必修4 第一章 基本初等函数II知识概述

三角函数的值域与最值三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。

三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与函数、不等式联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高。

本课可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。

二、教学目标1．知识目标：会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．能力目标：运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为函数求其给定区间内的值域和最值。

3．情感.态度价值观:通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。

三、学情分析作为刚刚学完三角部分知识的高一学生，对知识的前后联系与衔接,有效方法的选择，综合运用知识的能力还很薄弱，对知识的归纳与整理的能力比较欠缺，所以对三角函数的最值问题的几个基本类型进行归纳与整理，以便学生能更好的理解与掌握。

四、重点与难点重点：求三角函数的最大值与最小值难点：针对各题，能观察出题中的特点，正确运用相应的方法求三角函数的最值。

五、教学过程（一）知识回顾1.正弦函数的图像2.余弦函数的图像3.(1)y=2sinx 的值域(2)y=cosx+1/2的值域(3)y=sinx,x ∈[-∏/6,∏] 的值域(4)y=sinx+cosx 的值域（二）典型例题题型一 在给定区间上的最值问题例1：求函数 的值域变式：求函数 的最值题型二 可化为 y =Asin(ωx +φ)+K 或y =Acos (ωx +φ)+K 的最值问题求下列函数的值域2()cos f x x x =+例： ∈x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,，26213()sin cos 12f x x x x =⋅+例：类型三 二次函数型的三角函数1sin 2 -243y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22cos 2-363y x x πππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（），，求下列函数的值域例4: y =－sin 2x +cos x －1变式：y=cos2x-sinx例5: y =sin x cos x + sin x + cos x变式：y=2sinxcosx-(sinx+cosx)（三）课堂练习1.求函数y =－2sin 2x +2sin x +1的值域2.2sin (sin cos ).11.2y x x x A B C D =++-函数的最大值为六、课堂小结掌握三角函数值域的几种典型类型及基本思想方法(1)认真观察函数式,分析其结构特征,确定类型(2)根据类型,适当地进行三角恒等变形或转化,这是关键的步骤 七、课后作业221cos cos 2132cos sin cos sin 22y x xy x x x x =-=++求下列函数的值域（）（）。

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或 5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即 可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希 望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时 间(忽略进出港所需时间)?
解析 (1)T＝12，A＝3，b＝10，故ω＝2Tπ＝6π， ∴y＝3sin6πt＋10. (2)由0≤t≤24，知0≤6πt≤4π， 又由3sinπ6t＋10≥11.5，得sinπ6t≥12， 故π6≤6πt≤56π或163π≤π6t≤176π，
3．诱导公式 诱导公式是指角 α 的三角函数值与－α，180°±α，90°±α， 270°±α，360°－α，360°·k＋α 等角的三角函数值之间的关系， 其内容相似，极易混淆，其记忆规律是：奇变偶不变，符号看 象限．
4．“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 五点的取法是：设 X＝ωx＋φ，由 X 取 0，2π，π，32π，2π 求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图．
(2)振幅变换：y＝sinx―→y＝Asinx 将 y＝sinx 的图象上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标 不变)． (3)周期变换：y＝Asin(x＋φ)―→y＝Asin(ωx＋φ)
6．基本图象的平移顺序
7．周期的求法 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的周期 T＝|2ωπ|； (2)y＝Acos(ωx＋φ)的周期 T＝|2ωπ|； (3)y＝Atan(ωx＋φ)的周期 T＝|ωπ |.
③把所得的函数y＝12sin2x的图象向左平移1π2个单位，可得
到函数y＝12sin2x＋6π的图象．
④再把得到的图象向上平移
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个单位，就可得到函数y＝

第一章 基本初等函数II一、基础知识（理解去记）定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x,y ），到原点的距离为r,则正弦函数sin α=r y ,余弦函数cos α=r x ,正切函数tan α=x y，余切函数cot α=y x ，正割函数sec α=x r ,余割函数csc α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式：倒数关系：tan α=αcot 1,sin α=αcsc 1，cos α=αsec 1； 商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×cos α=sin α,cot α×sin α=cos α；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sin α, cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α, cot(π+α)=cot α;（Ⅱ）sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α, cot(-α)=cot α; （Ⅲ）sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan=(π-α)=-tan α, cot(π-α)=-cot α;（Ⅳ）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cos α, cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=sin α, tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cot α（记法：奇变偶不变，符号看象限）。

∵α是三角形内角，
∴sin
α＞0，∴sin cos
α＝45， α＝－35，
∴tan α＝－34.
定义域为{x|2kπ＋56π≤x≤2kπ＋136π，k∈Z}．
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值． 解 ∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3， ∵1－2sin x≥0， ∴0≤1－2sin x≤3，
∴f(x)的值域为[0， 3]， 当 x＝2kπ＋32π，k∈Z 时，f(x)取得最大值．
sin2θ＋cos2θ
＝4tantθan－2θta＋n21θ－3＝8－4＋4－1 3＝15.
2＋tan θ
方法二 由已知
＝－4，解得 tan θ＝2.
1－tan θ
即csoins θθ＝2，∴sin θ＝2cos θ.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)
＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ
式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是
指 π 的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是 2
奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是
偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原
函数值的符号作为结果的符号．
2＋tanθ－π
例 2 已知
＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)
0)k∈Z
5.三角函数的图象与性质的应用 (1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图 象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期 等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间 位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质． (2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶 性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合 思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准 确地进行解答．