东山县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
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第 1 页，共 15 页 东山县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB，
则当14xy取最小值时，CMCN（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ）
A．36π B．48π
C．60π D．72π
3． 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
4． 记集合{}22(,)1Axyxy=+?和集合{}(,)1,0,0Bxyxyxy=+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ）
A．12p B．1p C．2p D．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
5． 若复数12,zz在复平面内对应的点关于y轴对称，且12iz，则复数12zz在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
6． 已知函数f（x）＝ax－1，x≤1loga1x＋1，x＞1（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ）
A．－14 B．－12
C．－34 D．－54
7． 直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 第 2 页，共 15 页 8． 复数满足2＋2z1－i＝iz，则z等于（ ）
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
9． O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．±2 C．0 D．2
11．P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A．a B．b C．c D．a+b﹣c
12．已知命题:()(0xpfxaa且1)a是单调增函数；命题5:(,)44qx，sincosxx.
则下列命题为真命题的是（ ）
A．pq B．pq C. pq D．pq
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为 ．
14．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）= ．
15．等差数列{}na的前项和为nS，若37116aaa，则13S等于_________.
16．已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为cossin2，曲线C的极坐标方程为2sin2cos(0)pp．
（1）设t为参数，若222xt，求直线l的参数方程； 第 3 页，共 15 页 （2）已知直线l与曲线C交于,PQ，设(2,4)M，且2||||||PQMPMQ，求实数p的值．
18．（本小题满分12分）已知圆22:1225Cxy,直线
:211740LmxmymmR.
（1）证明: 无论m取什么实数,L与圆恒交于两点;
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程.
19．（本题满分12分）在ABC中，已知角,,ABC所对的边分别是,,abc，边72c，且
tantan3tantan3ABAB，又ABC的面积为332ABCS，求ab的值．
20．（本小题满分12分）已知1()2ln()fxxaxaRx．
（Ⅰ）当3a时，求()fx的单调区间；
（Ⅱ）设()()2lngxfxxax，且()gx有两个极值点，其中1[0,1]x，求12()()gxgx的最小值．
【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
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21．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
22．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
第 5 页，共 15 页 东山县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】
试题分析：由题知(1)CBBMCMCBxCAy，BACACB；设BMkBA，则,1xkyk，可得1xy，当14xy取最小值时，141445xyxyxyxyyx，最小值在4yxxy时取到，此时21,33yx，将1,CN2CMxCAyCBCACB代入，则22111233322233xyCMCNxCAyCBCACBxy.故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式．
2． 【答案】
【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，
则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，
又V四棱锥P－ABCD＝13S矩形ABCD·PO
＝13abR≤23R3.
∴23R3＝18，则R＝3，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.
3． 【答案】D
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
4． 【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示OABD及其内部，由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为112P==p2p，故选A. 第 6 页，共 15 页 xyAB11O
5． 【答案】B
【解析】
6． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2.
若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．
∴b＞1，即有log21b＋1＝－3，∴1b＋1＝18，∴b＝7.
∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－34，故选C.
7． 【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
8． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z1－i＝iz得
2＋2z＝iz＋z，
即（1－i）z＝－2， 第 7 页，共 15 页 ∴z＝－21－i＝－2（1＋i）2＝－1－i.
法二：设z＝a＋bi（a，b∈R），
∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi），
即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，
∴2＋2a＝a－b2b＝a＋b，
∴a＝b＝－1，故z＝－1－i.
9． 【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得yP=3，
代入抛物线方程得：|xP|=2，
∴S△POF=|0F|•|xP|=．
故选：C．
10．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，
∴4a=0，
解得a=0．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，
则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．
由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，
∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，
∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．
故选A．
