第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(m ax {)(x x x B A B A μμμ=Y ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(m in{)(x x x B A B A μμμ=I ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
定义2 给定论域U ，模糊集合A 指的是论域U 到区间]1,0[的一个映射A μ ]1,0[:→U A μ)(x x A μ→对一切U x ∈，唯一确定实数)(x A μ，使得1)(0≤≤x A μ；用这个数表示x 属于A 的程度；其中函数)(x A μ称为A 的隶属度。
而对于元素x ，函数值)(x A μ称为元素x 关于A 的隶属度。
0)(≡x A μ表示模糊集合Φ=A ，1)(≡x A μ表示模糊集合U A =。
由于模糊集合总是论域U 的子集，故也称为模糊子集。
模糊子集A 通常记为~A 。
由于普通集合就是隶属函数值仅取0或1的特殊的模糊集合，为了方便起见，我们不加区别地采用大写字母C B A ,,等表示模糊集合，其隶属函数一律记作)(),(x x B A μμ等。
例1 以年龄作为论域U ，取]100,0[=U ，模糊集合A 与B 分别表示概念“老年人”和“年轻人”，取隶属函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤=-100x 50 55011500 0)(2x x x A μ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤=-100x 25 52511250 1)(2x x x B μ 隶属函数和隶属度是模糊数学中的重要概念，隶属函数不是唯一的，例如关于“老年人”的隶属函数也可以取为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤≤= 7017050 2050500 0)(x x x x x A μ1.2.2 模糊集合的表示方法设论域为U ，则模糊集合A 可表示为Y U x A x x A ∈=/)(μ其中“/”不表示除法运算，仅表示x 为元素，)(x A μ为x 的隶属度。
若论域U 为有限论域；即设},,,{21n x x x U Λ=，则A 还可以表示为（1） n n A A A x x x x x x A )()()(2211μμμ+++=Λ同样，加号与除号仅是一种记号，并不表示加、除运算。
（2） )}(,),(),({21n A A A x x x A μμμΛ=称为向量表示法。
一般地，当]1,0[∈i μ),,2,1(n i Λ=时，称),,,(21n μμμΛ为模糊向量。
1.2.3 模糊集合的运算定义3 设论域为U ，U 的所有模糊集合作为元素构成的普通集合称为U 的模糊幂集，记为)(U P 。
定义4 设论域为U ，A 和B 是U 的模糊集合，即)(U P A ∈，)(U P B ∈。
如果对一切U x ∈有)()(x x B A μμ≤，则称模糊集合B 包含A ，记为B A ⊆；如果对一切U x ∈，有)()(x x B A μμ=，则称A 与B 相等，记为B A =。
定义5 设论域为U ，A 和B 是U 的模糊集合，即)(U P A ∈，)(U P B ∈。
它们的隶属函数分别为)(x A μ和)(x B μ。
A 与B 的并集是U 的模糊集合，记为B A Y ，其隶属函数为)()()(x x x B A B A μμμ∨=YA 与B 的交集是U 的模糊集合，记为B A I ，其隶属函数为)()()(x x x B A B A μμμ∧=IA 的余集是U 的一个模糊集合，记为c A ，其隶属函数为)(1)(x x A A cμμ-= 其中，“∨”和“∧”是取“最大”与“最小”的意思。
定义6 设论域为U ，A 是U 的模糊集合，R ∈λ，且10<<λ，令})(,|{λμλ≥∈=x U x x A A则称λA 为A 的一个-λ截集，其中λ称为阈值或置信水平。
由定义知，A 的-λ截集λA 就是U 中所有对A 的隶属度大于或等于λ的全体元素组成的普通集合。
例2 设论域},,,,{54321x x x x x U =，543215.012.09.07.0x x x x x A ++++= 则},,,{54214.0x x x x A =，},{428.0x x A =。
定义7 设论域为U ，A 为U 的模糊集合，10≤≤λ，λ与A 的模糊截积记为A λ，其隶属函数为)()(x x A A λλμλ∧=。
特别地，当A 为普通集合时有⎩⎨⎧∉∈=A x A x x A 0)(λμλ 模糊截积具有以下性质：A A 2121λλλλ⊆⇒≤。
1.3 模糊矩阵定义8 称m n ij r R ⨯=)(为模糊矩阵，如果对一切n i ,,2,1Λ=，m j ,,2,1Λ=有10≤≤ij r 。
