Ansoft高级培训班教材

Ansoft高级培训班教材Ansoft HFSS的有限元理论基础谢拥军编著西安电子科技大学Ansoft培训中心目录第一章概述第二章有限元的基本理论及三维有限元分析2．1电磁场边值问题及其变分原理2．2有限元方法的原理――从一维简单例子来看其建模过程2．3三维时谐场有限元问题2．4有限元方程组的求解第三章电磁内问题和散射问题的有限元分析方法3．1 电磁内问题3．2 电磁散射问题第一章概述Ansoft HFSS软件是应用有限元方法的原理来编制的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与微波技术领域的应用原理，对于我们灵活、准确地使用Ansoft HFSS软件来解决实际工程问题能够提供帮助。

这一部分教材的内容就是在结合Ansoft HFSS软件中涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。

第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，大约有40年的历史。

他首先在本世纪40年代被提出，在50年用于飞机的设计。

在六七十年代被引进到电磁场问题的求解中。

2．1 电磁场边值问题及其变分原理电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型中的边值问题一样，都可以用区域Ω内的控制微分方程（电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量波动方程等）和包围区域的边界Γ上的边界条件（可以是第一类的Dirichlet 条件和第二类的Neumann 条件，或者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。

微分方程可表示为：f L =φ （2.1）式中，L 是微分算符，f 是激励函数，φ是未知量。

对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。

很多的时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解φ~，比如伽辽金方法。

在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数：0~≠-=f L r φ （2.2）φ~的最佳近似应能满足：0=Ω=⎰Ωrd w R ii （2.3）这里i R 表示残数加权积分（也可称为误差泛函），i w 是所选择的加权函数。

进一步地，我们可以将近似解φ~展开为：{}{}c v v c TNi i i ==∑=1~φ (2.4)式中，j v 是定义在区域Ω内的展开函数，j c 是待定的展开系数。

并且我们将加权函数选为：i i v w = N i ,...,3,2,1= （2.5）这时，式（2.3）变为：{}{}()0=Ω-=⎰Ωd f v c v L v R i Ti i N i ,...,3,2,1= （2.6）这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数{}c 的线性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式：[]{}{}b c S = （2.7）[]S 的元素为：()⎰ΩΩ=d Lv v S jiij （2.8）{}b 的元素为：⎰ΩΩ=fd v b ii （2.9）2．2 有限元方法的原理――从一维的例子来看其建模的过程从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题变分解法的这样的两个特点：（1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的解式不一样的。

（2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组成，这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当的边界条件，这对于二维、三维问题是非常困难的。

很自然的，人们认为如果采用组成全域的子域上的一组基函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度。

这就是有限元方法。

下面我们通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建模过程和其方法的特点。

考虑一个均匀充填介电常数为ε的平板电容器，如图2.1所示:结点1 （单元1） 结点2（单元2） 结点3图2.1 平板电容器示意图如果我们假设电场只有x 方向的分量，问题就可以简化为一维问题。

问题的支配方程为：ρεε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇-x V x V （2.10）其边界条件为：V=0V=1000 7 10()00=V ()10010=V （2.11）利用（2.10）式与权函数构成内积，仿照（2.3）式的方法我们可以给出这里的误差泛函：{}0=Ω+∇⋅∇=Ω⎰⎰ΩΩd V W WRd ρε （2.12）如图2.2所示，我们可以将一维区域离散化为N 段（单元），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（结点），也称为“本地”序号，当然，与单元一样每个结点还有相应的全域序号。

n n 图2.2 区域离散化示意图如果我们假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也就是对于单元内部的函数进行一阶插值：()x a a x V 21+= （2.13）特别的，在两个结点1x 和2x 处我们令其值分别为1V 和2V ，则（2.13）式可以重新写为（实际上1V 和2V 就成为了这一子域上的待求的系数）：()()()()()222111221111V x q pLV x q pLV x V x x V +++=+=φφ （2.14）其中：21x p =，12x p -=，11-=q ，12=q ，12x x l -= 那么这时候在离散化的意义下，泛函（2.12）式可以写为：01=Ω∑⎰=ΩKk kkkd R W （2.15）其中，k 是结点的全域序号，K 是所有结点的总数，k Ω是第k 个结点的子域。

由于结点和单元的关系，我们可以在单元内选取i φ（i ＝1，2）做为权函数，在利用一些矢量运算恒等式，我们可以得到：{}01=Ω-∇⋅∇∑⎰=ΩNn iind V ρφφε （2.16）式中，n 为单元的序号，N 为总的单元数。

