生活中的轴对称

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第七章 生活中的轴对称

轴对称图形及轴对称的性质

知识要点

◆要点1 轴对称与轴对称图形

(1) 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

(2) 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线则为对称轴。

(3) 两者的区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称特性。

★两者的联系：①沿对称轴折叠后都能互相重合，即这两个（或两部分）图形是全等的，但全等图形不一定是对称的；②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看做两个图形，那么它们就关于对称轴成轴对称，

◆要点2 几种简单的轴对称图形（角、线段、等腰三角形）

(1) 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

(2) 线段是轴对称图形，它有两条对称轴，一条对称轴是线段的垂直平分线（简称中垂线），另一条是线段所在的直线。

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

(3) 等腰三角形是轴对称图形，①等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。②等边三角形有三条对称轴。③等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等(简称：等角对等边)；④等边三角形可看作任两边为腰的等腰三角形，判定为：有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形。

◆要点3 轴对称的性质

(1) 关于某条直线对称的两个图形是全等图形;

(2) 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

(3) 对应线段相等，对应角相等。

易错易混点

(1) 混淆轴对称与轴对称图形的概念，及数特殊图形的对称轴时容易漏数、重数、错数；(2)未能熟练掌握角平分线、中垂线、等腰三角形的性质而导致错误；(3) 对轴对称的性质理解不透澈，不能灵活运用轴对称性质解题。

1 对于等腰三角形(腰与底边不相等)、等边三角形、长方形、正方形，对称轴的条数分别为（ ）

A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，1 C. 1，3，2，4 D. 1，4，2，3

典型例题

【例1】 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）

【例2】 如图，下列轴对称图形中对称轴最多的是（ ）

【例3】 已知：∠AOB，点M、N(如图ZC—01)。求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN。(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

学习自评

1. 如图ZC—02所示，MN垂直平分AB，则图中的等腰三角形有________个。

2. 如图ZC—03，Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则

(1) 图中相等的线段有_______对，相等的角有_______对；

(2) 与DE相等的线段是__________，理由是_________。

(3) 若AB=10，BC=8，AC=6，则BE=______，AE=______，△AED的周长=________.

3. 如图ZC—04，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________。

4. 等腰三角形有一角是80°，则另外两角为___________。

5. 如图ZC—05所示，△ABC的边AB、BC上分别有点D、E，已知△ABE是关于直线DE对称的轴对称图形，四边形ADEC是关于直线AE对称的轴对称图形，则∠C=_______，∠B=_______，∠BAC=_______。

6. 如图ZC—06所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=4 厘米，那么△BCD的周长等于_________厘米。

7. 如图ZC—07所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则在这个图形中等腰三角形有_______个，分别是__________________。

8. 如图ZC—08所示，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D、C的位置上，若∠EFG=56°，则∠1=_________，∠2=_________。

9. 如图ZC—09，直线l1、l2、l3表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处

10. 下列结论正确的是（ ）

A. 两个全等的图形一定成轴对称 B. 两个全等的图形一定是轴对称图形

C. 两个成轴对称的图形一定全等 D. 两个成轴对称的图形不一定全等

11. 已知△ABC中，AB=AC≠BC，则△ABC中中线、高线、角平分线共有（ ）

A. 9条 B. 8条 C. 7条 D. 3条 ZC—01

ZC—03 ZC—02 ZC—04

ZC—05 ZC—06

ZC—07

ZC—08 ZC—09 ZC—10 12. △ABC中，∠A=70°， P为△ABC内一点，P点关于AB的对称点为P1，P点关于AC的对称点为P2，连接PP1、PP2、P1P2，则∠P1+∠P2的度数是（ ）

A. 70° B. 110° C. 40° D. 140°

13. 如图ZC—10所示，在△ABC中，若沿EF折叠，恰好使A点落在BC上D点处，请你说明EF⊥AD。

14. 作图

(1) 如图ZC—11，作出△ABC关于l的轴对称图形；(2) 把如图ZC—12中的图形补成以l为对称轴的轴对称图形；

15. 已知：如图ZC—13，OA平分∠BAC，∠1=∠2。求证：△ABC是等腰三角形。

16. 如图ZC—14①，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把一个点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图①中四边形ABCD就是一个“格点四边形”。

