(完整版)高考文科数学试题分类汇编导数

2012 高考文科试题解析分类汇编：导数

1.【2012 高考重庆文 8】设函数 f ( x) 在 R 上可导，其导函数 f ( x) ，且函数 f ( x) 在 x  2

处取得极小值，则函数 y  xf ( x) 的图象可能是

【答案】C

【解析】：由函数 f ( x) 在 x  2 处取得极小值可知 x  2 ， f ( x)  0 ，则 xf ( x)  0 ；

x  2 ， f ( x)  0 则 2  x  0 时 xf ( x)  0 ， x  0 时 xf ( x)  0

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．

2.【2012 高考浙江文 10】设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数

A. 若 ea+2a=eb+3b，则 a＞b

B. 若 ea+2a=eb+3b，则 a＜b

C. 若 ea-2a=eb-3b，则 a＞b

D. 若 ea-2a=eb-3b，则 a＜b

【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数

的单调性.

【 解 析 】 若 ea  2a  eb  3b ， 必 有 ea  2a  eb  2b ． 构 造 函 数 ： f x   ex  2x ， 则

f  x   ex  2  0 恒成立，故有函数 f x   ex  2x 在 x＞0 上单调递增，即 a＞b 成立．其余

选项用同样方法排除．

3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f（x）= 2

x +lnx 则 （ ）

1 1 A．x= 为 f(x)的极大值点 B．x= 为 f(x)的极小值点 2 2

C．x=2 为 f(x)的极大值点 D．x=2 为 f(x)的极小值点

【答案】D. 2

x2  ln x, y  x  ,由y≤0，解得-1≤x≤1,又x  0, 0  x≤1,故

【解析】 f ' x    2 1 x  2   x2 x x2 ，令 f ' x   0 ，则 x  2 ．

当 x  2 时， f ' x   

当 x  2 时， f ' x    2 1 x  2   x2 x x2 2 1 x  2   x x x2  0 ；

 0 ．

即当 x  2 时， f x 是单调递减的；当 x  2 时， f x 是单调递增的．

所以 x  2 是 f x 的极小值点．故选 D．

4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= 1 2

x2 ㏑ x 的单调递减区间为

（A）（  1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）

【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

【解析】Q y  1 1

2 x

选B

5.【2102 高考福建文 12】已知 f（x）=x³-6x²+9x-abc，

a＜b＜c，且 f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）

f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.

其中正确结论的序号是

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

【答案】C．

考点：导数。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来

做。

解答： f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  abc, a  b  c ，

f ' ( x)  3x 2  12 x  9

 3( x 2  4 x  3)

 3( x  1)( x  3)

导数和函数图像如下： Q f ' ( x)

(a,0) (b,0) (c,0) f ( x)

x  1 x  3

由图 f (1)  1  6  9  abc  4  abc  0 ，

f (3)  27  54  27  abc  abc  0 ，

且 f (0)  abc  f (3)  0 ，

所以 f (0) f (1)  0, f (0) f (3)  0 。

6.【2012 高考辽宁文 12】已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，2，

过 P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求

法，属于中档题。

【解析】因为点 P，Q 的横坐标分别为 4， 2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为 8,2.

由 x2  2 y, 则y  1

2 x2 , y  x, 所以过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4，2，所以

过点 P， 的抛物线的切线方程分别为 y  4 x  8, y  2 x  2, 联立方程组解得 x  1, y  4,

故点 A 的纵坐标为 4

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，

这是写出切线方程的关键。

7.【2012 高考新课标文 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________

【答案】 y  4 x  3 .

 2 【解析】根据题意，得到 f ( x)   ，

2 x  2, p x  1

 2



S  

解： ）f (x)  2ax ，g ( x)=3 x2  b .因为曲线 y  f ( x) 与曲线 y  g ( x) 在它们的交点 1 ，c  .

h( x) 与 h( x) 在 (, 2] 上的情况如下：

(, 3) 3 (3,1)

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题

【解析】∵ y  3ln x  4 ，∴切线斜率为 4，则切线方程为： 4 x  y  3  0 .

8.【2012 高考上海文 13】已知函数 y  f ( x) 的图像是折线段 ABC ，其中 A(0,0) 、B( 1 ,1) 、 2

C (1,0) ，函数 y  xf ( x) （ 0  x  1 ）的图像与 x 轴围成的图形的面积为

【答案】 1 4

。

 1 2 x,0  x 

1

 2

从 而 得 到  1 2 x 2 ,0  x  y  xf ( x)   所 以 围 成 的 面 积 为

 2 x 2  2 x, 1  x  1  2

1

2

0 2 xdx  1 (2 x 2  2 x)dx  1

2 1

4 1 ，所以围成的图形的面积为 . 4

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图

形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的

能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大

9【2102 高考北京文 18】（本小题共 13 分）

已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求 a,b 的值；

当 a=3,b=-9 时，若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，求 k 的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以

及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现

F (3)  28 和分析出区间[k ,2] 包含极大值点 x  3 ，比较重要。 1 （1

处具有公共切线，所以 f (1) g (1) ，f (1) g (1)．即 a  1  1  b 且 2a  3  b ．解得 a  3,b  3

（2）记 h( x)  f ( x)  g ( x)

当 a  3,b  9 时， h( x)  x3  3x2  9 x  1 ， h( x)  3x 2  6 x  9

令 h( x)  0 ，解得： x  3 ， x  1 ；

1 2

x 1 （1,2） 2