山东省泰安市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题 -含答案

山东省泰安市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题 -含答案

山东省泰安市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题

第I卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x\lg(x-2)<1\}$，集合 $B=\{x|x-\frac{2x-3}{x-2}<0\}$，则 $A\cup B$ 等于（ ）。

A。$(2,12)$。B。$(-1,3)$。C。$(-1,12)$。D。$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

解析：首先，$x\lg(x-2)<1$ 可以化为 $x<\frac{1}{\lg(x-2)}$，注意到 $\lg(x-2)$ 的定义域为 $(2,+\infty)$，因此 $x$ 的取值范围为 $(2,3)\cup(3,+\infty)$。接下来，$x-\frac{2x-3}{x-2}<0$ 可以化为 $\frac{x-3}{x-2}<0$，即 $x\in(2,3)$。因此

$A\cup B$ 的取值范围为 $(2,3)\cup(3,+\infty)$，即选项 D。

2.已知复数 $z$ 满足 $iz=-3+i$，$z$ 在复平面内对应的点位于（ ）。

A。第一象限。B。第二象限。C。第三象限。D。第四象限

解析：将 $z$ 写成 $x+yi$ 的形式，代入 $iz=-3+i$ 得到

$x-yi=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i$，解得 $x=\frac{1}{9}$，$y=-\frac{2}{9}$。因此 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限，即选项 C。

3.等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知

$S_2=a_1+2a_3$，$a_4=1$，则 $S_4$ 的值为（ ）。

A。$\frac{715}{88}$。B。$14$。C。$15$。D。$16$

解析：由题意得 $a_1+a_2=a_1(1+q)$，$a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)$，$a_1+a_2+a_3+a_4=a_1(1+q+q^2+q^3)$，其中 $q$ 为公比。将

$S_2=a_1+2a_3$ 代入得 $a_2=a_1q$，代入

$a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)$ 得 $a_3=a_1q^2$。又 $a_4=1$，代入 $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1(1+q+q^2+q^3)$ 得

$a_1=\frac{88}{715}$，$q=\frac{1}{2}$。因此

$S_4=a_1\frac{1-\frac{1}{16}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{715}{44}$，即选项 A。

4.已知 $l$，$m$ 是空间两条不重合的直线，$\alpha$ 是一个平面，则“$m\perp\alpha$，$l$ 与 $m$ 无交点”是“$l\parallel

m$，$l\perp\alpha$” 的（ ）。

A。充分而不必要条件。B。必要而不充分条件。C。充分必要条件。D。既不充分也不必要条件

解析：由题意可得，若 $m\perp\alpha$，则 $l$ 与

$\alpha$ 的交点到 $m$ 的距离不为 $0$，因此 $l\parallel m$ 时必然有 $l\perp\alpha$。因此“$m\perp\alpha$，$l$ 与 $m$ 无交点”是“$l\parallel m$，$l\perp\alpha$” 的充分而不必要条件，即选项 A。

5.某年级的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：$[20,40)$，$[40,60)$，$[60,80)$，$[80,100]$，若低于 $60$ 分的人数是 $150$，则该年级的学生人数是（ ）。

解析：由题意可得，低于 $60$ 分的人数占总人数的

$\frac{150}{4}=37.5\%$，因此高于 $60$ 分的人数占总人数的

$62.5\%$。设高于 $60$ 分的人数为 $x$，则有

$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}x+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}x=0.625x$，解得

$x=400$。因此该年级的学生人数为 $150+400=550$，即选项

B。

6.若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases}x+y-3\leq

0\\x-2y\leq 0\end{cases}$，则 $z=x+2y$ 的取值范围是（ ）。

A。$[6,+\infty)$。B。$[4,+\infty)$。C。$[0,4)$。D。$[0,6]$

解析：将约束条件化为 $y\leq 3-x$，$y\geq\frac{1}{2}x$，画出两条直线 $y=3-x$ 和 $y=\frac{1}{2}x$，则可得到约束区域如图所示：

