最优化理论与算法：灵敏度分析概述

灵敏度分析名词解释
灵敏度分析是企业或组织的常用调查分析方式，用于判断响应选择和反应情况，识别外部和内部环境变化。

灵敏度分析也称为灵敏度测试或灵敏度评估，是某种现象和外来因素之间关系的检测。

社会及经济发展的快速增长促使企业接受不断变化的环境，企业向顾客提供产
品和服务，需要持续修改和评估其产品和服务的灵敏度。

灵敏度分析旨在发现企业是否响应足够快来适应市场的变化，并且能够在变化的市场上胜出。

灵敏度分析是对影响变量和反应量之间响应关系的量化分析，它有助于企业识
别和捕捉可能影响企业绩效的众多因素。

例如，灵敏度分析可以帮助企业判断客户对定价的反应，预测价格变动对销量的影响，以及识别新产品加入市场时的客户需求。

灵敏度分析具有系统的分析和评估市场变化的能力，使企业能够提供高品质的产品和服务，保持市场领先地位。

灵敏度分析是企业必不可少的管理工具。

它有助于企业了解市场的需求，及时
适应市场变化，控制预算和避免投资失误。

它还可以帮助企业制定正确的策略，以确保企业目标的实现，保证企业顺利前行。

灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。

通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。

因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

目录线性规划中灵敏度分析对于线性规划问题：这里max表示求极大值，s.t.表示受约束于，X是目标函数,xj是决策变量。

通常假定aij，bi和c j都是已知常数。

但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。

同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。

例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的c j一般同市场条件等因素有关。

当市场条件等因素发生变化时，c j也会随之而变化。

约束条件中的aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。

线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。

或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。

编辑本段灵敏度的应用投入产出法中灵敏度分析可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。

例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价格的影响。

研究的结果表明，在职工工资增加10％时，建筑业产品的价格将上涨7％，农产品的价格将上涨1.3％，其余各部门产品价格将上涨1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实际得益为6.2％。

方案评价中灵敏度分析可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。

例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。

这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。

因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。

灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。

灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。

在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。

灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。

2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。

通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。

常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。

常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。

•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。

常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。

•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。

2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。

多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。

常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。

可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。

•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。

第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。

通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。

在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。

首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。

目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。

如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。

反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。

其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。

资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。

如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。

反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。

最后，进行松弛度分析。

松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。

通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。

如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。

反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。

在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。

通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。

总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。

灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。

1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。

2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。

3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。

4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。

5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。

6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。

7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。

9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。

10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。

12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。

13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。

大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。

第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。

也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。

在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。

灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。

一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。

全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。

全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。

常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。

这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。

局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。

局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。

敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。

灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。

例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。

在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。

首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。

其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。

最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。

总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。

灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。

灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。

它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。

本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。

灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。

它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。

灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。

灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。

参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。

这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。

除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。

局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。

全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。

这些方法的选择取决于具体问题的需求。

灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。

在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。

在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。

在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。

灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。

通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。

它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。

然而，灵敏度分析也存在一些局限性。

首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。

其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。

因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。