经典等差数列性质练习题目含答案详解

等差数列练习题及答案详解等差数列一、选择题1、等差数列a n中，A. 12B. 48S10120，那么a1a10（）24 C.36 D.2、已知等差数列a n，a n2n19 ，那么这个数列的前n项和 s n（）A. 有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数3、已知等差数列a n的公差d1， a2a4a10080，2那么 S100A．80B．120 C．135D．160．4、已知等差数列a n中，a2a5a9 a1260，那么 S13 A．390B． 195C．180D．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180 个正奇数的和，其差为（）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m 项的和为()A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列a n中，a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A. S4S5B. S4S5C. S6S5D. S6S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为 390 ，则这个数列的项数为（）A. 13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n3为，且前n个偶数项的和为 n2 ( 4n 3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A．D．3n 2 ( n 1)B．n2(4n 3)C．3n2 1n 3210若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为 100°，最大角为 140°，这个凸多边形的边比为（）A．6B．8C．10D．12一．选择题（ 10×5 分）题12345678910号答案二．填空题1、等差数列a n中，若a6a3a8，则s922 、等差数列a n中，若S n3n2n.，则公差d.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4 、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且a3a712, a4a64 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为 15，则这个数列的第 6 项是2*6 、两个等差数列a n 和b n 的前n项和分别为S n 和S n7n 3，则a8.Tn ，若T n n 3b8三．解答题1、在等差数列a n中，a40.8 ， a11 2.2 ，求a 51a52L a80.2、等差数列a n的前n和S n，已知a312，S12 >0，S 13 <0，①求公差 d 的取范；②S1 , S2,L, S12中哪一个最大？并明理由.3、己知{ a n}等差数列，a12, a23，若在每相两之插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第 12 是新数列的第几？（2）新数列的第 29 是原数列的第几？4、等差数列{ a n}的前ｎ的和S n ,且 S 4 =－62,S 6 =－75,求：（1）{ a n}的通公式 a n及前ｎ的和 Sn；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+⋯⋯ +|a 14 |.5、某渔业公司年初用98 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年都增加 4 万元，每年捕鱼收益 50 万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（ 1）年平均获利最大时， 以 26 万元出售该 渔船；（ 2）总纯收入获利最大时，以 8 万元出售该渔船 .问哪种方案合算 .参考答案一、选择题1-5 B A C B C 6-10 C B A B A二、填空题1、 02、63、16504、-105、36、6三．解答题1、 an0.2n ， a51a 52a 80 393．S 1212 (a 1 a 12 ) 6( a 6 a 7 ) 0a 6 a 7 2a 1 11d2、 ①∵26d 0 S1313(a 1 a 13 ) 13ga 70 a 7 0, ∴a 1a 12d 12224 a 6 a 7 0 a 6 024 a n 是 减数列 ,解得 ,d3, ②由a 7 0a 7, 又∵d3 ∴77∴S 1 , S 2 ,L , S 12 中 S 6 最大 .3、解： 新数列b n , 则 b 1 a 1 2,b 51即 3=2+4d ，∴ d4a 2 3,根据b n b 1 (n 1) d, 有b 5 b 1 4d,1 n 7 ，∴b n2 ( n 1)44又Q a n a 1 (n 1) 1n 1(4 n 3) 7，∴ a n b 4 n 34即原数列的第 n 新数列的第 4n －3 ．（ 1 ）当 n=12 ， 4n －3=4×12－3=45，故原数列的第 12 新数列的第 45 ；（ 2 ）由 4n －3=29,得 n=8 ，故新数列的第 29 是原数列的第 8 。

一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．22．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．163．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．249．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1913．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．914．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <16．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1018．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7219．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项20．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 22．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 23．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >24．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．325．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为826．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值27．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 2．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 5．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 6．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．8．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n nx x +-＝33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=， 解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 18．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B 19．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.二、多选题21．ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4， ∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 22．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 23．ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 24．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 25．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 26．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 27．BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 28．ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 29．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.。

