(完整版)柯西不等式

1 柯西不等式1

☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;

2. 会证明二维柯西不等式及向量形式

☻知识情景：

1. 定理1 如果,abR, 那么222abab. 当且仅当ab时, 等号成立.

当0,0ab时，由222abab基本不等式：

2. 如果,,,abcdR, 那么222abab，222cdcd2222()()abcd

另一方面，有22222()2acbdacbdabcd

问题：2222()()abcd2()acbd ???

☻新知建构：

1. 柯西不等式：若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd.

当且仅当 时, 等号成立.

此即二维形式的柯西不等式.

证法10.（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd

222()()()acbd

当且仅当 时, 等号成立.

证法20.（构造法）

分析：22222()()()acbdabcd22222[2()]4()()0acbdabcd

而22222[2()]4()()acbdabcd的结构特征

那么，

证：设22222()()2()fxabxacbdxcd，

∵ 22()()()fxaxcbxd 0 恒成立.

∴ . 得证.

证法30.（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd， 则||m，||n.

∵ mn，且nmnmnm,cos||||，有||||||nmnm.

∴ . 得证.

2. 二维柯西不等式的变式：

变式10.若,,,abcdR，则||2222bdacdcba

或bdacdcba2222；

变式20. 若,,,abcdR，则222222()()abcdacbd ；

2 变式30. 若1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.

几何意义:

3. 二维柯西不等式的应用：

4422332 ,()()()1abababab已知为实数,证明例

*11 ,,b1,42abRaab设求证例

511023yxx求函数的最大值例

例4 22231,49,xyxy若求的最小值并求最小值点.

222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246xyxyxyxyxyxxyxyyxy解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为

3 选修4-5练习

221.,,10,( )abRabab若且则的取值范围是

A.-25,25  .210,210B .10,10C .5,5D .

222.1,23( )xyxy已知那么的最小值是

562536A. . . .653625BCD

3.2121______yxx函数的最大值为

224,,326,2______xyxyPxy设实数满足则的最大值是

22115.1,()()______ababab若则的最小值是

1．A 2、B 3．3 4．11 5．252

6、 求函数31102yxx的最大值？；

7、已知321xy，求22xy的最小值.

8、若,xyR，2xy，求证：112xy.

9、已知,,,xyabR，且1abxy，则xy的最小值.

10、若>b>，求证：cacbba411.

11、 已知点000,xy及直线:l 0xyC 220

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

12、已知,11122abba求证：122ba。

13、解方程22221111211xxxxxx

4 练习

6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→ 变式：31102yxx

→ 推广：,(,,,,,)yabxcdefxabcdefR

7．（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.

8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：222211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy…

9．要点：()()abxyxyxy…. → 其它证法

10、要点：21111()()[()()]()(11)4acabbcabbcabbc

11、设点111,xy是直线l上的任意一点， 则110xxC （1）

点01,PP两点间的距离: 22010101ppxxyy （2）

01pp的最小值就是点0p到直线l的距离，

∵ 222201010101xxyyxxyy

0011xyCxyC

由（1）（2）得：

221200ppxyC 即001222xyCpp （3）

当且仅当 0101:yyxx

12ppl （3）式取等号 即点到直线的距离公式即001222xyCpp

12. 证明：由柯西不等式，得11111222222bbaaabba

当且仅当abab2211时，上式取等号，

,1122baab• ,112222baba 于是 122ba 。

5 13.解： 22221111•xxxx = 22221111•xxxx

由柯西不等式知 xxxxxxxx1111112222•

即 ,)1(12)1()1(112222xxxxxx

)1(12)1(1)1(12222xxxxxx

当上式取等号时有)1(1)1(xxxx成立，即

012xx（无实根） 或012xx，即

251x，经检验，原方程的根为251x

6 柯西不等式2

☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;

2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题

☻知识情景：

1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定

了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值

定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

2.二维形式的柯西不等式： 若,,,abcdR，

则 .

当且仅当 时, 等号成立.

变式10. 若,,,abcdR，则||2222bdacdcba或bdacdcba2222；

变式20. 若,,,abcdR，则222222()()abcdacbd ；

变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

222212122323()()()()xxyyxxyy

3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，,iiabR(i1,2,…,)，

则： .

当且仅当 时, 等号成立.

(若0ia时，约定0ib，i1,2,…,).

变式10. 设,0(1,2,,),iiaRbin 则：iiniiibaba212)( .

当且仅当

时, 等号成立.

变式20. 设0(1,2,,),iiabin 则：iiiniiibaaba21)(.

当且仅当nbbb21时,等号成立.

变式30. (积分形式)设)(xf与)(xg都在],[ba可积，

则dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222，

当且仅当)()(xgtxf时,等号成立.