(1) 求图①中四边形的面积；

(2) 在图②方格纸中画一个格点三角形△EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形。

17. 如图ZC—15所示，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形的性质证明：CD=AB+BD。 ZC—12 ZC—11

ZC—13

ZC—14 18. 如图ZC—16在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，CF=DF，试着求∠A的度数。

19. 如图ZC—17所示，AC⊥BC，AC平分∠DAE，E为AB上一点，EC∥AD，求证：AE=BE。

20. 如图ZC—1-8两个班的学生分别在M、N 两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN。有一同学说：“只要做一个角平分线，一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了。”你认为这位同学说的正确吗，请说明理由。

利用轴对称设计图案、镜面对称

知识要点

◆要点1：利用轴对称的性质作图

先找出轴对称图形的对称轴，再找出已有的一半图形中的特殊点，找到这些特殊点关于对称轴的对应点，并将对应点连接即可得到另一半的轴对称图形。

◆要点2：设计简单的轴对称图案

(1) 轴对称图案在日常生活中应用非常广泛，轴对称图案往往代表一定的实际意义；

(2) 设计图案时，往往用简单图形经过简单组合，使其具有一定的寓意，经过一次或多次轴对称，充分发挥想象力设计出较为美观的图案来。

◆要点3：镜面对称的性质

若物体正对镜面，这时镜面对称实质是无数对对应点的对称，镜面上有每一对对应点的对称轴；若物体垂直于镜面，对称轴是镜面与物体最接近的边缘。镜面对称为一种空间中的对称，它有与轴对称相似的性质：

(1) 无论物体正对镜子或垂直于镜子摆放，像与物体的大小不变，像与物体到镜子的距离相等。

(2) 镜子中的像和物体对应点连线和镜面垂直；

(3) 如果一个图形正对镜面，镜子中的像改变了物体的左右位置，即像与物体的左右位置互换；如果一个图形垂直于镜面放置，则原图形靠近镜面的部分，其像也靠近镜面。

◆要点4：镶边与剪纸

(1) 镶边与剪纸是运用轴对称的民间艺术。

(2) 镶边中，相邻的两个图案成轴对称，相间的两个图案之间形状、大小和方向完全一样。 ZC—15 ZC—16 ZC—17

ZC—1-8 易错易混点

(1) 设计图案时忽略了轴对称性质；(2) 混淆了方向和形状的概念以及忽略了镜子改变物体的左右、上下位置出现错误。

典型例题

【例1】 若26个英文字母如图ZC—18，(1) 垂直于镜面放置，(2)平行于镜面放置，哪些字母的像与原物相同？

【例2】 取一张长24cm，宽5cm的纸条，将它按4cm为一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画出字母Z，用小刀把画出的字母Z挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母Z为图案的花边，如图ZC—19。

(1) 在你所得到的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的图案又有什么关系？说说你的理由。

(2) 如果以相邻两个图案为一组，每组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？

【例3】 如图ZC—20，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）

学习自评

1. 如图ZC—21是小英早晨起来看到镜子中的时间，实际时间是________。

2. 一个身高为1.8m的人，要想在平面镜中看到自己的全身像，他应该买一个_______m的穿衣镜。

3. 下列说法正确的是（ ）

A. 人在镜子中照出的像大小不变，所以像的左手还是左手

B. 人在镜子中的像的左手是人的右手

C. 人在镜子中的右脚正好是人的右脚 人在镜子中的左脚正好是人的左脚

4. 镜子中看到一张卡片如图ZC—22所示，卡片上的字是（ ）

5. 小亮从平面镜子里看到背面墙上电子钟示数的像如图ZC—23所示，此时的时间是（ ）

A. 21:10 B. 10:51 C. 15:01 D. 10:21

6. 一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像(如图ZC—24所示) 此时，它所看到的全身像是( )

7. 将一个正方形纸片按图ZC—25中的(1)、(2)对折后，再沿图(3)虚线裁剪，最后将图(4纸片打开铺平，所得到的图案应该是下面图案中的（ ）

8. 如图ZC—26，你能画出下面两个镜子中的像吗？ ZC—18

ZC—19

ZC—24 ZC—20

ZC—21 ZC—22 ZC—23