六年级奥数数论综合
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数论综合（二）
教学目标：
1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；
2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想
例题精讲：
板块一 质数合数
【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任
意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．
【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并
且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数
字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？
板块二 余数问题
【例 5】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，
已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少
个？
【例 7】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
【例 8】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得
到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余
数之和为25，那么n=________．
【例 9】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除
220后所得的余数，则这个自然数是多少？
【例 10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得
余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？
【例 11】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是________．
【巩固】除以7的余数是多少？
【例 12】(2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，„„，从第三个数起，
每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21„„这串数列当中第
2008个数除以3所得的余数为多少？
【例 13】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997
个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
【例 14】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数
字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．
【例 15】设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为 ，的各位数字之和为，那么？
板块三 完全平方数
【例 16】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【例 17】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【例 18】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为 ．
板块四 位值原理
【例 19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一
个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序
数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，
如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，
求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
【巩固】a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中
五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？
板块五 进制问题
【例 21】在几进制中有？
【巩固】算式是几进制数的乘法？
【例 22】在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
课后练习：
练习 1．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
练习 2．有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数．
练习 3．将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．
练习 4．在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
备选：
【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．
【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【备选3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【备选4】在几进制中有？
