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中考数学复习专题练习二次函数的图象与性质

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第七节 二次函数的图象与性质

点对点·本节内考点巩固 10分钟

1. (2020石家庄模拟)抛物线y＝x2＋2x＋1的顶点坐标是( )

A. (0，－1) B. (－1，1)

C. (－1，0) D. (1，0)

2. (2020邯郸复兴区二模)抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )

A. 直线x＝12 B. 直线x＝－12

C. y轴 D. 直线x＝2

3. 若抛物线y＝ax2－4x＋c的开口向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

4. 在二次函数y＝x2＋2x－3中，当－3≤x≤0时，y的最大值和最小值分别是( )

A. 0，－4 B. 0，－3

C. －3，－4 D. 0，0

5. 抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋3，n)两点，则n的值为( )

A. 92 B. －92

C. 1 D. －12

6. (2020温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )

A. y3

C. y2

7. (2020成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )

A. 图象的对称轴在y轴的右侧

B. 图象与y轴的交点坐标为(0，8)

C. 图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)

D. y的最小值为－9

8. (2020杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )

A. 若h＝4，则a<0

B. 若h＝5，则a>0 C. 若h＝6，则a<0

D. 若h＝7，则a>0

9. (2020唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0，②2a＋b＝0，③b2－4ac＜0，④4a＋2b＋c＞0，其中正确的是( )

第9题图

A. ①③

B. 只有②

C. ②④

D. ③④

10. (2020石家庄模拟)把二次函数y＝x2＋4x－1变形为y＝a(x＋h)2＋k的形式为________．

11. 已知函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．

(1)对于任意实数k，函数图象一定经过点(－2，－1)和点________；

(2)对于任意正．实数k，当x>m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为________．

点对线·板块内考点衔接 5分钟

12. (2020泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )

13. (2020黔东南州)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为x＝－1，则当y<0时，x的取值范围是______． 第13题图

点对面·跨板块考点迁移 3分钟

14. (2020呼和浩特)已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为( )

A. 0 B. －1

C. －12 D. －14班

第七节 二次函数的图象与性质

1. C

2. C 【解析】∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，∴对称轴是直线x＝0(y轴)．

3. B 【解析】∵y＝ax2－4x＋c＝a(x－2a)2＋c－4a，∴抛物线的顶点坐标为(2a，c－4a)，∵抛物线y＝ax2－4x＋c的开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴2a＜0，c－4a＞0.顶点在第二象限．

4. A 【解析】抛物线的对称轴是直线x＝－1，则当x＝－1时，y＝1－2－3＝－4是最小值；当x＝－3时，y＝9－6－3＝0是最大值．

5. A 【解析】抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋3，n)两点，可知函数的对称轴为直线x＝m＋m＋32＝1，∴m＝－12；将点(－12，n)代入函数解析式，可得n＝2(－12－1)2＝92.

6. B 【解析】∵y＝－3x2－12x＋m＝－3(x＋2)2＋12＋m，∴对称轴为直线x＝－2，∴点(－2，y2)为抛物线的顶点，(－3，y1)关于对称轴的对称点为(－1，y1)，∵a＝－3<0，∴抛物线的顶点为最高点，即y2最大．在对称轴的右边y随x的增大而减小，∵－1<1，∴y1>y3，∴y3

7. D 【解析】∵y＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9，∴对称轴为直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x＝0时，y＝－8，∴图象与y轴的交点坐标为(0，－8)，故选B错误；当y＝0时，x2＋2x－8＝0，解得x＝2或－4，∴图象与x轴的交点坐标为(2，0)和(－4，0)，故选项C错误；∵y＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9，a＝1>0，∴图象开口向上，当x＝－1时，y有最小值，最小值为－9，故选项D正确．

