实验一 离散时间系统的时域特性分析
一、实验目的
线性时不变（Linear Time Invariant,LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，脉冲响应序列可以刻画其时域特性。本实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、脉冲响应和系统的线性和时不变特性的理解。
二、基本原理
一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T{·}表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-1来表示，即
图1.1 离散时间系统
[]{[]}ykTxk
离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”
1.线性系统
满足叠加原理的系统称线性系统。即若某一输入是由N个信号的加权和组成的。则输入就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。
如果系统在x1[k]和x2[k]输入时的输出分别为y1[k]及y2[k]，即
y1[k]=T{x1[k]},y2[k]=T{x2(k)}
那么当且仅当式（1-2）和（1-3）成立时，该系统是线性的。
T{x1[k]+ x2[k]}=T{x1[k]}+T{x2[k]}= y1[k]+y2[k] （1-2）
和
T{ax[k]}=aT{[k]}=ay[k] （1-3）
式中：a、b是任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个性质称为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成
T{ax1[k]+b x2[k]}=aT{x1[k]}+bT{x2[k]}= ay1[k]+by2[k] （1-4）
式中（1-4）对任意常数a和b都成立
在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。
2.时不变系统
系统的运算关系T{•}在整个运算过程中不随时间的变化（也即不随序列的起点）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入x[k]的输出为y[k]，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值以内应该保持不变，即：
离散LSI系统的频域分析
离散LSI系统（离散线性时不变系统）是指其输入信号和输出信号均为离散时间信号，且系统对于任意输入信号都是线性的，且在时间上不依赖于输入信号的时序，这种系统在信号处理中有着广泛的应用。频域分析是对离散LSI系统进行分析时经常采用的一种方法，旨在根据系统的频率特性来评估系统的性能。
在频域分析中，我们通常采用离散时间傅里叶变换（DTFT）来分析离散LSI系统的频率特性。DTFT是一种将离散时间序列转化为连续的周期函数的方法，表达式为：
$X(e^j\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$
其中，$X(e^j\omega)$表示信号$x(n)$在频率点$\omega$处的频域表示。通过将$X(e^j\omega)$应用于系统的传输函数$H(e^j\omega)$，我们可以得到系统的频率响应$Y(e^j\omega)$，即：
$Y(e^j\omega)=H(e^j\omega)X(e^j\omega)$
在频域分析中，我们通常将$H(e^j\omega)$表示为极坐标形式，即：
对于一个线性时不变离散系统，其频率响应的性质如下：
1. 系统具有线性性质，即如果输入信号$x_1(n)$和$x_2(n)$对应的傅里叶变换分别为$X_1(e^j\omega)$和$X_2(e^j\omega)$，那么系统的输出信号$y(n)$对应的傅里叶变换$Y(e^j\omega)$应该满足：
即：系统对于两个信号的响应是对应傅里叶变换之和的线性组合。
2. 系统具有时不变性，即如果系统对于输入信号$x(n)$的响应为输出信号$y(n)$，那么如果我们对$x(n)$进行一个时间的平移，即$x(n-k)$，那么系统对于平移后的信号的响应也是平移后的输出信号$y(n-k)$。
Name:Chen yifan 20112121006
Section:
Laboratory Exercise 4
LINEAR, TIME-INVARIANT DISCRETE-TIME SYSTEMS:
FREQUENCY-DOMAIN REPRESENTATIONS
4.1 TRANSFER FUNCTION AND FREQUENCY RESPONSE
Project 4.1 Transfer Function Analysis
Answers:
Q4.1 The modified Program P3_1 to compute and plot the magnitude and
phase spectra of a moving average filter of Eq. (2.13) for 0 2 is shown
below:
< Insert program code here. Copy from m-file(s) and paste. >
w=0:pi/511:2*pi;
M=input('M= ');
num=ones(1,M)/M;
h=freqz(num,1,w);
subplot(2,1,1);
plot(w/pi,abs(h));grid;
title('H(e^{j\omega})幅度谱');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angle(h));grid;
title('相位谱 H(e^{j\omega})');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');
This program was run for the following three different values of M and the plots of
实验二 离散时间系统的时域和频域分析
1. 已知某系统的系统函数为21112.04.0121)(zzzzH，)()(nunf，要求：（1）从理论上求解系统的单位冲激响应和零状态响应，并根据求解结果用MATLAB绘制其时域波形；（2）试分别用MATLAB的impz()函数和filter()函数绘制系统的单位冲激响应和零状态响应。
理论分析:
6.075.12.075.2)6.0)(2.0(212.04.0121)(2211zzzzzzzzzzzzH
)()6.0(75.1)()2.0(75.2)(nununhnn
)(])6.0(6563.0)2.0(6875.03437.2[)(*)()(nunhnfnynn
求解零状态响应：filter()函数
y=filter(b,a,x) 由向量b和a组成的系统对输入x进行滤波
求解单位序列响应：impz()函数
h=impz(b,a,n)
计算指定范围内（0: n-1）的单位序列响应的序列值
计算得:
a=[1 0.4 -0.12];
b=[1 2 0];
源程序:
a=[1 0.4 -0.12];
b=[1 2 0];
n=0:1:10;
subplot(2,2,1);
h=2.75.*(0.2).^n-1.75.*(-0.6).^n;
stem(n,h);
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,2);
y1=2.3437-(0.6875).*(0.2).^n-(0.6563).*(-0.6).^n;
stem(n,y1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
subplot(2,2,3);
impz(b,a,11);
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,4);
