二次根式的应用

翰林教育 初三数学 陶老师

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）

第一讲 二次根式的应用

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a （a≥0）； （2）aa2

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）； bbaa（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

a（a＞0）

a（a＜0） 0 （a=0）； 翰林教育 初三数学 陶老师

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例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）xx315；（2）22)-(x

新人教版八年级下二次根式的应用题

以下是一些关于二次根式应用的例题：

问题一：

小明的花园是一个正方形，在花园的四个角上分别种了四棵葡萄树，每棵葡萄树离正方形的一个顶点的直线距离为√5米。请问花园的边长是多少米？

解答：设花园的边长为x米，根据勾股定理，可以得到：

√5² = x² + x²

即：

5 = 2x²

解方程，得到：

x² = 5/2

x ≈ 1.58

所以，花园的边长约为1.58米。

问题二：

甲乙两地相距120千米，一辆汽车以60千米/小时的速度从乙地出发，另一辆汽车以80千米/小时的速度从甲地出发。请问二者相遇需要多少时间？

解答：设两辆汽车相遇需要的时间为t小时。根据速度和时间的关系，可以得到：

60t + 80t = 120

解方程，得到：

140t = 120

t ≈ 0.86

所以，两辆汽车相遇需要约0.86小时。

问题三：

小明从A地骑自行车到B地，全程共10千米。如果他只骑行的速度为10千米/小时，在AB两地之间停留的时间为√2小时。请问他整个骑行的时间是多少？

解答：设小明骑行的时间为t小时。根据速度和时间的关系，可以得到：

10t + √2 = 10

解方程，得到：

10t = 10 - √2

t ≈ 0.54

所以，小明整个骑行的时间约为0.54小时。

希望以上例题能够帮助你更好地理解和应用二次根式的概念。

二次根式

一、知识要点概述

1、二次根式：式子叫做二次根式．

2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．

4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算

(1)因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．

(2)有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．

(3)二次根式的加减法：

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．

(4)二次根式的乘除法

二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．

(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

二、典例剖析

分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．

例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（ ）

A． B．－ C． D．－

分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．

说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．

最简二次根式和同类二次根式（1）

温习课本

1. 最简二次根式的被开方数应同时符全两个条件

（1） 被开方数中各因式的指数都为_____________

（2） 被开方数不含_____________

2. 被开方数中的因式是指_____________和_____________分解后的因式和因数。

作业训练

1. 将下列二次根式化为最简二次根式

(1)12 (2)27

(3)48 (4)75

(5)20 (6)45

(7)80 (8)125

(9)24 (10)54

(11)28 (12)63

(13)40 (14)90

(15)160 (16)250

2. 将下列二次根式化为最简二次根式

3(1)24a 32(2)45(0)abb

35(3)28xy 2(4)32()()xyxy

34(5)48()xxy 54(6)50(1)xy

22(7)18(2)(3)(3)xxx 222(8)20(1)(2)(3)(3)xxxxx

3.将下列二次根式华灯最简二次二次根式