因此 $z=x+2y$ 的最大值为 $z_{\max}=6$，最小值为

$z_{\min}=0$，因此取值范围为 $[0,6]$，即选项 D。

7.根据如下程序框图，运行相应程序，则输出 $S$ 的值为（ ）。

解析：根据程序框图，当 $i=1$ 时，$S=1$；当 $i=2$ 时，$S=1+\frac{1}{2^2}=1.25$；当 $i=3$ 时，$S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}=1.3611\cdots$。因此输出

$S$ 的值为 $1.3611\cdots$，即选项 C。

8.设抛物线 $y=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 点且倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$，$B$ 两点，若以 $AB$ 为直径的圆过点 $(-4,2)$，则该抛物线的方程为（ ）。

解析：过 $F$ 点的准线方程为 $y=-\frac{p}{2}$，过

$F$ 点且倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 的方程为

$y=x+2p$。设 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则有 $\begin{cases}y_1=2px_1-\frac{p}{2}\\y_2=2px_2-\frac{p}{2}\\y_1=x_1+2p\\y_2=x_2+2p\end{cases}$。解得

$x_1=-\frac{4}{3}$，$y_1=\frac{4}{3}$，$x_2=\frac{8}{3}$，$y_2=\frac{16}{3}$，因此 $AB$ 的中心为 $(2,5)$，半径为

$\sqrt{10}$，即圆的方程为 $(x-2)^2+(y-5)^2=10$。将

$y=2px$ 代入得 $x=\frac{1}{2p}(y+\frac{p}{2})^2$，因此该抛物线的方程为 $y=2p\cdot\frac{1}{2p}(x+\frac{p}{2})^2-x=\frac{1}{2}(x^2+px)$，即选项 A。

9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）。

解析：设正视图中矩形的长和宽分别为 $a$，$b$，等腰直角三角形的直角边长为 $c$，则有

$\begin{cases}a+b=5\\ab+c^2=4\end{cases}$。解得 $a=1$，$b=4$，$c=\sqrt{3}$。设该几何体的高为 $h$，则有

$h=\sqrt{3}$，底面积为 $S_1=ab=4$，侧面积为

$S_2=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot

h+\frac{1}{2}\cdot\pi(\sqrt{3})^2=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}\pi$，上下底面积为 $S_3=2(\frac{1}{2}\sqrt{3})^2=3$，因此该几何体的表面积为 $S=S_1+S_2+S_3=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}\pi+7$，即选项 C。

10.设函数 $f(x)=\sin(\omega

x+\theta)(\omega>0,\theta>0)$ 的最小正周期为 $\pi$，且

$f(x)\leq f(\frac{\pi}{8})$ 在区间

$\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$，则下列说法不正确的是（ ）。

A。$f(x)$ 的一个零点为 $-\frac{\pi}{8}$。B。$f(x)$ 的一条对称轴为 $x=\frac{\pi}{4}$

C。$f(x)$ 的最大值为 $1$。D。$f(x)$ 的最小值为 $-1$

解析：由于 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，因此

$f(\frac{\pi}{8})=\sin\frac{\pi}{8}=f(\frac{9\pi}{8})=\sin\frac{9\pi}{8}$。因为 $f(x)\leq f(\frac{\pi}{8})$ 在区间

$\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$，所以 $f

8.已知函数$f(x)=\frac{3\pi}{5}x+\frac{\pi}{88}$在$x$上单调递增。又$f(x+\frac{\pi}{8})$是偶函数。

11.已知函数$f(x)$是定义在实数集上的偶函数，且当$x\leq 0$时$f(x)$是减函数。求不等式$f(\log_{\frac{1}{2}}(2x-5))>f(\log_{\frac{1}{3}}8)$的解集。

13.在$\triangle ABC$中，$AD\perp AB$，$DC=2BD$，$AD=1$。求$AC\cdot AD$的值。

14.若递增数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$，$a_2=2-a$，$a_{n+2}=2a_n$，求实数$a$的取值范围。

15.已知展开式$(x+a)(2x-1)$中$x^2$的系数为50，求$a$的值。

17.(I) 求函数$f(x)=\sin x\left(1-\frac{3}{2}\cos

x+\frac{1}{2}\sin x\right)$的最大值，并求此时的$x$值；(II)