当ij r 仅取0或1时，m n ij r R ⨯=)(为布尔矩阵。
定义9 设m n ij r R ⨯=)(和m n ij s S ⨯=)(为两模糊矩阵，如果对一切j i ,有ij ij s r =，则称R 和S 相等，记为S R =；如果对一切j i ,有ij ij s r ≤，则称S 包含R ，记为S R ⊆。
定义10 设m n ij r R ⨯=)(和m n ij s S ⨯=)(为两模糊矩阵，则R 和S 的并定义为m n ij ij s r S R ⨯∨=)(Y ，R 与S 的交m n ij ij s r S R ⨯∧=)(I 。
定义11 设m n ij r R ⨯=)(为模糊矩阵，10≤≤λ，令⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λλλij ij ij r r r 01 则称布尔矩阵m n ij r ⨯)(λ为R 的-λ截矩阵，记为λR 。
例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9.03.001.02.04.06.003.05.07.08.0R 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000001001115.0R 定义12 模糊矩阵m n ij r R ⨯=)(与l m jk q Q ⨯=)(的合成是一个n 行l 列的模糊矩阵l n ik s S ⨯=)(，记为Q R S ο=，其中)(1jk ij mj ik q r s ∧=∨=),,1,,,1(l k n i ΛΛ==，S 又称为R 与Q 的模糊乘积。
例3 设模糊矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.06.04.01.05.07.0R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4.07.001.06.08.0Q 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4.07.06.07.04.07.001.06.08.07.06.04.01.05.07.0Q R ο 1.4 模糊关系及其合成运算两个非空子集U 与V 的笛卡儿乘积定义为一个关系：},|),{(V v U u v u V U ∈∈=⨯，V U ⨯的子集称为U 到V 的一个关系，记为V U R −→−。
当R v u ∈),(时，则称u 与v 有关系R ，记为uRv ，否则称u 与v 没有关系。
类似地，我们有定义13 设V U ,为两非空集合，以V U ⨯为论域的模糊集合~R 确定U 到V 的一个模糊关系，记作V U R−→−~，其中对任意V U v u ⨯∈),(，),(v u 关于模糊集合~R 的隶属度记为),(~v u R μ，它表示u 与v 关于模糊关系的相关程度，记为),(~v u R ，特别地，当),(~v u R 的值仅取0或1时，~R 就是U 到V 的普通关系。
所以普通关系是模糊关系的特殊情况，因此我们不加区别地用T S R ,,等表示模糊关系，并且将模糊集合的隶属函数称为模糊关系的隶属函数，记为),(),,(),,(v u T v u S v u R 。
模糊关系可以用模糊矩阵来表示，即定义14 设},,,{21n u u u U Λ=，},,,{21m v v v V Λ=都是有限论域，U 到V 的模糊关系V U R −→−，对一切),,1(n i i Λ=，),,1(m j j Λ=，令),(j i ij v u R r =，则称模糊矩阵m n ij r ⨯)(为模糊关系R 的矩阵表示，在不出现混淆的情况下仍记为R 。
模糊关系存在合成运算。
定义15 设W V U ,,为三个非空集合，U 到V 的模糊关系R 与V 到W 的模糊关系S 的合成是一个U 到W 的模糊关系T ，记作S R T ο=，其中对一切W U w u ⨯∈),(有)],(),([),(w v S v u R w u T Vv ∧∨=∈。
定理 1 设},,{1n u u U Λ=，},,{1m v v V Λ=和},,{1l w w W Λ=是三个有限论域，模糊关系V U R −→−，W V S −→−的矩阵表示分别为m n ij r R ⨯=)(，l m jk s S ⨯=)(，则模糊关系W U SR −−→−ο的矩阵表示就是模糊矩阵m n ij r ⨯)(与l m jk s ⨯)(的合成。
定理2 设U 和V 是两个非空集合，R 为U 到V 的模糊关系，对任意10≤≤λ可以唯一确定U 到V 的普通关系λR ，其中对一切V U v u ⨯∈),(，当且仅当λ≥),(v u R时，有λR v u ∈),(，即⎩⎨⎧<≥=λλλ),(0),(1),(v u R v u R v u R 则称λR 为R 的-λ截关系。
