2 0.24 ，则表示：解释变量 X1 变化 1 个例如
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
其中， e i2 的简捷计算公式为
2 2 ˆ ˆ e y y x y x i i 1 i 1 i 2 i 2i
ˆ 3．偏回归系数ˆ1 、 2 的方差和标准误差
ˆ ˆ 偏回归系数 1 、 2 的方差计算公式为：
ˆ ( x 2 ) 2 2i ˆ Var ( ) 1 ( x 2 )( x 2 ) ( x x ) 2 1i 2i 1i 2i ˆ ( x 2 ) 2 1i ˆ ) Var ( 2 ( x 2 )( x 2 ) ( x x ) 2 1i 2i 1i 2i
达到最小。
根据极值存在的必要条件，应该有
e2 i 2 (Y ˆ i 0 ˆ 0 2 ei ˆ 2 (Yi 0 ˆ 1 e2 i 2 (Y ˆ i 0 ˆ 2 ˆ ˆ 1 X1i 2 X 2i ) 0
1 1 其中， xi Xi X ， yi Yi Y ， X X i ，Y Yi 。 n n
如果 X1 与 X2 之间存在线性关系，那么，上述计算ˆ1 、ˆ 2
的公式的分子、分随机误差项
2 2 ei ˆ n3
2．弹性系数
弹性系数是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即变量的变化率之比。
用 j 表示弹性系数，则
dY j Y dX j dY X j ˆ X j j X j dX j Y Y
平均弹性是指在样本均值附近的弹性，即
ˆ j j X j Y
弹性系数与原解释变量的计量单位没有任何关系，因此很适宜用来说明被解释变量对解释变量变化的敏感程度。
3．偏相关系数
在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化更敏感。偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度的指标。
当 X2 保持不变时，Y 与 X1 之间的偏相关系数为
rYX X 1
2
n 1
可见，Beta系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较，用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。
对于二元线性回归模型，可以按下列公式计算Beta系数：
ˆ ˆ 1 1 2 1i 2 yi
ei 0

e i X 1i 0 ei X 2 i 0
如果 X1 与 X2 之间不存在线性关系，那么，由上述正规方程
ˆ ˆ ˆ 组可以解出 0 、 1 、 2 ：
ˆ ˆ ˆ Y X X 1 1 2 2 0 ( y x )( x 2 ) ( y x )( x x ) ˆ i 1i 2i i 2i 1i 2i 1 ( x 2 )( x 2 ) ( x x ) 2 1i 2i 1i 2i ( y x )( x 2 ) ( y x )( x x ) ˆ i 2i 1i i 1i 1i 2i 2 ( x 2 )( x 2 ) ( x x ) 2 1i 2i 1i 2i
1．Beta系数 Beta系数是由偏回归系数转换来的。
ˆ 用表示 Beta 系数，则 j
ˆ ˆ j j
x ji
S Xj SY
ˆ j
2
x ji yi
2
2
yi
其中
2
S Xj
n 1

( X ji X i )
2
n 1
SY
n 1
(Yi Y )
i=1 设根据给定一组样本数据（ Y i， X 1i， X 2i），，2 ，…， n ，采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 0 1X1i 2 X 2i ei ，则参数估计量 0 、 ˆ1 、 2 应
该使残差平方和
n 2 n n ˆ ˆ ˆ ˆi ) 2 (Yi 0 1 X1i 2i X 2i ) 2 ei (Yi Y i 1 i 1 i 1
ˆ ˆ 1 X1i 2 X 2i ) X1i 0
ˆ ˆ 1 X1i 2 X 2i ) X 2i 0
从而得到正规方程组
ˆ ˆ ˆ (Yi 0 1 X1i 2 X 2i ) 0 ˆ ˆ ˆ (Yi 0 1 X1i 2 X 2i )X1i 0 ˆ ˆ ˆ (Yi 0 1 X1i 2 X 2i )X 2i 0
ˆ ˆ 偏回归系数 1 、 2 的标准误差计算公式为：
ˆ ˆ Se( 1) Var ( 1) ˆ ˆ Se( 2 ) Var ( 2 )
二、Beta系数和弹性系数
在多元回归分析中，需要说明各个解释变量的相对重要性，或者比较被解释变量对各个解释变量的敏感性。
然而，偏回归系数与变量的原有计量单位有直接联系，计量单位不同，彼此不能直接比较。为此，需要引进Beta系数和弹性系数。

二元线性回归模型及参数估计

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