8. C 【解析】∵对于函数y＝a(x－h)2＋k，当x＝1时，y＝1，当x＝8时，y＝8，∴{a（1－h）2＋k＝1①a（8－h）2＋k＝8②，②－①，得a(9－2h)＝1；若h＝4，则a＝1>0，A选项错误；若h＝5，则a＝－1<0，B选项错误；若h＝6，则a＝－13<0，C选项正确；若h＝7，则a＝－15<0，D选项错误．

9. C 【解析】由题图可知a＞0，c＞0，∵该二次函数对称轴是直线x＝1，∴b＜0，∴abc＜0，故①错误，∵－b2a＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0，故②正确，根据二次函数的图象可知，该函数与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故③错误，如解图，设该函数图象与x轴交于A，B两点，故xA＞0，∵该二次函数对称轴是直线x＝1，∴xA＋xB2＝1，∴xB＜2，∵a＞0，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，将x＝2代入得y＝4a＋2b＋c＞0，故④正确．

第9题解图

10. y＝(x＋2)2－5 【解析】y＝x2＋4x－1＝(x2＋4x＋4)－4－1＝(x＋2)2－5，即y＝(x＋2)2－5.

11. (1)(0，1)；(2)0(答案不唯一)．

【解析】(1)∵y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)，∴当x＝－2时，y＝4k＋(2k＋1)×(－2)＋1＝－1，当x＝0时，y＝0＋0＋1＝1，∴对于任意实数k，函数图象一定经过点(－2，－1)和点 (0，1)；

(2)∵k为任意正实数，∴k＞0，∴函数图象开口向上，∵函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的对称轴为直线x＝－2k＋12k＝－1－12k＜－1，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵x＞m时，y随x的增大而增大，∴m≥－1－12k，故m＝0时符合题意．(答案不唯一，m≥－1即可)．

12. C 【解析】A.由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；B.由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；C.由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；D.由一次函数图象可知，a＜0，b＝0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意．

13. －3

14. D 【解析】∵二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，则－－（a＋2）2（a－2）＝0，解得a＝－2，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0为－4x2＋1＝0，则两根之积为－14.

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中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)

1 中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题（含答案）

知识点一：二次函数的概念及解析式

1.一次函数的定义

形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.

2.解析式

（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

变式练习：如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)直接写出B，C两点的坐标；

(3)求过O，B，C三点的圆的

面积．(结果用含π的代数式表示)

解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x＝2，可得－b2＝2，1－b＋c＝0，解得b＝－4，c＝－5，∴抛物线解析式为y＝x2－4x－5

(2)由A点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知AB＝6，∴OB＝5，∴B点坐标为(5，0)，∵y＝x2－4x－5，

∴C点坐标为(0，－5)

(3)如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，

∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，∴BC＝52，

∴圆的半径为522， 注意：若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 2 ∴圆的面积为π(522)2＝252π

知识点二 ：二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 xyy=ax2+bx+c(a＞0)O xyy=ax2+bx+c(a＜0)O[来源:学§科§网Z§X§X§K]

中考数学二次函数专题复习超强整理

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初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题_(_含答案)

中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题_(_含答案)

• 1、二次函数的定义

• 2、二次函数的图像及性质

• 3、求解析式的三种方法

• 4、a，b，c及相关符号的确定

• 5、抛物线的平移

• 6、二次函数与一元二次方程的关系

• 7、二次函数的应用题

• 8、二次函数的综合运用

1、二次函数的定义

定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）

定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

2、二次函数的图像及性质

抛物线

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

增减性

最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定

a>0,开口向上 a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.

在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当x y

0 x y

0 mm2例2：已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？

3、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

第 1 页 共 28 页 中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）

一、综合题

1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（ ）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（ ），求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．

（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．

第 2 页 共 28 页

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．

（1）求点A的坐标；

（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；

（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．

5．如图，抛物线 𝐺：𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥−𝑚2+𝑚+3 的顶点为 𝑃(𝑥𝑃，𝑦𝑃) ，抛物线 𝐺 与直线 𝑙：𝑥=3 交于点 𝑄 ．