六年级奥数分册：第18周 面积计算

第十八周 面積計算（一）

專題簡析：

計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯繫，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研究已知條件，並加以深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會使你順利達到目的。有些平面圖形的面積計算必須借助於圖形本身的特徵，添加一些輔助線，運用平移旋轉、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當合理的變形，再經過分析推導，方能尋求出解題的途徑。

例題1。

已知圖18－1中，三角形ABC的面積為8平方釐米，AE＝ED，BD=23 BC，求陰影部分的面積。

D

18－1 A

B C F E

18－1

【思路導航】陰影部分為兩個三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由於AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），採用移補的方法，將所求陰影部分轉化為求三角形BDF的面積。

因為BD=23 BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因為AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。

因此，S△ABC＝5 S△DCF。由於S△ABC＝8平方釐米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方釐米），則陰影部分的面積為1.6×2＝3.2（平方釐米）。

練習1

1、 如圖18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方釐米。求陰影部分的面積。

2、 如圖18－3所示，AE=ED，DC＝13 BD，S△ABC＝21平方釐米。求陰影部分的面積。

3、 如圖18－4所示，DE＝12 AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方釐米。求三角形ABC的面積。

A A

B C F E

D A

例題2。

兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如圖18－5所示，已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積各是多少？

【思路導航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABOB C F

D E

18－2 18－3 C B D E F

18－4

B C D A

O

12 6

18－5 等於6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。

因為S△ABD與S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6

因為S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍

所以△AOD＝6÷2＝3。

答：△AOD的面積是3。

練習2

1、 兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，（如圖18－6所示），已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積是多少？

2、 已知AO＝13 OC，求梯形ABCD的面積（如圖18－7所示）。

3、 已知三角形AOB的面積為15平方釐米，線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖18－8所示）。

例題3。 B C D A

O

8 4

18－6 B C D A

O

8 4

18－7 18－8 B C D A

O 四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分，且四邊形AECF的面積為15平方釐米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－9所示）。

【思路導航】由於E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。

15×3＝45（平方釐米）

答：四邊形ABCD的面積為45平方釐米。

練習3

1、 四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形AECG的面積為15平方釐米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－10）。

2、 已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部18－9 A

B C D

E F 分面積為15平方釐米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－11所示）。

3、 如圖18－12所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。

例題4。

如圖18－13所示，BO＝2DO，陰影部分的面積是4平方釐米。那麼，梯形ABCD的面積是多少平方釐米？

【思路導航】因為BO＝2DO，取BO中點E，連接AE。根據三角形等底等高面積相等的性質，可知S△DBC＝S△CDA；S△COBB A D

C E F G

18－10 C B D A

E

F

G ·

18－11 A

B C D E 6

4

18－12

B A D

C O

E

18－13 ＝S△DOA＝4，類推可得每個三角形的面積。所以，

S△CDO＝4÷2＝2（平方釐米） S△DAB＝4×3＝12平方釐米

S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方釐米）

答：梯形ABCD的面積是18平方釐米。

練習4

1、 如圖18－14所示，陰影部分面積是4平方釐米，OC＝2AO。求梯形面積。

2、 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方釐米。求梯形的面積（如圖18－15所示）。

3、 已知S△AOB＝6平方釐米。OC＝3AO，求梯形的面積（如圖18－16所示）。

例題5。

如圖18－17所示，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積。

B A D

C O B A D

C O

B A D

C O

18－14 18－15 18－16

A F F A

【思路導航】連接AE。仔細觀察添加輔助線AE後，使問題可有如下解法。

由圖上看出：三角形ADE的面積等於長方形面積的一半（16÷2）＝8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面積為16－3－4－2.5＝6.5。

練習5

1、 如圖18－18所示，長方形ABCD的面積是20平方釐米，三角形ADF的面積為5平方釐米，三角形ABE的面積為7平方釐米，求三角形AEF的面積。

2、 如圖18－19所示，長方形ABCD的面積為20平方釐米，S△ABE＝4平方釐米，S△AFD＝6平方釐米，求三角形AEF的面積。 B D E C C

E

D

18－17 3、 如圖18－20所示，長方形ABCD的面積為24平方釐米，三角形ABE、AFD的面積均為4平方釐米，求三角形AEF的面積。

答案：

練1

1、 30÷5×2＝12平方釐米

2、 21÷7×3＝9平方釐米

3、 5×3÷23 ＝2212 平方釐米

練2

1、 4÷2＝2 8÷2＝4

2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36

3、 15×3＝45 15+5+15+45＝80

練3

1、 15×2＝30平方釐米

2、 15×4＝60平方釐米 A

B C D

E F

18－18 A

B C D

F A

B C D

F

18－19 E E

18－20 3、 6×6÷2－6×4÷2＝6平方釐米 6×2÷4＝3平方釐米

（6+3）×6÷2＝27平方釐米

練4

1、 4×2＝8平方釐米 8×2＝16平方釐米

16+8+8+4＝36平方釐米

2、 14÷2＝7平方釐米 7÷2＝3.5平方釐米

14+7+7+3.5＝31.5平方釐米

3、 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32

練5

1、 20÷2－7＝3 3×12 ＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5

2、 20÷2＝10 （10－4）×10－610 ＝225 20－6－4－225 ＝735

3、 24÷2＝12平方釐米 （12－4）×（1－412 ）＝513 平方釐米

24－4－4－513 ＝1023 平方釐米