注意到在离散化子域上有：()()i i i i i i i V q l xV x q p l x x x V ∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∇2,12,11ˆ1ˆ （2.17） ()l q x x q p l x xi ii i ˆ1ˆ=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∇φ （2.18） 实际问题中，应该是域内无源，所以ρ为零。

则在每个单元内（2.16）式的左边可以写为线性表达式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122122111V V q q q q q q q q l ε （2.19） 具体的我们可以用图2.1所示的例子来进行数值实现。

在图2.1的离散化情况下我们有3个未知数，即对应结点全域序号的1V ，2V 和3V （而其中的2V 和3V 又有边界条件给定）。

首先将（2.19）式对应单元1中的线性表达式的值带入到求解全部3个未知数的全域矩阵中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3210000717107171V V V ε （2.20） 再将（2.19）式对应单元2中的线性表达式的值带入到求解全部3个未知数的全域矩阵中，构成全域矩阵方程：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--000313103131717107171321V V Vε （2.21） 再在（2.21）式中加入边界条件01=V 和1003=V ，则有最终的矩阵方程：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1000010031211071001321V V V （2.22）很方便的可以解出702=V 。

从这个很简单的例子我们可以看出有限元方法的几个特点 （1）通过离散化和建立误差泛函，原来的电磁场边值问题变为求解矩阵方程，这是原来问题的弱解。

（2）最终矩阵方程的维数与结点的总数相同，未知数是结点上的数值解，单元内的数值是依靠结点处数值解的插值（这里是线性插值） （3）最终矩阵的构成是由子域上的小线性系统按照其全域序号来在相应位置上填充的，所以最终矩阵是稀疏矩阵，其计算机的存储要求并不大。

总结来看，有限元方法的建模过程可以分为以下几个步骤： （1）区域离散。

在任何有限元分析中，区域离散是第一步，或许也是最重要的一步，因为区域离散的方式将影响计算机内存的需求、计算时间和数值结果的精确度。

在我们前面的一维例子里面，我们选取短直线段为单元，二维可以选择矩形或者三角形，三维问题可以选择四面体、三棱柱或矩形块。

Ansoft HFSS选用的四面体作为基本单元，在下一小节我们将着重加以介绍。

（2）插值函数的选择。

在每一个离散单元的结点上的值是我们要求的未知量，在其内部的其它点上的值是依靠结点值对其进行插值。

我们在以上的一维例子中选择了线性插值，很多复杂的问题中如果选用高阶多项式插值精度应该更高，但是公式也更复杂。

Ansoft HFSS软件中有两种插值方式可供选择，我们将在下节中的介绍。

（3）方程组的建立。

对Maxwell方程利用变分方法建立误差泛函，由于问题已经离散化为很多个子域的组合，我们可以首先在每个单元内建立泛函对应的小的线性表达式，其次，将其填充到全域矩阵中的相应位置，最后应用边界条件来得到矩阵方程的最终形式。

（4）方程组的求解。

方程组的求解是有限元分析的最后一步。

最终的方程组是下列两种形式之一：[]{}{}fφ（2.23）L=或者[]{}[]{}φφBλA=（2.24）方程（2.23）是确定型的，它是从非齐次微分方程或非齐次边界条件或从它们两者兼有的问题中导出的。

在电磁学中，确定性方程组通常与散射、辐射以及其它存在源或激励的确定性问题有关。

而方程（2.24）是本征值型的，它是从齐次微分方程和齐次边界条件导出的。

在电磁学中，本征值方程组通常与诸如波导中波传输和腔体中的谐振等无源问题有关。

在这种情形下，已知向量{}f为零，矩阵[]L可以写成[][]B A λ-的形式，这里λ表示未知的本征值。

这两种方程组的解法是不同的，我们会在2.4节中具体介绍。

2．3 三维时谐场有限元问题在上一节中，我们用一个静电问题的例子介绍了有限元的建模过程。

这是一个很简单的一维例子，能够是我们在介绍中将注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介绍，从而使读者很容易掌握有限元方法的基本特点。

但是，实际上所有的物理问题都是三维的，Ansoft HFSS 软件也是以三维有限元方法为基础的，本小节将通过以下几个方面对其着力加以介绍。

2．3．1 三维支配方程广义的来说，三维麦克思韦方程组是三维电磁场问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克思韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足的矢量亥姆赫兹方程作为支配方程（注意：麦克思韦方程组中的后两个散度方程并没有被考虑）。

比如，Ansoft HFSS 软件的支配方程为：0120=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∇⨯∇E k E r r εμ （2.25）式中：()z y x E ,, 是时谐场对应的相量，()(){}t j e z y x E R t z y x E ω,,,,,=（在abc3d 模块中）。