等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。

- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。

根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。

2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。

- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。

由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。

那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。

3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。

- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。

4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。

- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。

5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。

- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。

二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。

- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m + a_n=a_p + a_q。

等差数列的性质同步练习题二班级 姓名( )1．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于 A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 ( )2．已知在等差数列｛a n ｝中，a 1＜0，S 25＝S 45，若S n 最小，则n 为 A ．25 B ．35 C ．36 D ．45( )3．设{a n }是等差数列，公差为d ,S n 是其前n 项和，且S 5<S 6, S 6=S 7>S 8．下列结论错误的是 A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7为S n 最大值 ( )4．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700,则a 1等于 A ．－20B ．－2021 C ．－2121 D ．－22( )5．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则其前n 项和n S 的最小值是 A ．-784 B ．-392 C ．-389 D ．-368 ( )6．公差不为0的等差数列{}n a 中，236,,a a a 依次成等比数列，则公比等于 A ．12． B ．13． C ．2． D ．3． ( ) 7．等差数列{}n a 中,共有21n +项,其中13218n a a a ++++=,2427n a a a +++=,则n 的值是A ．3．B ． 5．C ． 7．D ．9( )8．数列{}n a 的前n 项和是n S ,如果*32 ()n n S a n N =+∈,则这个数列一定是A ．等比数列．B ．等差数列．C ．除去第一项后是等比数列．D ．除去第一项后是等差数列． ( )9．设{a n }是公差为–2的等差数列，如果1479750a a a a +++=．那么36999a a a a +++=A ．–182B ．–78C ．–148D ．–82( )10．已知函数 22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时 且 )1()(++=n f n f a n ， 则=+⋯+++100321a a a aA .100 B.-100C.2100D.11012-( )11．数列{}n a 满足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，n s 是{}n a 的前n 次和，则21S 为 A 、29 B 、211C 、6D 、10 ( )12．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 1 2 3 4 5 6 7…………… 则第8行中的第5个数是A 、68B 、132C 、133D 、260( ) 13．等差数列}{n a 的公差,0<d 且21121a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ） A ．5B ．6C ．5或6D ．6或714．等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则此数列前13项和是_____26_____．15．已知等差数列{a n }的公差d =21，且前100项和S 100 = 145，那么a 1 + a 3 + a 5 +…+a 99 = 60 . 16．等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=___0___． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于__5 _． 18．设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项和为100，后2n 项和是200，则该数列的中间n 项和等于 75 ．19．已知f (x +1)=x 2－4,等差数列{a n }中,a 1=f (x －1), a 2=－23,a 3=f (x )．(1)求x 值；（2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值． 【解】 （1）∵f (x －1)=(x －1－1)2－4=(x －2)2－4 ∴f (x )=(x －1)2－4,∴a 1=(x －2)2－4,a 3=(x －1)2－4 又a 1+a 3=2a 2,解得x =0或x =3．(2)∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－23、0 ∴a n =－23(n －1)或a n =23(n －3)①当a n =－23(n －1)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=3512-②当a n =23(n －3)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2297．20．已知函数f (x)＝－x 3＋ax 在(0，1)上是增函数．(1) 求实数a 的取值集合A ；(2) 当a 取A 中最小值时，定义数列{a n }满足：2a n ＋1＝f (a n )，且a 1＝b ∈(0，1)(b 为常数)，试比较a n ＋1与a n的大小； (3) 在(2)的条件下，问是否存在正实数c ．使0<a n ＋c a n －c＜2对一切n ∈N ＊恒成立？(1)f'(x)＝3x 2＋a ＞0，对x ∈(0，1)恒成立，求出a ≥3．………………4分 (2)当a ＝3时，由题意：a n ＋1＝－12a 3n ＋32a n ，且a 1＝b ∈(0，1)以下用数学归纳法证明：a n ∈(0，1)，对n ∈N ＊恒成立．①当n ＝1时，a 1＝b ∈(0，1)成立；………………………………………………6分②假设n ＝k 时，a k ∈(0，1)成立，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k 3＋32a k ，由①知g(x)＝12(－x 3＋3x)在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(a k )＜g(1) 即0＜a k ＋1＜1， 由①②知对一切n ∈N ＊都有a n ∈(0，1) 而a n ＋1－a n ＝－12a n 3＋32a n －a n ＝12a n (1－a n 2)＞0 ∴a n ＋1＞a n …………………………………10分(3)存在正实数c ，使0＜a n ＋c a n －c ＜2恒成立,令y ＝x ＋c x －c ＝1＋2cx －c ，在(c ，＋∞)上是减数，∴a n ＋c a n －c 随着a n 增大，而小， 又{a n }为递增数列，所以要使0＜a n ＋ca n －c＜2恒成立， 只须⎩⎪⎨⎪⎧a 1－c ＞0 a 1＋c a 1－c＜2 ∴0＜c ＜a 13，即0＜c ＜b 3 ……… 14分21.已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列； (Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <12． 【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1=23na += a n ……………………2’ 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1 = a n =23……………………4’ (Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231-+n a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---2323211n n n n a a a a (n ≥2) 注意到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-232321n n a a >0因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号……………7’ 要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2－a 1>0即可.由1123a a -+>0，解得：0<a 1<23………………9’ (Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a 1>23时，a n +1<a n 对任何自然数n 都成立. 因此当a 1=2时，a n +1－a n <0 ……………………………………………10’∴ S n = b 1+b 2+…b n =|a 2－a 1| + |a 3－a 2| +…+ |a n +1－a n |=a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a n －a n +1 =a 1－a n +1=2－a n +1 ………………………………………………………13’又：a n +2=231++n a < a n +1，可解得a n +1>23, 故S n <2－23=21………………………………………14’。

时间：45分钟满分：100分课堂训练1．若一个数列的通项公式是a n＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是( )A．数列{a n}一定不是等差数列B．数列{a n}是以k为公差的等差数列C．数列{a n}是以b为公差的等差数列D．数列{a n}不一定是等差数列【答案】B【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k.2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )A．100 B．120C．140 D．160【答案】B【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120.3．在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】99【解析】a15，a25，a35成等差数列，∴a35＝2a25－a15＝99.4．已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．【分析】关键是求出数列{a n}的首项和公差．【解析】由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a －d ，a ，a ＋d ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，a －d a a ＋d ＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a a 2－d2＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d 2＝16，由于数列为单调递增数列，因此d ＝4，a 1＝3，从而{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.【规律方法】 此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a －d ，a ，a ＋d ，四个数成等差数列时，可设成：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其余依此类推，如五个可设成：a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 9＝5，则a 7＝( ) A ．4 B ．－4 C ．7 D ．1【答案】 A【解析】 由题意知a 7为a 5，a 9的等差中项，故a 7＝12(a 5＋a 9)＝12×(3＋5)＝4.2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )A ．20B ．30C ．40D ．50 【答案】 C【解析】 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7，∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )A ．30B ．27C ．24D ．21【答案】 B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列，所以(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27. 方法二：(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝3d (d 为数列{a n }的公差)，则d ＝－2，a 3＋a 6＋a 9＝(a 2＋a 5＋a 8)＋3d ＝33－6＝27.4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17是较小的两份之和，问最小的1份是( )【答案】 C【解析】 设这5份为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 由已知得a ＝20，且17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，∴d ＝556，∴a －2d ＝53. 5．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2a 4＝12，a 1＋a 5＝8，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝2n ＋4C ．a n ＝－2n ＋12D ．a n ＝－2n ＋10【答案】 D【解析】 由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝8. 又a 2a 4＝12，所以a 2，a 4为方程x 2－8x ＋12＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 4＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2.当a 2＝2，a 4＝6时，d ＝a 4－a 24－2＝2>0(舍去)， 当a 2＝6，a 4＝2时，d ＝a 4－a 24－2＝－2.所以数列的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6＋(n －2)×(－2)＝－2n ＋10.即a n ＝－2n ＋10.6．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37【答案】 C【解析】 设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列． 又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴a 37＋b 37＝100. 故正确答案为C.7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5【答案】 C【解析】 设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又∵a 1＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧d >－235，d <－236，即－235<d <－236.又∵d 是整数，∴d ＝－4，故选C.8．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N ＋.设c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】 C【解析】 由题c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9.∵ab 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9＝4＋5＋…＋13＝85. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.【答案】1【解析】∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35，同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴a20＝a4＋(20－4)d＝1.10．等差数列{a n}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14＝________.【答案】－30【解析】由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)已知数列{a n}为等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15.(2)在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)方法一：∵数列{a n}是等差数列，∴设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1－(a1＋4d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117，∴a1＋8d＝117.从而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234.方法二：由等差数列的性质知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9.∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.(2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7，解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.又a7＝a3＋4d，∴当a3＝－1，a7＝7时，可得d＝2；当a3＝7，a7＝－1时，可得d＝－2.根据a n＝a3＋(n－3)d，可得当a3＝－1，d＝2时，a n＝2n－7；当a3＝7，d＝－2时，a n＝－2n＋13.12．已知无穷等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}的第几项？【解析】数列{b n}是数列{a n}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n}是等差数列，则{b n}也是等差数列．(1)∵a1＝3，d＝－5，∴a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{a n}中序号能被4除余3的项是{a n}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.即{b n}的通项公式为b n＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n}中的第m项，则－10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项．。

等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中都扮演着重要的角色。

其中，等差数列是数学中的一个重要概念，也是我们常见的数学问题之一。

本文将为大家提供一些等差数列的练习题及答案，以帮助大家更好地理解和掌握这个概念。

练习题一：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。

解答一：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。

其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。

代入已知条件，可得第10项的值为a10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该等差数列的公差。

解答二：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得2n^2 + n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到2n^2 + n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)。

由于等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，所以4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)也是一个关于n的二次函数。

两个二次函数相等，意味着它们的系数相等。

根据系数相等的条件，可得4 = 2a1 + (n-1)d，即2a1 + (n-1)d = 4。

由此可得公差d = (4 - 2a1)/(n-1)。

练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的首项。

解答三：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得6n^2 + 4n =n(2a1 + (n-1)d)。

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n a 1＋a n2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13a 1＋a 132＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n n －12d ＝20n －n n －12×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．v1.0 可编辑可修改A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ， ∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4， 解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得≤n ≤，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0， 所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， 所以S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.。

高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。

希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。

练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。

若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。

解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。

将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。

解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。

解析：设新数列的前n项和为S'n。

根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。

设新数列的前n项和为S''n。

根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。